FINANČNÍ MATEMATIKA SBÍRKA ÚLOH Zpracováo v rámci projektu " Vzděláváí pro kokureceschopost - kokureceschopost pro Třeboňsko", registračí číslo CZ.1.07/1.1.10/02.0063
Gymázium, Třeboň, Na Sadech 308 Autor: RNDr. Pavel Krejča Vydáo v březu 2012 2
OBSAH Úvod... 4 1 Úročeí... 5 2 Úvěry... 12 3 Spořeí... 26 4 Jedodušší úlohy pro žáky ižšího gymázia a žáky základích škol... 37 5 Užití výpočetí techiky při řešeí úloh z fiačí matematiky... 42 6 Testy... 60 Výsledky... 71 Metodické pozámky... 79 Literatura a jié zdroje... 80 Součástí sbírky je CD s její elektroickou podobou a přiložeými programy (viz kapitola 5). Vzhledem k termíu tisku sbírky může být její elektroická podoba mírě odlišá od tištěé. 3
ÚVOD Tato sbírka úloh byla vytvořea v rámci projektu " Vzděláváí pro kokureceschopost - - kokureceschopost pro Třeboňsko", který byl realizová a Gymáziu v Třeboi v letech 2010-2012. Téma fiačí gramotost bylo součástí aktivity 3 projektu "Rozvoj podikatelských zalostí, schopostí a dovedostí žáků" a jeho hlavím cílem bylo zavedeí fiačího vzděláváí do výuky matematiky a občaské výchovy. Je mi zámo, že již existuje řada učebích materiálů (zejméa pro odboré školy) s úlohami fiačí matematiky; většiou jsou však zaměřey prakticky a kladou spíše důraz a výklad fiačí termiologie a popis fiačích produktů, ež a matematickou stráku problému. Vzhledem k tomu, že fiačí úlohy se musí a gymáziu řešit téměř výhradě v hodiách matematiky, jsou v této sbírce chápáy jako matematický problém a tak je k im přistupováo. Proto je sbírka doplěa i o programy vytvořeé v prostředí Mathematica 7, jejich doplňkem a zjedodušeou podobou jsou i tabulky Microsoft Excel. Tím je žákům abíduta možost eje využít pokročilou výpočetí techiku při řešeí těchto úloh, ale i případě zasáhout do úprav a rozšířeí příslušého programového vybaveí. Na začátku každé kapitoly sbírky je uvede přehled použitých vztahů a stručé defiice fiačích pojmů, které se vyskytují v ásledých úlohách. Na koci sbírky jsou uvedey výsledky všech úloh. V kapitole 6 je abíduto deset testů z látky předešlých kapitol. Sbírka může být využita a všech středích školách, v omezeé míře pak ve třídách ižšího gymázia a ve vyšších ročících základích škol. Obtížější, zejméa obecě zadaé úlohy, jsou ozačey (*). 4
1 ÚROČENÍ Přehled užitých pojmů a vztahů Úrok je částka, kterou získává věřitel od dlužíka jako odměu za půjčeí peěz. Úroková míra (úroková sazba) ročí je podíl úroku získaého za rok a zapůjčeé částky za předpokladu jedoduchého úročeí, udává se v procetech ebo jako desetié číslo z itervalu (0; 1). V této sbírce bude vždy používáa ročí úr. míra, tedy úr.míra začeá p.a. (per aum). Daň z úroku je část úroku, která se evyplácí věřiteli a odvádí se státu; uvádí se v procetech. (Úrok z úvěru placeý bace se ezdaňuje.) Zdaňovací koeficiet k je dá vztahem, kde u je daň z úroku v %. Úroková doba je doba, po kterou je zapůjčeá částka (vklad ebo úvěr) úročea. V této sbírce budeme pro určeí úrokové doby výhradě používat stadard 30E/, ve kterém má každý měsíc 30 dí, rok má dí. Do úrokové doby budeme jako posledí de úročeí započítávat de splatosti, ikoli však de vkladu ebo poskytutí úvěru. Úrokovací období je časový úsek mezi dvěma po sobě ásledujícími úročeími. Úrokovací období může být ročí, pololetí, čvrtletí, měsíčí, týdeí, deí. Termíovaý vklad (účet) má určeou dobu splatosti, po kterou elze z účtu bez sakcí peíze vybírat. Doba splatosti může být ěkolik dí až ěkolik let. Revolvig je oboveí termíovaého účtu za stejých podmíek a další úrokovací období. Zdaěý úrok z miulého období je připsá k účtu a s ím dále úroče. Jedoduché úročeí je takový způsob úročeí, při kterém se úrok a koci každého úrokovacího období počítá z počátečího kapitálu. Jestliže je počet úrokovacích období, t počet dí úrokovacího období, i úroková (ročí) míra vyjádřeá desetiým číslem, k zdaňovací koeficiet, K 0 vložeý kapitál, pak pro výsledý kapitál a koci -tého úrokovacího období K platí Vzhledem k tomu, že výše úroku při jedoduchém úročeí ezávisí a délce úrokovacího období, ale je a celkové době úročeí, platí, kde T je celková úroková doba ve dech. Složeé úročeí je takový způsob úročeí, při kterém se úroky přičítají k již dosažeému kapitálu a spolu s ím se dále úročí. Jestliže je počet úrokovacích období, t počet dí úrokovacího období, i úroková (ročí) míra vyjádřeá desetiým číslem, k zdaňovací koeficiet, K 0 vložeý kapitál, pak pro výsledý kapitál a koci -tého úrokovacího období K platí 5
U obou způsobů úročeí vypočteme čistý (zdaěý) úrok jako rozdíl K K 0. Míra iflace i i je relativí árůst cey zboží (přesěji rel. árůst maloobchodích ce souboru vybraého zboží a služeb) v daém roce: CK CP i i, C kde C P je cea a počátku a C K cea a koci roku. P Efektiví úroková míra je ročí úrok. míra, která poskytuje za rok při ročím úrokovacím období stejý úrok jako daá úroková míra při kratším úrokovacím období. Nomiálí úroková míra je její jmeovitá hodota, kterou uvádí baka bez ohledu a iflaci. Úlohy 1 Jedoduché úročeí (Všechy částky zaokrouhlete, pokud eí řečeo jiak, a koruy, daň z úroku je 15%.) Příklad 1.1 Na ový účet jsme uložili de 11.11.2007 částku ve výši 10 000 Kč. Určete, jaká částka byla a účtu a koci roku 2009 při úrokové míře 1,5 % a úrokovacím období půl roku, jestliže a) jsme po uvedeou dobu eprovedli žádý vklad ai výběr, b) jsme a začátku každého kaledářího roku vložili 5000 Kč, c) jsme a koci roku 2008 vybrali 3000 Kč. Příklad 1.2 Baka poskytla podikateli úvěr ve výši 1 500 000 Kč a dva roky s úrokovou mírou 16 %. a) Kolik Kč čií úrok z úvěru? b) Kolik Kč celkem zaplatí podikatel bace po 2 letech? c) Jaká by musela být ejvyšší úroková míra, aby podikatel za 2 roky a úrocích ezaplatil více ež 400 000 Kč? (Úrok placeý bace se ezdaňuje.) Příklad 1.3 Paí Králová si uložila a termíový vklad a 3 měsíce částku 56 000 Kč, úroková míra čiila 2,6 %. Po dvou měsících potřebovala celý vklad vybrat, podle smlouvy však předčasý výběr eí možý. Baka jí však poskytla úvěr ve výši 56 000 Kč a zbývající měsíc s úrokovou mírou 14 %. Vydělala ebo prodělala paí Králová a celé fiačí operaci? O jakou částku jde? 6
Příklad 1.4 Zdůvoděte, že výše výsledého úroku při jedoduchém úročeí ezávisí (při daé úrokové době) a délce úrokovacího období. Příklad 1.5 Od baky si potřebujeme půjčit a 7 měsíců peíze. Víme, že a splaceí dluhu budeme mít k dispozici a koci této doby 48 000 Kč. Úroková míra čií 13,5 %. Jakou ejvyšší částku si můžeme půjčit? (Zaokrouhlete a stokoruy.) Příklad 1.6 Kliet baky uložil de 8.2.2008 a vkladí kížku s úrokovou mírou 2,2 % částku 40 000 Kč. Vložeý kapitál i s úrokem vybral de 5.6.2008. Určete výšku úroku před zdaěím a po zdaěí. Příklad 1.7 Pa Nováček měl a běžém účtu s úrokovou mírou 1,6 % ke di 1.8. částku 22 000 Kč. De 9.8. vybral 7 000 Kč, 17.8. uložil 15 000 Kč. Další pohyby a účtě v srpu ebyly. Zjistěte úrok za měsíc srpe. Návod: Předpokládejte změu základu pro výpočet úroku vždy druhý de po provedeí vkladu/výběru. Předešlé úroky se k základu epřipočítávají. Příklad 1.8 Na začátku roku 2005 jsme a účet s úrokovou mírou 3,6 % a úrokovým obdobím 1 měsíc uložili 100 000 Kč. Určete celkový kapitál a účtu a koci jedotlivých měsíců a kocem roku 2005, jestliže se již během roku ic eukládalo ai evybíralo. Jakou posloupost tvoří tyto hodoty? (Během roku předpokládáme jedoduché úročeí, úroky se připisují a účet.) Příklad 1.9 Je výhodější koupit des emovitost za 1 800 000 Kč ebo za i dát za 2 roky 1 900 000 Kč? Uvedeou částku máme možost yí ivestovat s ročí úrokovou mírou 4,0 %. (Předpokládáme jedoduché úročeí po celé dva roky.) 7
Složeé úročeí (Všechy částky zaokrouhlete, pokud eí řečeo jiak, a koruy, daň z úroku je 15%.) Příklad 1.10 Začátkem roku uložíme do baky částku 60 000 Kč a účet s úrokovou mírou 1,6 %. Jakou částku obdržíme po uplyutí 3 let od data vkladu, jestliže je úrokovací období a) 1 rok, b) 6 měsíců, c) 3 měsíce, d) 1 měsíc? Příklad 1.11 Na termíovaý účet s revolvigem uložíme a 1 měsíc částku 210 000 Kč, úrokovací období je jede měsíc, úroková míra je 2,4 %. Účet celkem revolvujeme (obovujeme) čtyřikrát. Jakou výsledou částku budeme mít pak a účtu? Příklad 1.12 Pa Adam a Břetislav si založili vkladí kížky s úrokovou mírou 1,9 %. Úročí se vždy a koci kaledářího roku. Pa Adam si počátkem roku 2006 uložil částku 60 000 Kč, rověž tak učiil pa Břetislav. Pa Adam si počátkem každého roku vybral úrok za rok miulý, pa Břetislav si úroky evybíral. a) Jaký celkový úrok získal pa Adam do začátku roku 2010? b) Jaký celkový úrok získal pa Břetislav do začátku roku 2010? c) Kolik Kč čií rozdíl těchto úroků? Příklad 1.13 Na termíovaý účet s pevou úrokovou mírou 2 % a složeým úrokováím jsme uložili de 8.2. částku 90 000 Kč. Úrokovací období je jede měsíc, úročí se vždy a koci kaledářího měsíce (a v de splatosti). Termíovaý účet byl zříze a dobu půl roku, tedy de splatosti byl 8.8. téhož roku. Kolik Kč ám vyplatí baka v de splatosti? Příklad 1.14 Řešte příklad 1.13 za předpokladu, že úroková míra je v průběhu termíovaého vkladu pohyblivá, a to ásledujícím způsobem: s platostí od 1.4. se sižuje původí hodota 2 % a 1,6 %, s platostí od 1.6. se úroková míra zvyšuje a 2,2 % (a tato hodota zůstává eměá až do de splatosti). Příklad 1.15 Jakou částku musíme uložit 1.leda, abychom měli a účtě a koci roku 200 000 Kč, jestliže se úročí a koci každého čtvrtletí a úroková míra je 2,4 %? 8
Příklad 1.16 Na termíovaý účet a 14 dů s revolvigem a úrokovou mírou 3,5 % uložíme 17 000 Kč. Kolikrát musíme účet obovit, abychom a ěm měli alespoň 17 350 Kč? Příklad 1.17 Jaká musí být úroková míra, aby vklad ve výši 120 000 Kč vyesl za 5 let čistý úrok 10 000 Kč? Úročíme jedou za rok. Příklad 1.18 (řešeý) Předpokládejme, že míra iflace byla vloi 2,5 %, v tomto roce je 2,6 %. Na začátku loňského roku jsme uložili a termíovaý vklad a 2 roky částku 100 000 Kč s úrokovou mírou 2,8 % a úrokovacím obdobím 1 rok. a) Je hodota kapitálu, který ám baka a koci tohoto roku vyplatí, vyšší ebo ižší ež hodota vkladu? b) Jak vysoká by musela být omiálí úroková míra termíovaého vkladu, aby hodota výsledého kapitálu byla vyšší ež hodota vkladu? Řešeí: a) Ze vztahu C C C C i. K P i plye pro ceu a koci roku i k p 1 i CP Hodotě 100 000 Kč a začátku miulého roku odpovídá a koci stejého roku hodota 100 000 1,025 = 102 500 Kč. Tato hodota se obdobě zvýší během letošího roku a 102 500 1,026 = 105 165 Kč. Baka ám a koci tohoto roku vyplatí částku 100 000 (1 + 0,85 0,028) 2 = 104 817 Kč, tedy částku ižší, ež je současá hodota odpovídající původímu vkladu. b) V souladu s postupem v bodě a) musí platit 100000 1 0, 85 105165 2 i, odkud dostaeme i > 3 %. Příklad 1.19 Úroková míra vkladu čií 2 %, úrokovací období je 1 měsíc. Vypočtěte efektiví úrokovou míru. Příklad 1.20 Na kolik Kč vzroste vklad 100 000 Kč uložeý a dva roky a 4 měsíce při úrokové sazbě 1,8 %, jestliže je délka úrokovacího období a) 1 rok, b) ½ roku, c) 1 měsíc? 9
Návod: Použijte kombiaci složeého a jedoduchého úročeí; pro dobu převyšující posledí ukočeé úrokovací období užijte jedoduché úročeí. Příklad 1.21 Jaký je počátečí vklad a úroková míra, jestliže po 3 letech máme a účtu 215 693 Kč a po 5 letech 226 834 Kč? Předpokládejme složeé úročeí a úrokovací období 1 rok. Příklad 1.22 (řešeý) Začátkem roku 2010 jsme uložili do baky 100 000 Kč a účet s úrokovou mírou 2,5 %. Jaká částka bude a účtu kocem roku 2010, jestliže je úrokovací období (teoreticky) a) 1 rok, b) 6 měsíců, c) 3 měsíce, d) 1 měsíc, e) 1 de, f) ekoečě krátké, g) 1 rok, ale předpokládáme jedoduché úročeí. Řešeí: t Použijeme vzorec K K0 1 k i pro složeé úročeí, přičemž = /t. a) b) c) d) e) K 1 100000 1 0.85 0, 025 102125 Kč. 180 180 K 2 100000 1 0.85 0, 025 102136 Kč. 90 K 4 100000 1 0.85 0, 025 102142 Kč. 30 K 12 100000 1 0.85 0, 025 102146 Kč. 1 K 100000 1 0.85 0, 025 102148 Kč. 90 30 1 f) Tuto část úlohy úlohy musíme řešit s využitím difereciálího počtu. Máme totiž určit limitu k i ki 0,85 0,025 lim 0 1 0 100000 102148 K K K e e Vidíme, že pokud výsledky zaokrouhlujeme a koruy, posledí dva se již eliší. Poz.: Případ, kdy t 0, tedy, se azývá spojité úročeí. Kč. 10
k i t g) Ze vzorce K K 0 1 pro jedoduché úročeí získáme 0,85 0.025 1 K 1 100000 1 102125 Kč, tedy výsledek stejý jako v bodě a). Tuto úlohu lze ve všech jejích částech pohodlě řešit užitím přiložeého programu A_Jed_Sloz_Spoj_urok.b ; popis programu v kapitole 5. Příklad 1.23 Částku 300 000 Kč uložíme a účet s úrokovou mírou 5 % a úrokovacím obdobím 1 rok. Zjistěte výši kapitálu a účtu po 5, 10, 15 a 20 letech za předpokladu úročeí a) jedoduchého, b) složeého. Sestrojte graf závislosti kapitálu a době trváí vkladu pro oba typy úročeí. (Vypočtěte více hodot a sestrojte spojitou křivku. Vhodě zvolte soustavu souřadou.) Graf viz užití programu A_Grafy_Jed_Sloz_urok. b v kapitole 5. Příklad 1.24 De 11.11. roku 2008 uložila paí Čechová a svůj spořící účet částku 68 000 Kč a další vklady již eprováděla. Celý zůstatek a účtu vybrala de 21.5. roku 2011 a účet zrušila. Určete hodotu zůstatku a účtu, jestliže po celou dobu trváí účtu byla úroková míra 1,8 %, úročí se vždy a koci kaledářího roku. Meziročě předpokládáme složeé úročeí. 11
2 ÚVĚRY Přehled užitých pojmů a vztahů Úvěr (půjčka) je dočasé zapůjčeí peěžích prostředků věřitelem (bakou) dlužíkovi (fyzická osoba, firma), který za tuto půjčku zaplatí dlužíkovi úrok ve staoveých termíech. Úmor dluhu je ta část splátky úvěru (dluhu), která sižuje dlužou částku. Splátka se tedy skládá z úmoru dluhu a úhrady úroku. Umořovací plá je tabulka obsahující údaje o výši splátky, výši úmoru, výši úroku a stavu dluhu a koci každého úrokovacího období. Auití splátka (auita) je splátka kostatí hodoty placeá v pravidelých itervalech (obvykle a koci každého úrokového období). Pro výpočet výše auity platí vzorec s V i t i t 1 i t 1 1, i t čili, ozačíme-li q 1, s V q q 1 V q 1 q 1 1 q. Ve vzorcích je V výše úvěru, i ročí úroková míra, t délka úrokovacího období ve dech, počet auit (tedy úrokovacích období). Hypotéka (hypotečí úvěr) je dlouhodobý účelový úvěr, který poskytuje baka občaům k fiacováí ivestic do emovitostí (koupě a rekostrukce bytů, domů, pozemků apod.). Americká hypotéka je eúčelový úvěr, který je jiště emovitostí. Úroková sazba bývá o ěco vyšší ež u hypotečího úvěru, ale ižší ež u spotřebitelského úvěru. Leasig je forma proájmu růzých zařízeí, který poskytují leasigové společosti. Fiačí leasig kočí převodem vlastictví zařízeí a ájemce. Zůstatková hodota je cea, za kterou odkoupí ájemce zařízeí po ukočeí fiačího leasigu do svého vlastictví. Operativí leasig je forma leasigu, po jehož ukočeí vrací ájemce proajaté zařízeí zpět leasigové společosti. Akotace je prví splátka hrazeá hed po sepsáí smlouvy o leasigu (ebo prodeji a splátky). Udává se v procetech prodejí cey. Skoto je sleva, kterou poskytuje prodávající kupujícímu v případě, že kupující zaplatí za zboží okamžitě po jeho dodáí (ebo během krátké dohoduté doby, která je kratší, ež ormálí doba splatosti bez slevy). 12
Úlohy 2 K řešeí úloh je vhodé užít přiložeý program A_Uvery_auity.b, popis viz kapitola 5. Příklad 2.1 (řešeý) Odvoďte vzorec pro výši auití splátky uvedeý v přehledu a začátku kapitoly 2. Řešeí: Předpokládejme výši úvěru V, úrok. sazbu i p.a., délku úrokovacího období t (dů), počet auit (tedy počet úrok. období, během kterých se úvěr splatí), splátka se provádí vždy a koci úrokovacího období. Vyjádříme výši dluhu a kocích jedotlivých úrokovacích období (po zaplaceí splátky za daé období). Na koci prvího období čií dluh bace: it D1 V q s, kde q 1. Na koci druhého období čií dluh bace: 2 D D q s V q s q s Vq sq s. 2 1 Na koci třetího období čií dluh bace: 2 3 2 3 2 D3 D2 q s Vq sq s q s Vq sq sq s Vq s q q 1... Na koci tého období čií dluh bace: 1 2 2 D V q s q q q... q 1. Výraz v závorce je součtem čleů geometrické poslouposti s prvím čleem 1 a kvocietem q, tudíž D Vq s q q 1 1. Po úrok. obdobích (splátkách) je dluh bace splace, tedy D = 0, a z výše uvedeé rovice dostaeme pro výši splátky (auity) s V q q 1 V q 1 q 1 1 q. Příklad 2.2 Podikatel získal u baky úvěr ve výši 800 000 Kč, který má splatit šesti auitími měsíčími splátkami, vždy a koci měsíčího úrokovacího období. Úroková míra je 15 % p.a. a) Určete výši auity. b) Sestavte šestiměsíčí umořovací plá, uveďte celkovou částku zaplaceou bace a celkový úrok. 13
Příklad 2.3 Firma získala od baky a začátku roku 2009 úvěr ve výši 1,4 miliou Kč se splatostí 2 roky. Úrokovací období je půl roku, úroková míra je 16 % p.a. Podle smlouvy s bakou splatí firma úvěr ve čtyřech pololetích splátkách, vždy a koci úrokovacího období. Prví tři splátky budou ve výši 400 000 Kč. a) Určete výši posledí splátky. b) Sestavte umořovací plá pro roky 2009 a 2010, uveďte celkovou částku zaplaceou bace a celkový úrok. Příklad 2.4 Výrobí podik získal od baky a začátku roku úvěr ve výši 2 500 000 Kč, který bude spláce splátkami ve výši 900 000 Kč, vždy a koci roku (posledí splátka může být ižší). Úrokovací období je jede rok, úroková míra je 14 %. a) Sestavte umořovací plá. b) Určete dobu, po kterou bude úvěr spláce. c) Určete výši posledí splátky. d) Určete celkový úrok zaplaceý bace. *Příklad 2.5 (řešeý) Počátkem prvího úrokovacího období o délce t dů získáme úvěr ve výši V Kč. Te bude spláce splátkami v dohoduté výši s Kč vždy a koci úrokovacího období (posledí splátka může být ižší). Úroková míra je i p.a. (desetiým číslem). a) Určete výši dluhu a koci každého úrokovacího období. b) Určete dobu spláceí úvěru (t.j. počet úrokovacích období, po ěž je úvěr spláce). c) Určete výši posledí splátky s. d) Určete výši úroku a úmoru v jedotlivých úrokovacích obdobích. Pozámka: Program A_Fix_splatky_uveru.b řeší tuto úlohu pro kokrétí hodoty V, s, t, i včetě vygeerováí umořovacího pláu. Řešeí: a) Ozačme q 1 it a stejě jako při řešeí příkladu 2.1 získáváme pro výši dluhu a koci tého úrokovacího období q 1 D Vq s. q 1 b) V okamžiku úplého splaceí dluhu musí platit D 0, řešíme tedy rovici q 1 Vq s q 1 0. x 1 Zaveďme substituci x q, rovice pak má tvar V x s q 1 0, což je lieárí rovice vzhledem k x. Po úpravách dostaeme x s V q 1 s, přičemž musí platit s V q 1 0. Posledí podmíka vyjadřuje skutečost, že splátka musí mít hodotu vyšší, ež je úrok za prví úrokovací období ; v opačém případě by emohlo dojít k umořováí dluhu. Z posledí rovice vyjádříme x a dosadíme zpět x q, tak získáme rovici 14
s q, s V ( q 1) kterou logaritmujeme (q > 1) a máme s log q log s V q a po vyděleí kladým číslem log q a úpravě máme koečě log s log s V q 1. log q Z této rovice však obvykle evyjde celé, proto defiujme číslo 0 jako celou část čísla ; číslo 0 pak určuje počet úrokovacích období, ve kterých má splátka hodotu s, v posledím, 0 + 1 ím ú.o. má splátka s hodotu splňující podmíku 0 s s. Celková doba spláceí úvěru je tedy 0 + 1 úrokovacích období. c) Dluh a koci 0 tého úrokovacího období je 0 q 1 0 D Vq s 0 q 1, splátka zaplaceá v posledím 0 + 1 ím ú.o. je tedy s 0 0 1 q 1 D q Vq s q 0 q 1. d) Úrok za té úrokovací období se počítá z dluhu a koci předchozího období, proto je U ( D 1 q 1), = 1, 2, 3,... 0 + 1 ; D 0 = V. Úmor za té úrokovací období je U s U pro = 1, 2, 3,... 0 a v posledím 0 + 1 ím období je rove zbytku dluhu a koci 0 tého období, tedy U D. 0 1 0 1 *Příklad 2.6 Pa Krejčí využil možosti čerpat úvěr ze stavebího spořeí a půjčil si od baky částku 70 000 Kč. Úroková míra mu byla staovea a 4,8 % a měsíčí splátka a 4000 Kč. Úrokovací období je jede měsíc, úvěr byl poskytut 1.10.2011, splátku hradí pa Krejčí vždy posledí de v měsíci. a) V kterém měsíci kterého roku bude úvěr splace? b) Kolik zaplatí pa Krejčí celkově bace a úrocích? c) Kolik Kč čií posledí splátka? Návod: Použijte vzorce odvozeé v př. 2.5, k řešeí můžete též využít program A_Fix_splatky_uveru.b. *Příklad 2.7 Experimetujte s programem A_Fix_splatky_uveru.b tak, že zvolíte kostatí hodotu úvěru a a) zjišťujete závislost doby spláceí a celkového úroku a výši splátky, úrok. míra a délka úr. období je kostatí, b) zjišťujete závislost doby spláceí a celkového úroku a úrok. míře, výše splátky a délka úr. období je kostatí, c) zjišťujete závislost doby spláceí a celkového úroku a délce úr. období, úrok. míra a výše splátky je kostatí. 15
Pozámka: Ve výsledcích jsou pro ázorost graficky zázorěy je závislosti délky spláceí a s, i, t pro jisté zvoleé hodoty ostatích kostatích parametrů. Příklad 2.8 Maželé Novákovi si zřídili a začátku roku u baky hypotečí úvěr ve výši 400 000 Kč a rekostrukci bytu. Úvěr budou splácet ročími auitami, vždy a koci roku, úrokovací období je jede rok, úroková míra je 6 %. Vypočtěte výši auití splátky a celkový zaplaceý úrok, jestliže se má úvěr splatit za a) 2 roky, b) 3 roky, c) 5 let, d) 10 let. *Příklad 2.9 (řešeý) V bace získáme úvěr ve výši 1 milio Kč. Úrokovací období je jede rok, úvěr je spláce ročími auitami a koci každého roku. Zjistěme výšku auity s a celkový úrok u zaplaceý bace v závislosti a počtu auit (počtu let spláceí) ( = 1,2,3,...20 ) za předpokladu, že ročí úroková míra je a) 6 % b) 18 %. Dále zjistěme s a u pro (hypotetickou) hodotu = 100 a hodoty, ke kterým se s a u blíží, jestliže. Sestrojme grafy závislostí s() a u() pro oba případy a) a b). Řešeí: Při výpočtu hodot s a použijeme vztahy V q 1 s a u s V, 1 q kde V = 1 000 000 Kč, q = 1,06 v případě a) a q = 1,18 v případě b). Výpočet je výhodé provést pomocí programu A_Uvery_auity.b ebo vytvořeím tabulky v Excelu: 16
Z tabulky vidíme, že s rostoucím se výše auity s sižuje, pro velká se však shora přibližuje kladému číslu s, které hodoty s omezuje zdola. Platí V q 1 s lim s( ) lim V ( q 1), eboť q > 1. 1 1 q Pro i = 0,06 je tedy s = 1 000 000 0,06 = 60 000 Kč, pro i = 0,18 je s = 1 000 000 0,18 = 180 000 Kč. Pod tyto hodoty emohou ročí auity klesout. Pokud jde o celkový úrok u, rostou jeho hodoty s rostoucím bez omezeí, o čemž se přesvědčíme výpočtem limity V q 1 u lim u( ) lim V 1 1 q pro jakékoli q > 1. Nyí chápeme, proč mají baky zájem a co ejdelší době spláceí poskytutého úvěru (hypotéky) a většiou eumožňují předčasé splaceí zbytku dluhu; všiměme si apříklad, že při úrokové míře 18 % je úrok již po 9 letech spláceí vyšší ež úvěr! Názoré vyjádřeí závislostí s() a u() a vyjadřuje ásledující graf: 17
s u 1.2 10 6 1.0 10 6 800 000 600 000 400 000 200 000 0 5 10 15 20 Legeda: s() - plé čáry (i = 6 % - oražová, i = 18 % - modrá) u() - čárkovaě (i = 6 % - oražová, i = 18 % - modrá) výše úvěru V - zeleá plá Příklad 2.10 Pa Kolář chce získat účelový úvěr a moderizaci bytového jádra. Úvěr je schope splácet měsíčími auitími splátkami do výše 1000 Kč po dobu pěti let. Baka abízí stálou úrokovou míru 13 % p.a., úvěr poskytuje v tisícikoruách. a) Jaký ejvyšší úvěr může baka pau Kolářovi poskytout? b) Jaká bude pak skutečá výše splátek? *Příklad 2.11 Baka abízí občaům eúčelový úvěr ve výši 40 000 Kč s měsíčí auitou 1000 Kč a dobou splatosti 5 let. Určete odpovídající úrokovou sazbu a desetiy proceta. (Použijte program A_Uvery_auity.b ebo jiý matematický software, který je schope vziklou rovici vyřešit. V případě ručího výpočtu musíte zkusmo určovat auity pro růzé hodoty úrokové sazby.) 18
"Matematika versus životí realita" Následující úlohy - a rozdíl od zjedodušeých předešlých - zahrují i skutečosti, které obvykle peěží ústavy v reklamách a své produkty velkými písmey euvádějí. Jde o další položky, které hradí kliet bace, zejméa částky za schváleí úvěru, za vedeí účtu u této baky, za odhad trží hodoty emovitosti, kterou kliet ručí, a pojištěí této emovitosti. Díky těmto položkám skutečé áklady a úvěr arůstají ad rámec ákladů určeých samotými úroky z úvěru. Příklad 2.12 (řešeý) Maželé Novákovi potřebují k dofiacováí koupě ového třípokojového bytu v ceě 2 100 000 Kč částku 1 550 000 Kč. Tu hodlají získat pomocí hypotečího úvěru. Baka BA teto úvěr abízí s ročí úrokovou sazbou 4,7 %, dobou splatosti 25 let a měsíčími splátkami. Určete a) výši měsíčí auití splátky, b) áklady a úvěr (celkový úrok zaplaceý bace). Řešeí: Ze vzorce pro auití splátku s získáme po dosazeí V = 1 550 000, i = 0,047, t = 30, = 300: s = 8 792 Kč. Za 300 měsíců tak čií splátky celkem 8 792 300 = 2 637 600 Kč a celkový úrok je u =2 637 600 1 550 000 = 1 087 600 Kč. Před podpisem smlouvy o úvěru je však maželům Novákovým sděleo, že ad rámec úroků musí uhradit bace BA ásledující poplatky: - 0,8 % z výše úvěru za schváleí účtu (tedy 0,008 1 550 000 = 12 400 Kč), - 130 Kč měsíčě za vedeí účtu u baky BA (tedy za 25 let 130 300 = 39 000 Kč), - 1 800 Kč ročě za pojištěí bytu (celkově tedy 1 800 25 = 45 000 Kč), - 2 500 Kč za odhad trží (budoucí) hodoty bytu. Skutečé celkové áklady a úvěr budou tedy o 12 400 + 39 000 + 45 000 + 2 500 = 98 900 Kč vyšší, ež původě Novákovi očekávali, a budou s úroky čiit 1 087 600 + 98 900 = 1 186 500 Kč. Příklad 2.13 Pa Karásek potřebuje získat prostředictvím hypotečího úvěru částku 2 500 000 Kč a stavbu rodiého domu. Baka BB abízí ročí úrokovou míru 4,8 % a doby splatosti a) 10 let, b) 20 let, c) 30 let. Dále musí pa Karásek uhradit ásledující poplatky: - 150 Kč měsíčě za vedeí účtu u baky BB, - 0,75 % z úvěru za jeho schváleí, - 4 800 Kč za odhad trží cey domu, - 4 200 Kč ročě za pojištěí domu. Vypočtěte měsíčí auitu s, celkový úrok u, podíl p úroku u a výše úvěru V a celkové áklady N a úvěr pro jedotlivé doby splatosti a), b), c). Proveďte porováí těchto variat z hlediska výhodosti pro paa Karáska a pro baku BB. 19
Příklad 2.14 S využitím přiložeého programu A_Uvery_auity.b porovávejte hodoty poměru kde u je celkový úrok a V výše úvěru. Zvolte V = 1 000 000 Kč, i = 0,06, t = 30 dí a zjistěte závislost p a počtu úrok. období. Výsledky zapište do ásledující tabulky. p u V, (měsíců) doba spláceí (let) 12 1 24 2 36 3 48 4 60 5 120 10 180 15 240 20 300 25 30 u (Kč) p = u/v p % Sledujte grafické zázorěí úroku a úmoru a rychlost poklesu dlužé jistiy a grafu, který geeruje program, a odpovídající umořovací pláy v závislosti a. Ze získaých hodot vyvoďte závěry z hlediska výhodosti úvěru pro klieta baky. Příklad 2.15 Maželé Sovovi si potřebují půjčit a pořízeí staršího automobilu a dovybaveí bytu částku 800 000 Kč. Baka BC jim abízí americkou hypotéku s ročí úrokovou sazbou 7,1 %, dobou splatosti 15 let a měsíčími splátkami. Poplatek za schváleí úvěru je 0,85 % vypůjčeé částky, poplatek za vedeí účtu v bace BC je 100 Kč měsíčě, za odhad trží cey bytu musí Sovovi zaplatit 1800 Kč, pojištěí bytu mají vlastí. Určete a) výšku měsíčí auití splátky, b) celkový úrok zaplaceý bace, c) skutečé celkové áklady hypotéky. 20
Leasig Příklad 2.16 Soukromý zemědělec pa Jiráček chce získat stroj o pořizovací ceě 1 500 000 Kč formou fiačího leasigu. Leasigová společost abízí akotace ve výši 20 %, 40 %, 60 %, 80 % a dobu spláceí 24, 36 a 48 měsíců. Následující tabulka poskytuje podklady pro výpočet výšky měsíčí splátky pro všechy abízeé variaty: Akotace Měsíčí splátka v % z cey stroje % 24 měsíců 36 měsíců 48 měsíců 20 3,917 2,813 2,267 40 2,938 2,109 1,701 60 1,959 1,406 1,134 80 0,979 0,703 0,567 Zůstatková hodota je ve všech případech 600 Kč, poplatek při podpisu ájemí smlouvy je 1,3 % pořizovací cey stroje. Vypočtěte a) Výši jedé měsíčí splátky pro všechy variaty uvedeé v tabulce. b) Součet měsíčích splátek pro všechy variaty uvedeé v tabulce. c) Celkovou částku, kterou zaplatí ájemce leasigové společosti (včetě zůstatkové hodoty a poplatku) pro všechy variaty uvedeé v tabulce. d) Zisk leasigové společosti pro všechy variaty uvedeé v tabulce. Výsledky z a), b), c) a d) uspořádejte do tabulek podobých tabulce uvedeé v zadáí. Výsledky z a) a b) zázorěte pomocí sloupcových diagramů (viz výsledky). Pozámka: Úlohu 2.16. řeší přiložeý program Leasig 2.16.xlsx. Teto program lze užít i pro řešeí úloh obdobého zadáí, pokud změíme údaje ve vstupích buňkách. Příklad 2.17 Pořizovací cea ákladího automobilu je 2 400 000 Kč. Při volbě akotace 50 % a době spláceí 42 měsíců čií měsíčí splátka fiačího leasigu 40 585 Kč. Jak vysoká je ročí úroková míra tohoto leasigu? (Předpokládejte ulovou zůstatkovou hodotu. Užijte program A_Uvery_auity.b.) 21
Spláceí úvěru estejými splátkami při kostatím úmoru Příklad 2.18 (řešeý) a) Částka 36 000 Kč má být splacea dvaácti estejými splátkami s kostatím úmorem. Splátky jsou placey vždy a koci měsíčího úrokovacího období, úroková míra je 18 % p.a. Sestavte umořovací plá splátek a určete celkovou částku zaplaceou a úrocích. b) Řešte stejou úlohu za předpokladu kostatích auitích splátek. c) Porovejte výsledky částí a) a b) z hlediska výhodosti pro klieta (dlužíka). Řešeí: a) Splátka a koci každého měsíce se skládá z kostatího úmoru ve výši 36 000 : 12 = 3 000 Kč a z promělivého úroku za daý měsíc. Úroky jsou: Za 1. měsíc... 00 0,18 12 540 Kč, základ pro výpočet úroku se v každém dalším měsíci síží o zaplaceý úmor 3 000 Kč, tedy úrok je za 2. měsíc... 33000 0,18 12 495 Kč, za 3. měsíc... 30000 0,18 12 450 Kč,.. za 12. měsíc... 3000 0,18 12 45 Kč. Jak je zřejmé, úroky tvoří aritmetickou posloupost s prvím čleem 540 a diferecí -45 (i měsíčí splátky tvoří aritmetickou posloupost se stejou diferecí a prvím čleem 3540), pro celkový úrok U lze tedy použít vzorec pro součet čleů aritm. poslouposti: 12 U 2 540 45 3510 Kč. Umořovací plá: Měsíc Úmor Úrok Splátka Dlužá částka po zaplaceí splátky 1. 3000 540 3540 33000 2. 3000 495 3495 30000 3. 3000 450 3450 27000 4. 3000 405 3405 24000 5. 3000 3 21000 6. 3000 315 3315 18000 7. 3000 270 3270 15000 8. 3000 225 3225 12000 9. 3000 180 3180 9000 10. 3000 135 3135 6000 11. 3000 90 3090 3000 12. 3000 45 3045 0 Celkem 3510 22
b) Výši auity spočteme pomocí vzorce i t i t V 1 s i t 1 1 12 00 1,015 0,015 12 1,015 1 3300,5 Kč. Umořovací plá (jedotlivé položky jsou zaokrouhley a Kč, tudíž součty přesě eodpovídají): Měsíc Úmor Úrok Splátka Dlužá částka po zaplaceí splátky 1. 2760 540 3300 33240 2. 2802 499 3300 30438 3. 2844 457 3300 27594 4. 2887 414 3300 24707 5. 2930 371 3300 21777 6. 2974 327 3300 18803 7. 3018 282 3300 15785 8. 3064 237 3300 12721 9. 3110 191 3300 9612 10. 3156 144 3300 6455 11. 3204 97 3300 3252 12. 3252 49 3300 0 Celkem 8 Pro větší ázorost uvádím grafické srováí hodot jedotlivých položek z tabulky pro oba případy a) a b). ÚMOR 3300 a kostatí úmor b kostatí auita 3200 3100 3000 2900 2800 2700 0 2 4 6 8 10 12 měsíc 23
ÚROK 600 a kostatí úmor b kostatí auita 500 400 300 200 100 0 2 4 6 8 10 12 měsíc SPLÁTKA 0 a kostatí úmor b kostatí auita 3500 3400 3300 3200 3100 0 2 4 6 8 10 12 měsíc DLUH 40 000 a kostatí úmor b kostatí auita 30 000 20 000 10 000 0 2 4 6 8 10 12 měsíc Z uvedeých tabulek i grafů vyplývá, že pro dlužíka je výhodější variata a) s kostatím úmorem. Při variatě b) je totiž po celé období spláceí úvěru dlužá částka (a tudíž i úrok) vyšší ež u variaty a). Celkový zaplaceý úrok je u variaty b) o 8 3510 = 98 Kč vyšší ež u variaty a). 24
Příklad 2.19 Pa Oulík získal od baky počátkem roku úvěr ve výši 160 000 Kč, který má podle smlouvy splatit osmi pravidelými splátkami s kostatím úmorem, vždy a koci pololetí, úrokovací období je půl roku, úroková míra je 12 % p.a. Sestavte umořovací plá splátek a určete celkový úrok, který musí pa Oulík zaplatit bace. *Řešeí viz úloha 2.18 variata a).] Skoto Příklad 2.20 (řešeý) Prodejí firma AB dodala zákazíkovi Z kacelářské vybaveí v celkové prodejí ceě 450 000 Kč. Zákazík Z může dodaé zboží uhradit dvěma způsoby: a) v plé prodejí ceě v termíu do 3 týdů od data dodáí, b) se skotem (slevou) ve výši 1,5 % prodejí cey, pokud bude platba provedea ihed po dodáí. Zákazík Z emá volé fi. prostředky k okamžité platbě, v případě využití skota by si musel vzít krátkodobý úvěr s úrok. sazbou 14 % p.a. (úročí se v okamžiku jedorázového splaceí úvěru). Je pro zákazíka Z za těchto podmíek výhodé využít skota? Řešeí: 1,5 Skoto má hodotu S 450000 6750 Kč. 100 Zákazík by tedy musel ihed uhradit sížeou ceu ve výši 450 000 6 750 = 443 250 Kč. Ve stejé výši si musí vzít úvěr. 14 21 Úrok z úvěru za 3 týdy je pak U 443250 3620 Kč. 100 Jelikož S > U, je výhodé využít skoto, zákazík K tak získá částku S U = 3 130 Kč. Příklad 2.21 Výrobí firma CD dodala školskému zařízeí S počítačové vybaveí s prodejí ceou 170 000 Kč. Možosti zaplaceí zboží jsou ásledující: a) zaplaceí celé prodejí cey v termíu do 4 týdů, b) zaplaceí cey sížeé o skoto v hodotě 2,5 % prodejí cey ihed po dodáí. Zařízeí S má dost fiačích prostředků pro okamžitou platbu, ty jsou uložey a účtu s úrokovou mírou 2 %. Vyplatí se zařízeí S využít skoto? *Viz př. 2.20 s tím, že yí protihodotou za využití skota je ušlý zisk z čistého úroku a účtu. ] 25
3 SPOŘENÍ Přehled užitých pojmů a vztahů Spořící účet (vkladový účet, bakoví koto) je účet, který slouží k ukládáí (vybíráí) peěžích prostředků v libovolých částkách a termíech. Teto účet může být zříze i s výpovědí lhůtou, popř. s revolvigem. Daň z úroku je 15 %. Stavebí spořeí je spořeí podporovaé státem prostředictvím tkzv. státího příspěvku. Každý účastík má árok a poskytutí úvěru v limitovaé výši za relativě výhodých podmíek, te lze čerpat účelově a fiacováí potřeb spojeých s bydleím. Reta (důchod) je pravidelá platba stejé hodoty. Retový účet je spořící účet, ze kterého se jeho majiteli vyplácí reta. Výše aspořeé částky při pravidelých vkladech: a) Částka K 0 se ukládá a začátku každého úrokovacího období (jde o tkzv. předlhůtí spořeí), ročí úroková míra je i, zdaňovací koeficiet k, úrokovací období je t dí. Pak a koci - tého úrokovacího období je a kotě částka q 1 t K K0 q, kde q 1 k i. q 1 b) Částka K 0 se ukládá a koci každého úrokovacího období (jde o tkzv. polhůtí spořeí), ročí úroková míra je i, zdaňovací koeficiet k, úrokovací období je t dí. Pak a koci - tého úrokovacího období je a kotě částka q 1 t K K, kde 0 q 1 k i. q 1 Teto vzorec lze užít i pro zobecěou situaci, kdy je během úrok. období ukládáo víckrát. K 0 pak ozačuje celkovou částku aspořeou během úrok. období + úrok z této částky a koci úrokovacího období. (K 0 musí být ve všech úrokovacích obdobích stejé.) 26
Úlohy 3 Příklad 3.1 Paí Rubášová ukládala a ový spořící účet počátkem každého měsíce částku 4 000 Kč, poprvé 1.1.2009, z účtu ebyly prováděy žádé výběry. Úročí se vždy a koci kaledářího měsíce, úroková míra je 2,4 % p.a. Určete kapitál a účtu paí Rubášové a) a koci duba 2009, b) a koci prosice 2009. Příklad 3.2 (řešeý) Odvoďte vzorce pro výši aspořeé částky při pravidelých vkladech uvedeé v přehledu a začátku této kapitoly s využitím pozatků o geometrické poslouposti. Řešeí: a) Předpokládáme, že částka K 0 se ukládá a začátku každého úrokovacího období, ročí úroková míra je i, zdaňovací koeficiet k, úrokovací období je t dí. t Ozačme q 1 k i, pak je kapitál a účtě a koci 1. úrok. období K1 K0 q, (yí uložíme K 0, stejě tak a koci každého dalšího období) 2 2 2. úrok. období K2 K1 K0 q K0q K0 q K0q K0q K0 q q, 3. úrok. období 2 2 3 K3 K2 K0 q K0 q q K0 q K0 q q q, 4. úrok. období.. 2 3 2 3 4 K4 K3 K0 q K0 q q q K0 q K0 q q q q, 2 2 1 -tého úrok. období... K K K q K q q q K q 1 q q... q, 1 0 0 0 přičemž výraz v závorce je součet prvích čleů geometrické poslouposti s prvím čleem 1 a kvocietem q, takže platí t 1 k i 1 q 1 t K K0q K0 1 k i. q 1 t k i b) Předpokládáme, že částka K 0 se ukládá a koci každého úrokovacího období, kapitál a účtě a koci tého úrokovacího období ozačme K. Místo výpočtů K 1, K 2,... si uvědomíme, že vklad a koci úrokovacího období je z hlediska úročeí ekvivaletí vkladu a počátku ásledujícího období, je se yí ještě a koci úr. období přiloží částka K 0,takže musí platit: K K, 1 0 K K + K, 2 1 0 K K K 3 2 0, 27
.. 1 q 1 q q q 1 K K 1 K0 K0q K0 K0 1 K0 q 1 q 1 q 1 což je druhý dokazovaý vzorec., Příklad 3.3 Pa Odrášek si založil de 17.4. bakoví koto a uložil a ě ihed 9 500 Kč. De 6.7. uložil a koto další částku ve výši 3 500 Kč a de 20.10. částku 5 400 Kč. Úroková míra je 2,1 %, úrokovací období 1 rok (úročí se vždy a koci kaledářího roku). Pa Odrášek žádé peíze během tohoto roku z kota evybíral. a) Kolik koru měl pa Odrášek a kotě a koci kaledářího roku s připsaým zdaěým úrokem? b) Kolik čiil zdaěý úrok? Příklad 3.4 Paí Bártová si založila u baky spořící účet a začátku roku 2010. Ročí úroková míra je v průběhu tohoto roku stálá a čií 2,5 %. Vypočtěte částku, kterou bude mít a účtu paí Bártová a koci roku 2010, jestliže během roku ic evybírá a a) a začátku roku uloží jedorázově částku 12 000 Kč a pak již ic; úrokovací období je jede rok, úročí se a koci roku, b) a začátku každého měsíce uloží 1000 Kč, úrokovací období je jede měsíc, c) a koci každého měsíce uloží 1000 Kč, úrokovací období je jede měsíc, d) a začátku každého měsíce uloží 1000 Kč, úrokovací období je jede rok, úročí se a koci roku, e) a začátku každého čtvrtletí uloží 3 000 Kč, úrokovací období je jede rok, úročí se a koci roku, f) a začátku každého čtvrtletí uloží 3 000 Kč, úrokovací období je čtvrt roku, úročí se a koci čtvrtletí. Pozámka: V částech d), e) užijte pozatky o aritmetických posloupostech. Příklad 3.5 Pa Král bude ukládat vždy a začátku roku 5000 Kč a vkladový účet. Stálá úroková míra čií 3,3 %, úrokovací období je 1 rok. Zjistěte, za kolik let přesáhe aspořeá částka 50 000 Kč. Příklad 3.6 Paí Křížová spořila a ově zřízeé vkladí kížce a začátku každého měsíce roku 2007 částku 5000 Kč, úročilo se vždy a koci měsíce, úroková míra byla 2,6 % p.a. Na koci roku 2007 spořeí ukočila a aspořeou částku včetě úroků převedla počátkem roku 2008 a spořící účet, kde ji poechala bez dalších vkladů a výběrů další tři roky. Účet měl úrokovací období jede rok (úročilo se a koci roku) a úrokovou míru 3,5 % p.a. 28
Zjistěte a) kapitál a kížce a koci roku 2007, b) kapitál a účtu a koci roku 2010. Příklad 3.7 (řešeý) Paí Jarešová si spořila každého 10. v měsíci částku 5000 Kč a spořící účet se stálou úrokovou mírou 3 % p.a., prví vklad byl provede 10.4.2008. Úročilo se vždy a koci kaledářího měsíce. Jakou částku měla paí Jarešová a účtě kocem červa roku 2011, jestliže po celou dobu spořeí ebyly prováděy žádé výběry z účtu? Kolik čiil čistý úrok za celé období spořeí? Řešeí: q 1 Pro řešeí úlohy můžeme použít vzorec K K pro polhůtí spořeí, což zdůvodíme 0 q 1 ásledující úvahou. V prvím úr. období (v dubu 2008) byla uložea částka 5000 Kč a za období od 10.4. do koce měsíce, tedy za 20 dí, byl a koci měsíce připočte úrok ve výši 20 5000 0, 03 0.85 7, 08 Kč. Situace je rovoceá uložeí částky K 0 = 5007,08 Kč a koci měsíce duba, ta se úročí v dalším měsíci. Na koci druhého úr. období (květa) jsme opět uložili 5007,08 Kč zahrující vklad 5000 Kč a úrok z ěj od 10.5. do koce květa, který ještě eí zahrut v úrocích za květe počítaých ze základu a koci duba. A stejě to proběhlo ve všech úrok. obdobích včetě posledího (tedy červa 2011). 1 Nejprve vypočteme hodotu kvocietu q 1 0, 03 0.85 1, 002125. 12 Pak určíme výsledý kapitál a účtu za celkem = 39 měsíčích úr. období : K 39 39 1,002125 1 5007,08 203371 Kč. 0,002125 Čistý úrok byl 203 371 39 5000 = 203 371 195 000 = 8 371 Kč. ˇ Na základě úvahy provedeé výše můžeme formulovat obecé pravidlo: V případě, že pravidelý vklad provádíme ve stále stejé dy průběhu úrokovacího období, můžeme pro výpočet celkové aspořeé částky použít vzorec pro polhůtí spořeí q 1 K K, kde za K 0 0 dosadíme součet ukládaých částek a čistého úroku z ich ode de q 1 vkladů do koce úrokovacího období. (Logickou podmíkou je, že iterval mezi dvěma vklady je ejvýše rove délce úrok. období.) *Příklad 3.8 Paí Kolářová spoří každý měsíc 800 Kč tím způsobem, že její zaměstavatel tuto částku převádí vždy 15. daého měsíce a spořící účet v bace, úročeí je prováděo vždy a koci čtvrtletí kaledářího roku. Prví vklad byl provede 15. leda 2010. Úroková míra je 2,8 %. 29
a) Jakou částku bude mít paí Kolářová a účtě a koci roku 2011? b) Kdy přesáhe aspořeá částka 30 000 Kč? (Řešeí viz úloha 3.7.) Příklad 3.9 (řešeý) Na spořící účet ukládáme počátkem každého měsíce daého roku částku 2000 Kč. Úroková míra je 1,8 % p.a., úrokovací období 1 rok (úročí se a koci roku). Vypočtěte celkový (zdaěý) úrok za daý rok a částku, která je a účtě a koci roku za předpokladu, že a začátku roku byl stav a účtu ulový. Řešeí: Jde o tkzv. krátkodobé (předlhůtí) spořeí, kdy celková úrokovací doba je částí jedoho úrokovacího období. Ozačme S = 2000 Kč, i = 0,018, k = 0,85, celkový úrok za rok je u, aspořeá částka za rok včetě úroků je S r. V průběhu roku používáme jedoduché úročeí, protože úrok je připsá a účet až a koci roku. Úročeý kapitál se však v jedotlivých měsících roku avyšuje: Prví měsíc se úročí částka S, úrok za prví měsíc je tedy i u1 S 12 k, druhý měsíc se úročí částka 2S, úrok za druhý měsíc je tedy i u2 2S 12 k, posledí měsíc se úročí částka 12S, úrok za posl. měsíc je tedy i u12 12 S 12 k. (Úroky za jedotlivé měsíce tvoří aritmetickou posloupost.) Celkový úrok za rok je pak (s využitím vzorce pro součet čleů arit.poslouposti) S i k S i k 13 u 1 2... 12 6 13 S i k 6,5 2000 0, 018 0,85 199 Kč. 12 12 2 Celková aspořeá částka je Sr 12 2000 199 24199 Kč. Příklad 3.10 Zobecěím postupu řešeí úlohy 3.9 odvoďte vzorec pro celkový úrok u a celkovou aspořeou částku S r za rok, jestliže počátkem každé m-tiy roku ukládáme částku S Kč (m je přirozeé číslo). Úrokovací období je jede rok, ročí úroková míra je i, zdaňovací koeficiet k, úročí se a koci roku. Příklad 3.11 Vypočtěte celkovou aspořeou částku a úrok za rok, jestliže ukládáme vždy počátkem čtvrtletí částku 6000 Kč, úrokovací období je jede rok, úroková míra je 1,8 % p.a., úročí se a koci roku. Výsledek porovejte s výsledkem úlohy 3.9. 30
Příklad 3.12 Jakou částku musíme ukládat počátkem každého měsíce daého roku, aby celková uspořeá částka za rok včetě úroků byla 30 304 Kč? Úroková míra je 2,2 % p.a., úrokovací období je jede rok, úročí se a koci roku. (Použijte vzorec odvozeý v úloze 3.10.) Příklad 3.13 Při jaké ročí úrokové míře bude při pravidelě ukládaé částce 3000 Kč počátkem každého měsíce celkový úrok za rok rove 265 Kč? (Použijte vzorec odvozeý v úloze 3.10.) Příklad 3.14 (řešeý) Vždy a začátku měsíce ukládáme částku 1500 Kč a spořící účet. Úroková míra je 2 %, úrokovací období 1 rok. Vypočtěte čistý úrok a celkovou aspořeou částku za 5 let při složeém úrokováí. Řešeí: Při řešeí úlohy použijeme kombiaci krátkodobého spořeí s jedoduchým úročeím pro výpočet částky uspořeé v průběhu jedoho kaledářího roku a složeého úročeí pro výpočet aspořeé částky za 5 úrokovacích období. V souladu s řešeím úlohy 3.9 a podle vzorce odvozeého v úloze 3.10 je celková částka uspořeá za jede kaledáří rok i k m 1 0,02 0,85 13 Sr S m 1 1500 12 1 18166 Kč. 2m 24 Tuto částku vlastě ukládáme a koci každého roku a účet a dále úročíme složeým úročeím q 1 t podle vzorce pro polhůtí spořeí K K, kde 0 q 1 k i, K 0 = S r, t =. q 1 Po dosazeí K 5 1 0,85 0,02 1 18166 93970 Kč. 0,85 0,02 Celkový úrok čií u = 93 970-5 12 1500 = 93 970 90 000 = 3 970 Kč. 5 *Příklad 3.15 Zobecěím postupu řešeí úlohy 3.14 odvoďte vzorce pro celkovou aspořeou částku K a celkový úrok u za let za těchto podmíek: Vždy a začátku jedé m tiy roku (m N) ukládáme částku S Kč, ročí úroková míra je i, úrokovací období 1 rok (úročí se a koci roku), zdaňovací koeficiet je k. Meziročě používáme složeé úročeí. 31
Příklad 3.16 Jakou částku musíme ukládat počátkem a) každého měsíce, b) každého čtvrtletí, abychom při úrokové míře 3 % p.a. aspořili za 6 let 400 000 Kč? Úrokovací období je 1 rok. (Užijte vzorec odvozeý v úloze 3.15.) Příklad 3.17 Kolik let je uto spořit počátkem každého čtvrtletí 5000 Kč, aby aspořeá částka při úrokové míře 2,3 % a ročím úrokovacím období přesáhla 80 000 Kč? (Užijte vzorec odvozeý v úloze 3.15.) Pozámka: Při řešeí úloh 3.9 až 3.17 (popř. kotrole jejich výsledků) lze využít přiložeý program A_Spor_Kombi.b. Stavebí spořeí Příklad 3.18 (řešeý) Pa Kolář si zřídil k 1.1.2011 stavebí spořeí s cílovou částkou 800 000 Kč. Z tarifů abízeých stavebí spořitelou si vybral variatu A (stadard) která má tyto podmíky: a) úroková sazba z vkladů je 2 % p.a., b) úroková sazba z úvěru je 4,8 % p.a., c) miimálí proceto aspořeí je 40 % cílové částky, d) miimálí měsíčí splátka úvěru je 0,6 % cílové částky. Pa Kolář si dojedal měsíčí vklad ve výši 5500 Kč s platostí 5 let. Te bude ale hradit jedorázově za rok, vždy k 1.1, poprvé 1.1.2010. Vklady se úročí jedou ročě, a to k 31.12. Státí příspěvek ve výši 1500 Kč za rok bude připisová k aspořeé částce po celých 5 let, vždy k 1.1. Daň z úroků z aspořeé částky je 15 %, úrok se počítá z celkové aspořeé částky včetě státího příspěvku. (Zadáí úlohy je vůči skutečosti zjedodušeo). Určete: a) celkovou uspořeou částku a účtu k 1.1.2016 (kdy už se další vklad eprovádí), b) maximálí výši úvěru, o který může pa Kolář požádat, c) miimálí výši měsíčí splátky úvěru, *d) dobu spláceí úvěru v měsících za předpokladu, že byla využita maximálí výše úvěru a miimálí výše měsíčí splátky (předpokládejme platost vzorce pro auitu z úvodu kapitoly 2), *e) celkový úrok z úvěru zaplaceý bace. 32
Řešeí: a) Na začátku každého roku je paem Kolářem a účet vložea částka 5500 12 = 66 000 Kč a dále státí příspěvek ve výši 1500 Kč, tedy celkově 67 500 Kč. Při úrokové sazbě 2 % je pak za pět ročích úrokovacích období a účtu částka 5 q 1 K5 67500 q, kde q 1 0,85 0,02 1,017, tedy K 5 = 355 108 Kč. q 1 Miimálí proceto aspořeí ve výši 40 % cílové částky, tedy 320 000 Kč, bylo splěo. b) Pa Kolář může požádat o úvěr ve výši rozdílu cílové částky a aspořeé částky, tedy o 800 000 355 108 = 444 892 Kč. c) Miimálí výše měsíčí splátky úvěru je 800 000 0,006 = 4 800 Kč. d) Platí tedy s = 4800 Kč, V = 444 892 Kč, t = 30, i = 0,048, =? V q 1 i t Předpokládáme platost vzorce s, kde q 1. 1 q Ze vzorce postupě vyjádříme : V q 1 1 q, s V q 1 q 1, kde q = 1,004 > 0, logaritmováím s 1 log q log 1 V q, s log 1 V log q q s 1, po dosazeí = 116,035. Úvěr bude splace po přibližě 116 měsících, tedy po 9 letech a 8 měsících. Pozámka: Při řešeí je možo užít též program A_Uvery_auity.b, kde astavíme V = 444 892, s = 4 800, i = 0,048 a hodotu měíme tak, aby auita s byla poprvé vyšší ež 4 800 Kč. Pro = 116 vychází s = 4801 Kč, pro = 117 vychází = 4 769 Kč. e) Celkový úrok čií 116 4801 444 892 = 112 024 Kč. Příklad 3.19 Řešte úlohu 3.18 se stejými hodotami s tím rozdílem, že pa Kolář zvolil tarifí variatu B (rychlou) s ásledujícími podmíkami: a) úroková sazba z vkladů je 1 % p.a., b) úroková sazba z úvěru je 3,7 % p.a., c) miimálí proceto aspořeí je 38 % cílové částky, d) miimálí měsíčí splátka úvěru je 0,8 % cílové částky. 33
Reta (důchod) Příklad 3.20 (řešeý) Pa Hořejší si založil retový účet se stálou úrokovou mírou 5 % a po dobu 20 let a ěj ukládal vždy a počátku měsíce částku 1000 Kč. Ve smlouvě je dohoduto, že po ukočeí spořeí bude po dobu 10 let pobírat měsíčí retu. Reta zače být vyplácea a koci prvího měsíce ásledujícího po měsíci ukočeí spořeí. Úrokovací období je 1 měsíc. a) Jaký kapitál pa Hořejší ve spořící fázi aspořil? b) Jaká je výše měsíčí rety? c) Jaká celková částka bude ve výběrové fázi pau Hořejšímu v retách vyplacea? Řešeí: V prví, tkzv. spořící fázi, aspořil pa Hořejší kapitál K ve výši (používáme předlhůtí spořeí) K 1 1 0,85 0,05 1 1 12 1000 1 0,85 0, 05 378598 Kč. 12 1 0,85 0,05 12 Ve druhé, tkzv. výběrové fázi, bude pau Hořejšímu vyplácea vždy a koci měsíce reta v hodotě takové, aby byla splěa ásledující podmíka: 240 Kdybychom vypláceou retu R použili k polhůtímu spořeí (vyplaceou retu v daém měsíci tedy uložíme a jeho koci), musí být celková aspořeá částka a koci výběrového období stejá, jako kdybychom počátečí kapitál echali po stejou dobu a účtu se stejou úrokovou mírou a složeým úročeím. S využitím vzorce pro složeé úročeí a postlhůtí spořeí tedy v ašem případě máme 1 120 1 0,85 0,05 1 1 12 378 598 1 0,85 0,05 R 12 1 0,85 0,05 12 a po vyjádřeí R a umerickém výpočtu R = 3878 Kč. Celkově vyplaceá částka je pak C = 3878 120 = 465 Kč. Pro srováí: Kdybychom počátečí kapitál echali a účtu, bylo by tam a koci výběrového období K 120 1 378 598 1 0,85 0,05 578 665 Kč. 12 120 120 Příklad 3.21 (řešeý) Odvoďme obecý vzorec pro výši jedé výplaty rety R a celkově vyplaceé částky C za předpokladu, že K je kapitál a začátku výběrové fáze, i je ročí úroková míra retového účtu, k je zdaňovací koeficiet, t je délka úrokovacího období ve dech, je počet úrokovacích období ve výběrové fázi (= počet výplat rety). 34
Řešeí: Podmíka pro výši rety z příkladu 3.17 je vyjádřea rovicí K 1 k i t R Ozačíme-li q 1 k i t 1 1. k i t k i t, platí R K q q q Příklad 3.22 Pa Novák uložil jedorázově a retový účet počátkem roku částku 1 500 000 Kč, kterou získal prodejem zděděého bytu. K výplatě prví rety došlo a koci tohoto roku, reta se vyplácí jedou za rok, úroková míra je 4,8 %, úrokovací období jede rok, reta bude vyplácea po dobu 15 let. Určete výši ročí rety a celkovou částku vyplaceou pau Novákovi za 15 let. 1 1. Příklad 3.23 Maželé Marešovi chtějí své dceři zajistit pro dobu jejích studií v délce 5 let retu ve výši 15 000 Kč vypláceou a koci každého čtvrtletí. Jakou částku musí Marešovi jedorázově uložit a retový účet těsě před začátkem dceřiých studií, jestliže je ročí úroková míra 5,2 % a úrokovací období 3 měsíce? (Vklad zaokrouhlete a tisícikoruy.) Příklad 3.24 Pa Šedivý spořil vždy a začátku roku a retový účet částku 20 000 Kč po dobu 18 let. Spořeí ukočil a chce požádat o výplatu rety po dobu 8 let, reta bude vyplácea vždy a koci roku počíaje rokem ásledujícím. Úrokovací období je 1 rok, úroková míra je stálá v obou fázích a čií 5,8 %. Určete a) aspořeou částku ve spořící fázi, b) výši ročí rety, c) celkově vyplaceou částku v retách. Důchodové připojištěí Příklad 3.25 (řešeý) Pa Kučera si zřídil pezijí připojištěí u pezijího fodu baky BB za ásledujících předpokladů: - pa Kučera spoří po dobu 12 let 1 500 Kč měsíčě - státí příspěvek je 150 Kč měsíčě - příspěvek zaměstavatele paa Kučery je 200 Kč měsíčě (předpokládejme, že všechy výše uvedeé částky jsou převedey a retový účet počátkem měsíce) - podíly a zisku fodu předpokládejme (pro jedoduchost) stálé po celou dobu spořící i výběrové fáze a ekvivaletí úrokové míře 6 % p.a. - po ukočeí spořeí volí pa Kučera čerpáí aspořeých prostředků formou doživotí rety, 35
výše rety je mu určea z předpokladu, že mu bude vyplácea dalších 14 let, vždy a koci měsíce - úrokovací období je stále 1 měsíc - daň z úroku je 15 %. Určete a) celkovou aspořeou částku b) výši měsíčí rety c) celkovou vyplaceou částku za 14 let d) celkovou vyplaceou částku za předpokladu, že bude pa Kučera žít o 10 let déle, čili staoveá reta mu bude ve stejé výši vyplácea celkem 24 let. Řešeí: Počátkem každého měsíce se a účet ukládá částka 1850 Kč. Naspořeá částka za 12 12 = 144 měsíců je tedy 144 0,06 1 0.85 1 K 0, 06 12 1850 1 0.85 12 0,06 367 956 Kč. 0.85 12 Výplata rety bude trvat 14 12 = 168 měsíců, výše rety bude podle vzorce odvozeého v př.3.21 R K q 0,06 0,06 1 0,85 0,85 q 1 12 12 367956 168 q 1 0,06 1 0,85 1 12 168 3 069 Kč. Celková vyplaceá částka v retách je 3 069 168 = 515 592 Kč. Pokud by vypláceí rety trvalo 24 12 = 288 měsíců, byla by vyplaceá částka 3 069 288 = 883 872 Kč. Pozámka: Pro řešeí úloh 3.20 3.25 lze užít programy A_Reta_faze 2.b a A_Reta_faze 1_2.b. 36
4 JEDNODUŠŠÍ ÚLOHY PRO ŽÁKY NIŽŠÍHO GYMNÁZIA A ŽÁKY ZÁKLADNÍ ŠKOLY Přehled užitých pojmů (obecé vzorce zde euvádíme, předpokládá se řešeí úsudkem a základě zalosti počítáí s procety a zalosti přímé úměrosti - trojčleky) Úrok je částka, kterou získává věřitel od dlužíka jako odměu za půjčeí peěz. Dlužík je fyzická osoba ebo istituce (baka, podik ap.), která si peíze půjčuje. Věřitel je fyzická osoba ebo istituce (baka, podik ap.), která peíze půjčuje. Kapitál je peěží obos (částka), který věřitel půjčuje dlužíkovi, ebo obos, který je v daém okamžiku a účtě (vkladí kížce ap.). Úroková míra (úroková sazba) ročí je podíl úroku získaého za rok a zapůjčeé částky, udává se v procetech ebo jako desetié číslo z itervalu (0; 1). V této sbírce bude vždy používáa ročí úr. míra, tedy úr.míra začeá p.a. (per aum). Daň z úroku je část úroku, která se evyplácí věřiteli a odvádí se státu; uvádí se v procetech. V této sbírce vždy počítáme z daí z úroku ve výši 15 %. Daň z úroku odvádí osoba ebo istituce, která je vůči bace věřitelem (příjemcem úroku). Pokud je věřitelem baka, daň z úroku eodvádí. Úroková doba je doba, po kterou je zapůjčeá částka (vklad ebo úvěr) úročea. V této sbírce budeme pro určeí úrokové doby výhradě používat evropský stadard 30E/ (ěmecká metoda), ve kterém má každý měsíc 30 dí, rok má dí. Do úrokové doby budeme jako posledí de úročeí započítávat de splatosti, ikoli však de vkladu ebo poskytutí úvěru. Úrokovací období je časový úsek mezi dvěma po sobě ásledujícími úročeími. Úrokovací období může být ročí, pololetí, čvrtletí, měsíčí, týdeí, deí. Termíovaý vklad (účet) má určeou dobu splatosti, po kterou elze z účtu bez sakcí peíze vybírat. Doba splatosti může být ěkolik dí až ěkolik let. Revolvig je oboveí termíovaého účtu za stejých podmíek a další úrokovací období. Zdaěý úrok z miulého období je připsá k účtu a s ím dále úroče. Jedoduché úročeí je takový způsob úročeí, při kterém se úrok a koci každého úrokovacího období počítá z počátečího kapitálu. Složeé úročeí je takový způsob úročeí, při kterém se úroky přičítají k již dosažeému kapitálu a spolu s ím se dále úročí. Dluhopis (obligace) je ceý papír, kterým se dlužík, který teto papír vydává, zavazuje jeho majiteli, že mu splatí uvedeou částku včetě příslušého úroku ve staoveém termíu. Dluhopisy vydává stát, obce, baky, podiky. Faktura je účet za provedeou práci ebo dodaé zboží. Obsahuje obvykle ceu a popis dodaého zboží (vykoaé práce), způsob platby a datum splatosti. Peále je sakce za zpožděou platbu (edodržeí data splatosti). 37
Úlohy 4 (Všechy výsledky zaokrouhlete a celé koruy, úrokové sazby a desetiy proceta.) Příklad 4.1 Pau Jiříkovi poskytla baka úvěr (půjčku) ve výši 48 000 Kč a jede rok. Po roce pa Jiřík půjčeou částku vrátí včetě úroku, který baka účtuje ve výši 16,5 % z úvěru. Vypočtěte a) kolik čií úrok z úvěru, b) jakou celkovou částku zaplatí pa Jiřík bace. Příklad 4.2 Za poskytutí úvěru ve výši 250 000 Kč a jede rok požaduje baka X úrok ve výši 15,2 %, baka Y ve výši 14,9 % dlužé částky. Zjistěte rozdíl úroků z uvedeé částky v bakách X a Y. Příklad 4.3 Posledí de roku 2008 uložil pa Hlavatý a běžý účet v bace a jede rok kapitál ve výši 29 000 Kč. Ročí úroková míra je 3,8 %. Posledí de roku 2009 baka kapitál zúročila. Zjistěte částku, kterou měl pa Hlavatý a účtu po tomto zúročeí. (Daň z úroku je 15 %, stejě tak i v dalších úlohách.) Příklad 4.4 Paí Vodrášková si založila vkladí kížku posledí de roku 2007 a hed a i uložila 14 000 Kč. Určete ročí úrokovou míru pro tuto kížku, jestliže paí Vodrášková měla a koci roku 2008 kapitál ve výši 14 274 Kč. (Předpokládáme, že další částky během roku 2008 eukládala ai ic evybírala.) Příklad 4.5 Jaký kapitál uložil pa Kopecký a koci roku a vkladí kížku s úrokovou sazbou 2 %, jestliže a koci příštího roku měl po zúročeí a kížce částku 23 900 Kč? Příklad 4.6 Paí Míšková si uložila v bace a termíový vklad a 3 měsíce částku 70 000 Kč. Ročí úroková míra je 4,5 %. Vypočti výsledý kapitál, jestliže se úročí je a koci tříměsíčího období. Příklad 4.7 Maželé Kučerovi si 13.duba uložili a vkladí kížku s úrokovou sazbou 1,9 % p.a. částku 48 000 Kč. 16. listopadu téhož roku částku vybrali včetě připsaého úroku. Kolik Kč to bylo? 38
Příklad 4.8 (řešeý) Termíovaý vklad a 1 měsíc s revolvigem má úrokovou sazbu 4,3 % p.a. Posledí de v měsíci jsme a teto vklad uložili 100 000 Kč. Kolikrát musíme vklad obovit (revolvovat), abychom měli a účtě alespoň a) 101 000 Kč, b) 105 000 Kč? Po kolika měsících si můžeme ejdříve výsledý kapitál vybrat? Řešeí: a) Je li počet revolvigů malý, můžeme úlohu řešit i tímto jedoduchým způsobem: Aby byl výsledý kapitál alespoň 101 000 Kč, musí celkový čistý úrok čiit alespoň 1 000 Kč. 0,043 Při jedoduchém úročeí je čistý úrok za každý měsíc 100000 0,85 305 Kč. 12 Na koci 1. měsíce čií úrok 305 Kč a vklad je poprvé obove. Podobě je a koci 2. měsíce úrok 2 305 = 610 Kč, a koci 3. měsíce 3 305 = 915 Kč, a koci 4. měsíce 4 305 = 1220 Kč. Kapitál tedy můžeme vybrat po 4 měsících (tj. třikrát jej revolvujeme). b) V druhém případě bude počet revolvigů větší a proto použijeme k jeho výpočtu erovici: Čistý úrok za jede měsíc je opět 305 Kč, počet měsíců ozačme, celkový čistý úrok musí být alespoň 5 000 Kč. Musí tedy platit 305 5000, z čehož máme 5000 16,4. 305 Musíme tedy spořit alespoň 17 měsíců, provedeme 16 revolvigů. *Příklad 4.9 (řešeý) Pa Novotý si uložil posledí de roku 2008 a běžý účet se stálou úrokovou mírou 1,8 % částku 170 000 Kč. Úrokovací období je 1 rok, úročí se vždy a koci roku, baka užívá složeé úročeí. Zjistěte částky, které budou a účtě po zúročeí a kocích roků 2009, 2010, 2011, 2015, jestliže se žádé další pohyby fiačích prostředků a účtě ekoají. Postup zobecěte a určete kapitál a účtu a koci tého roku za stejých podmíek. Řešeí: Na koci roku 2009 bude a účtu částka K1 170000 170000 0,018 0,85 170000 1 0,018 0,85 170000 1,0153 172601 Kč. Tuto částku považujeme za ový základ pro výpočet úroku za rok 2010, proto a koci tohoto roku bude a účtu částka 2 K2 172601 172601 0,018 0,85 172601 1,0153 170000 1,0153 175242 Kč. Podobě (a už stručěji) bude a koci roku 2011 a účtu částka 3 K3 175241 1,0153 170000 1,0153 177923 Kč. 39
.. Na koci roku 2015 bude tedy a účtu částka 7 K7 170000 1,0153 189064 Kč. Zobecíme-li pozatek, že výše uvedeý kapitál je a účtu po 7 letech spořeí, dostáváme pro kapitál a koci tého roku spořeí (za stále stejých podmíek): K 170000 1, 0153 Kč. *Příklad 4.10 Na koci roku 2007 jsme uložili a běžý účet částku 240 000 Kč. Úrokovací období je 1 měsíc, úročí se vždy a koci kaledářího měsíce. Úroková sazba je 1,5 % p.a. Zjistěte kapitál a účtě a koci roku 2009, jestliže předpokládáme a) jedoduché úročeí, b) složeé úročeí. *Návod pro b) - viz př 4.9.] Příklad 4.11 Pa Jiřík uložil počátkem roku a účet 50 000 Kč, ročí úroková sazba je 2,75 %, úročí se a koci kaledářího roku. Jakou částku bude mít a účtu a koci tohoto roku, jestliže by daň z úroku čiila a) 0 %, b) 15 %, c) 30 %, d) 50 %, e) 75 %, f) 100 %? Příklad 4.12 Paí Hosedlová zakoupila dluhopis s dobou splatosti 3 roky a ročí úrokovou mírou 5,2 % za 40 000 Kč. Úročí se a úrok je vyplace vždy po roce od data zakoupeí dluhopisu, daň z úroku je 25 %. Vypočtěte, kolik Kč získala paí Hosedlová ve formě úroků za 3 roky. Příklad 4.13 Na obyčejou vkladí kížku (bez výpovědí lhůty) jsme uložili 5.2. částku 22 000 Kč, úroková míra je 2,2 % p.a. Celkovou částku a kížce jsme vybrali 10.10. téhož roku. Baka úročila je jedou, a to v de výběru. Určete vybraý obos. (Používáme evropský stadard 30E/ - viz přehled pojmů v úvodu kapitoly.) Příklad 4.14 Pa Kadeřavý si založil de 25.11.2008 obyčejou vkladí kížku s úrokovou mírou 2 % a uložil a i ihed částku 70 000 Kč. Dále již ic eukládal, vkladí kížku zrušil a celou částku z kížky vybral de 17.3.2010. Baka úročila vždy a koci kaledářího roku a v de výběru, používá jedoduché úročeí a evropský stadard 30E/. Určete částku vybraou po zrušeí kížky. 40
Příklad 4.15 Na běžý účet jsme 2.3. uložili částku 110 000 Kč a de 23.12. téhož roku vybrali částku 110 907 Kč. Určete ročí úrokovou míru účtu. *Příklad 4.16 Pa Horáček si chce zřídit a koci roku 2010 vkladí kížku s výpovědí lhůtou 1 rok a uložit a i částku 35 000 Kč. K dispozici má tři baky A,B,C, které abízejí ásledující podmíky: A - úroková míra 4,5 %, úrokovací období 1 rok, úročí se vždy a koci roku (31.12.), B - úroková míra 4,5 %, úrokovací období 1/2 roku, úročí se vždy a koci pololetí (30.6. a 31.12), C - úroková míra 4,4 %, úrokovací období 1/4 roku, úročí se vždy a koci čvrtletí (31.3, 30.6., 30.9. a 31.12), všechy baky používají složeé úročeí a evropský stadard 30E/. Určete, která baka je pro paa Horáčka ejvýhodější (včetě částek, které by měl a kížce v jedotlivých bakách a koci roku 2011). *Viz př. 4.9+ Příklad 4.17 Odběratel ezaplatil dodavateli fakturu zějící a částku 71 000 Kč a splatou 10.4.2011. Dodavatel účtuje v souhlasu se smlouvou peále ve výši 0,06 % fakturovaé částky za každý de prodleí. Jak velké bude peále k 29.6. 2011? (Započtěte je jede z krajích dů itervalu.) Příklad 4.18 Podikatel pa Jabůrek si a ákup materiálu půjčil od baky de 24.4. daého roku částku 28 000 Kč, 30.6. částku 35 000 Kč a 10.10. částku 15 000 Kč. Úročí se a koci kaledářího roku, úroková míra je 12 %. Kolik zaplatí do koce daého roku pa Jabůrek a úrocích? *Příklad 4.19 Podikatelka paí Jirásková si a dovybaveí výroby ovou techikou půjčila od baky 20.2. roku 2009 částku 200 000 Kč. Úroková míra je 14 %, úročí se a koci roku. De 15.7. splatila bace částku 40 000 Kč a 21.9. částku 30 000 Kč. Vypočtěte a) úrok do koce roku 2009, b) výši dluhu a koci roku 2009. 41
5 UŽITÍ VÝPOČETNÍ TECHNIKY PŘI ŘEŠENÍ ÚLOH Z FINANČNÍ MATEMATIKY A. PŘEHLED PŘILOŽENÝCH PROGRAMŮ VYTVOŘENÝCH V PROSTŘEDÍ MATHEMATICA 7 Pro řešeí úloh výše uvedeých typů je velmi vhodé užít výpočetí techiku, tedy počítač s vhodým programem ebo kalkulátor. Přílohou této sbírky je také sada aplikačích pogramů (apletů) vytvořeých v prostředí Wolfram Mathematica 7, které řeší z hlediska uživatele velmi pohodlým způsobem většiu zmíěých úloh. Pro spuštěí apletů je uto mít aistalovaý program Mathematica (verze 7 a vyšší). Aplety ahrazují ěkteré kalkulátory běžě dostupé a webových strákách fiačích istitucí, avíc však umožňují vypočítat hodoty více parametrů, které se vyskytují ve vzorcích použitých v předešlých kapitolách. Obecé pozámky pro práci s aplety vytvořeými v Mathematica 7: Chcete-li ukočit práci s programem, zavřete ho (CLOSE), ale eukládejte (eprovádějte SAVE). Návod pro práci s kokrétím programem je uvede včetě užitých vzorců v jeho úvodu. Pokud se po spuštěí programu objeví dialogové oko, odpovězte YES. Pokud se po spuštěí programu objeví dialogové oko, odpovězte Eable Dyamic. Hodoty vstupích proměých měíme buď pomocí posuvíků, ebo je přímo zadáváme do vstupích umerických polí přepsáím aktuálí hodoty a klikutím myší mimo oblast posuvíků. Upozorěí: Doporučuje se mít v daém okamžiku otevřeý je jede program. Při spuštěí více programů ajedou se může jejich čiost ovlivňovat. 42
Přílohou sbírky jsou tyto programy Program pro řešeí úloh z jedoduchého a složeého úrokováí (soubor A_Uroky.b) Program pro řešeí úloh o úvěrech (soubor A_Uvery_auity.b) Program pro řešeí úloh o spořeí (soubor A_Sporei.b) Program pro řešeí úloh s obecě zadaou úrokovou dobou a jedoduchým úročeím (soubor A_Jed.urocei.b) Program pro řešeí úloh s proměou délkou úrokovacího období (soubor A_Jed_Sloz_Spoj_urok.b) Program pro grafické porováí jedoduchého a složeého úročeí při růzých úrokovacích dobách (soubor A_Grafy_Jed_Sloz_urok.b) Program pro výpočet celkového úroku a aspořeé částky při kombiaci jedoduchého a složeého úročeí (model stavebího spořeí) (soubor A_Spor_Kombi.b) Program pro výpočet hodoty vypláceé rety výběrová fáze (soubor Reta_faze2.b) Program pro výpočet hodoty vypláceé rety spořící i výběrová fáze (soubor Reta_faze1_2.b) Program pro výpočet doby spláceí úvěru za předpokladu, že je spláce stejými předem dohodutými splátkami (soubor Fix_splatky_uveru.b) Dále je uvedea podoba pracoví plochy při práci s daými programy a základí popis jejich fukce. (Z prostorových důvodů jsou obrázky uváděy v jiém pořadí, ež a sezamu výše.) A_Uroky.b Pomocí roletového meu vybereme výpočet K, K 0, t, i,. Te je provede současě pro složeé i jedoduché úročeí. Prostředictvím posuvíků ebo umerických polí vpravo od posuvíků (rozklikutím pole + získáme další umerické pole pod posuvíkem) zadáme hodoty ostatích parametrů včetě zdaňovacího koeficietu k. Pro ěkteré kombiace vstupích hodot emusí mít úloha řešeí. 43
A_Sporei.b Zvolíme pomocí meu výpočet hodoty K 0 (periodický vklad), K, i, t ebo. Zadáme ostatí parametry včetě zdaňovacího koeficietu k. Výsledky jsou zobrazey pro obě situace - vklad je provádě a začátku ebo a koci úrokovacího období. 44
A_Jed_urocei.b Provede výpočet celkové úrokovací doby (doby splatosti), celkovou výši úroku a výsledý kapitál a účtu při jedoduchém úročeí. Zadává se datum vkladu a výběru ve tvaru rok/měsíc/de a dále počátečí kapitál K 0, ročí úroková míra i, zdaňovací koeficiet k. A_Spor_Kombi.b Program řeší kombiaci jedoduchého krátkodobého úročeí a složeého dlouhodobého úročeí (situace typická apř. pro stavebí spořeí). Předpokládají se pravidelé vklady ve výši S m-krát za kaledáří rok, v jehož rámci probíhá jedoduché úročeí. Urokovací období je jede rok, úročí se vždy a koci roku. Meziročě probíhá složeé úročeí. Program vypočítá celkovou uspořeou částku za kal. rok, celkovou uspořeou částku za let a celkový úrok za let. 45
A_Uvery_auity.b Vstupí hodoty jsou V (výše úvěru), t, i,. Program vypočte výši auití splátky a celkově zaplaceý úrok. Dále zobrazí tabulkově i graficky umořovací plá (tj. výši úroku, úmoru a zbývající dluh v jedotlivých obdobích spláceí úvěru). Závislosti jsou pro větší ázorost zobrazey spojitými křivkami. Zobrazeí tabulky, zejméa při velkých, je vhodé vypout. 46
A_Jed_Sloz_Spoj_urok.b Zadáme K 0, t, i a celkovou dobu splatosti (úrokovou dobu) s. Vypočte je počet úrokovacích období a výsledé kapitály při jedoduchém, složeém a spojitém úrokováí. Pro všechy tři druhy úročeí je (stejou barvou jako vypočteé kapitály) akresle graf závislosti výsledého kapitálu a délce úrokovacího období t. Růžový bod zázorňuje závislost výsledého kapitálu při složeém úročeí a aktuálě astaveé hodotě t. Zbývající kapitály a t ezávisejí. 47
A_Grafy_Jed_Sloz_urok.b Zadáme K 0, t,, i, k. Vypočtey jsou výsledé kapitály K pro jedoduché i složeé úročeí. Hodoty kapitálů jsou zázorěy spojitými křivkami procházejícími body, které odpovídají kapitálům a kocích jedotlivých úrokovacích období. A_Reta_faze2.b Program počítá výši jedé rety za daé úrokovací období, celkovou výši rety vyplaceé za celé výběrové období a hypotetický budoucí kapitál, který by byl a účtu a koci výběrového období, kdyby se a účtu bez výběru poechal počátečí kapitál. Zadáváme počátečí kapitál a účtu K, dále k, i, t,. 48
A_Reta_faze1_2.b Program počítá aspořeý kapitál a koci spořící fáze, výši jedé rety, celkovou výši rety vyplaceé za celou výběrovou fázi a hypotetický budoucí kapitál, který by byl a účtu a koci výběrové fáze, kdyby se a účtu bez výběru poechal aspořeý kapitál. Zadáváme výši spořeé částky K 0, počet úrok. období m spořící fáze, počet výplat rety, dále k, i, t (tyto parametry jsou společé pro obě fáze). 49
A_Fix_splatky_uveru.b Program určí dobu spláceí úvěru, celkový úrok, výši posledí splátky a vytvoří umořovací plá za předpokladu spláceí úvěru dohodutými fixími splátkami. Splátky se provádí vždy a koci úrokovacího období, posledí splátka je obvykle ižší. Zadáváme výši úvěru a hodotu fixí splátky, délku úrokovacího období a ročí úrokovou míru. 50
B. PŘEHLED PŘILOŽENÝCH PROGRAMŮ VYTVOŘENÝCH V MICROSOFT EXCEL 2007 Všechy programy obsahují použité vzorce a popis výzamu jedotlivých proměých. Vstupí hodoty se zadávají do žlutých buěk, výsledky jsou v modrých buňkách. Zde je uvedea je stručá aotace programů a vzhled jejich pracoví plochy - tabulky. E_Leasig 2.16.xlsx Program řeší úlohu 2.16. Lze jej užít i pro řešeí dalších podobých úloh, pokud upravíme vstupí hodoty. Hodoty pro vygeerováí grafů jsou obsažey ve sloupcích P,Q,R,S. E_Uroky.xlsx Program počítá výsledý kapitál při jedoduchém i složeém úročeí. Geeruje tabulku částek a účtu pro obě úročeí a jejich grafické srováí. ÚROKY Pavel Krejča, 2012 Výpočet výsledého kapitálu při jedoduchém i složeém úročeí Vstupí hodoty: Počátečí kapitál K 0 2000000 Vzorce: Počet úrokovacích období 9 Jedoduché úročeí Délka úrokovacího období (dí) t Ročí úroková míra i (des. číslem) 0,1 t K K0 1 k i Zdaňovací koeficiet k 0,85 Výstupí hodoty: Výsledý kapitál K jedoduché úr. 3530000 složeé úr. 4167711 Tabulka hodot výsledých kapitálů a odpovídající grafy (astaveo = 12, ručě možo počet řádků zvětšit - CTRL D) Složeé úročeí t K K0 1 k i K jed K slož 1 2170000 2170000 2 2340000 2354450 3 2510000 2554578 4 2680000 2771717 5 2850000 3007313 6 3020000 3262935 7 3190000 3540284 8 3000 3841209 9 3530000 4167711 10 3700000 4521967 11 3870000 4906334 12 4040000 5323372 5000000 4500000 4000000 3500000 3000000 2500000 2000000 1500000 1000000 500000 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Kjed Kslož 51
E_Uvery_auity.xlsx Program počítá výši auití splátky a celkový úrok při spláceí úvěru. Geeruje umořovací plá a jeho grafické zázorěí. ÚVĚRY, ANUITY Pavel Krejča, 2012 Výpočet výše auití splátky a celkového úroku při spláceí úvěru (splátka se provádí a koci úrok. období) Vstupí hodoty: Vzorce: Výše úvěru V 100000 Počet úrokovacích období (splátek) 12 Auití splátka Délka úrokovacího období (dí) t 30 Ročí úroková míra i (des. číslem) 0,15 i t i t V 1 s it Výstupí hodoty: 1 1 Hodota auití splátky s 9026 Celkový úrok U 8310 Celkový úrok Umořovací plá a jeho graf (astaveo = 12, ručě možo počet řádků zvětšit - CTRL D, pokud je astaveý počet řádků větší ež doba spláceí, jsou v adbytečých řádcích záporé hodoty) 10000 počátek úrok úmor koec 1 100000 1250 7776 92224 2 92224 1153 7873 84351 3 84351 1054 7971 76380 4 76380 955 8071 68309 5 68309 854 8172 60137 6 60137 752 8274 51863 7 51863 648 8378 43485 8 43485 544 8482 35003 9 35003 438 8588 26414 10 26414 330 8696 17719 11 17719 221 8804 8914 12 8914 111 8914 0 9000 8000 7000 6000 5000 4000 3000 2000 1000 0 U s V 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 úrok úmor 52
E_Sporei.xlsx Program počítá výsledý kapitál při pravidelě spořeé kostatí částce (a začátku ebo a koci úrokového období). Částky, které jsou a účtě a kocích jedotlivých úrokovacích období, jsou zázorěy v tabulce a graficky. SPOŘENÍ Pavel Krejča, 2012 Výpočet výsledého kapitálu při pravidelě spořeé částce a začátku ebo a koci úrok. období (slož. úročeí) Vstupí hodoty: Vzorce: Částka ukládaá a začátku/koci úrok. období 1000 Počet úrokovacích období 12 Ukládáí a začátku úrok. období Délka úrokovacího období (dí) t 30 Ročí úroková míra i (des. číslem) 0,04 t 1 k i 1 Zdaňovací koeficiet k 0,85 t K K0 1 k i t k i Výstupí hodoty: Výsledý kapitál K ukládáí a začátku 12223 ukládáí a koci 12189 Ukládáí a koci úrok. období Tabulka hodot výsledých kapitálů a odpovídající graf pro K zač (astaveo = 12, ručě možo počet řádků zvětšit - CTRL D) K K k i 0 1 t K začátek K koec 1 1003 1000 2 2009 2003 3 3017 3009 4 4028 4017 5 5043 5028 6 6060 6043 7 7080 7060 8 8103 8080 9 9128 9103 10 10157 10128 11 11189 11157 12 12223 12189 14000 12000 10000 8000 6000 4000 2000 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 K začátek 53
E_Jed_urocei.xlsx Program počítá výsledý kapitál při jedoduchém úročeí a obecě zadaé úrokové době. Zadává se datum vkladu a výběru v podobě Rok-Měsíc-De. JEDNODUCHÉ ÚROČENÍ Pavel Krejča, 2012 Výpočet výsledého kapitálu při jedoduchém úročeí s obecou úrokovou dobou Zadáváme rok, měsíc a de vkladu a výběru. Program předpokládá stadard 30E/, kdy má každý měsíc 30 dů a rok dů. De vkladu se eúročí, de výběru ao. Pokud by se vklad ebo výběr koal 31. de měsíce, je uto zadat 30. Datum výběru musí být vyšší ež datum vkladu. Vstupí hodoty: Počátečí kapitál K 0 100000 Vzorec: Ročí úroková míra i (des. číslem) 0,02 Zdaňovací koeficiet k 0,85 Jedoduché úročeí Datum vkladu: Rok (apř. 2011) 2010 K K0 1 k i Měsíc (1-12) 7 De (1-30) 15 Úrok Datum výběru: Rok (apř. 2011) 2012 U K K 0 Měsíc (1-12) 3 De (1-30) 20 T Výstupí hodoty: Celková úroková doba T (dí) 605 Výsledý kapitál K 102857 Celkový úrok U 2857 54
E_Reta.xlsx Program počítá aspořeou částku v prví, spořící fázi (tuto část programu eí uto využít, pokud je základí kapitál pro druhou, výběrovou fázi, zadá přímo). Dále počítá výši kostatí rety vypláceé ve výběrové fázi. Výpočet uspořeé částky (spořící fáze) a výše vypláceé rety (výběrová fáze) Spořící fáze (tuto část emusíme využít, pokud je dá jiak základí kapitál výběrové fáze) Vstupí hodoty: Částka K 0 ukládaá a začátku každého úr. období 10000 Vzorce: Počet úrokovacích období (vkladů) m 120 Naspořeá částka ve spořící fázi Délka úrokovacího období (dí) t 30 m Ročí úroková míra i (des. číslem) 0,05 t 1 k i 1 Zdaňovací koeficiet k 0,85 t Km K0 1 k i t k i Výstupí hodoty: Výsledý kapitál K m (aspořeá částka) 1497357 Poz.: RENTA Pavel Krejča, 2012 Výsledý kapitál K m spořící fáze uto ručě přeést do položky základí kapitál K ve výběrové fázi Výběrová fáze (hodoty t, i předpokládáme stejé jako ve spoř. fázi) Výše rety za jedo úrok. období Vstupí hodoty: Základí kapitál K 1497357 Celková částka vyplaceá v retách Počet úrok. období (výplat rety) 60 Výstupí hodoty: Výše rety R vyplaceé vždy a koci úr. období 27745 Celková částka C vyplaceá v retách 1664722 Budoucí hypotetický kapitál Budoucí hypotetický kapitál K * 1851185 * K je budoucí kapitál, který by byl a účtu, kdyby se tam základí kapitál K poechal bez vkladů a výběrů po dalších úrok. období. R K 1 C t 1 k i 1 t t k i k i R t K K 1 k i 55
E_Spor_Kombi.xlsx Program počítá celkový kapitál a účtu za let při pravidelě spořeé částce m krát za rok. Předpokládá se úročeí a koci kaledářího roku. SPOŘENÍ KOMBINOVANÉ Pavel Krejča, 2012 Na počátku každé m-tiy roku ukládáme S Kč, úrokovací období je 1 rok, úročíme vždy a koci roku. Meziročě předpokládáme složeé úročeí. Program počítá aspořeou částku za jede rok včetě úroků a celkový úrok a celkovou aspořeou částku za let spořeí. Vstupí hodoty: Částka S ukládaá a začátku každé m -tiy roku 1000 Vzorce: Počet úrokovacích období (vkladů) za rok - m 12 Částka aspořeá za jede rok Počet let spořeí 5 včetě úroku Ročí úroková míra i (des. číslem) 0,02 Zdaňovací koeficiet k 0,85 i k m 1 Sr S m 1 2m Výstupí hodoty: Částka aspořeá za jede rok vč. úroku - S r 12111 Výsledý kapitál za let - K 62647 Celkový úrok za let - u 2647 Kapitál a koci - tého roku K S r 1 k i 1 k i Celkový čistý úrok za let u K S m 56
PRO VÝPOČTY LZE POUŽÍT I NĚKTERÝ Z MNOHA FINANČNÍCH KALKULÁTORŮ NA INTERNETU. Obr.1.: Ukázka webového kalkulátoru a www.sfiace.cz 57
Obr.2.: Ukázka webového kalkulátoru a www.csob.cz 58