ARITMETICKÉ POSLOUPNOSTI VYŠŠÍCH ŘÁDŮ

Transkript

1 ARITMETICKÉ POSLOUPNOSTI VYŠŠÍCH ŘÁDŮ JAROSLAV ZHOUF Pedagogická fakulta UK Praha

2 Osova předášky 1. Vysvětleí pojmu Aritmetické poslouposti vyšších řádů (APVŘ). APVŘ a ižším gymáziu 3. APVŘ a vyšším gymáziu 4. APVŘ pro taletovaější studety matematická olympiáda 5. GPVŘ

3 Aritmetická posloupost druhého řádu Příklad 1 ( b ) AP ( ) AP1 a ( a )... AP0 AP1??? Jak vypadají -té čley těchto posloupostí???

4 Aritmetická posloupost druhého řádu Příklad 1 pokračováí ( b ) AP ( ) AP1 a ( a )... AP0 AP1 b = + ( ) ( 1) ( ) a = + 1= = b+ 1 b a = a1+ d = d+ a1 d správě lieárí fukce ( ) ( 3) ( 1) + 1 a = = + + = a a 1

5 Aritmetická posloupost druhého řádu Příklad ( b ) AP ( ) AP1 a ( a ) AP0 AP1??? Jak vypadají -té čley těchto posloupostí???

6 Aritmetická posloupost druhého řádu Příklad pokračováí ( b ) AP ( ) AP1 a ( a ) AP0 AP1 a = 4 1= b b + 1 ( ) 4 ( 4 3) ( 4 1) + 1 a = = + = a a b =???

7 Aritmetická posloupost druhého řádu Příklad pokračováí ( b ) 5??????... AP ( ) AP1 a ( a ) AP0 AP1 a = 4 1= b b + 1 ( ) 4 ( 4 3) ( 4 1) + 1 a = = + = a a = 1+ 1 = b3 b a 5 b b a = + =??? Ale jak vypadá b obecě???

8 Aritmetická posloupost druhého řádu Příklad pokračováí ( b ) AP ( ) AP1 a ( a ) AP0 AP1 b b a b b a b b a = 1+ 1 = 3 = + = 5 4 = 3+ 3 = b = b 1+ a 1 =??? b ( ( )) = b1+ a1+ a a 1 = = = ( 1)( 3 4 5) =

9 Aritmetická posloupost druhého řádu Příklad pokračováí ( b ) AP ( ) AP1 a ( a ) AP0 AP1 b Jiý postup při výpočtu : Očekáváme b = A + B+ C b1 = A 1 + B 1+ C = 5 b = A + B + C = b3 = A 3 + B 3+ C = 5 A =, B = 3, C = 4 b = 3 4

10 Aritmetická posloupost třetího řádu Příklad 3 ( c ) AP3 ( ) AP b a ( ) AP1 ( a ) AP0 AP1??? Jak vypadají -té čley těchto posloupostí???

11 Aritmetická posloupost třetího řádu Příklad 3 pokračováí ( c ) AP3 ( ) AP b a ( ) AP1 ( a ) AP0 AP1 a = 6 6= b b + 1 ( ) 6 ( 6 ) ( 6 6) + 1 a = = = a a ( ) ( ) b = b1+ a1+ a a 1 = = = ( 1)( 0 6 1) = + c =???

12 Aritmetická posloupost třetího řádu Příklad 3 pokračováí ( c ) AP3 ( b ) AP b c c = = + 1 c = c+ b b = = ( ( ( ) ( ) )) ( ( ) ) ( ( )) ( ) = 3 1 ( 1) ( 1) 9 1 ( 1) 6( 1 ) = 3 = = ( 1)( )( 3) = = Vzorec 1... ( 1)( 1) = + + později 1

13 Aritmetická posloupost třetího řádu Příklad 3 pokračováí ( c ) AP3 ( b ) AP c 3 Jiý postup výpočtu : Očekáváme c = A + B + C+ D c A B C D 3 1 = = 0 3 c = A + B + C + D= 0 3 c3 = A 3 + B 3 + C 3+ D = 0 3 c4 = A 4 + B 4 + C 4+ D= 6 A = 1, B = 6, C = 11, D = 6 3 c = = 1 3 ( )( )( )

14 Aritmetické poslouposti dalších řádů AP0 a= A AP1 a = A+ B AP b = A + B+ C 3 AP3 c = A + B + C+ D 4 3 AP4 d= A + B + C + D+ E AP5 e = A + B + C + D + E+ F Atd.

15 Součet aritmetické poslouposti ultého řádu s0 = kost + kost kost = kost AP1 (lieárí) Součet aritmetické poslouposti prvího řádu s1 ( A 1 B)... ( A B) ( 1... ) 1 ( 1) = = = A B= A + + B= A A = + + B AP (kvadratická) Odpovídá to kvadratické závislosti ze školy: 1 a1 ad 1 s = [ a1+ a] = a1 a1( 1) d ad + = +

16 Součet aritmetické poslouposti druhého řádu ( ) ( ) ( 1... ) ( 1... ) s = A 1 + B 1 + C A + B + C = = A B C= 1 1 = A ( + 1)( + 1) + B ( + 1) + C= 6 A 3 A B A B = C 3 6 AP3 (kubická)

17 Součet aritmetické poslouposti třetího řádu Příklad - pokračováí ( b ) AP b = 3 4 ( ) ( ) ( ) s = = = = 1 1 = ( + 1)( + 1) 3 ( + 1) 4 = = Např. s 100 = =

18 Součet aritmetické poslouposti třetího řádu ( 3 ) ( 3 ) ( 3 3) ( ) ( 1... ) s3 = A 1 + B 1 + C 1 + D A + B + C+ D = = A B C D= ( 1) ( 1)( 1) ( 1) 4 6 A 4 A B 3 A B C B C = D = A + + B C + + D= AP4 (4. stupě)

19 Odbočka k součtu prvích moci Gauss s 100 = s 100 = s = s = ( ) ( ) s = ( + ) s =

20 Odbočka k součtu prvích moci Důkaz beze slov (Proof without Words) = +

21 Odbočka k součtu druhých moci + 1 = ( ) = ( 1) + 1 = ( 1) + 3( 1) + 3( 1) + 1 ( ) 3 = ( ) + 3 = ( ) 3 + ( ) + ( ) ( ) 3 ( ) = + 1 = = 1+ 1 = ( ) ( ) 3( 1... ) + = ( ) ( ) + + = = 3 = 1 ( ) = 1 ( + 1)( )

22 Odbočka k součtu druhých moci Důkaz beze slov (Proof without Words) ( + + ) = ( + + )( + )

23 Odbočka k součtu třetích moci = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 4 ( ) 4 ( ) ( ) 4 ( ) 3 ( ) ( ) = = = + 1 = ( ) 4 ( ) = + 1 = = 1+ 1 = ( ) ( 3 3) ( ) 4( 1... ) ( ) ( ) 4( 1... ) + = = = 4 = 1 ( ) = 1 ( + 1) 4 4

24 Odbočka k součtu třetích moci Důkaz beze slov (Proof without Words) ( ) = + 1

25 Aritmetické poslouposti prvího řádu a ižším gymáziu Příklad 4 Obsah daého útvaru (Cihlář a kol.) S = ( ) + 9 7

26 Aritmetické poslouposti prvího řádu a ižším gymáziu Příklad 5 Počet všech jedotkových rovostraých trojúhelíků v síti rovostraého trojúhelíku o straě délky 1. Kokrétě apř. pro = 6. Řešeí = = = ( ) ( ) ( ) ( ) 1 = = = = = Obecě ( ) ( )

27 Odbočka k součtu lichých čísel Důkaz beze slov (Proof without Words) = = ( )

28 Aritmetické poslouposti druhého řádu a ižším gymáziu Příklad 6 Počet čtverců ve čtvercové síti x. Číslo bude kokrétí. Např. počet čtverců ve čtvercové síti 10 x 10. Řešeí 1 x 1 10 čtverců x 9 čtverců (-1) 3 x 3 8 čtverců (-) 9 x 9 čtverců 10 x 10 1 čtverců 1 Celkem + + = = = 1 ( + 1) ( + 1)

29 Aritmetické poslouposti druhého řádu a ižším gymáziu Příklad 7 Čtvercová čísla (patří mezi figurálí čísla) té čtvercové číslo je

30 Aritmetické poslouposti druhého řádu a ižším gymáziu Příklad 8 Trojúhelíková čísla (patří mezi figurálí čísla). 1 1+=3 1++3= = té trojúhelíkové číslo je = ( + 1) =

31 Aritmetické poslouposti druhého řádu a ižším gymáziu Příklad 9 Pětiúhelíková čísla (patří mezi figurálí čísla) té pětiúhelíkové číslo je = ( ) ( )

32 Aritmetické poslouposti druhého řádu a ižším gymáziu Příklad 10 Počet úhlopříček mohoúhelíku / 5 / 6 3/.. Počet úhlopříček je ( ) 1 3

33 Aritmetické poslouposti druhého řádu a ižším gymáziu Příklad 11 Počet přímek vytvořeých z bodů, z ich žádé tři eleží v přímce Počet průsečíků je ( 1) =

34 Aritmetické poslouposti druhého řádu a vyšším gymáziu Příklad 1 Počet oblastí roviy rozděleé přímkami (každé dvě mají průsečík, žádé tři průsečík emají). Řešeí Přidáím -té přímky přibude oblastí. Přidáváím přímek vziká AP. ( b )??????... AP ( a ) AP1 b = A + B+ C b ( ) 3 1 = + + 1=

35 Aritmetické poslouposti druhého řádu a vyšším gymáziu Příklad 13 Počet oblastí roviy rozděleé kružicemi (každé dvě mají dva průsečíky, žádé tři eprocházejí jedím bodem). 4 Řešeí Přidáím -té přímky přibude (-1) oblastí. Přidáváím přímek vziká AP. ( b )??????... AP ( a ) AP1 b = A + B+ C 1 b = + 3

36 Aritmetické poslouposti druhého řádu a vyšším gymáziu Příklad 14 Počet oblastí prostoru rozděleého roviami, kde každé dvě mají průsečici, žádé tři emají stejou průsečici a všechy se protíají v jedom bodě. Řešeí Přidáím -té roviy přibude (-1) oblastí. Přidáváím přímek vziká AP. ( b )??????... AP ( a ) AP1 b = A + B+ C b = +

37 Aritmetické poslouposti druhého řádu a vyšším gymáziu Příklad 15 Počet oblastí uvitř trojúhelíku vytvořeých spojicemi z bodu A s protější straou a spojicemi z bodu B s protější straou. C Řešeí Mezi každými dvěma přímkami z bodu A je +1 oblastí. Mezi všemi přímkami je (+1) oblastí. Vziká AP. A B b A B C = + + = ( + ) b 1

38 Aritmetické poslouposti druhého řádu a vyšším gymáziu Příklad 16 Počet oblastí uvitř trojúhelíku vytvořeých spojicemi z bodu A s protější straou, spojicemi z bodu B s protější straou a spojicemi z bodu B s protější straou. Žádé tři se eprotíají v jedom bodě. A B Řešeí Přidáím -tých přímek přibude 6+6 oblastí. Vziká AP. ( ) 7??????... AP b ( a ) AP1 b = A + B+ C b = C

39 Aritmetické poslouposti třetího řádu a ižším-vyšším gymáziu Příklad 17 Počet krychlí v krychlové síti x x. Číslo je kokrétí. Např. počet krychlí v síti 10 x 10 x 10. Řešeí 1 x 1 x krychlí 3 x x 9 3 krychlí (-1) 3 3 x 3 x krychlí (-) 3 9 x 9 x 9 3 krychlí 3 10 x 10 x krychlí = = Celkem Obecě c = = ( + 1)

40 Aritmetické poslouposti třetího řádu a ižším-vyšším gymáziu Příklad 18 Krychlová čísla (patří mezi figurálí čísla) té krychlové číslo je 3 = c

41 Aritmetické poslouposti třetího řádu a ižším-vyšším gymáziu Příklad 19 Jehlaovitá (pyramidálí) čísla (patří mezi figurálí čísla) té jehlaovité (pyramidálí) číslo je = = ( )( ) c

42 Aritmetické poslouposti třetího řádu a ižším-vyšším gymáziu Příklad 0 Čtyřstěová čísla (patří mezi figurálí čísla) = = =0... -té čtyřstěové číslo je c 1 ( ) 1 ( ) 1 = ( + 1 ) = 1 ( ) 1 ( ) ( 1)( ) = = + + = 6 3

43 Aritmetické poslouposti třetího řádu a vyšším gymáziu Příklad 1 Počet trojúhelíků s vrcholy a straách čtverce. Uvitř každé stray čtverce je bodů. Řešeí kombiatoricky AP3 4 c = 4 =

44 Aritmetické poslouposti čtvrtého řádu a vyšším gymáziu Příklad Počet průsečíků úhlopříček -úhelíku, žádé tři se eprotíají v jedom bodě. C Řešeí kombiatoricky: vyberou se čtyři vrcholy úhelíku, ty vytvoří čtyřúhelík, z toho je 1 uvažovaý průsečík A B d AP4 1 3 = = 4 4 ( )( )( )

45 Aritmetické poslouposti vyšších řádů a vyšším gymáziu Příklad 3 Pascalův trojúhelík

46 Aritmetické poslouposti vyšších řádů a vyšším gymáziu Příklad 3 pokračováí Pascalův trojúhelík AP0

47 Aritmetické poslouposti vyšších řádů a vyšším gymáziu Příklad 3 pokračováí Pascalův trojúhelík 1 AP AP0

48 Aritmetické poslouposti vyšších řádů a vyšším gymáziu Příklad 3 pokračováí Pascalův trojúhelík AP0 1 AP1 1 1 AP AP. Trojúhelíková čísla

49 Aritmetické poslouposti vyšších řádů a vyšším gymáziu Příklad 3 pokračováí Pascalův trojúhelík 1 AP1 1 1 AP 1 1 AP AP3. Čtyřstěová čísla AP0

50 Aritmetické poslouposti vyšších řádů a vyšším gymáziu Příklad 3 pokračováí Pascalův trojúhelík s doplěými ulami

51 Aritmetické poslouposti vyšších řádů a vyšším gymáziu Příklad 4 viz Příklad 1 Využití Pascalova trojúhelíku ke geerováí APVŘ apř. AP0 AP1 AP AP3 3??? 5 5 atd 7 10 atd 9 17 atd

52 Aritmetické poslouposti vyšších řádů v Matematickém Klokaovi Klokáek 004

53 Aritmetické poslouposti vyšších řádů v Matematickém Klokaovi Klokáek 004

54 Aritmetické poslouposti vyšších řádů v Matematickém Klokaovi Bejamí 000

55 Studet 001 Aritmetické poslouposti vyšších řádů v Matematickém Klokaovi

56 Aritmetické poslouposti vyšších řádů v české MO

57 Aritmetické poslouposti vyšších řádů v české MO

58 Aritmetické poslouposti vyšších řádů v české MO

59 Aritmetické poslouposti vyšších řádů v české MO

60 Aritmetické poslouposti vyšších řádů v české MO

61 Aritmetické poslouposti vyšších řádů v české MO

62 Aritmetické poslouposti vyšších řádů v české MO

63 Aritmetické poslouposti vyšších řádů v české MO

64 Aritmetické poslouposti vyšších řádů v české MO

65 Aritmetické poslouposti vyšších řádů v české MO

66 Aritmetické poslouposti vyšších řádů v Meziárodí MO

67 Geometrická posloupost druhého řádu Příklad 5 ( b ) GP ( ) GP1 a ( a ) GP0 GP1??? Jak vypadají -té čley těchto posloupostí???

68 Geometrická posloupost druhého řádu Příklad 5 pokračováí ( b ) GP ( ) GP1 a ( a ) GP0 GP1 b = 1 ( + 1) a = = : = b+ 1 : b 1 a1 a = a1 q = q správě expoeciálí fukce q ( ) a = 4= : = a : a + 1

69 Geometrické poslouposti dalších řádů GP0 GP1 GP GP3 GP4 GP5 b c A a= q a = q + = = q q A A B 3 + B+ C A + B + C+ D 4 3 d = q A B C D E e = q Atd. A B C D E F

70 Geometrické poslouposti vyšších řádů Příklad 6 Pascalův trojúhelík pro GPVŘ apř

71 Geometrické poslouposti vyšších řádů Nezám žádou úlohu a GPVŘ ai ve škole ai v MO

72 Děkuji za pozorost