11.+12. přednáška S výjimkou velmi jednoduchých unkcí (lineární, parabolické) potřebujeme k vytvoření názorné představy o unkci a k načrtnutí jejího grau znát další inormace o unkci (intervaly monotónnosti, extrémy, inlexní body, intervaly konvexnosti a konkávnosti), které určujeme obvykle pomocí první a druhé derivace unkce. MONOTÓNNOST FUNKCE V 5. přednášce jsme poznali unkce rostoucí a klesající na jistém intervalu. Intervaly, ve kterých je unkce rostoucí nebo klesající, nazýváme intervaly monotónnosti unkce. Určujeme je pomocí první derivace unkce. Připomeňme si geometrický význam první derivace unkce v bodě (směrnice tečny ke grau unkce v daném bodě) a skutečnost, že rostoucí unkce má kladnou směrnici tečny ke grau unkce, kdežto klesající unkce má zápornou směrnici tečny ke grau unkce. Věta: (o významu první derivace pro průběh unkce) Nechť je unkce spojitá v intervalu I a nechť v každém vnitřním bodě tohoto intervalu existuje derivace ( x). Je-li: 1. ( x) > Þ (x) je rostoucí v intervalu I, 2. ( x) < Þ (x) je klesající v intervalu I. Příklad: Rozhodněte o intervalech monotónnosti unkce ( x) - x 3 2 = 2x 3. Řešení : Deiniční obor je D = R. O monotónnosti unkce rozhodne znaménko její první derivace 2 ( x) = 6x - 6x= 6x( x-1) Změny znaménka první derivace mohou nastat pouze v bodech, kde ( x) =, (stacionární body), tj. x 1 =, x 2 = 1. Pro xî(-,) znaménko ( x) je (-).(-) ( x) > Þ (x) je rostoucí, xî(,1) znaménko ( x) je (+).(-) ( x) < Þ (x) je klesající, xî(1, ) znaménko ( x) je (+).(+) ( x) > Þ (x) je rostoucí. EXTRÉMY FUNKCE Pro mnohé vědní obory je důležité rozhodnout, pro které hodnoty nezávisle proměnné veličiny nabývá daná unkce extrémů tj. maximální resp. minimální hodnoty. Budeme rozlišovat extrémy buď v okolí určitého bodu - lokální extrémy - nebo v celém deiničním oboru - globální extrémy. 1
Funkce má v bodě x lokální maximum, existuje-li okolí bodu ( x) ( ), x Funkce má v bodě x lokální minimum, existuje-li okolí bodu ( x) ( ) ³. x x tak, že xîu ( ) " je d x x tak, že xîu ( ) " je Platí-li v uvedených nerovnostech jen znaménko nerovnosti, hovoříme o ostrém lokálním x x >. maximu ( ) < ( ) resp. ostrém lokálním minimu ( ) ( ) x Souhrnný název pro lokální maximum a lokální minimum je lokální extrémy. x d x Lokální extrémy unkce určujeme pomocí první a druhé derivace unkce. Nejprve musíme stanovit body, v nichž lokální extrémy mohou (ale nemusí) nastat. Fermatova věta: nutná podmínka existence lokálního extrému Má-li unkce v bodě x lokální extrém a existuje-li ( ), pak ( x ) = Body, v nichž platí (x ) =, se nazývají stacionární body unkce (x). x. Poznámka: Může se stát, že ( x ) =, avšak unkce v tomto bodě extrém nemá.věta opačná neplatí! 1. postačující podmínka pro existenci lokálního extrému : Mění-li 1.derivace znaménko v okolí stacionárního bodu nebo bodu, v němž neexistuje derivace, potom v tomto bodě nastává extrém. Metoda vyšetřování lok.extrémů: 1. Najdeme všechny stacionární body dané unkce a body,v nichž neexistuje derivace. 2. Vyšetříme, zda v okolí těchto bodů 1.derivace mění znaménko; mění-li znaménko z (+) na (-) Þ bod lok. maxima mění-li znaménko z (-) na (+) Þ bod lok. minima 1 3 2 Příklad: Určete lokální extrémy unkce ( x) = x - x - 3x+ 2. 3 2
Vyšetřování lok. extrémů pomocí 2. derivace Věta: 2. postačující podmínka pro existenci extrému Nechť ( x ) = a nechť existuje ( ) je-li ( ) >, má unkce v je-li ( ) <, má unkce v. Potom x x ostré lokální minimum, x ostré lokální maximum. Poznámka: Je-li ( x ) =, větu nelze použít. Shrnutí: Pokud má daná dierencovatelná unkce nějaký lokální extrém (lokální maximum či minimum), je zřejmé, že její tečna v tomto bodě musí být vodorovná, tzn. derivace této unkce musí být v tomto bodě nulová. (Pokud unkce v nějakých bodech tečnu, resp. derivaci nemá, derivace o takových bodech samozřejmě nic prozradit nedokáže.) Pokud v tomto bodě lze spočítat i druhou derivaci, prozradí její znaménko, o jaký extrém se jedná: V bodech, kde je první derivace nula a druhá derivace je kladná, se nachází lokální minimum. V bodech, kde je první derivace nula a druhá derivace je záporná, se nachází lokální maximum. V bodech, kde je jak první, tak druhá derivace nulová, se nachází tzv. stacionární bod, který může a nemusí být extrémem. (V bodech, kde unkce nemá první či druhou derivaci, je nutno použít jiná kritéria.) Příklad: Najděte extrémy unkce y + 3 2 = x x. 3
Konvexnost, konkávnost a inlexe křivek Konvexnost a konkávnost je označení pro změny rychlosti růstu unkce, tzn. zakřivení jejího grau. Pokud unkce na některém intervalu svůj růst zrychluje (případně zpomaluje svůj pokles), tzn. gra je zakřivený směrem nahoru, označuje se zde unkce jako konvexní, naopak, pokud je gra zakřiven směrem dolů (a unkce zpomaluje růst nebo zvyšuje pokles), je zde unkce konkávní. Přechod mezi konvexní a konkávní částí grau se označuje jako inlexní bod. V inlexním bodě se mění zakřivení grau unkce a tečna grau v tomto bodě gra protíná. Na obrázku je unkce konkávní např. v intervalu x 1, x2, inlexním bodem je např. x 4. Nechť unkce má v bodě x " xî Ud( x ), x¹ x leží bod [ x, ( x) ] nad tečnou x derivaci ( ). Existuje-li d -okolí ( ) ( x ) + ( x ) ( x ) tº y= -, x říkáme, že unkce je konvexní v bodě x. U d tak, že Nechť unkce má v čísle x U d x tak, že " xî Ud( x ), x¹ x leží bod [ x, ( x) ] pod tečnou t, říkáme, že unkce je konkávní v bodě x. x derivaci ( ). Existuje-li d -okolí ( ) Je-li unkce konvexní (konkávní) ve všech bodech intervalu, je konvexní (konkávní) v tomto intervalu. Konvexnost resp. konkávnost určíme podle znaménka 2. derivace. x 4
Věta: Platí : je-li ( ) >, je unkce v bodě je-li ( ) <, je unkce v bodě x konvexní. x konkávní. Funkce má v bodě U d x tak, že v levém okolí x je unkce konvexní a v pravém okolí x je konkávní nebo naopak. Geometricky to značí, že gra unkce přechází z polohy nad tečnou do polohy pod tečnou nebo naopak. x inlexní bod, existuje-li ( ) Poznámka: Má-li unkce druhou derivaci, pak inlexní bod může být jen v bodě, kde 4. Podmínka je nutná, není postačující, neboť např. unkce y= x v x má ( ) = ( ) = y, avšak v bodě x je konvexní. = Věta: postačující podmínka pro existenci inlexního bodu Má-li unkce v bodě x druhou derivaci rovnou ( ( x ) = ), přičemž v levém okolí bodu x má jiné znaménko než v pravém okolí bodu x, pak má v bodě x inlexní bod. Poznámka: Inlexní bod může nastat také v bodě, v němž 1. derivace je nevlastní (tečna je rovnoběžná s osou y). V tomto bodě neexistuje druhá derivace, avšak unkce se mění z konvexní na konkávní nebo obráceně. Metoda vyšetřování intervalů konvexnosti a konkávnosti: 1. Najdeme všechny body x k, v nichž se druhá derivace rovná nule nebo neexistuje. 2. Určíme znaménko 2.derivace unkce v intervalech s krajními body x k ; v intervalech, kde platí ( ) Þ unkce je konvexní > v intervalech, kde platí ( ) Þ unkce je konkávní < 3. Inlexní body jsou ty body, v jejichž okolí 2.derivace mění znaménko Příklad: Stanovte intervaly konvexnosti a konkávnosti a inlexní body unkce y = x 3-4x 2 + 3. 5
Asymptoty Asymptota (asymptotická přímka) křivky je taková přímka, jejíž vzdálenost od křivky se s rostoucí souřadnicí limitně zmenšuje. Pomocí asymptot můžeme zkoumat chování grau unkce v nevlastních bodech a v okolí bodů nespojitosti 2.druhu. 1. Asymptoty bez směrnice (rovnoběžné s osou y) Je-li lim ( x) = ± nebo ( x) = ± x x + unkce ( x) lim je přímka o rovnici x= x asymptotou grau x x -. Asymptoty tohoto druhu mohou být jen v bodech nespojitosti unkce nebo ve vlastních koncových bodech jejího deiničního oboru. 2. Asymptoty se směrnicí Přímka y = kx+ q je asymptotou grau unkce y= ( x), jestliže existují vlastní limity k ( x) = lim a q= [ ( x) - k x] x x lim (analogicky pro x - ) x Průběh unkce Vyšetřováním průběhu unkce rozumíme zjištění níže uvedených vlastností, které umožní nakreslení grau unkce. Postup při vyšetřování průběhu unkce : 1. Určíme D() a obor hodnot. 2. Vyšetříme, zda je sudá, lichá, periodická. 3. Určíme jednostranné limity v bodech nespojitosti, případně v krajních bodech deiničních intervalů, a vyšetříme chování unkce v okolí těchto bodů. 4. Stanovíme průsečíky s osami. 5. Určíme intervaly monotónnosti a stacionární body (pomocí ( x) ). 6. Určíme body, v nichž nastávají lokální extrémy. 7. Stanovíme inlexní body a intervaly, kde je unkce konkávní či konvexní. 6
8. Vypočítáme rovnice asymptot se směrnicí (asymptoty bez směrnice). 9. Vypočítáme souřadnice několika určitých bodů na křivce a nakreslíme gra. Postup při náčrtku grau: 1) osy x,y; 2) asymptoty bez směrnice; 3) asymptoty se směrnicí; 4) vyznačíme průsečíky s osami; 5) body, v nichž nastává extrém; 6) inlexní body 7) doplnit body z tabulky (bod 9.) Příklad: Vyšetřujme průběh unkce y= x ln x. Fyzika Jednoznačně nejdůležitější oblastí použití derivace ve yzice jsou derivace podle časové proměnné, vyjadřující rychlost změny nějaké proměnné v čase. Nejběžnější pak jsou časové derivace polohy, které se vyskytují v klasické kinematice: Rychlost (okamžitá rychlost, koncept průměrné rychlosti se obejde bez dierenciálního počtu) je derivace souřadnice polohy tělesa podle času. Zrychlení je derivace rychlosti podle času, tzn. druhá derivace polohy podle času. Ryv je derivace zrychlení podle času, tzn. třetí derivace polohy podle času. Kromě těchto základních pojmů se derivace objevují v mnoha teoriích yzikálních polí, Maxwellových rovnicích atd. 7