Zkou²ková písemná práce. 1 z p edm tu 01MAB4 25/05/2017, 9:00 11:00 ➊ (9 bod ) Nech je dvojrozm rná Lebesgueova míra generována vytvo ujícími funkcemi φ(x) = Θ(x)x 2 a ψ(y) = 7y. Vypo t te míru mnoºiny M = ( ) x 2 5/2 (x, y) R2 : a 2 + y2 b 2 x2 a 2 y2 b 2. Pro volbu a = 5, b = 9 mnoºinu M také na rtn te. K vykreslení pouºijte obrázek p iloºený na samostatném papí e. ➋ (9 bod ) Parciální diferenciální rovnici transformujte vztahy x 2 2 u x 2 y2 2 u y 2 + x u x y u y 4y2 u(x, y) = 0 ξ = xy, η = y, w = xy + u(x, y). x Neopome te stanovit maximální mnoºinu regularity zadané transformace. ➌ (9 bod ) Aplikací v ty o derivaci integrálu s parametrem a teorie diferenciálních rovnic vypo t te 0 e x2 e β2 x 2 dx. ➍ (8 bod ) Nech a > 0. Vypo t te integrál 1 R 3 (1 + a 2 x 2 + y 2 + z 2 ) 2 dxdydz. ➎ (8 bod ) Vypo t te kde H x 2 y 2 z dµ c (x, y, z), H = { (x, y, z) R 3 : x 2 + y 2 + z 2 = R 2 z > 0 x = y }. ➏ (7 bod ) Nech je funkce f (x, y) zadána p edpisem { xy + 2x 7y... (x, y) (0, 0), f (x, y) = x 2 +y 2 0... (x, y) = (0, 0). Nech s = (1, 2). Vypo t te 1 ( ) s grad f (0, 0) s a poté parciální derivaci ve sm ru s v bod (0, 0). Diskutujte vztah obou vypo tených ísel. Vyvo te relevantní záv ry.
Zkou²ková písemná práce. 2 z p edm tu 01MAB4 30/05/2017, 9:00 11:00 ➊ (10 bod ) Vypo ítejte plo²ný integrál S (x; y; z) dµ s (x, y, z), S = {(x, y, z) E 3 : z > 0 x 2 + y 2 + z 2 = a 2 }. Parametrizazi plochy zaloºte na cylindrických sou adnicích. Odli²ná parametrizace se povaºuje za nep ípustné odchýlení od zadání. ➋ (11 bod ) Do tvrtelipsy E = } {(x, y) E 2 : x, y 0 x2 a 2 + y2 b 2 1 vepi²te obdélník maximálního obsahu. Jaké jsou jeho vrcholy? Vytvo ujícími funkcemi míry nech jsou funkce φ(x) = Θ(x) x, ψ(y) = Θ(y)y 2. Kolik procent plochy tento maximální obdélník ve tvrtelipse zabírá? ➌ (10 bod ) V n kterých bodech prvního hexadekantu {(x, y, z, u) E 4 : x, y, z, u 0} zadává rovnice u 3 + 12yu + 3xy 2 + 6z 2 + 74 = 35u + 12x + 15y 2 implicitní funkci u = u(x, y, z). Stanovte kde a poté rozhodn te, zda má takto zadaná funkce alespo jeden sedlový bod. Numerické chyby se v tomto p íklad netolerují. ➍ (11 bod ) Stanovte minimalistické poºadavky na funkci φ(x) : R R nutné pro vy íslení limity lim σ 0 + R (x µ) 4 σ 5 e (x µ) 2 σ 2 φ(x) dx. Jako první krok výpo tu zvolte a prove te vhodnou substituci. Její tvar p izp sobte tak, aby po jejím provedení bylo moºno zam nit limitu a integrál. Pro nální vy íslení výsledku uºijte faktu, ºe φ(µ) = 4 π. ➎ (8 bod ) Jakou hodnotou je nutno dodenovat funkci g(x, y) = (y 2) 2 4 x 2 y 2... x 2 + y 2 4,?... x 2 + y 2 = 4, na kruºnici x 2 + y 2 = 4 tak, aby tato funkce byla v bod ( 2, 2) spojitá vzhledem k te n uvedené kruºnice zkonstruované práv v bod ( 2, 2)?
Zkou²ková písemná práce. 3 z p edm tu 01MAB4 05/06/2017, 9:00 11:00 ➊ (12 bod ) Vy²et ete lokální extrémy funkce f (x, y, z) = 4x(x y) 4y(y z) 4z(z x). ➋ (9 bod ) Kolik procent plochy deni ního oboru funkce f (x, y) = 1 x2 4 y2 9 zabírá plocha mnoºiny f 1 (X), kde X = (, 2 2 3 )? Vytvo ujícími funkcemi míry nech jsou funkce φ(x) = 5x a ψ(y) = y y. ➌ (12 bod ) Vypo ítejte 0 e 2ax 2e (a+b)x + e 2bx x 2 dx, (a, b > 0). ➍ (10 bod ) Integrujte funkci g(x, y, z) = (xyz) 2 e z2 p es mnoºinu (x, y, z) E3 : ( ) x 2 1/3 ( y 2 + a 2 a 2 ) 1/3 = 1. ➎ (7 bod ) Funkce f (x, y) = 3(y+2) 2 x 4 je spojitá v bod (0, 2) vzhledem k jistým mnoºinám (y+2) 4 +5x 8... (x, y) (0, 2), 4 7... (x, y) = (0, 2), M αβ = { (x, y) E 2 : y = αx n + β }. Najd te nejprve vhodné n N a poté v²echny dvojice (α, β) R 2 vyhovující zadání.
Zkou²ková písemná práce. 4 z p edm tu 01MAB4 21/06/2017, 9:00 11:00 ➊ (11 bod ) Vypo ítejte integrál kde W = W xyz 2 d(x, y, z), 1 + z4 { ( x (x, y, z) E 3 : x, y, z > 0 a + y ) 3 x < b a y }. b ➋ (8 bod ) Jaký je podíl plochy útvaru B = } {(x, y) E 2 : x, y 0 x4 a 4 + y4 b 4 1 ku plo²e obdélníku O = 0, a 0, b p i volb vytvo ující funkce φ(τ) = τ 4 Θ(τ)? Situaci pro p ehlednost nakreslete do obrázku. ➌ (7 bod ) Vy²et ete globální extrémy funkce f (x, y) = xy 2 na mnoºin M = {(x, y) E 2 : 16x 2 + y 4 32}. ➍ (11 bod ) Pro funkci z = z(x, y) zadanou na okolí bodu (1, 1, 1) implicitn rovnicí z 3 +2yz+x = 0 nalezn te kvadratickou plochu, která ji taylorovsky aproximuje. O jaký typ kvadratické plochy (kvadriky) se jedná? ➎ (13 bod ) Nech a, b, c > 0 jsou pevn zvolené parametry. Parciální diferenciální rovnici a 2 2 f x 2 + 4by 2 f y 2 + c2 2 f z 2 = 0 p eve te do prom nných ϱ, φ, h, jeº jsou zadány rovnostmi x = aϱ cos(φ), y = bh 2, z = cϱ sin(φ). Stanovte také maximální mnoºinu regularity zadaného zobrazení tak, aby toto zobrazení bylo navíc prosté.
Zkou²ková písemná práce. 5 z p edm tu 01MAB4 27/06/2017, 9:00 11:00 ➊ (12 bod ) Nech je dána funkce F(x, y, z, u) C 2 (E 4 ) a bod λ = (1, 1, 1, 1), pro který F( λ) = 0. Nech dále gradf( λ) = (3, 3, 3, 3) a Hessova matice funkce F(x, y, z, u) v bod λ má v²echny prvky jednotkové. Nech F(x, y, z, u) = 0, x 2 y 2 + z 2 = 1 jsou rovnice generující dv implicitní funkce u = u(x, z) a y = y(x, z). Ov te, ºe dané p edpoklady garantují existenci takové dvojice implicitních funkcí a vypo ítejte Numerické chyby v tomto p íklad se netolerují. 2 u (1, 1). x z ➋ (9 bod ) Prov te, zda má funkce g(x, y) = x 2 y 4y + 3 x 2 y 2... x y, 3e x e y... x = y, v bod (0, 0) a) derivaci, b) totální diferenciál, c) sm rovou derivaci ve sm ru s = (2, 1) a d) sm rovou derivaci ve sm ru r = (1, 1). ➌ (10 bod ) Integrujte funkci u(x, y, z) = x 2 y 2 p es mnoºinu G = { (x, y, z) E 3 : x 2 + y 2 1 x + y + z = 7 }. ➍ (9 bod ) Aplikací v ty o derivaci integrálu s parametrem vypo ítejte integrály (x µ) 2n e a(x µ)2 dx pro v²echna µ R, a > 0 a n N 0. Rozvaºte nejprve, jak vám citovaná v ta m ºe být nápomocná. Výsledek nakonec upravte do kompaktního tvaru. ➎ (10 bod ) Vypo ítejte hodnotu abstraktního Lebesgueova integrálu x dµ(x), je-li míra generována funkcí R φ(x) = 0 x 0; 3 + x 2 x (0, 4 ; 24 x > 4.
Zkou²ková písemná práce. 6 z p edm tu 01MAB4 04/09/2017, 9:00 11:00 ➊ (9 bod ) Vypo ítejte k ivkový integrál z funk ního vektoru G(x, y) = (2y 3, 30xy 2 ) po modré k ivce z obrázku probíhané proti sm ru hodinových ru i ek. 10 9 8 7 6 osa y 5 4 3 2 1 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 osa x ➋ (8 bod ) Vypo ítejte hodnotu abstraktního Lebesgueova integrálu x dµ(x), je-li míra generována funkcí 1,2 φ(x) = x x 1, x 2 + 3 x (1, 2, 14 x > 2. V této úloze se boduje také "argumenta ní hloubka,"tj. neomezte se p i e²ení pouze na povrchní výpo et. ➌ (10 bod ) Vypo ítejte objem t lesa T = { (x, y, z) E 3 : x, y, z > 0 ( x a + y ) 3 } b x a y b 0 < z < xy. ➍ (10 bod ) Nalezn te sm r s (s celo íselnými sloºkami), v n mº je sm rová derivace funkce z = z(x, y) v bod (x 0, y 0 ) = ( 1, 1) nulová. Funkce z = z(x, y) nech je zadána implicitn rovnicí Komentujte, jakých teoretických poznatk uºíváte! z 3 9y 2 + 2xz + 5 = 0. ➎ (13 bod ) e²te parciální diferenciální rovnici uºitím substitu ních vztah x 4 2 u x 2 + 2x3 y 2 u x y + (xy)2 2 u y 2 = 2x2 u(x, y) r = y x, s = x2 y. Neopome te stanovit maximální mnoºinu regularity zadané transformace.