Technická univerzita v Liberci Fakulta řírodovědně-humanitní a edagogická Katedra matematiky a didaktiky matematiky PLOCHY PŘÍMKOÉ Pomocný učební text Petra Pirklová Liberec, leden 04
Přímková locha je taková locha, jejímž každým bodem rochází alesoň jedna římka lochy. Každá římková locha je určena třemi řídícími křivkami, ří. lochami. Je-li nař. určena třemi křivkami k, k, k 3, ak je množinou všech římek, které dané tři křivky rotínají. Je-li nař. určena dvěma křivkami k, k a jednou lochou, ak je římková locha množinou všech římek, které rotínají dané křivky a dotýkají se dané lochy. Atd. k k3 k k Přímková locha určená třemi křivkami k Přímková loch určená dvěma křivkami a lochou Řídící křivkou může být samozřejmě také římka a to i nevlastní. Pokud je řídící římka nevlastní, ak říkáme, že je dána řídící rovinou. Nař.: lochy, které jsou dané řídící rovinou a alesoň jednou řídící římkou, nazýváme konoidy. Je-li řídící římka kolmá (kosá) k řídící rovině je to konoid římý (šikmý). Přímkové lochy rozdělujeme na rozvinutelné a zborcené. ROZINUTELNÉ PŘÍMKOÉ PLOCHY Přímková locha, která má všechny tvořící římky torzální, je rozvinutelná. Rozvinutelné lochy jsou locha válcová, locha kuželová, locha tečen rostorové křivky a rovina. Rovinu v tomto textu neuvažujeme. k k k Plocha válcová Plocha kuželová Plocha tečen křivky Nejznámější lochou tečen rostorové křivky je locha tečen šroubovice. Tato locha je rozvinutelnou šroubovou lochou. Řez této lochy rovinou kolmou k ose šroubovice je kruhová evolventa (křivka, která vzniká ři ohybu bodu římky ři kotálení o kružnici).
z=o O x y Plocha tečen šroubovice o b y, o Plocha tečen šroubovice v Mongeově romítání Rozvinutelnou lochu můžeme určit ouze dvěma křivkami. Chceme-li sestrojit rozvinutelnou lochu, která je určena dvěma křivkami, ak z libovolného bodu jedné křivky romítneme druhou křivku (omocí kuželové lochy). Tečnou t ve zvoleném bodě A ke křivce k, vedeme tečnou rovinu ke kuželové loše. Přímka, ve které se dotkne tečná rovina kuželové lochy, rotne křivku k v bodě A. Tečna v bodě A ke křivce k ak leží v již určené tečné rovině. 3
Přímka je římkou na římkové rozvinutelné loše. olbou dalších bodů na křivkách dostaneme další římky hledané rozvinutelné římkové lochy. Pokud zadané řídící křivky k, k leží v rovinách,, celá konstrukce se značně zjednoduší. Zvolíme si bod A na křivce k, v tomto bodě sestrojíme tečnu t k dané křivce k. Tato tečna t rotne růsečnici rovin v bodě R. Z bodu R ak vedeme tečnu t (t, t ) ke druhé křivce k, dotykový bod označíme A (A, A ). Přímka = AA ( = AA, = AA ) je římkou hledané rozvinutelné římkové lochy. Takové římkové lochy se označují jako řechodové římkové lochy. k R t A t t A A k Konstrukce římky řechodové lochy Příklad: Sestrojte řechodovou lochu mezi dvěma otrubími s kruhovým růřezem. o o y, o o Přechodová locha kruhových otrubí zadání Ústí kruhových otrubí leží v různoběžných rovinách. Jedna z těchto rovin je ůdorysna a druhá je rovina kolmá k nárysně. 4
Na jedné kružnici v ůdorysu zvolíme libovolný bod T. tomto bodě T sestrojíme tečnu t ke kružnici. Ta rotne ůdorysnou stou roviny (růsečnici roviny a ůdorysny) v bodě. Z tohoto bodu vedeme tečnu t k druhé kružnici. Sojením bodů dotyku T, T tečen získáme římku hledané řechodové římkové lochy. olbami dalších bodů na kružnicích určíme další římky řechodové lochy. o n T o y, T t T T o t o Přechodová locha kruhových otrubí Příklad: Sestrojte řechodovou lochu násyku mezi otrubími. Jedno má kruhový a druhé čtvercový růřez. o y, o Násyka zadání 5
Stejně jako v ředchozím říkladě si zvolíme na ústí jednoho otrubí (na kružnici) bod T. tomto bodě sestrojíme tečnu t ke kružnici. Protože roviny, ve kterých ústí otrubí leží, jsou rovnoběžné, tečnu t k ústí druhého otrubí vedeme jako rovnoběžku. Ta se dotýká čtvercového otrubí v bodě T. Body TT sojíme a získáme římku na řechodové loše. Takto volíme další body na kružnici. Protože sojujeme kružnici se čtvercem je řechodová locha tvořena čtyřmi trojúhelníky a čtyřmi kuželovými lochami. o T T y, o t T T t Násyka ROZINUTÍ (KOMPLANACE) ROZINUTELNÝCH PLOCH DO ROINY Rozvinutelné lochy jsou jako jediné lochy rozvinutelné do roviny. Základem rozvinutí lochy je fakt, že se ři rozvinutí z E 3 do E musí zachovat délky oblouků křivek na loše. Ke komlanaci loch se oužívají tyto metody: metoda normálního řezu a metoda triangulace. a) Metoda normálního řezu - oužíváme ro rozvinutí válcové lochy. Normální řez je řez lochy rovinou, která je kolmá k ovrškám lochy. Tento řez se ak o rozvinutí zobrazí do úsečky, která je kolmá k ovrškám lochy. Při rozvinutí válcové lochy ak ostuujeme tak, že si zvolíme rovinu kolmou k ovrškám lochy. Určíme křivku, která je řezem lochy touto rovinou. Délku této křivky zjistíme omocí rektifikace. Určujeme-li další křivku na této loše nař. její odstavu, ak můžeme určit libovolnou ovršku lochy a na ní určit vzdálenost růsečíku ovršky s normálním řezem a růsečíkem ovršky s křivkou. Tuto vzdálenost ak nanášíme na obraz ovršky v rozvinutí (zobrazí se jako 6
kolmice k úsečce normálního řezu). Tím získáme bod na hledané rozvinuté křivce. Poté si volíme další ovršky, abychom mohli vykreslit křivku. Na rotačním válci je normálním řezem jeho odstava. Příklad: Rozviňte lášť kosého válce. y, Rozvinutí láště kosého válce - zadání n 3 4 0 0 0 5 0 3 e 4 6 0 5 6 7 e 0 0 0 3 0 4 0 5 0 6 0 7 0 3 4 5 6 7 y, 0 0 30 40 50 60 70 3 4 e 5 7 6 3 4 5 6 7 Rozvinutí láště kosého válce Kosý válec je umístěn ro jednoduchost tak, že jeho dolní odstava leží v ůdorysně a jeho osa je rovnoběžná s nárysnou. Zvolíme libovolnou rovinu, která je kolmá k ovrškám válce, tedy je kolmá k nárysně. Řezem válce takovou rovinou je elisa e, v nárysu se zobrazí jako úsečka. Po rozvinutí se elisa 7
řezu zobrazí jako úsečka. Délku této úsečky e 0 zjistíme rozvinutím této elisy. Elisu (res. kruhovou odstavu) si rozdělíme na dvanáct úseků, 3, atd. (res., 3, atd.). Otočením řezu do jedné z růměten zjistíme skutečnou velikost řezu. Skutečnou délku křivky řezu zjistíme rozvinutím elisy. Skutečnou délku jednotlivých úseků 0 0, 0 3 0, atd. nanášíme na zvolenou římku. Tím získáme délku obvodu elisy. bodech 0, 0, atd., ak sestrojíme kolmice k e 0. Na tyto kolmice nanášíme skutečnou délku úseček,, atd., kterou zjistíme římo z nárysu lochy. b) Metoda triangulace oužívá se ro rozvinutí kuželové lochy a lochy tečen rostorové křivky. Při této metodě vlastně nahrazujeme lášť lochy lochou, která má trojúhelníkové stěny. Pokud rozvíjíme kuželovou lochu, ak jeden vrchol trojúhelníka je vždy vrchol kuželové lochy. Tvořící křivka, u kruhové kuželové lochy je to kružnice, se rozvine do kruhového oblouku. K dourčení rozvinutého láště lochy musíme znát skutečnou délku ovršek. Mongeově romítání můžeme délku ovršek určit tak, že je otočíme kolem římky kolmé k ůdorysně jdoucím vrcholem lochy do roviny rovnoběžné s nárysnou. Příklad: Rozviňte lášť kosého kruhového kužele. y, Rozvinutí láště kužele - zadání Pro jednoduchost konstrukce zvolíme odstavu kužele v ůdorysně a jeho osu rovnoběžnou s nárysnou. Kužely veíšeme dvanáctiboký jehlan tak, že do odstavy veíšeme ravidelný dvanáctiúhelník. Plášť tohoto jehlanu rozvineme a získáme řibližně rozvinutý lášť kužele. 8
Podstavnou kružnici si rozdělíme omocí dvanáctiúhelníku na dvanáct úseků, 3, atd. Nyní budeme ostuně sestrojovat jednotlivé trojúhelníky, 3, atd. Skutečnou velikost stran jednotlivých trojúhelníků určíme omocí otočení kolem kolmice k ůdorysně rocházející vrcholem do roviny rovnoběžné s nárysnou. K úlně řesnému určení délek úseků, 3, atd. na kružnici by bylo nutné tyto oblouky zrektifikovat. 0 70 70 3 3 4 4 5 6 7 5 6 y, 6 0 5 90 0 40 00 80 7 30 0 8 0 0 0 0 9 Rozvinutí láště kužele ZBORCENÉ PŘÍMKOÉ PLOCHY Zborcenými římkovými lochami nazýváme takové římkové lochy, které obsahují regulární římky. Tyto lochy se hojně oužívají ve stavební raxi, ro svou jednoduchou konstrukci, výborné statické vlastnosti a malou sotřebu materiálu. Zborcené lochy jsou zadány třemi řídícími křivkami k, k, k 3, ří. řídícími lochami. K vytvoření tvořících římek zborcené lochy si zvolíme na jedné křivce bod A. Tímto bodem A a zbývajícími křivkami jsou určeny kuželové lochy. Tyto kuželové lochy se rotínají rávě v tvořících římkách, zborcené lochy. k k k3 A Konstrukce tvořících římek zborcené lochy 9
ZBORCENÉ KADRIKY Nejdříve si uvedeme tzv. zborcené kvadriky. To jsou lochy vytvořené omocí ohybu kuželoseček a jsou zároveň lochami římkovými. Zborcenými kvadrikami jsou jednodílný hyerboloid a hyerbolický araboloid. a) Jednodílný hyerboloid Zvolíme-li si tři mimoběžné římky II a, II b, II c, které nejsou rovnoběžné se stejnou rovinou, jako tvořící římky římkové lochy, ak všechny jejich říčky ( I a, I b, I c, ) určují jeden regulus zborceného jednodílného hyerboloidu. Příčky tří mimoběžných římek z tohoto rvního regulu tvoří druhý regulus jednodílného hyerboloidu. I I Ia b c II a II b II c Reguly jednodílného hyerboloidu Každá římka z jednoho regulu rotíná všechny římky druhého regulu s výjimkou římky, která je s ní rovnoběžná. Užití: Jednodílné hyerboloidy se oužívají jako chladící věže, nař. u jaderných elektráren. Chladící věže 0
b) Hyerbolický araboloid (sedlová locha) Hyerbolický araboloid - střecha Hyerbolický araboloid vzniká mimo jiné zobrazením jednodílného hyerboloidu omocí středové kolineace. Z toho vidíme, že na hyerbolickém araboloidu existují také dva reguly římek jako u jednodílného hyerboloidu. každém regulu je však také jedna nevlastní římka. Zvolíme-li tři mimoběžky, z nichž jedna bude nevlastní, ak říčky zbývajících dvou vlastních mimoběžek rotínají nevlastní římku a jsou tedy rovnoběžné s rovinou, která je určena nevlastní římkou. Tuto rovinu označujeme jako řídící rovinu hyerbolického araboloidu. Takovéto řídící roviny má hyerbolický araboloid dvě (rotože má dva reguly římek). Pokud si zvolíme dvě římky z každého regulu, ak takové římky určují tzv. zborcený čtyřúhelník hyerbolického araboloidu. Tímto čtyřúhelníkem je tato locha řesně určena. Čtyřúhelník hyerbolického araboloidu Poznámka: hyerbolický araboloid vzniká také ohybem araboly o hyerbole nebo hyerboly o arabole. Užití: Nejčastěji se oužívá k zastřešování objektů s neravidelnými ůdorysy, ří. rozlehlých staveb. Naříklad okud chceme zkonstruovat střechu u objektu s neravidelným ůdorysem. Aby střecha budila estetický dojem, musí být její hřeben rovnoběžný s ůdorysem střechy. Toho docílíme tak, že střecha bude tvořena třemi rovinnými trojúhelníky a čtvrtou část střechy bude tvořit hyerbolický araboloid.
rovinné trojúhelníky hyerbolický araboloid Střecha objektu s neravidelným ůdorysem K zastřešení omocí hyerbolického araboloidu se oužívá také tzv. Aymondova báň. Tato locha se sestrojuje nad čtvercovým ůdorysem ABCD a je tvořena osmi shodnými hyerbolickými araboloidy, které jsou určeny zborcenými čtyřúhelníky. rcholy jednoho z nich jsou ASW, kde S je střed strany AB, je vrchol báně a W leží na kolmici ze středu AD nad bodem. Část báně je ouze ta část hyerbolického araboloidu, která leží nad trojúhelníkem AS. Ostatních sedm částí získáme souměrností odle rovin souměrnosti čtverce rocházející vrcholem Aymondovy báně. W A =D S y, D C W A S Aymondova báň v Mongeově romítání B Aymondova báň
DALŠÍ ZBORCENÉ PLOCHY Podle druhu tvořících křivek, ří. loch získáme různé zborcené římkové lochy. Některé tyy takových loch si uvedeme. a) Konoidy Tvořícími křivkami konoidu jsou křivka a dvě římky, z nichž jedna je nevlastní. Tuto nevlastní římku nahrazujeme rovinou, která je určena danou nevlastní římkou. Tvořícími římkami jsou tedy římky, které jsou rovnoběžné s rovinou a rotínají dané křivky. Přímý šroubový konoid určen šroubovicí, římkou a rovinou. Přímka a rovina jsou na sebe kolmé, roto je nazýván římým konoidem. Přímý šroubový konoid Přímý arabolický konoid určen arabolou, římkou a rovinou. Řídící římka je kolmá k rovině. Přímý arabolický konoid Přímý kruhový konoid určen kruhovým obloukem, římkou a rovinou. - užívá se stejně jako římý arabolický konoid na střechách továrních hal k dostatečnému osvětlení interiéru, nebo jako oěrná zeď tam, kde vznikají velké tlaky, které tato locha může dobře rozložit (vodní nádrže, ) Přímý kruhový konoid Plückerův konoid (římý elitický konoid) řídící křivka je elitický řez válcové lochy, řídící římka je ovrchová římka této válcové lochy a řídící rovina je kolmá k řídící římce. 3
Plückerův konoid Elitický konoid určen elitickým obloukem, římkou a rovinou. - užívá se nař. v křížové klenbě, kde však vystuují dva elitické konoidy Šikmý kulový konoid tvořící římky se dotýkají kulové lochy, rotínají římku a jsou rovnoběžné s rovinou (rovina a římka nejsou k sobě kolmé) b) Cylindroidy Tyto lochy jsou určeny dvěma řídícími křivkami a jednou řídící rovinou (nevlastní římkou). Frézierův cylindroid určen dvěma elitickými oblouky a rovinou. Máme-li rotační válcovou lochu a na ní dva elitické řezy, ak jeden z řezů osuneme směrem kolmým k ose válcové lochy. Řídící rovina je rovnoběžná s osou válce a směrem osunutí řezu. - k určení klenby nad schodištěm Frézierův cylindroid c) Konusoidy Konusoidy jsou určeny dvěma křivkami a jednou vlastní římkou. Štramberská trúba (helmice) určený kružnicí (nebo elisou, nebo arabolou) a dvěma vlastními mimoběžnými kolmými římkami. Řídící římky jsou rovnoběžné s řídící křivkou. - střecha nad kruhovým (elitickým) ůdorysem Helmice ěž Štramberská trúba 4
Montelliérský oblouk určen kruhovým obloukem a dvěma vlastními římkami. Jedna z římek rochází středem kruhového oblouku kolmo k jeho rovině a druhá je rovnoběžná s rovinou kruhového oblouku. - klenba ři řechodu válců do hranolů Montelliérský oblouk Marseilleský oblouk určen dvěma kruhovými oblouky, které jsou rovnoběžné a římkou, která rochází středem jednoho oblouku kolmo k rovinám oblouků. Marseilleský oblouk Plocha šikmého růchodu určena dvěma shodnými kruhovými oblouky, které leží v rovnoběžných rovinách, a římkou, která je kolmá k rovinám oblouků a rochází středem úsečky sojující středy kruhových oblouků. Plocha šikmého růchodu 5