6. cvičení z PSI 7. -. lisopadu 6 6. kvanil, sřední hodnoa, rozpyl - pokračování příkladu z minula) Náhodná veličina X má disribuční funkci e, < F X ),, ) + 3,,), a je směsí diskréní náhodné veličiny U a spojié náhodné veličiny V, konkréně X Mix 7 U,V). Pro X, U a V najděe kvanilové funkce, sřední hodnoy a rozpyly. Řešení: Kvanilová funkce pro veličinu X je definována jako q X α) ) sup{x R Fx) α}+inf{x R Fx) α} pro α,). Tao definice vypadá poněkud složiě, ale je o jen kvůli případným bodům nespojiosi funkce Fx). Pro zbylé body plaí následující: Věa: Disribuční funkce F X a kvanilová funkce q X jsou vůči sobě navzájem inverzní am, kde jsou spojié a osře rosoucí. Obecněji pak plaí následující: graf kvanilové funkce q X získáme z grafu disribuční funkce F X ako graf F X doplníme na souvislou čáru, j. skoky funkce F X nahradíme spojiou svislou úsečkou, eno úvar převráíme podle osy. a 3. kvadranu j. podle přímky x y ), am, kde převrácený úvar není funkcí j. obsahuje svislé čáry) yo úseky odsraníme a nahradíme jedinou hodnoou, a sice průměrem limi z práva a zleva případné krajní úseky v bodech α a α odsraníme úplně, proože am se kvanil nedefinuje). V našem případě edy graf F X : F X )
přejde na a dosaneme graf q X : q X u) u Kvanilovou funkci určíme aké explicině a o ak, že najdeme příslušné inverze, j. vyjádříme u z rovnic e u a + 3 u: lnu), u, ) q X u), u, ), u 3u, u, 3 ), u 3,). Jesliže nyní budeme uvažova Kolmogorův model na inervalu Ω, ) s rovnoměrným rozdělením pravděpodobnosi, můžeme kvanilovou funkci q X : Ω R chápa jako jeden ze způsobů, jak si předsavi veličinu X, j. q X je nyní náhodná veličina se sejnou disribuční funkci jako má X skuečně je F qx F X ) - j. q X je jeden z modelů veličiny X. Tao předsava má u výhodu, že na Ω,) můžeme běžně inegrova. Díky omu, že inerval,) má délku jedna, bude sřední hodnoa z q X jednoduše inegrál z éo funkce. Dosáváme ak jiný pohled na o, proč je EX) q Xu) du. Navíc pro každou inegrabilní j. rozumnou ) funkci h : R R máme, že EhX)) hq Xu)) du. Neboli s kvanilem můžeme zacháze opravdu úplně sejně jako s původní veličinou. Proože máme určen kvanil, můžeme ho využí pro výpoče sřední hodnoy EX): Page
EX) [ 3u lnv dv + q X u) du ] u 3 3 lnu) du+ 3u du+ 3 du + ) [ ] vlnv ) 3 + + 5..8. Sřední hodnoa odpovídá edy ploše určené kvanilem a a se dá při překlopení podle osy. a 3. kvadranu spočía i z disribuční funkce jako EX) F X ) d+ FX ) ) d. To má u výhodu, že nemusíme určova kvanil, ani veličinu rozkláda na diskréní a spojiou složku. Pro rozpyl plaí X ) ) DX) E EX) EX ) EX)). Můžeme sice opě využí kvanil, ale enokrá si vyzkoušíme jiný vzorec: e d+ [ )e ] a rozpyl edy bude EX ) F X ) d+ + [ ] + [ 3 ) d+ F X ) ) d + 3 ) d+ d )] 3 3 + 8 + 9 3 ) 67..93. 7 ) DX) EX 67 5 ) ) EX) 7 5..887. 576 Výpoče pro diskréní čás U: z disribuční funkce F U F U ) určíme graf q U : Page 3
q U u) u Expliciní var q U : q U u), u, 3 7 ), u 3 7, u 3 7,). Sřední hodnou EU) a rozpyl DU) ed pro změnu spočíáme způsobem, kerý je obvyklejší pro diskréní veličiny, edy přes pravděpodobnosní funkci kerá má nenulové hodnoy p U ) 3 7 a p U ) 7 ): EU) R p U ) 3 7 + 7 7 EU ) R p U ) 3 7 + 7 7 DU) EU ) EU) ) ) 7 7 9. Výpoče pro spojiou čás V: z disribuční funkce F V F V ) určíme graf q V : Page
q V u) u Expliciní var q V : q V u) ln 5 3 u),, 3 5 ), 3 5 5u, 3 5,). Sřední hodnou EV) a rozpyl DV) opě spočíáme obvyklým způsobem přes husou kerá má nenulové hodnoy f V ) 3 5 e pro a f V ) 5 pro, ): EV) f V ) d 3 5 e d+ 3 5 + 3 3.3 5 d 3 [ )e ] [ ] 5 + 5 EV ) f V ) d 3 5 e d+ 6 5 + 7 3 3 3 5 d 3 [ +)e ] [ 3] 5 + 5..33 DV) EV ) EV) ) 3 3 3 ) 3 3..33. Opě si můžeme názorně inerpreova sřední hodnou EV) spojié veličiny V, kerá má husou f V, jako x-ovou souřadnici zelený bod) ěžišěplochy, kerá je určena grafem husoy f V : f V ) Page 5
Celkově si výsledky ješě můžeme překonrolova pomocí vzahu pro sřední hodnou a rozpyl směsi X Mix c U,V): EX) ceu)+ c)ev) ) DX) cdu)+ c)dv)+c c) EU) EV) Odvození pro rozpyl: DX) EX ) EX) ) ceu )+ c)ev ) ceu)+ c)ev)) c DU)+ EU) ) ) + c) DV)+ EV) ) ) [ c EU) ) +c c)eu)ev)+ c) EV) ) ] cdu)+ c)dv)+c c) EU) EV)). V našem případě edy skuečně pro c 7 dosaneme: veličina X U V E ) 5 7-3 D ) 5 576 9 3 3 EX) 7 7 + 5 3 DX) 7 9 + 5 3 3 + 7 ) 5 7 + 3 5 7 + 3 5 + 6 35 5 576. ) 6. Hypergeomerické rozdělení) Mezi M výrobky je K vadných. Jaká je pravděpodobnos, že mezi m náhodně vybranými výrobky je právě k vadných? Určee, k čemu se blíží hodnoa pravděpodobnosi pro pevné k a m pokud M a K/M q, kde q. Jak byse eno výsledek inerpreovali? Řešení: Pravděpodobnos bude dána podílem příznivých možnosí ku všem. Příznivé jsou dány počem způsobů jak vybra k výrobků z K vadných násobeno počem způsobů jak vybra zbyek, j. m k výrobků z M K bezvadných. Celkem edy K M K ) k) p K,M k,m) Rozdělení náhodné veličiny X, kerá označuje poče vadných výrobků ve vybraném vzorku m výrobků z množiny M obsahující K vadných výrobků), se nazývá hypergeomerické. Tedy M m) m k PX k) p K,M k,m). Page 6
Určíme ješě limiu ze zadání: lim p K,Mk,m) lim M M m! k!m k)! k i K i) m k m ) k m m k K i lim k M M i M K j M k j i j j M K j) i M i) ) m q k q) m k k proože uvažujeme, ze k a m jsou pevné a předpokládáme, ze K/M q pro M. Dosáváme edy známe binomické rozdělení, keré v omo případě odpovídá liminí siuaci, kdy aháme výrobky z nekonečného množsví s určeným podílem q vadných. Při n pokusech jsme předpokládali, ze výrobky NEVRACÍME anebo je prosě vyáhneme všechny naraz). Jak ale vidíme, i přeso jsme dosali rozdělení pravděpodobnosi, keré používáme, když opakovaně uskuečňujeme enýž pokus vždy za STEJNÝCH podmínek např. opakovaněvyahujeme z osudí koule a VRACÍME je vždy zpáky). To je ím, ze v obrovském množsví výrobků M se už v limie zraí o, jesli am ěch pár výrobků m vráíme nebo ne proože m << M). 6.3 Poissonovo rozdělení) Kolem okna projíždí aua. Průměrně jich projede 6 za minuu. Určee pravděpodobnos, že a) jich za minuu projede méně než 3, b) během dvou minu neprojede žádné. c) Pokud průměrný poče au bude 6.8 za minuu, kerá celočíselnáhodnoa k N poču au bude nejpravděpodobnější? Řešení: Máme edy veličinu X poče událosí v daném časovém úseku, U éo veličiny můžeme předpokláda Poissonovo rozdělení PX k) λk k! e λ s bezrozměrným) paramerem λ >, pokud jsou splněny následující podmínky událosi je možné odděli inervaly sejné délky j. pravděpodobnos, ze nasane více než jedna událos v ěcho malých inerválcích je nulová), výsky dané událosi je nezávislý na minulých výskyech, událosi pocházejí z velkého pocu zdrojů. V praxi jde např. o příchod zákazníka do frony, chyání ryb, průjezd au ad. během nějaké předem určené doby. Paramer λ pak předsavuje sřední hodnou j. EX) k). Poissonovo rozdělení je vešinou spíše liminí případ a používá se jako aproximace binomického rozdělení Bin, p) u kerého neznáme n a p a kde n je dosaečně velké. V našem případě je edy λ 6 jde o bezrozměrné číslo). Page 7
a) PX < 3) PX )+PX )+PX ) e λ ) +λ+ λ! e 6 ) +6+ 6 5e 6..6 b) Zde je inerval delší a během něj je očekávaná sřední hodnoa λ. Takže PX ) e λ e. 6. 6. c) Proože pro rozdělení pravděpodobnosí plaí PX k) λk k! e λ λ PX k ) k pro k,,..., ak hodnoy s nejvyšší pravděpodobnosí budou: { λ,λ R\N k λ,λ,λ N Pokud edy máme λ 6.8, ak kupodivu hodnoa, kerá má nejvyšší pravděpodobnos bude k 6.8 6 a nikoliv bližší zaokrouhlena sřední hodnoa EX). 7. To ale není žádný rozpor. Sřední hodnoa prosě nemusí odpovída v zaokrouhlení) hodnoě s nejvyšší pravděpodobnosí. Zdůvodníme si ješě, proč má Poissonovo rozdělení akový zápis, jaký má. Časový inerval si rozdělíme na n dílků ak malých, aby v každém byla maximálně jedna událos se sejnou pravděpodobnosí p n. Dosaneme ak binomické rozdělení veličiny X n poče událosí v daném časovém úseku rozděleném na n dílků se sřední hodnoou λ EX n) n p n, kerou si vezmeme jako pevnou a Poissonovo rozdělení si definujeme jako limiu: n ) PX k) lim PXn k) lim p n n n) k p n) n k n! λ ) k lim k n k!n k)! λ n k n n) λk lim λ ) n λ ) k k k! n n n i n i n ) λk k! e λ. Odsud je i vidě, kdy se dá Poissonovo rozdělení použí jako aproximace binomického. Pořebujeme, aby: λ., i. pro i k a λ ) n. e λ neboli n ln λ. λ) n n n n) edy sručně řečeno, aby λ << n a k << n. Pokud edy kolem okna projede za celý den velké množsví au n, pak během kráké doby bude jejich sřední poče λ malý. Pokud nás budou zajíma jen pravděpodobnosi malých počů k, můžeme s klidem použí Poissonovo rozdělení. 6. aproximace binomického rozdělení Poissonovým) Na elefonní úsřednu je napojeno n 3 účasníků. Každý z nich bude vola během hodiny s pravděpodobnosí p.. Jaká je pravděpodobnos oho, že během hodiny zavolají právě účasníci? Řešení: Budeme předpokláda, ze účasníci volají nezávisle. Jde o binomické rozdělení a pravděpodobnos Page 8
bude PX ) ) n p p) n 3 )..99 96. Proože zde násobíme velká čísla malými, případně počíáme vysoké mocniny, nabízí se pro výpoče použí aproximaci pomoci Poissonova rozdělení. Paramerem bude sřední hodnoa binomického rozdělení, j. λ EX) n p 3. 3. Hodnoy λ 3 i k jsou malé ve srovnání s n 3. To nás opravňuje použí uo aproximaci. Dosáváme ak PX ). λ! e λ 3.! e 3.68. 6.5 exponenciální rozdělení, ransformace veličiny) Náhodná veličina X má exponenciální rozdělení s disribuční funkcí, F X ) e, >. Popiše rozdělení náhodné veličiny Y X a sanove její sřední hodnou a rozpyl. Řešení: Najdeme rozdělení veličiny Y X: F Y ) PY ) P X ) P ) X P X < ) F X ) Pro je edy F Y) a pro > máme F Y) e ) ) e. Celkově edy dosáváme e, < F Y ),. Graf F Y si snadno nakreslíme: F Y ) ale je dobré si uvědomi, že pro var F Y ) F X ) ) lze F Y získa z grafu F X : Page 9
F X ) následující posloupnosí ransformací: g a) : F X a) g b) : g b) F X b) graf g se oočí kolem osy y a -krá se rozáhne podle sředu ve směru osy x) g c) : g c ) F X c )) graf g se posune o vekor,), j. doprava o ) g 3 d) : g d) F X d ) ) F Y d) graf g se oočí kolem osy x a posune nahoru o ) Proože ransformace nezávisle proměnné lze vyjádři aké jako F X )) F X + )), můžeme na začáku alernaivně použí eno posup: g b) : g +b) F X +b) graf g se posune o vekor,), j. doleva o ) g c) : g c) F X + c)) graf g se oočí kolem osy y a -krá se rozáhne podle sředu ve směru osy x) Evidenně máme g c) g c). Poslední ransformace j. že graf g se oočí kolem osy x a posune nahoru o ) zůsává sejná. Proože veličina Y se získá z X jako Y hx), kde hx) x je osře) klesající spojiá funkce, mohli jsme k odvození F Y a jejího grafu použí aké vzahu známého z přednášky, a sice: F Y ) F hx) ) F X h )) kde h y) y je inverze k h j. vypočíaná ze vzahu y x.) Určíme ješě sřední hodnou enokrá pro změnu z disribuční funkce): EY) F Y )d+ FY ) ) d e d+ e ) d [e ] Mohli jsme aké využí, že X má exponenciální rozdělení s paramerem τ a sřední hodnoou EX) τ. Pak bychom opě měli EY) E X) EX). Pro rozpyl můžeme jednoduše využí, že DX) τ, akže DY) D X) D X) ) DX). Exponenciální rozdělení popisuje pravděpodobnos veličiny X doba mezi dvěma následnými výskyy událosi, Page
pokud událosi nemají pamě. Tedy o, co se sane od určiého okamžiku nezávisí na om, co bylo předím. V praxi jde např. o o, že zařízení, keré se neopořebovává např. polovodičové součásky), bude mí poruchu nebo o dobu radioakivního rozpadu ad. Exponenciální rozdělení je jediné, keré splňuje následující rovnici: PX > x+y X > y) PX > x) pro všechna x, y >. Rovnice vyjadřuje o, že pravděpodobnos, že zařízení bude bez poruchy pracova x hodin je sejná v případě, že jsme jej právě zapnuli jako za předpokladu, že předím už bez poruchy pracovalo y hodin. Exponenciální rozdělení je charakerizováno paramerem τ > s fyzikálním rozměrem času), kerý předsavuje sřední dobou čekání, edy EX) τ a dále ješě plaí DX) τ. Husoa je pak dána jako, f X ) τ e τ, >. Diskréní analogií exponenciálního rozdělení je geomerické rozdělení, keré neměří čas spojiě ale pouze diskréně. Lze ho aké chápa jako: X poče neúspěšných pokusů než nasane první úspěch, např. házení míče na koš ad. Je o opě jediné akové diskréní rozdělení splňující analogickou rovnici: PX > k +n X > n) PX > k) pro všechna k,n N s podobným významem jako u exponenciálního rozdělení. 6.6 ransformace spojié veličiny) Náhodná veličina X má rovnoměrné rozdělení na inervalu, ). Zobrazíme ji funkci h, definovanou následovně:, x < hx) x, x, x >. Nalezněe rozdělení náhodné veličiny Y hx). Řešení: a) Kráké řešení: Proože Y hx), ak F Y ) PhX) ) {, <,. Pro,) máme hx) X < X, & X )) X < X, & X )) X a udíž F Y ) PhX) ) PX ) F X ). Ted užsačíjen dosadiza F X. ProoževeličinaX je spojiá s konsanníhusoou na inervalu,), ak její disribuční funkce F X bude lineární na omo inervalu. Jinak bude konsanní a celkově spojiá: Page
F X ) Tedy, < + F X ),,, >. a po dosazení dosaneme:, < F Y ) +,,),. F Y ) Veličina Y hx) edy kupodivu nemá spojié rozdělení ale smíšené, přesože veličina X je absoluně) spojiá a i funkce h je spojiá. Abychom omu porozuměli, podíváme se na kvanil. Kvanil q X je spojiý: q X u) u A edy i kvanil q Y q hx) hq X ) je spojiý: Page
q Y u) u Ale proože je mísy konsanní, ak F Y má skoky. b) Řešení použielné i pro obecnější případy: Pro disribuční funkci veličiny Y hx) máme ) ) F Y ) PY ) PhX) ) P hx), P X h, Podíváme se proo, jak vypadají množiny h,. To snadno uvidíme z grafu funkce h: hx) x Když uřízneme z grafu všechno, co je nad danou hladinou a zbyek promíneme na vodorovnou osu, dosaneme právě hledanou množinu. Tedy: R, h,,, <, <. Takže můžeme psá: ) F Y ) P X h, PX R), P X, ) F X ), < PX ), <. Zbyek posupu už pak bude sejný jako v předchozím případě. 6.7 nezávislé diskréní veličiny) Náhodné veličiny X a Y jsou nezávislé a mají diskréní rozdělení s pravděpodobnosními funkcemi a - p X a).3.7 b 3 p Y b)..5.35 Vypočee sřední hodnou součinu EXY), pravděpodobnosní funkci náhodné veličiny Z X +Y a koeficien korelace ρx,y). Page 3
Řešení: Veličiny jsou nezávislé, proo můžeme psá: EXY) EX) EY) EX) a Ra p X a) ).3+3.7.8 EY).+.5+3.35.5 akže EXY).8.5.7. Pro pravděpodobnosní funkci náhodné veličiny Z X + Y máme: p Z c) PX +Y c) a+bc PX a & Y b) a+bc p X a) p Y b) Hodnoy c, kerých nabývá veličina Z, jsou všechny možné součy hodno od veličiny X a od veličiny Y. Takže dosáváme c - 3 5 možné rozklady a + b c -+ -+ +, -+3 + +3 px a)p Y b).3..3.5.7.+.3.35.7.5.7.35 p Z c).6.35.5.35.5 Proože veličiny jsou nezávislé, koeficien korelace je ρx,y) plyne ihned ze vzahu ρx,y) EXY) EX) EY) ). DX) DY) Page