VYSOKÁ ŠKOLA BÁŇSKÁ TECHNICKÁ UNIVERZITA OSTRAVA Fakulta strojí katedra hydromechaiky a hydraulických zařízeí HYROYNAMIKA A HYROYNAMICKÉ STROJE Jarosla Jaalík Ostraa 008
VŠB TU Ostraa, Fakulta strojí Obsah straa. Úod...3. Základí ojmy a fyzikálí lastosti tekuti...4.. Tekutia...4.. Fyzikálí lastosti tekuti...5 3. Tlakoé oměry kaaliě za klidu...9 3.. Tlak a jeho ůsobeí...9 3.. Euleroa roice hydrostatiky...0 3.3. Hladioé lochy... 3.4. Hydrostatický tlak...4 3.5. Pascalů záko...5 4. Tlakoé síly...6 4.. Vodoroé roié lochy...6 4.. Šikmé roié lochy...6 4.3. Tlakoé síly a křié lochy...7 4.4. Archimedů záko...9 5. Relatií ohyb kaaliy...0 5.. Pohyb římočarý, rooměrě zrychleý...0 5.. Pohyb rooměrý, kruhoý... Hydrodyamika...4 6. Klasifikace rouděí a základí ojmy...4 6.. Základí ojmy...4 6.. Rozděleí rouděí...5 6.3. ruhy rouděí skutečých tekuti...6 7. Prouděí ideálí tekutiy...9 7.. Roice kotiuity sojitosti...9 7.. Euleroa roice hydrodyamiky...33 7.3. Beroulliho roice ro dokoalou tekutiu...35 7.4. Beroulliho roice ro stlačitelý ly...38 7.5. Věta o změě hybosti...39 8. Prouděí azké tekutiy...4 8.. Naieroa-Stokesoa roice...4 8.. Beroulliho roice ro skutečou kaaliu...4 9. Lamiárí rouděí...44 9.. Lamiárí rouděí kruhoém otrubí...44 9.. Stékáí o sislé stěě...46 0. Lamiárí rouděí eewtoských kaali...48 0.. Mocioá roice toku...5 0.. Roice Bighamoa...55 0.3. Měřeí iskozity...59. Turbuletí rouděí...66.. Vzik turbulece...67.. Přechod z lamiárího a turbuletí rouděí...68.3. Charakteristiky turbuletího rouděí...70.4. Turbulece a její li a řeosoé jey...77.5. Reyoldsoa raidla ro očítáí s áhodými eličiami...78.6. Reyoldsoa roice...78.7. Roice sojitosti ro turbuletí rouděí...79.8. Kietická eergie turbuletího rouděí...80.9. Směšoací délka...80.0. Logaritmický rychlostí rofil kruhoém otrubí...8.. Mocioý rychlostí rofil...83.. Parametry turbulece kruhoém otrubí...84.3. Matematický ois turbuletího rouděí...86.4. Model turbulece k...88
VŠB TU Ostraa, Fakulta strojí. Hydraulické odory - ztráty...90.. Třecí ztráty kruhoém otrubí ři lamiárím rouděí...90.. Třecí ztráty kruhoém otrubí ro turbuletí rouděí...9.3. Třecí ztráty otrubí ekruhoého růřezu...94.4. Místí odory (ztráty)...95 3. Výtok tekutiy otory... 04 3.. Výtok malým otorem... 04 3.. Výtok elkým otorem bočí stěě... 05 3.3. Výtok oořeým otorem... 06 3.4. Výtok ři současém řítoku... 06 3.5. Vyrazdňoáí ádob... 07 3.6. Přeady... 08 3.7. Výtok lyu dýzou... 08 4. Čeradla... 4.. Čeradla objemoá hydrostatická... 4.. Čeradla odstřediá hydrodyamická... 5 4... Beroulliho roice ro rotující kaál... 5 4... Pracoí roice čeradla Euleroa roice... 6 4..3. Účiost a říko čeradla... 9 4..4. Charakteristiky čeradla... 4..5. Měré otáčky... 3 4..6. Regulace růtoku u čeradel... 6 4..7. Řazeí čeradel... 7 4..8. Sací schoost a kaitace čeradlech... 8 4..9. Proozí sta čeracího systému... 3 4..0. Vybraé kostrukčí části čeradla... 34 4... Zkoušeí čeradel... 36 4... Alikace čeradel... 38 5. Neustáleé rouděí... 40 5.. Beroulliho roice ro eustáleé rouděí... 40 5.. Hydraulický ráz... 4 6. Obtékáí a odor těles... 44 6.. Mezí rsta... 44 6.. Odor těles... 46 6.3. Obtékáí koule... 48 6.4. Obtékáí álce... 50 6.5. Odor ybraých těles... 5 7. Usazoáí... 53 7.. Sedimetačí rychlost... 53 7.. Sedimetace ekuloé částice... 55 7.3. Omezeé usazoáí... 56 8. Prouděí orézí rstou, fluidace, mícháí... 6 8.. Filtračí rouděí Prouděí orézí rstou... 6 8.. Fluidace... 66 8.3. Mícháí... 70 9. Fyzikálí odobost a teorie modeloáí... 73 9.. Hydrodyamická odobost ři rouděí tekuti... 73 9.. Podobost termomechaice... 8 9.3. Podobost ři řeosu hmoty... 8 9.4. imezioálí aalýza (-teorém)... 85 Přehled oužitých ozačeí... 86 Literatura... 89
VŠB TU Ostraa, Fakulta strojí. Úod Mechaika kaali a lyů je součástí obecé mechaiky je, zabýá se rooáhou sil za klidu i ohybu tekuti. Vlastí mechaika tekuti yuţíá ěkterých eerimetálích a statistických hodot ýsledků kietické teorie.ekialetem k ojmu hmotý bod uţíaý mechaice, ystuuje úlohách hydromechaiky ojem elemetárí objem. Teto objem kaaliy ebo lyu je objem elmi malý roti rozměrům roudu kaaliy, ale dostatečě elký zhledem k délce olé dráhy molekuly. Počet molekul obsaţeých tomto objemu je tak elký, ţe latí statistické středí hodoty kietické teorie lyů. Pro teto objem se odozují tz. bilačí roice umoţňující defioat základí zákoy zachoáí hmoty res. eergie. K určeí základích roic rooáhy za klidu i ohybu tekuti jsou ostačující dě lastosti, a to sojitost a stejorodost (izotroie). Základím rozdílem mezi tekutiou a tuhým tělesem je ohybliost molekul lyů i kaali. Kaaliy a lyy tečou roudu omezeém eými stěami ebo toří rozhraí tekuti. Tuhé těleso aroti tomu se ohybuje jako tuhý celek hmotých bodů, eřihlíţíme-li k eatrým deformacím. Kaalia odléhá začě ětším olým deformacím. Při yšetřoáí ohybu tekuti se ouţíá moha ozatků a zákoitostí z mechaiky tuhých těles. Neřihlíţí se ři tom k mikrostruktuře ohybu skutečé tekutiy, tj. k ohybu jejích molekul, který je ředmětem kietické teorie kaali a lyů. Hydromechaika řeší ětšiu sých úkolů a elemetárích objemech tekutiy, ro ěţ sestauje roice rooáhy. Tyto základí difereciálí roice itegruje a ouţitím okrajoých, říadě očátečích odmíek získáá řešeí. Takto získaý matematický model se ak řeší buď eaktě, osledích letech elmi často umericky. Pokud eaktí ebo umerické řešeí bylo z hlediska sloţitosti roic edostué a téţ z otřeby erifikace umerického řešeí se řistuuje k eerimetu, ze kterého ylýají emirická či oloemirická řešeí. Alikace eerimetálích metod mechaice tekuti je současé době elmi časté, měřeí se hlaě z ekoomických důodů roádějí a modelech a s yuţitím teorie odobosti se ýsledky získaé a modelech řeočítají a skutečá zařízeí. Vedle tradičích úloh mechaiky tekuti jsou skrita dolěa kaitolami zabýájícími se rouděím eewtoských kaali otrubí, sedimetací, filtračím rouděím, stručě je také osáa fluidace a mícháí. Čeradlům a doraě kaali je e skritech ěoáa ejrozsáhlejší kaitola. Recezet: oc.rnr. Milada Kozubkoá, CSc. 3
VŠB TU Ostraa, Fakulta strojí. Základí ojmy a fyzikálí lastosti tekuti.. Tekutia Při řešeí úloh hydromechaice se ychází z ředstay tekutiy jako sojitého, stejorodého rostředí (kotiua) Stejorodostí eboli izotroií rozumíme stejé lastosti šech částeček tekutiy ezáislé a jejich oloze a směru ůsobeí sil. Teto ředoklad umoţňuje ýhodě řešit úlohy mechaiky kaali a zoleém, elmi malém objemu tekutiy a odozeé zákoitosti rozšířit a celý objem. Tekutia, ař. ly je tořea molekulami, které se acházejí ouze diskrétích bodech, molekuly lyu ykoáají áhodý teelý ohyb. ůsledkem tohoto ohybu jsou zájemé sráţky molekul a árazy molekul a stěu ádoby, coţ ímáme jako tlak lyu. Protoţe e sledoaém objemu lyu je elký očet molekul, roto ři jejich áhodém ohybu ímáme je středí ohyby. V hydromechaice je zaede ojem ideálí eboli dokoalé tekutiy, která emá itří třeí eí tedy azká a je estlačitelá. Teto ojem, ač eystihuje skutečost, dooluje ododit jedodušeji ěkteré zákoitosti. okoalá tekutia můţe být amáháa je tlakem, zatím co azká (skutečá) tekutia můţe být edle toho amáháa jistou smykoou silou (za ohybu). Tekutia je látka, která se a rozdíl od tuhých těles ţdy eratě deformuje. Nemá lastí tar a za ůsobeí eatrých tečých sil se částice tekutiy sado uedou do ohybu (ýjimkou jsou ěkteré aomálí eewtoské kaaliy). Tekutiy se dělí a: estlačitelé, které ůsobeím tlaku, ormálých sil, je eatrě měí sůj objem zde atří kaaliy. Malé objemy kaali toří kaky. Kaaliy zaujímají tar ádoby, ylňují její sodí část a ytářejí olou hladiu stlačitelé, tedy i rozíaé, které ylňují ţdy celý objem ádoby. Podle toho zda jejich sta je blízko či daleko bodu zkaalěí jsou to buď áry ebo lyy. Solečý áze je také zdušiy.sta tekutiy acházející se rooáze můţe být urče tlakem, hustotou a telotou. Měrý tlak - ( rai zraidla ozačoá je tlak) je roe oměru elemetárí tlakoé síly df ůsobící kolmo a elemetárí lošku ds df. (.) ds Absolutí tlak se odečítá od uloé hodoty tlaku, řetlak a odtlak se odečítají od barometrického tlaku obr... Hustota - (měrá hmotost) je roa oměru hmotosti elemetárí částice tekutiy dm k jejímu elemetárímu objemu dv, obkloujícímu bod, ěmţ hustotu určujeme dm. (.) dv Přeratá hodota hustoty je měrý objem dv. (.3) dm Hustota lyů se měí s tlakem a telotou, u kaali aoak hustota se měí je eatrě a moha raktických úlohách ji můţeme oaţoat za kostatí - = kost. Hustota se staouje měřeím, ýsledky uádí odborá literatura. Telota T (C, K) - ašem říadě se rouděí bude oaţoat ţdy za izotermí T = kost. Údaj teloty bude slouţit je ro řesé určeí arametrů tekutiy jako je hustota a iskozita. Korelaci mezi tlakem, hustotou a telotou tekutiy určuje roice staoá. r. T, (.4) kde r (J.kg -.K - ) je měrá lyoá kostata, jejíţ elikost záisí a druhu lyu. 4
VŠB TU Ostraa, Fakulta strojí Obr.. Tlak absolutí a řetlak Obr.. Objemoá stlačitelost tekuti.. Fyzikálí lastosti tekuti Katitatií ztahy hydromechaice se yjadřují roicemi, grafy, diagramy aod. Veličiy a jejich měroé jedotky jsou určey Meziárodí měroou soustaou SI (Systéme Iteratioal d Uités), kterou uádí ČSN 0 300, ČSN 0 30 a další. Základími eličiami jsou délka, hmotost, čas, elektrický roud, termodyamická telota, látkoé moţstí, sítiost a dolňkoé eličiy roiý úhel a rostoroý úhel. Základími jedotkami jsou (ČSN 0 300) metr, kilogram, sekuda, amér, keli, mol, kadela a dolňkoé jedotky radiá a steradiá. V mechaice, a tím i hydromechaice, se ystačí ři formulaci ozatků s těmito základími eličiami: délka L [m], hmotost m [kg], čas t [s]. Ostatí eličiy jsou odozeé eličiy a základě defiičích roic (ČSN 0 30). Základí a odozeé eličiy zaloţeé a soustaě defiičích roic toří soustau eliči. Veličiy, které určují fyzikálí lastosti kaali a s imiţ se hydromechaice ejčastěji očítá jsou tyto: Objemoá stlačitelost je lastost tekuti a těles zmešoat sůj objem ři zyšoáí tlaku obr.. Změa objemu odle tohoto obrázku se yočítá z olyomu rího stuě ( lieárí záislost) V0, (.5) K kde K je modul objemoé stlačitelosti tekutiy, teto je defioá ztahem d K. (.6) d Při stlačoáí kaaliy se její hmotost eměí, roto lze sát m = V = kost. iferecoáím se dostae.dv + V.d = 0, z čehoţ ro měrou objemoou změu ylýá dv d 0. (.7) V Rozměr modulu objemoé stlačitelosti kaali řiomíá modul ruţosti tahu tuhých látek,(aalogie Hookeoa zákoa). Pro odu je modul objemoé stlačitelosti K,0 9 Pa. Stlačitelost lze roěţ charakterizoat rychlostí zuku, coţ je rychlostí, kterou se e stlačitelém rostředí šíří malé změy tlaku. Za ředokladu izoetroické (adiabatické) staoé změy ro rychlost zuku latí K d a. r. T. (.8) d Telotí roztažost tekuti charakterizuje změu objemu a hustoty tekuti záislosti a změě teloty. Změu objemu je moţé určit z olyomu rího stuě V V. t, (.9) 0 5
VŠB TU Ostraa, Fakulta strojí kde součiitel objemoé roztaţosti je urče ztahem V. (.0) V t kost. Viskozita tekuti se rojeuje ři rouděí skutečých kaali. Pohybují-li se sousedí rsty kaaliy růzými rychlostmi, ziká a jejich rozhraí smykoé třeí, které bráí ohybu. Pomalejší rsta je zrychloáa a aoak zase rychlejší zbrţďoáa. Zmešeí rychlosti je zůsobeo tečou silou, která je yoláa itřím třeím ebo iskozitou či azkostí kaaliy. Obr..3 Vziku iskozity u tekuti Obr..4 Záislost iskozity a telotě Viskozitu lze ysětlit omocí kietické teorie tekuti. Předokládejme odle obr..3, ţe roudící tekutiě ( lyu) ytkeme rstu tekutiy, kterou myšleou roiou rozdělíme a dě oloiy, ři čemţ horí rsta se bude ohyboat rychleji eţ rsta sodí, rozdíl rychlostí obou rste echť je. Molekuly roudícího lyu o hmotosti m se ohybují áhodým teelým ohybem rychlostí c, tato rychlost je záislá a telotě tekutiy a její elikost je ři okojoé telotě ěkolik stoek metrů za sekudu. Sledujme teelý ohyb molekuly lyu e sodí rstě. Je raděodobé, ţe sledoaá molekula důsledku teelého ohybu rychlostí c řejde ze sodí do horí rychlejší rsty. V horí rstě, která je růměru rychlejší je omalá molekula urychlea a je jí ředáa hybost H m.. Podobě molekula tekutiy z horí rychlejší rsty řejde do omalejší rsty sodí a ředá soji hybost omalejším molekulám e sodí rstě, její elikost je stejá jako ředcházejícím říadě H m.. Při tomto rocesu dochází k řeosu hybosti řes myšleou dělící roiu, toto se rojeí zikem smykoého aětí této myšleé dělící roiě. Na základě této ředstay je moţé ysloit trzeí, ţe říčiou iskozity u lyů je teelý ohyb molekul. U kaali je iskozita zůsobea mezimolekulárími silami. U lyů, jejichţ teelý ohyb molekul řeládá ad silami mezimolekulárími, zrůstá zýšeím teloty rychlost teelého ohybu molekul a tím zroste i iskozita lyu. Teto ozatek je e shodě se skutečostí.u kaali je tomu obráceě. U ich jsou domiatí mezimolekulárí síly roti teelému ohybu molekul, roto u kaali klesá azkost s rostoucí telotou obr..4. Smykoé (tečé) aětí od azkosti ebo zkráceě azké aětí je určeo klasickou formulí odle Newtoa, která byla získáa eerimetálě d, dy (.) kde je dyamická azkost, jejíţ rozměr je Pa.s d dy je gradiet rychlosti e směru kolmém a směr ohybu Ve ýočtech se elmi často yskytuje ýraz η/ρ, který je ozačoá jako kiematická iskozita 6
VŠB TU Ostraa, Fakulta strojí. (.) Rozměr kiematické iskozity je m.s -, obsahuje tedy ouze kiematické eličiy (eobsahuje jedotky hmotosti ebo síly), odtud lye její áze. Rozměr dyamické azkosti obsahuje jedotku síly, roto byla tato azkost ozačea jako dyamická, eboť dyamice se yšetřují říčiy ohybu, tj. síly. yamická a kiematická azkost záisí a druhu tekutiy. Jejich hodoty jsou ro ětšiu tekuti tabeloáy. Vazkost kaţdé tekutiy záisí a telotě a tlaku, tedy a staoých eličiách. Tyto jsou uáděy odboré literatuře e formě tabulek, grafů ebo jsou dáy oloemirickými roicemi. Viskozita kaali se měří iskozimetry, z ichţ ejběţější jsou kailárí, ýtokoé, růtokoé, rotačí, tělískoé a jié. Jako ýtokoý iskozimetr se Eroě ouţíá iskozimetr Eglerů., teto se yzačuje ysokou řesostí a jedoduchostí měřeí. Měřítkem azkosti jsou Egleroy stuě E, tyto se určí jako oměr ýtoku zkoumaé kaaliy o objemu 00 cm 3 ři určité telotě t k ýtokoé době ody ři 0 C z téhoţ iskozimetru E. (.3) Výtokoá doba ody musí být rozmezí (50 aţ 5)s, elikost a tar Egleroa iskozimetru jsou dáy ormou. Pro řeočet Egleroých stuňů slouţí emirické zorce, ař. 6.3 6 m 7,3. E.0. (.4) E s Porchoé aětí. Kaalia a rozhraí se yzačuje odlišými lastostmi, řízačými ro ostatí objem kaaliy. Rozhraí kaaliy se jeí jako otaţeé elmi tekou a ajatou rstou. Příčiou orchoého aětí jsou síly ůsobící mezi molekulami kaaliy. Uitř kaaliy je kaţdá molekula obkloea ostatími ze šech stra, takţe se jejich řitaţlié síly yroáají obr..5a. U rozhraí jsou molekuly obkloey je z jedé stray, jejich síly se eyroáají z druhé stray, a roto a molekulu ůsobí síla R směřující doitř kaaliy obr..5b. Poěadţ ůsobeí jedotliých molekul je omezeo a elmi malou oblast, rojeuje se tato erooáha mezimolekulárích sil je eatré rstě kaaliy a hladiě. Při řemístěí částečky kaaliy a rozhraí, se ykoá silou R ráce. Molekuly a rozhraí mají yšší oteciálí eergie roti molekulám uitř kaaliy. Porchoé aětí je oměr orchoé eergie k loše rozhraí. E a. (.5) S Porchoé aětí se defiuje téţ jako síla, která ůsobí a jedotku délky rozhraí, a to kolmo k této délce, a roiě orchu. Obr..5 Síly uitř kaaliy a oblíţ rozhraí Obr..6 K defiici orchoého aětí Síla, kterou je ař. mydlikoá bláa roztahoáa rámečku s osuými tyčkami AB a C (kaţdá délky L), je dáa ýrazem 7
VŠB TU Ostraa, Fakulta strojí F.L, eboť délka amáhaého orchu je L a orchoé aětí je. Zětší-li se orch bláy roztaţeím o délku d, ykoá se ráce da = F d =.L.d. Touto rací se zětší orchoá eergie kaaliy. Na jedotku délky rozhraí řiadá tedy síla F da. L. d. (.6) L l. d L. d Porchoé aětí určité kaaliy záisí a druhu látek, které toří rozhraí. Kaalia se můţe stýkat s eou látkou, kaaliou ebo lyem. Vzik orchoého aětí byl ysětle erooáhou molekulárích sil za ředokladu, ţe kaalia s ičím esousedí. Ve skutečosti je ţdy obkloea jiou látkou, ať eou, kaalou, či lyou, a roto mezimolekulárí síly od lastí kaaliy se budou yroáat s kalitatiě stejými silami sousedího rostředí. Výsledé orchoé aětí bude dáo ektoroým součtem obou sloţek. Kailarita se yskytuje u trubiček elmi malého růměru kailár, ebo orézím rostředí. Kdyţ adhezí síly jsou ětší eţ kohezí, ystuuje kaalia kailáře do ýšky h. V oačém říadě, kdy kohezí síly jsou ětší eţ adhezí, zůstáá kaalia kailáře o ýšku h íţe eţ je hladia okolí kaaliy. Příslušé ýšky h se dají sočítat z odmíky rooáhy mezi graitačími silami a orchoými silami odle obr..7 4.. d. d h.. g h. (.7) 4. g. h Obr..7 Kailárí eleace a derese Posledí ztah se dá ouţít téţ k určeí orchoého aětí. Porchoé aětí ody je = 0,07 N m - = 0,07 kg s -. Tlak asyceých ar je hodota tlaku ar ad hladiou kaaliy, řičemţ astáá rooáha mezi očtem molekul oouštějících kaaliu a racejících se zět. U jedosloţkoých kaali záisí ouze a telotě a roste s telotou. Čím je tlak asyceých ar kaaliy ři daé telotě yšší, tím je kaalia těkaější. Tlak ad hladiou kaaliy musí být yšší, eţ je tlak asyceých ar, jiak by mohlo dojít k rudkému odařeí (aru). Klese-li tlak uitř kaaliy od hodotu tlaku asyceých ar, dochází ke ziku kaitace. Parametry ody a odí áry četě tlaku asyceých ar je moţé staoit odle dokumetů Meziárodí asociace ro lastosti ody a odí áry - IAPWS IF 97, ebo se dá odečíst z arých tabulek. 8
VŠB TU Ostraa, Fakulta strojí 3. Tlakoé oměry kaaliě za klidu 3.. Tlak a jeho ůsobeí Hydrostatika se zabýá rooáhou sil ůsobících a kaaliu za klidu. Rooáha kaaliy za klidu astae tehdy, kdyţ její částice se ůči sobě eohybují, to zameá, ţe tar objemu kaaliy se eměí. V tom říadě je u skutečé kaaliy smykoé aětí od azkosti uloé a šechy roice latí i ro skutečou kaaliu. o hydrostatiky atří i říady relatiího klidu, kdy kaalia ůči stěám je klidu, ale celá soustaa (ádrţ + kaalia) koají ohyb. Síly, které mohou ůsobit a kaaliu lze rozdělit obecě do dou skui, a to síly lošé a hmotostí (eboli objemoé). Plošé síly (téţ orchoé) ůsobí a orch uaţoaého objemu kaaliy, roto jejich elikost záisí a elikosti loch F. S. Plošé síly jsou ař. tlak kaaliy, třeí od azkosti ohybující se kaaliy, aod. Objemoé síly ( téţ hmotostí) jsou úměrý hmotosti, která je úměrá objemu kaaliy F 0 a. m a.. V. ( 3.) Jsou to ař. tíha kaaliy, setračá síla, odstřediá síla aod. Tlak kaaliy je tlakoá síla, ůsobící a jedotku lochy. Je-li tlak rooměrě rozloţe, je dá oměrem F. S Při erooměrém rozloţeí tlaku je dá obecě df. ( 3.) ds Tlak ůsobí ţdy kolmo a lochu a určitém místě je e šech směrech stejý, ezáisí tedy a sklou lošky, a kterou ůsobí. Toto trzeí si yí dokáţeme. Kdyby ůsobila a lošku síla df ikoli e směru ormály, dala by se rozloţit a sloţku ormáloou a tečou. Tečá sloţka tlakoé síly by si yutila ohyb částeček kaaliy, které ekladou zájemému osuutí odor. Protoţe tekutia je klidu, musí tlakoá síla ůsobit kolmo a lochu obr. 3.. Z toho lye, ţe a tekutiu acházející se e stau rooáţém mohou ůsobit je síly ormáloé, res. ormáloá aětí. V techické rai se bude jedat ţdy o tlak, eboť je dokoale čisté a odzdušěé kaaliy mohou odoláat tahu. Peost tahu seciálě euraeých kaali je řibliţě roa ule a e ýočtech ředokládáme, ţe k orušeí kotiuity kaaliy dojde místech, kde tlak klese od hodotu tlaku asyceých ar a dojde zde k aru změě fáze. Velikost tlaku určitém místě uitř kaaliy, ezáisí a směru a je tedy skalárí eličiou. Obr.3. Působeí tlakoých sil a stěu Obr.3. Zákoa o šířeí tlaku 9
VŠB TU Ostraa, Fakulta strojí Při odozoáí tohoto trzeí se ředokládá, ţe tlak a stěách čtyřstěu ( obr. 3.) je růzý (, y, z). Na šikmou stěu ůsobí tlak a tudíţ tlakoá síla df = ds. Teto tlak ůsobí e směru ormály lochy ds, jeţ sírá s osami, y, z úhly,,. Poěadţ tekutia je klidu, musí být slěy statické odmíky rooáhy sil: F 0; Fy 0; Fz 0; M 0; My 0; Mz 0. Protoţe tlaky a lochu čtyřstěu jsou kostatí, ůsobí ýsledé tlakoé síly těţištích trojúhelíků. Plochy trojúhelíků ds, ds y a ds z jsou růměty lochy ds, coţ latí i o jejích těţištích. Také ýsledé tlakoé síly se rotíají jedom bodě a mometoé odmíky rooáhy jsou slěy. Stačí tedy uaţoat je zbýající odmíky rooáhy sil. Ve směru osy ůsobí tlakoá síla df a sloţka tlakoé síly df do směru osy, tj. df cos. Ostatí síly jsou kolmé a osu, a roto jejich sloţky jsou uloé. Prí odmíka statické rooáhy sil je dáa ašem říadě roicí df df 0. Po dosazeí dříe uedeých ýrazů dostaeme. ds. ds.cos 0. O lochách ds a ds bylo uedeo, ţe ds je růmětem lochy ds, ro který latí ds = ds cos. Podmíka rooáhy sil se uraí omocí osledí roice a dostae se ro směr osy. Podobě ro směr y a z jsou odmíky rooáhy sil dáy roicemi ;. y z Vylýá tedy z odmíek statické rooáhy sil roost tlaků a lochách čtyřstěu. ( 3.3) y z Šikmá locha ds byla zolea liboolě. Výsledek lze zešeobecit: Tlak ůsobí daém místě kaaliy šemi směry stejě a ezáisí a sklou lochy, tz., ţe tlak je skalárí eličia. Teto záko latí obecě. Je třeba ozameat, ţe jiém místě kaaliy bude hodota tlaku obecě jiá, matematicky yjádřeo f (, y, z). 3.. Euleroa roice hydrostatiky Euleroa roice hydrostatiky je obecá odmíka rooáhy sil ůsobících a kaaliu klidu. Na kaaliu echť ůsobí obecě objemoá síla F o a ýsledice tlakoých sil F. Rooáha sil je yjádřea roicí F 0 F 0. Fo Na jedotku hmotosti kaaliy ůsobí z ějšku síla a, coţ je zrychleí, které se dá m rozesat omocí sloţek a ia ja ka. Zolí se elemetárí objem kaaliy e taru y z hraolku o straách d, dy a dz rooběţých se zoleými osami, y, z - obr. 3.3 Tlakoé síly F o ůsobí a orchu hraolku, a to e třech kolmých směrech. Protoţe lošky jsou ekoečě malé, je moţé oaţoat tlak za kostatí. Na lošku dydz ůsobí tlakoá síla e směru osy, a roto je ozačea df. Podobě ostatích směrech ůsobí tlakoé sílu df y a lošku ddy a tlakoá síla df z a lošku ddz. Podmíka rooáhy ylýá oět z obecých odmíek statické rooáhy sil. Protoţe šechy síly ůsobící a hraolek rocházejí jedím bodem (těţištěm hraolku), jsou slěy mometoé odmíky. Ve směru osy ůsobí a zoleý hraolek lošé síly df a df a dě lošky dydz, jejíchţ ormály jsou rooběţé s osou. 0
VŠB TU Ostraa, Fakulta strojí Obr. 3.3 Elemetárí objem tekuti - odozeí Euleroy roice hydrostatiky Tlakoá síla a leou lošku ddz kde je tlak, má elikost df = dy dz. Na raou lošku dydz, která je zdálea od leé lošky o délku d, ůsobí tlak ( d), eboť obecě je tlak kaaliy fukcí olohy = (, y, z), a tlakoá síla je určea ztahem df ( d) d. dy. Obdobým zůsobem se dají yjádřit i síly e směru osy y a z. Kromě lošých sil (tlakoých) ůsobí a zoleý hraolek kaaliy hmotostí síla. Její sloţka e směru osy bude dáa ztahem df o = dm a, kde dm je hmotost hraolku kaaliy a a je sloţka zrychleí (hmotostí síla a jedotku hmoty) e směru osy. Hmotost dm se dá yjádřit omocí objemu hraolku dm = dv = d dy dz, takţe objemoá síla df o = a d dy dz. Pro rooáhu sil e směru osy musí tedy latit dy dz dy dz a ddy dz 0, a o úraě a 0, coţ je hledaá obecá odmíka rooáhy sil e směru osy. Pro sloţky e směru os y a z lze sát zcela aalogicky roice a y 0, a z 0. y z Posledí tři roice yjadřující odmíky rooáhy sil tekutiě za klidu e směru asy, y, z. Vyásobme osledí roice jedotkoými ektory i, j, k a y 0 / i a y 0 / j y a z 0 / k, ( 3.4) z
VŠB TU Ostraa, Fakulta strojí jestliţe osledí tři roice sečteme, dostaeme jedu Eulerou roici hydrostatiky zasaou e ektoroém taru a grad 0, ( 3.5) kde a je ýsledé zrychleí ějšího siloého ole a ia ja ka, y z a gradiet tlaku je určeý ztahem grad i j k. y z Euleroa roice hydrostatiky je základí roicí k určeí tlaků oli tlakoých sil. Z Euleroy roice ylýá, ţe tlak kaaliě záisí a objemoých silách. Vyásobme ostuě rooáhu sil ro jedotlié směry řírůstkem dráhy d, dy, dz a y 0 / d y a y 0 / dy y a z 0 / dz, ( 3.6) z roice sečteme a dostaeme a d aydy azdz d dy dz. y z Výraz a raé straě roice je totálí difereciál d d dy dz, y z otom hledaá obecá difereciálí roice ro tlak je dáa ztahem d a d a dy a dz. ( 3.7) y z Toto je obecá difereciálí roice tlakoé fukce (, y, z). Čley záorce jsou součiy hmotostích sil a říslušých osuutí e stejém směru, takţe jejich fyzikálí ýzam je ráce řiadající a jedotku hmotosti. Itegrací osledí difereciálí roice se určí tlakoé fukce a d a dy a dz, y z. ( 3.8) 3.3. Hladioé lochy y z, Hladioé lochy jsou místa s kostatím tlakem - = kost. Přírůstek tlaku mezi děma body leţícími a stejé hladiě musí být roe ule, coţ latí i ro soumezé body, d = 0. osazeím do ro. (3.7) dostaeme obecou roici hladioých loch difereciálím taru a d aydy azdz 0. ( 3.9) Práce ějších objemoých sil ři osuutí o hladioé loše a ds musí být roa ule, roto odle obr..6 latí da. a.cos. ds 0,
VŠB TU Ostraa, Fakulta strojí odkud ylýá,, ţe cos. 0, a tedy, rotoţe ρ a ds jsou od uly rozdílé. Tím je dokázáo, ţe hladioé lochy jsou kolmé a ýsledé zrychleí, tedy a ýsledou hmotostí sílu obr. 3.4. Fukci U azýáme oteciálem itezity objemoých sil (res. oteciálem relatiího zrychleí). Obr. 3.4 Řez soumezými hladioými lochami Hladioé lochy mají úlohách hydrostatiky elký ýzam, ředeším šak hladioá locha rozhraí mezi okolím ozduším a kaaliou. Předokládejme, ţe objemoá síla a 0 se dá yjádřit omocí siloého oteciálu U roicí a o gradu, Po rozesáí ektorů této roici do sloţek U U U i a jay kaz i j k, y z s yuţitím raidla, ţe da ektory se sobě roají, roají-li se sloţky, otom latí U U U a, a y, a z. ( 3.0) y z osazeím těchto ýrazů do roice (3.7) dostaeme U U U d a d aydy azdz d dy dz. du, y y z této roice lye důleţitý ztah d du a d a dy a dz. ( 3.) y z Protoţe d = 0, otom a hladioé loše je i du = 0 U = kost. Ze staoé roice dále ylýá, ţe i ρ = kost. a T = kost. Chceme-li staoit tlak bodě B, ři zámém tlaku bodě A, ak itegrujeme Eulerou roici hydrostatiky odle křiky sojující body A a B: Je-li dáa oteciálí fukce U = U(,y,z), ak lze řírůstek tlaku staoit sado jako řírůstek oteciálů ásobeý hustotou, aiţ bychom museli řešit křikoý itegrál, eboť B A d B A U B du U U. U A Jsou-li dáy sloţky ektoru itezity hmotoých sil a a, y, z, a a, y, z, a a, y, z, y y B A z táme se, zda tomto říadě eistuje oteciál U(,y,z). Je-li du úlým difereciálem, ak ro smíšeé deriace latí roice z U y U U U U U ; ;. y yz zy z z 3
VŠB TU Ostraa, Fakulta strojí Vezmeme-li úahu ro. ( 3.0) dostááme ro eisteci oteciálu i relatií rooáhy tyto tři odmíky: a ay a y az az a ; ;. ( 3.) y z y z 3.4. Hydrostatický tlak Na kaaliu ádobě ůsobí z hmotostích sil je tíţe zemská. V liboolém místě kaaliy bude tlak (, y, z) urče difereciálí roicí ( 3.7) odozeou ředchozích odstacích d a d a dy a dz. y z Za ůsobeí je tíţe zemské je a y = -g, a = a z = 0. Zrychleí tíţe zemské je uto dosadit se záorým zamékem, oěadţ tíţe ůsobí oačým smyslem eţ je zoleý smysl osy y. ifereciálí roice se tedy zjedoduší d. g. dy, a itegrál je. g. y kost. Itegračí kostata se určí z okrajoé odmíky. Na rozhraí kaaliy je tlak ozduší.pro tuto hladiu latí y = h 0, = 0. osazeím do osledí roice se yočte itegračí kostata: 0. g. h0 kost, z čehoţ kost 0. g, h0, a hledaá záislost tlaku je. g. y 0. g. h0 0. g h0 y, a dosazeím h = y 0 y se dostae 0. g. h, ( 3.3) kde h je sislá zdáleost uaţoaého místa kaaliě od hladiy tlaku ozduší. Jestliţe uaţoaý bod leţí od hladiou, je h > 0 (kladé); kdyţ je bod ýše eţ hladia tlaku ozduší je h < 0 (záoré). Uedeý ztah latí ro kaaliy, a ěţ ůsobí tíţe zemská, a to estlačitelé, eboť ři itegraci byla měrá hmotost oaţoáa za kostatu obr. 3.5. Tlakoé hladiy kaaliě za ůsobeí tíţe zemské jsou odoroé roiy. Při odozeí roic tlakoých hladi se ředokládá, ţe ádoba s tekutiou eí rozlehlá tak, aby bylo uté řihlíţet k zakřieí orchu zemského. Pro ádoby s malými lochami zhledem k zemskému orchu se tedy ředokládá, ţe graitace ůsobí sisle dolů, a to e šech místech ádoby. Za tohoto ředokladu je roice tlakoých hladi g. dy 0, coţ ylýá z obecé difereciálí roice ro tlakoé hladiy o dosazeí hmotostích sil uaţoaého říadu a y = -g, a = a z = 0. Itegrací se dostae roice tlakoých hladi g y = kost, coţ jsou roice odoroých loch: y = kost. Tlak se dá yjádřit absolutí ebo relatií hodotou. Absolutí tlak je ztaţe k absolutí ule, tj. k akuu, zatímco relatií tlak je ztaţe od smlueé hodoty tlaku, kterým je tlak ozduší. Platí tedy 0, a r kde a je absolutí tlak, r je relatií tlak, 0 je tlak ozduší. 4
VŠB TU Ostraa, Fakulta strojí Poroáím s odozeým ýrazem = 0 + gh, ylýá, ţe je to absolutí tlak. Relatií tlak yolaý účikem slouce kaaliy je dá ýrazem = gh. K ozačeí absolutí a relatií hodoty tlaku se eouţíá ideů a a r, ašak je třeba údaj dolit, o který tlak jde. Nař. ro = 805 kpa abs.; = 705 kpa řetlak. Poěadţ tlak kaaliy záisí a ýšce slouce kaaliy a její měré hmotosti: = gh, lze tlak yjádřit ýškou kaalioého slouce, tj. staoit tlakoou ýšku. h. ( 3.4). g Obr. 3.5 Kaalia ři ůsobeí síly tíţe Obr. 3.6 Prici hydraulického lisu 3.5. Pascalů záko Beztíţý sta je charakterizoá hodotou a = 0. Z roice ( 3.5) otom grad = 0 a o itegraci ylýá, ţe kost. ( 3.5) tj. tlak uitř kaaliy je šude stejý. U kaalioých kaiček to elatí řesě, eboť se ulatí orchoé aětí. Zýšíme li určitém místě tlak, třeba a rozhraí kaaliy s jiou fází zýší se i celém objemu kaaliy, coţ je obsahem Pascaloa zákoa: tlak kaaliě se šíří rooměrě šemi směry. Tlak celém objeu kaali je kostatí, obecě šak = (,y,z). Toho se yuţíá ař. u hydraulických mechaismů, zedáků, lisů a roěţ u hydraulických seromechaismů jako je ABS u automobilů, ebo ři řízeí letadel, lodí raket a od.. U hydraulického lisu malý íst yodí silou F, elký ístu ak sílu F > F. Současě musí latit rooáha eergie, tz., ţe ráce ykoaá malým ístem se roá ykoaé rácí elkým ístem. Malý íst ykoá dráhu s, elký íst ak dráhu s, ři čemţ latí, ţe s > s. Pro hydraulický lis obr. 3.6 můţeme sát F. S současě latí ; F. S S F F ; S s. S. S s. 5
VŠB TU Ostraa, Fakulta strojí 4. Tlakoé síly 4.. Vodoroé roié lochy Tlak kaţdém bodě odoroého da ádoby je stejý = g h obr. 4. Je tedy rooměrě rozloţe o celé loše a ýsledá tlakoá síla je roa F. S. g. h. S. gv. ( 4.) Tlakoá síla ůsobí kolmo a lochu. Obr.4. Síla a do odoroé ádoby Jestliţe ádoba má bočí stěy jié eţ sislé obr. 4., je ýsledá tlakoá síla a do dáa stejým ýrazem, eboť sislá zdáleost h lochy od hladiy je kostatí, a tudíţ tlak a do je = gh kost. Podobě objem zatěţoacího obrazce uedeé defiice bude Obr.4. Hydrostatické aradoo a zatěţoací obrazec e šech říadech stejý, takţe ýsledá tlakoá síla je roěţ stejá. Nezáisí a taru bočích stě ádoby, coţ je hydrostatické aradoo. 4.. Šikmé roié lochy Na rozdíl od odoroých loch je a šikmé roié stěě ádoby tlak roměý obr. 4.3. Výsledice tlakoých sil se určí itegrací elemetárí tlakoé síly a lošce ds. Na zoleou lošku ds ůsobí tlakoá síla df = g h ds. Obr.4.3 Síla a šikmou roiou lochu 6
VŠB TU Ostraa, Fakulta strojí Pro úsečky h a latí a celé loše S ztah h.si a o dosazeí do roice ro tlakoou sílu je Výsledice je ak dáa itegrálem F. g h. ds. g.si. ds. g.si. My, kde S M. ds. S, y S T je statický momet lochy, takţe ýraz ro tlakoou sílu se uraí F. g.si. T. S. Výsledá tlakoá síla a šikmou roiou lochu je dáa ztahem S F. g. ht. S T. S. gv.. ( 4.) V osledí roici je h T sislá zdáleost těţiště lochy S od tlakoé hladiy tlaku ozduší ; odobě T je tlak těţišti lochy. Tlak T ředstauje středí hodotu tlaku a loše S. Objem V je tz. zatěţoací objem Směr ýsledice tlakoé síly F je kolmý a lochu S, to zameá, ţe je totoţý se směrem ormály k loše S. Působiště P tlakoé síly se dá určit očetě z rooáhy mometů. Momet elemetárích tlakoých sil k ose y je dá roicí dm y = df. Výsledý momet těchto elemetárích tlakoých sil musí být stejý jako momet ýsledice tlakoé síly. Platí tedy z čehoţ M F. dm. df. g.si ds. g.si. J, y S. g.si. J F y y S. g.si. Jy. g.si. M y J M kde J y - momet setračosti lochy S k ose y M y - statický momet lochy S k ose y Podle Steieroy ěty je J J S, takţe y J T T M y T. T. S T T T JT T. S. S y y J M T S Jy, ( 4.3). S y T. ( 4.4) Vzdáleost ůsobiště P tlakoé síly od těţiště T lochy je JT T T. ( 4.5) T. S Protoţe raá straa této roice je ţdy kladá, otom ůsobiště P tlakoé síly a šikmou roiou lochu leţí ţdy od těţištěm lochy T. Podobě se určí druhá souřadice ůsobiště tlakoých sil z mometů k ose. U raktických úloh se e ětšiě říadů jedá o lchy symetrické, leţí ůsobiště síly a ose symetrie. 4.3. Tlakoé síly a křié lochy Na křié loše je tlak kaaliy liboolém místě urče ýrazem = gh. Na zoleý lošý rek ůsobí tlakoá síla df =.g.h.ds e směru kolmém a ds. Vektoroým součtem těchto elemetárích tlakoých sil o celé křié loše se dostae ýsledice tlakoé síly a křiou lochu. K itegraci je zaotřebí aalytického yjádřeí loch a roěţ záislost ro ýšku, coţ ede zraidla ke zdlouhaým ýočtům. Při ýočtu tlakoých sil a křié lochy se ouţíají dě metody, a to sloţkoá a metoda áhradích loch. y 7
VŠB TU Ostraa, Fakulta strojí Obr. 4.4 Sloţkoá metoda určeí zatěţoacího obrazce Složkoá metoda - obr. 4.4 sočíá tom, ţe se určí ejdříe sloţky e zoleých směrech, zraidla sislá a odoroá. Výsledá sislá sloţka tlakoé síly Fy se dostae itegrací obr. 4.4A F. g dv. g. V. ( 4.6) y S y y Sislá sloţka F y je určea tíhou zatěţoacího obrazce V y, teto objem je yzače a obr. 4.4A. Působiště sislé sloţky tlakoé síly a křiou lochu je těţišti objemu V y zatěţoacího obrazce. Vodoroou sloţku obr. 44B tlakoé síly F ebo F z určíme jako síla a sislou lochu, která se dostala jako růmět křié lochy do sislé roiy. ro ýočet těchto sil se ouţije metoda osaá ředcházejícím odstaci. Výsledice tlakoé síly můţe být staoea graficky ektoroý součtem sil obr. 4.4B, ebo ýočtem. Poěadţ jsou sloţky a sobě kolmé, latí rostoru roice y z F F F F, říadě ro roiou úlohu F F F y ( 4.7) Směr ýsledice tlakoých sil je dá ztahem Fy tg. F Metoda áhradích loch obr. 4.5 sočíá tom, ţe se křiá locha ahradí jedou ebo íce roiými lochami, a to tak, aby s křiou lochou uzaíraly objem V. Vyočítá se tlakoá síla a áhradí lochu F. Nahrazeím křié lochy roiými lochami se řidal objem kaaliy V, takţe tíhoý účiek tohoto objemu kaaliy je zahrut tlakoé síle a áhradí lochu. Obr. 4.5 Metoda áhradích loch 8
VŠB TU Ostraa, Fakulta strojí Ve skutečosti tíha kaaliy G = gv eůsobí a křiou lochu, a roto je třeba ji odečíst od ýsledé tlakoé síly a áhradí lochu obr. 4.5A. V oačém říadě, kdy se áhradí lochou ubral od zatěţujícího obrazce objem kaaliy V, jehoţ tíha ůsobí a křiou lochu, je uto k ýsledici tlakoé síly a áhradí lochu řičíst tíhoý účiek kaaliy G obr. 4.5B. Výsledice tlakoé síly je dáa ektoroým součtem tlakoé síly a áhradí lochu F a tíhy G objemu V F F G. ( 4.8) Náhradí lochy je moţo olit liboolé, jedu ebo íce. Volí se tak, aby ýočet sloţek áhradích tlakoých sil byl co ejjedodušší. 4.4. Archimedů záko Na těleso oořeé do kaaliy ůsobí obecě síly e třech a sobě kolmých směrech, tj. ař. e sislém směru a e dou směrech odoroých a sebe kolmých. Vodoroé sloţky tlakoé síly a těleso se azájem yruší, ro další ýočet má ýzam ouze sloţka sislá obr. 4.6. Tlakoá síla kaaliy e sislém směru a rek tělesa o objemu dv se roá tíze kaaliy, která je tímto elemetem ytlačea. df. g. dv Výsledá tlakoá síla a celé těleso se dostae itegrací F df. g V. ( 4.9 ) V. Výsledek je zámý Archimedů záko. Na těleso oořeé do kaaliy ůsobí ztlakoá síla roá tíze kaaliy tělesem ytlačeé. Obr. 4.6 Vztlak tělesa Na těleso oořeé do kaaliy ůsobí dě síly, a to ztlakoá síla F těţišti objemu ytlačeé kaaliy, a lastí tíha tělesa G, ůsobící těţišti tělesa. Podle ýsledice F = F G, která ůsobí a těleso oořeé kaaliě, mohou astat obecě tři říady: G > F tíha tělesa je ětší eţ ztlakoá síla, takţe ýsledice ůsobí e směru sislém dolů a těleso klesá ke du. G = F tíha tělesa je rooáze se ztlakoou silou, ýsledice je uloá a těleso setráá liboolé oloze záší se kaaliě. G < F lastí tíha tělesa je meší eţ ztlakoá síla, takţe ýsledice ůsobí sisle ahoru a těleso záší k hladiě. Vyořeím tělesa se zmeší ztlakoá síla aţ astae rooáha s lastí tíhou tělesa, které lae. 9
VŠB TU Ostraa, Fakulta strojí 5. Relatií ohyb kaaliy Při ohybu ádoby s kaaliou mohou astat říady, kdy kaalia je ůči stěám ádoby klidu. Na kaaliu ůsobí další objemoé síly, a to setračá od lastího ohybu ádoby s kaaliou, které je uto zahroat do odmíek hydrostatické rooáhy. V dalším jsou robráy da jedoduché říklady relatiího klidu kaaliy. Obr.5. Kaalia relatiím klidu, římočarý, rooměrě zrychleý ohyb 5.. Pohyb římočarý, rooměrě zrychleý Nádoba se s kaaliou ohybuje římočaře rooměrě zrychleě e odoroé roiě obr. 5.. Na kaţdou částečku kaaliy ádobě ůsobí e sislém směru tíţe zemská a y = - g a e odoroém směru setračé zrychleí a = -a. Zolíme ádobě bod, ro jedoduchost leţí zoleý bod a ose symetrie růsečíku hladiy ůodí a oě ytořeé. V tomto bodě yzačíme zrychleí, která a kaaliu ůsobí. ifereciálí roice hladioých loch je tomto říadě a. d g. dy, a její itegrál a. g. y kost. Hladioé lochy jsou roiy skloěé, sírající s odoroou roiou (kladá oloosa) úhel α. Z odobosti trojúhelíků ro úhel α lye a tg. ( 5.) g Z osledího ýrazu roěţ ylýá, ţe hladioé lochy jsou kolmé a ýsledici hmotostích sil ůsobících a kaaliu. Pro staoeí tlaku kaaliě je třeba zát asoň jedom místě (tj. alesoň a jedé hladioé loše) elikost tlaku. Zraidla jím býá rozhraí kaaliy s ozduším = a = b = kost., jehoţ oloha je záislá a objemu kaaliy ádobě Skloěím hladiy jedé části (raé) ádoby ubude kaalia, e druhé (leé) zase řibude. Celkoá změa objemu kaaliy musí být uloá, roto úbytek a řírůstek objemu musí být stejě elký. V říadech, kdy ádoba je álcoá ebo má tar hraolu se základou symetrickou k ose kolmé a směr ohybu, rotíá se rozhraí kaaliy s ozduším oloiě délky ádoby. Poloha hladioé lochy tlaku ozduší se tedy určí z odmíky, ţe objem kaaliy ádobě je kostatí V říadě, kdy zrychleí je elké, ystouí rozhraí kaaliy s ozduším ( a = kost) ad okraj ádoby a část kaaliy yteče z ádoby. To yolá klesáí hladiy. Pokles hladiy ustae aţ hladia bude rocházet hraou, řes íţ kaalia začala ytékat. Hladioá locha tlaku ozduší rochází tedy tomto říadě místem, řes které kaalia začala ytékat. 0
VŠB TU Ostraa, Fakulta strojí Tlak kaaliy liboolém místě se yočte z difereciálí roice tlakoá fukce, do íţ se dosadí dříe uedeé odmíky a = -a ; a y = -g ad gdy a. g y kost d. Pro zoleý očátek souřadic (urostřed da ádoby) je itegračí kostata dáa touto okrajoou odmíkou: místě y = h o ; 0, je relatií tlak = 0; je tedy kost = gh0 a tlak liboolém místě ádoby je urče tlakoou fukcí a. gh0 y. ( 5.) g Teto ýraz je formálě shodý s tlakem kaaliě, a iţ ůsobí je tíţe zemská. Ašak eličia h je sislá zdáleost uaţoaého bodu od hladiy tlaku ozduší, coţ je skloěá roia. Teto ozatek se dá zobecit. Vyšetřeím hladiy tlaku ozduší (rozhraí kaaliy a ozduší) stáá se relatií klid kaaliy říadem hydrostatickým, a lze roto ouţít šechy dříe odozeé ozatky o ýočtu tlaku, tlakoé síle a lochy aod. 5.. Pohyb rooměrý, kruhoý Válcoá ádoba alěá zčásti kaaliou se otáčí rooměrě kolem sislé osy. Předokládá se, ţe šechy částečky kaaliy se ohybují uášiou rychlostí odoídající oloměru, a kterém se achází. Při otáčiém ohybu ůsobí a kaţdou částečku kromě tíţe zemské odstředié zrychleí (u = r.). I kdyţ jde o rostoroý ohyb, lze řešit teto relatií klid kaaliy roiě, rotoţe je stejý e šech roiách, které rocházejí osou rotace. Odstředié zrychleí ůsobící a částečku kaaliy a oloměru r je a O = r.. Jeho elikost se měí s oloměrem, a roto ýsledice zrychleí bude a růzých álcoých lochách růzá jak co do elikosti, tak i směru. Je sadé odhadout, ţe tomto říadě hladioé lochy ebudou roiami obr. 5.A. Obr. 5. Relatií klid, rooměré otáčeí kol osy ádoby Protoţe zrychleí jsou a od r. ; a y g je difereciálí roice hladioých loch r.. dr g. dy 0, její itegrál je
VŠB TU Ostraa, Fakulta strojí r. g. y kost. K určeí itegračí kostaty je okrajoá odmíka r = 0, y = h 0, čili kost. = - gh 0 a roice hladioých loch ro zoleý očátek souřadic je r. gy h0 0, coţ je roice araboly. Hladioé lochy jsou rotačí araboloidy. Výška araboloidu H měřeá a lášti álcoé ádoby, tj. a oloměru r = R se určí z osledí roice R u H. ( 5.3) g g Z téţe roice se dostae ýška araboloidu h a liboolém oloměru r. r h y h0. ( 5.4) g Výška rotačího araboloidu a určitém oloměru je roa rychlostí ýšce a tomtéţ oloměru. Hladioá locha tlaku ozduší se určí stejě jako ředcházejícím říadě. Jestliţe z ádoby emůţe kaalia ytékat, musí být objem kaaliy řed ohybem a za ohybu stejý. Před ohybem je ádobě objem kaaliy V = SH 0. Za ohybu je objem V = S(h 0 +H) V, kde V začí objem rotačího araboloidu, který se roá oloičímu objemu osaého álce, V S. H. Z osledích roic ylýá ři roosti objemů S. H0 Sh0 H S. H H0 h0 H. To zameá, ţe ůodí hladia tlaku ozduší za klidu ůlí ýšku araboloidu H, ředstaujícího oou hladiu tlaku ozduší. Tlak kaaliě se určí z difereciálí roice tlakoé fukce d r. dr g. dy, ( 5.5) o itegraci je tlakoá fukce r. y y kost. g Okrajoá odmíka, která se staoí o určeí oé hladioé lochy tlaku ozduší, ro r = 0, y = h 0 je = 0, čili itegračí kostata je kost. = h 0. Tlakoá fukce je tedy r. g h0 y. ( 5.6) g Můţe-li kaalia během ohybu zčásti ytéci z ádoby, aleze se oloha hladioé lochy tlaku ozduší stejě jak bylo určeo dříe: musí rocházet místem, kde kaalia začala řetékat, tj. horím okrajem ádoby. Při kostrukci odstřediek se olí otáčky odstřediky takoé, aby latilo ţe a od g, otom odle obr. 5.B hladioá locha atmosférického tlaku z rotačího araboloidu řejde lochu álcoou. Aby kaalia z ádoby eytekla, musí být horí části oatřea límcem, který má e středu otor ro sadější maiulaci s kaaliou. Při ýočtu elikosti tlaku a álcoé loše o obecém oloměru r obr. 5.B yjdeme z difereciálí roice tlakoé fukce ( 5.5), kde zaedbáme tíhoé zrychleí g
d r. dr, VŠB TU Ostraa, Fakulta strojí o itegraci je tlakoá fukce. r. dr kost. Pro okrajoou odmíku r = R = a, otom itegračí kostata má elikost kost a. R., o jejím dosazeí do ůodí roice ro tlakoou fukci dostaeme a. r R. ( 5.7) Pro staoeí elikosti tlaku a lášti bubu yjdeme z odmíky, ţe r = R, o dosazeí do ředcházející roice je tlak urče ztahem a. R R. ( 5.8) V techických alikacích je odstředika často ouţíaé zařízeí, můţe mít lý ebo erforoaý lášť. V odstředikách s lou stěou bubu se mohou rozděloat usazoáím suseze ebo emulze oli odstředié síly. Fáze s ětší hustotou ytoří usazeu u stěy bubu, fáze s meší hustotou ytoří rstu u hladiy. Usazoací odstřediky se ouţíají a děleí emulzí, k čistěí kaali s malým moţstím tuhých říměsí. U filtračí odstřediky s erforoaou stěou bubu se suseze dělí filtrací oli odstřediých sil. Na itřím orchu bubu je filtračí lachetka ebo síto, tuhá fáze toří koláč, kaalá fáze rotéká koláčem mimo rosto bubu, odkud se odádí. Odstřediky mohou racoat s kotiuálím ebo řerušoaým roozem. Obr. 5.3 Odstředika ro obohacoáí urau Uţití odstřediek je edle růmysloých alikacích, uţíáo laboratořích, medicíě a od. Odstřediky se yuţíají také ro obohacoáí urau, tomto říadě se ura obohacuje eřímo řes ly UF 6. Aby obohacoáí bylo efektií a ýkoé, řadí se odstřediky do kaskády, u reálých zařízeí a obohacoáí urau je očet odstřediek i ěkolik desítek tisíc. Následující obrázek obr.5.3a ukazuje sadu odstřediek ro obohacoáí urau Noosibirsku, obr. 5.3B USA a obr. 5.3C ak ukazuje schéma kotiuálě racující lyoé odstřediky. 3
VŠB TU Ostraa, Fakulta strojí Hydrodyamika Hydrodyamika se zabýá ohybem kaali eboli rouděím. Hydrodyamika uţším smyslu sloa řeší teoreticky rouděí kaali matematickými metodami. Alikoaá hydrodyamika řihlíţí íce a skutečé oměry, oírá se o ýsledky eerimetálích rací a yuţíá teoretické ozatky a je azýáa téţ hydraulikou. 6. Klasifikace rouděí a základí ojmy 6.. Základí ojmy Prouděí se yšetřuje rostoru, roiě ebo o křice buď sledoáím ohybu určité částice kaaliy jako hmotého bodu, ebo se sleduje celý roud určitém časoém okamţiku. ráha eboli trajektorie je obecě čarou, kterou robíhá částice tekutiy. Za ustáleého rouděí se dráhy částic eměí s časem, zatím co u eustáleého rouděí mohou být kaţdém časoém okamţiku odlišé obr.6.. Obr. 6. ráha částice Obr. 6. Proudice Obr. 6.3 Sloţky rychlosti Proudice obr. 6. jsou obálkou ektorů rychlostí a jejich tečy udáají směr ektoru rychlosti. U eustáleého rouděí ytářejí roudice růzé částice a ejsou totoţé s drahami částic. U ustáleého rouděí se eměí rychlosti s časem, a roto mají roudice stále stejý tar a jsou totoţé s drahami částic. Matematické yšetřeí roudice je moţé řešeím difereciálí roice, která ylýá z odobosti trojúhelíků sloţek rychlosti a elemetárích drah e směru říslušých os obr. 6.3 d : dy : dz : :. (6.) y z Proudoá trubice je tořea sazkem roudic, které rocházejí zoleou uzařeou křikou k. Plášť roudoé trubice má stejé lastosti jako roudice obr. 6.4. Obr.6.4 Proudoá trubice 4
VŠB TU Ostraa, Fakulta strojí Protoţe směr rychlosti je dá tečami k roudicím, je kaţdém bodě láště roudoé trubice ormáloá sloţka rychlosti uloá =0. Nemůţe tedy ţádá částice rojít roudoou trubici. Proudoá trubice rozděluje rostoroé roudoé ole a dě části.jedu toří itřek roudoé trubice. Částice tekutiy emohou řetékat z jedé části roudoého ole do druhého, a roto latí, ţe šechy částice rotékající růřezem S roudoé trubice, musí rotékat liboolými růřezy S, S, téţe roudoé trubice. Jestliţe růřez roudoé trubice S0, dostae se roudoé láko. Proudoá trubice ředstauje omyslé otrubí. 6.. Rozděleí rouděí Prouděí kaali je moţo rozdělit odle ěkolika hledisek obr. 6.5 Obr. 6.5 Rozděleí rouděí Schématicky je oteciálí rouděí (eířié) uedeo a obr. 66A částice se ohybují římočaře ebo křiočaře o dráhách tak, ţe ůči ozoroateli se eotáčejí kolem lastí osy. Natočeí částice a křié dráze je komezoáo stejě elkým atočeém částice kolem lastí osy, ale oačém smyslu. Mezi oteciálí rouděí atří roěţ oteciálí ír, u ěhoţ částice krouţí kolem íroého láka oteciálě s ýjimkou částice, která toří láko - obr. 6.6B. Vířié rouděí částice se ůči ozoroateli atáčejí kolem lastích os obr 6.7 Obr.6.6 Poteciálí rouděí Obr.6.7 Vířié rouděí Při lamiárím rouděí se částice ohybují e rstách (deskách), aiţ se řemísťují o růřezu obr. 6.8. U turbuletího rouděí, kde částice mají kromě ostué rychlosti turbuletí (fluktuačí) rychlost, jíţ se řemísťují o růřezu.- obr. 6.9. Prouděí ustáleé (stacioárí), které je ezáislé a čase (t); 0, aoak t eustáleé rouděí (estacioárí ), u ěhoţ eličiy jsou záislé a čase = (,y,z,t); = (s,t); = (t). 5
VŠB TU Ostraa, Fakulta strojí Obr.6.8 Lamiárí rouděí Obr.6.9 Turbuletí rouděí 6.3. ruhy rouděí skutečých tekuti Jak jiţ bylo uedeo dříe, skutečá tekutia můţe roudit buď lamiárě ebo turbuletě. Eisteci obou rouděí ázorě ukazuje Reyoldsů okus obr. 6.0. o roudící tekutiy kruhoém otrubí se řiádí tekou trubičkou obareá tekutia. Při malých rychlostech roudu zůstae bareé láko eorušeo, z čehoţ ylýá, ţe ohyb se děje e rstách a částice tekutiy se eromícháají. Obr. 6.0. Reyoldsů okus Zětší-li se rychlost ad její kritickou hodotu, dochází k iteziímu míšeí částic ásledkem jejich odruţých (turbuletích) ohybů e šech směrech. Částice tekutiy eustále řecházejí z jedé rsty do druhé, řičemţ dochází k ýměě kietické eergie a jejich rychlosti o růřezu se začě yroáají. Takoé rouděí je turbuletí. Protoţe ři řemístěí částic dochází téţ ke změě hybosti, coţ se rojeuje brzdícím účikem, bude ýsledý odor roti ohybu ětší eţ odoídá smykoému aětí od azkosti ři lamiárím rouděí. Obr. 6. Rychlostí rofil otrubí Obr. 6. Záislost E = f () Oba druhy rouděí se liší jak rychlostím rofilem tak i elikostí hydraulických ztrát. U lamiárího rouděí otrubí je rychlostí rofil rotačí araboloid. U turbuletího rouděí se rychlosti částic yroáají iteziím řemísťoáím sojeým s ýměou 6
VŠB TU Ostraa, Fakulta strojí kietické eergie. Rychlostí rofil turbuletího roudu otrubí se roto íce odobá obdélíku, a to tím íce, čím ětší je turbulece, tj. čím ětší je Re číslo obr. 6.. U lamiárího rouděí je hydraulický odor roti ohybu lieárě záislý a rychlosti, u turbuletího rouděí je záislý a druhé mociě rychlosti obr. 6.. Poměry, ři íţ dochází ke kalitatiím změám rychlostího rofilu a záislosti odoru, tj. ři řechodu lamiárího rouděí turbuletí, jsou ro určité otrubí a tekutiy dáy kritickou rychlostí. Z okusů i teorie odobosti ylýá, ţe řechod lamiárího rouděí turbuletí je určeo Reyoldsoým kritickým číslem. Reyoldsoo číslo jak bude d odozeo ka. 8 je defioáo ztahem Re, kde je středí rychlost tekutiy, d je charakteristický rozměr (ař. ři rouděí otrubí jeho růměr), je kiematická azkost roudící tekutiy. Pro rouděí kruhoém otrubí kritická hodota Reyoldsoa čísla je Re = 30. Při rouděí skutečé tekutiy mezi děma roiými deskami (obr. 6.3) z ichţ jeda se ohybuje rychlostí u a druhá stojí, mají částice lící a orchu desek jejich rychlosti. To zameá, ţe a ohybující se desce má částice kaaliy rychlost u, zatímco a stojící je rychlost částice uloá. Pro ostatí částice kaaliy, které roudí mezeře mezi deskami, jsou rychlosti rozloţey lieárě. Pohybující se částice strháá sousedí částice do ohybu y důsledku azkého třeí. Rychlost částice e zdáleosti y od stojící desky bude u. h Smykoé aětí od azkosti je odle Newtoa yjádřeo ztahem d u (6.) dy h Obr. 6.3 Rozloţeí rychlosti ři lamiárím rouděí mezi děmi deskami Obr. 6.4 Rychlostí rofil a tečé aětí Třecí síla F t, kterou ůsobí azká kaalia a desku o loše S, a kterou je uto ři ohybu desky řekoat, je určea ztahem F t = S. s. V obecém říadě je rychlost tekutiy určea fukcí = (y), a smykoé aětí liboolé zdáleosti od stěy Newtooým ýrazem. Grafické zázorěí růběhu rychlosti = (y) je rychlostím rofilem - obr. 6.3. Účiek azké kaaliy a obtékaé lochy je záislý a elikosti smykoého aětí a obtékaé stěě, jeho elikost je dáa ztahem d s. dy y 0 eriace, azýaá také gradiet rychlosti d dy y0 7
VŠB TU Ostraa, Fakulta strojí je směricí tečy k rychlostímu rofilu a obtékaém orchu obr. 6.4. Při tomto rouděí se ředokládá, ţe ekoečě teké rsty kaaliy klouzají jeda o druhé, takţe se ohybují e rstách lamiárě (lamia-rsta). Obr.6.5. Reologické lastosti kaali Záislost smykoého aětí záislosti a gradietu rychlosti kolmém směru a ohyb d je yjádřea grafu f - obr. 6.5. Sklo udáá dyamickou iskozitu tekutiy. dy Všechy tekutiy, které yhoují Newtoou zákou iskozity, se azýají ewtoské. V techické rai se dosti často yskytují látky, jejichţ záislost smykoého aětí a gradietu rychlosti se edá yjádřit Newtooým ztahem. Říká se jim eewtoské kaaliy či aomálí a jejich reologické lastosti jsou yjádřey grafem ebo jsou osáy matematickými modely. 8
VŠB TU Ostraa, Fakulta strojí 7. Prouděí ideálí tekutiy Mechaika tekuti stejě jako klasická mechaika hmotého bodu ychází ze tří základích riciů a to zákoa zachoáí hmoty (roice sojitosti), hybosti (Euleroa roice hydrostatika a hydrodyamiky) a eergie (Beroulliho roice). Proto se často literatuře tyto roice ozačují jako zákoy zachoáí. Tyto roice jsou ještě dolěy hybostí ětou. 7.. Roice kotiuity sojitosti Roice kotiuity, často azýaá také roice sojitosti, yjadřuje obecý fyzikálí záko o zachoáí hmotosti. Pro kotrolí objem, kterým roudí kaalia, musí být hmotost tekutiy kostatí, a tedy její celkoá změa uloá. U kotrolího objemu mohou zikout dě změy hmotosti, a to lokálí kotrolím objemu samém (tekutia se stlačuje ebo rozíá) a koektií změa hmotosti, zůsobeá rozdílem řiteklé a yteklé hmotosti z kotrolího objemu. Obě změy musí dáat uloou změu hmotosti, coţ je moţé je tehdy, kdyţ jsou obě dílčí změy stejě elké, ale oačého zaméka, tj. jeda zameá zětšeí a druhá zmešeí hmotosti. Roici kotiuity je moţé defioat také tak, ţe rozdíl stuující hmotosti do kotrolího objemu a ystuující hmotosti z kotrolího objemu je roe hmotosti, která se tomto kotrolím objemu akumuluje. V techické rai se ejčastěji yskytují říady jedorozměrého rouděí, méě časté je ak rouděí roié či rostoroé. Roice kotiuity ro jedorozměré rouděí Uaţuje se jedorozměré eustáleé rouděí stlačitelé tekutiy roudoou trubicí s roměým růřezem - obr.7.. Na í ytkeme elemetárí část ohraičeou stuím růřezem S a elemetárí délkou ds. Elemetárí kotrolí objem toří áleček, jehoţ základami rotéká tekutia. Plášť kotrolího objemu je toře roudicemi, a roto tok touto částí kotrolí lochy je uloý, eboť latí = 0 a celém lášti. Rozloţeí rychlosti o růřezu roudoé trubice uaţujeme rooměré. Obr. 7. Průtočý růřez a rychlost Při erooměrém rozloţeí rychlosti o růřezu uaţujeme její středí rychlost. Na dráze ds se ůodí rychlost změila a elikost ( ds), odobě se změila i hustota s ( S ds) a růřez roudoé trubice ( S ds). Hmotost kaaliy, která řiteče do s s kotrolího objemu za čas dt, je určea ztahem dm s. S.. dt. 9