IV- Eergie soustavy bodových ábojů... IV- Eergie elektrického pole pro áboj rozmístěý obecě a povrchu a uvitř objemu tělesa... 3 IV-3 Eergie elektrického pole v abitém kodezátoru... 3 IV-4 Eergie elektrostatického pole vypočteá z veliči popisujících elektrické pole... 3 IV-5 Síly působící v elektrickém poli... 4 IV-5.. Pricip virtuálích prací... 5 IV-6 Celková kapacita kodezátorů řazeých sériově a paralelě... 6 IV-6.. Sériově řazeé kodezátory... 6 IV-6.. Paralelě řazeé kodezátory... 6
IV- Eergie soustavy bodových ábojů Máme-li soustavu bodových ábojů Q Q,...,, které jsou umístěy v bodech, a ve kterých jsou poteciály:, ϕ ϕ..., ϕ Q,,, eergie elektrického pole bude dáa vztahem: = Q i ϕ i. i= Poteciál v jedotlivých bodech je dá součtem poteciálů od všech ábojů, umístěých v sousedích bodech: ϕ = i k =, k i Qk 4πε r Platost těchto vztahů se dá jedoduše ukázat a případě dvou ábojů Q Q : ik, Máme-li dva áboje, které se acházejí hodě daleko od bodu a (ěkde v ekoečě velké vzdáleosti) a vezmeme-li jede z ich,apříklad áboj Q a přeeseme do bodu, musíme vykoat práci,která je rova součiu poteciálu v bodě s velikostí áboje Q : A = Q ϕ Práce při přeeseí áboje mezi dvěma body je totiž rova rozdílu poteciálů v těchto bodech(apětí) a velikosti přeeseého áboje. Když budeme předpokládat v ekoeču ulovou hodotu poteciálu, bude práce přímo rova součiu áboje a poteciálu v určitém bodě. Poteciál elektrického pole v určitém bodě je dá rozložeím ábojů v jeho okolí. V ašem případě však při přeášeí prvího áboje v okolí bodu zatím žádý jiý áboj ještě eí, musí zde být ulový poteciál. Když v dalším kroku přemístíme áboj Q do bodu, který leží poblíž, bude v tomto bodě již poteciál buzeý ábojem Q o velikosti: ϕ = Q 4πε r Celková vykoaá práce, která se přeměí v poteciálí eergii soustavy ábojů bude tedy: Q = Q ϕ + Q ϕ = Q Q 0 + Q = ϕ 4πε r Když začeme aopak ejprve s áboje Q, který přemístíme do bodu a potom až přemístíme áboj Q do bodu, bude platit pro poteciál v bodě vybuzeý ábojem Q : Q ϕ = 4 r πε Pro eergii elektrostatického pole: = Q ϕ + Q 0 = Q ϕ Ať přemísťujeme ábojů po libovolých drahách a v libovolém časovém sledu, musíme e koci dostat soustavu se stejým rozmístěím ábojů a tedy i se stejou eergií o velkosti: = Q ϕ = Q ϕ
Abychom dostali symetrický vztah, ve kterém budou zastoupey všechy áboje v soustavě a ve kterém ebude ai formálě záležet a tom, jak byla soustava tvořea, lze psát: = ( Q ϕ + Q ϕ ) IV- Eergie elektrického pole pro áboj rozmístěý obecě a povrchu a uvitř objemu tělesa V tomto případě platí podobé vztahy jako u soustavy bodových ábojů, liší se pouze tím, že za bodové áboje v tomto případě považujeme áboje umístěé a jedotce plochy dq = σ ds, ebo v jedotce objemu dq = ρ dv. Suma ve vztazích pro celkovou eergii musí být ahrazea itegrací: W e = ϕρ dv + ϕσ d S V S IV-3 Eergie elektrického pole v abitém kodezátoru Vztahy pro eergii elektrického pole,které byly odvozey obecě pro určitou soustavu ábojů, platí i u kodezátoru,který má dvě elektrody a a ich áboje stejé velikosti, ale s opačou polaritou. Je-li a prví desce poteciál ϕ s ábojem +Q a a druhé desce poteciál ϕ s ábojem -Q, bude platit: = ( Q ϕ Q ϕ ) = QU = CU Napětí mezi deskami je rovo rozdílu poteciálů. IV-4 Eergie elektrostatického pole vypočteá z veliči popisujících elektrické pole Při teoretických úvahách se zavádí pojem idukčí trubice, což je jakási pomyslá trubice, která je po okrajích vymezea idukčími liiemi(čárami, ke kterým jsou v každém místě vektory elektrické idukce tečé). Vezmeme-li elektrody podle obrázku, které tvoří kodezátor, liie elektrického pole jsou amířey od jedé elektrody ke druhé. Na elektrodách je áboj o velikosti Q, mezi elektrodami apětí o velikosti U. Vytkeme-li jedu elemetárí idukčí trubici, která a levé elektrodě ohraičí elemetárí plošku ds s ábojem dq = σ d S, bude podle Gaussovy věty platit pro silový tok, který vychází z této trubice a který musí být stejě velký v celé této trubici: d ψ = d Q = σ d S = D d S. Při abití kodezátoru byla vykoáa práce,která se akumulovala ve formě eergie elektrického pole s velikostí: = QU
Části áboje dq odpovídá velikost eergie d : d = d QU, kterou bychom mohli ozačit jako eergii elektrického pole sídlící ve vytkuté silové trubici. Když si yí ještě z této silové trubice vysekeme v určitém místě malý úsek o délce dl, vyčleí ze silové trubice část objemu dv, a kterém bude apětí d U = E. d l a v ěm bude obsažea eergie : d = d Q du = D d S E.d l = DE d S d l = DE dv V celém objemu je potom obsažea eergie elektrického pole We = DE dv V ze vztahů je patro, že veličia w e = DE představuje hustotu eergie obsažeé v elektrickém poli. V obecých vztazích je třeba ahradit algebraické součiy skalárími součiy vektorů a bude platit: We = DE dv w e = V DE IV-5 Síly působící v elektrickém poli Sílu působící a určité těleso v elektrickém poli o itezitě E je teoreticky možo určit přímo superpozicí sil působících a jedotlivé bodové áboje, a které si těleso pomyslě rozdělíme: Síla a bodový áboj je dáa vztahem: F = Q.E. Pro sílu působící a těleso, jehož áboj je rozlože v objemu tělesa s určitou objemovou hustotou ρ, by platilo F = E ρ dv V Podobě síla působící a těleso, které se achází v elektrickém poli a jehož áboj je rozlože a povrchu s určitou plošou hustotou σ: F = E σ d S S Při takovém výpočtu musíme pro každé těleso kokrétě zát, jak je áboj a tělese rozlože a jak velká itezita elektrického pole kde působí. To je poěkud problematické, právě tyto údaje záme pouze v ejedodušších případech. Příklady, kdy to takto vypočítat jde, jsou i a http://www.elmag.org/k37/ucebice/tp/obsah.htm, je to: Příklad - Síla mezi bodovými áboji Příklad 37-prví část - Sila působící mezi dvěma opačě abitými rovoběžými vodiči
Pozámka: Při výpočtu síly a elemetárí objekty ( bodové áboje, abitá vláka, abité roviy) lze uvažovat pouze itezitu elektrického pole od ostatích objektů. U objemého tělesa jejich vlastí itezita pole souvisí s vitřími silami, které by se sažily těleso roztrhout ebo stlačit. IV-5.. Pricip virtuálích prací Je to velice užitečá metoda, která umoží a základě itegrálí veličiy ( v tomto případě kapacity mezi elektrodami) vypočítat jedoduše celkovou působící sílu a elektrody v určitém směru. Máme-li kodezátor se dvěma elektrodami, mezi kterými je kapacita C a mezi které je přivedeo apětí o velikosti U, bude v kodezátoru aakumulovaá eergie elektrického pole : We = CU Elektrody jsou opačě abité, dalo by se očekávat, že a ě bude působit přitažlivá síla. Pricip virtuálích prací je založe a této úvaze: Co by se stalo, kdybychom jedu z elektrod a chvíli uvolili? Začala by se pohybovat ve směru působící síly. Dejme tomu, že by se pohula o malý úsek dx a potom bychom ji opět zastavili. Původí aakumulovaá eergie by se musela zmešit o jakousi malou část rovou práci, kterou by pole posuem elektrody vykoalo: d A = F d x = d Zaméko míus v tomto případě zameá, že se práce vykoává a úkor eergie elektrického pole. Pro sílu potom vyplye jedoduchý vztah: dwe F = = U d x d C d x Teto vztah lze iterpretovat takto: Záme-li velikost kapacity mezi dvěma elektrodami a víme-li, jak se velikost kapacity měí v určitém směru ( apříklad fukce udávající velikost kapacity v závislosti a vzdáleosti elektrod), potom stačí tuto fukci v daém směru derivovat a podle výše uvedeého vztahu dostaeme velikost působící síly v tomto směru. Pozámka : Název pricip virtuálích(zdálivých) prací vyplývá z toho, že ve skutečosti žádou práci evykoáme, žádé z těles se ikam epohe, všechy úvahy jsou pouze imagiárí, co by se stalo, kdyby. Pozámka Teto výpočet slouží pouze k určeí celkové síly a e lokálí síly, která by působila a jedotlivé části tělesa. Příklady výpočtu pomocí virtuálích prací jsou i a http://www.elmag.org/k37/ucebice/tp/obsah.htm, je to: Příklad 35 - prví část - Síla působící kolmo a desky deskového kodezátoru Příklad 36 - Síla vtahující dielektrikum mezi desky deskového kodezátoru Příklad 37 - druhá část - Síla působící a dva rovoběžé opačě abité vodiče Příklad 38 - Síla mezi vodičem a ekoečě rozlehlou vodivou roviou
IV-6 Celková kapacita kodezátorů řazeých sériově a paralelě IV-6.. Sériově řazeé kodezátory Na deskách kodezátorů C, C,, C spojeých do série se objeví vždy stejě velký áboj se střídající se polaritou. Q = Q =... = Q = Q = kost. Dobře je to vidět a případě jedoduchého deskového kodezátoru, a který připojíme apětí o velikosti U. Desky kodezátoru se abijí stejým ábojem, levá apříklad ábojem +Q, pravá ábojem Q. Když obklopíme levou desku kodezátoru myšleou uzavřeou plochou, bude podle Gaussovy věty silový tok (tok vektoru elektrické idukce) rove volému áboji uzavřeému do plochy, to je v tomto případě celý áboj a levé desce. Vložíme-li mezi desky kodezátoru další deskovou elektrodu stejé velkosti, bude se celá soustava chovat jako dva kodezátory spojeé do série. Gaussova věta musí platit i v tomto případě a avíc musí platit podmíka, která vždy platí v elektrostatickém poli: Itezita elektrického pole ve vodiči je ulová. Když i yí vedeme uzavřeou plochu v Gaussově větě kolem levé desky a avíc ji echáme projít i vložeou elektrodou, je tato podmíka splěá pouze v případě, kdy bude a levé straě vložeé elektrody áboj o velikosti Q, potom bude celkový áboj uzavřeý do plochy ulový. Když uzavřeme potom do obalové plochy i pravou desku a opět ji vedeme i vložeou elektrodou, dospějeme aalogicky k závěru, že i a pravé straě vložeé elektrody musí být áboj stejé velikosti a s polaritou +Q. Uvážíme-li defiičí vztah pro kapacitu Q = CU a skutečost, že výsledé apětí je součtem apětí a jedotlivých kodezátorech U = U... + + U + U, platí po dosazeí vztah: Q Q Q Q = + +... +. C C C C Náboje jsou však stejě veliké, pro výsledou kapacitu při sériovém spojeí bude platit: C = C + C +... + C IV-6.. Paralelě řazeé kodezátory Na paralelě řazeých kodezátorech musí být vždy stejě veliké apětí: U = U =... = U = U = kost Celkový áboj a této paralelí kombiaci bude dá součtem ábojů a jedotlivých kodezátorech: Q = Q + Q +... + Q Po dosazeí z defiičího vztahu pro kapacitu: CU = C U + C U +... + C U platí pro výsledou kapacitu paralelí kombiace:
C = C + C +... + Pozámka : C Zcela stejě jako do série ebo paralelě spojeé kodezátory se chovají kodezátory s podélě, ebo příčě děleým dielektrikem.