2.8.5 Lineární nerovnice s prmetrem Předpokldy: 2208, 2802 Pedgogická poznámk: Pokud v tom necháte studenty vykoupt (což je, zdá se, jediné rozumné řešení) zere tto látk tk jednu půl vyučovcí hodiny (první hodinu příkldy.-4., polovinu druhé příkldy 5. 6.). Při smosttné práci studentů si určitě všimnete, že nprostá většin prolémů prmení ze šptné orientce, neupltňování zákldních prvidel nepozornosti. Nic z toho jim výkld u tule nemůže poskytnout. V čem je řešení nerovnic podoné řešení rovnic? Nesmíme vydělit nerovnici nulou. V čem je řešení nerovnic jiné než řešení rovnic? Pokud dělíme záporným číslem, musíme orátit znménko. při dělení výrzem, který oshuje prmetr, musíme rozlišovt u hodnot výrzu nulu, kldnou hodnotu zápornou hodnotu typicky udeme větvit do tří větví Pedgogická poznámk: Úvodní přehled sestvíme společně se studenty s tím, že v něm je osženo vše potřené k správnému vyřešení úloh této hodiny. Př. : Vyřeš nerovnici 2x + > 0 s neznámou x prmetrem. 2x + > 0 / odečíst můžeme vždy 2 x > / : 2 x > K = ; 2 2 Hodnoty prmetru : Řešení pro x: R K = ; 2 Pedgogická poznámk: Skutečnost, že závěrečný přehled oshuje pouze jediný řádek, činí předchozí příkld pro nprostou většinu studentů neřešitelným. Jediný řádek se jim zdá příliš málo (všechny osttní příkldy jich přece mjí víc ještě jsme očekávli, že se větvení zesložití) tk závěrečný přehled většinou nenpíší. Př. 2: Vyřeš nerovnici x 2 > 0 s neznámou x prmetrem. x 2 > 0 x > 2 Chceme vydělit rovnici výrzem, le jednk nesmíme dělit nulou jednk musíme znát znménko výrzu, kterým dělíme (ychom věděli zd orátit neo zchovt nerovnost) rozvětvení n tři větve (vedle see se nevejdou, proto píšeme pod see) > 0, můžeme vydělit nerovnici, dělíme kldným číslem zchováváme nerovnost: x > 2 / :
2 2 x > K =, = 0 nemůžeme dělit, dosdíme x > 2 0x > 2 0 > 2 nevyjde nikdy K = < 0, můžeme vydělit nerovnici, dělíme záporným číslem orcíme nerovnost: x > 2 / : 2 2 x < K =, Hodnoty prmetru p: Řešení pro x: 2 > 0 K =, = 0 K = 2 < 0 K =, Pedgogická poznámk: Neznedtelná část studentů před dělením rozdělí výpočet pouze n dvě větve ( = 0, 0 ). Ptám se jich, jký vlstně mělo význm si n zčátku hodiny psát, co nás čeká jk udeme postupovt. Př. 3: Vyřeš grficky nerovnici x 2 > 0 s neznámou x prmetrem. Levá strn funkce y x 2 = - přímk (lineární funkce), procházející odem [ 0; 2] (hodnot pro x = 0 je 2). Směr přímky závisí n hodnotě prmetru. Prvá strn 0 udeme se zjímt, která část grfu levé strny je nd neo pod osou x rozvětvení n tři větve (vedle see se nevejdou, proto píšeme pod see) > 0, funkce y = x 2 je rostoucí: -2 2 K =, = 0 funkce y = x 2 je konstntní: 2
-2 K = funkce y = x 2 je klesjící:: -2 2 K =, Hodnoty prmetru p: Řešení pro x: 2 > 0 K =, = 0 K = 2 < 0 K =, Pedgogická poznámk: Nkreslit grf první funkce je vzhledem k neurčitosti zdání pro hodně studentů příliš velké sousto. Po menším čekání tk řešíme od ) společně smosttně studenti dopočítávjí ž zytek. Př. 4: Vyřeš nerovnici x + 0 s neznámou x prmetry,. Kždou větev řešení zkontroluj pomocí grfického řešení. x + 0 x Chceme vydělit rovnici výrzem, le jednk nesmíme dělit nulou jednk musíme znát znménko výrzu, kterým dělíme (ychom věděli zd orátit neo zchovt nerovnost) rozvětvení n tři větve (vedle see se nevejdou, proto píšeme pod see) > 0, můžeme vydělit nerovnici, dělíme kldným číslem nerovnost zchováváme: x / : x K = ; 3
= 0 nemůžeme dělit, dosdíme x 0x 0 záleží n hodnotě opět rozvětvujeme podle hodnoty > 0 < 0 získáváme nerovnici 0 záporné číslo K = 0 0 získávám nerovnici 0 nezáporné číslo K = R < 0, můžeme vydělit nerovnici, dělíme záporným číslem nerovnost orcíme: x / : x K = ; Hodnoty prmetrů,: Řešení pro x: > 0, R K = ; 0 0; K = =, ( ) = 0, ( ;0 K = R < 0, R K = ; 4
Pedgogická poznámk: Téměř všichni selžou u prostřední větve s = 0. Nejčstěji ez nějkého důvodu npíší utomticky K =, pk po nich chci, y přestli hádt zčli počítt. Dlší se pk spletou ž n smém konci, kdy si neuvědomí, že podmínk ptří k my hledáme řešení pro x tk omezení voly neznmená omezení voly x. Př. 5: Vyřeš nerovnici px 2 2x p s neznámou x prmetrem p. px 2 2x p px 2x 2 p ( ) x p 2 2 p Chceme vydělit rovnici výrzem ( p 2), le jednk nesmíme dělit nulou jednk musíme znát znménko výrzu, kterým dělíme (ych věděli zd orátit neo zchovt nerovnost). p 2 roven nule: p 2 = 0 p = 2 Zjistíme, kdy je výrz ( ) rozvětvení n tři větve (vedle see se nevejdou, proto píšeme pod see) p > 2, můžeme vydělit nerovnici, dělíme kldným číslem nerovnost zchováváme: ( 2) 2 / : ( 2) x p p p 2 p x p 2 x K =, ) p = 2 nemůžeme dělit, dosdíme ( ) x( 2 2) 2 2 x p 2 2 p 0x 0 0 0 vyjde vždy K = R p < 2, můžeme vydělit nerovnici, dělíme záporným číslem nerovnost orcíme: ( 2) 2 / : ( 2) x p p p 2 p x p 2 x K = (, Hodnoty prmetru p: Řešení pro x: p > 2 K =, ) p = 2 K = R p < 2 K = (, Pedgogická poznámk: Příkld nečiní studentům větší prolémy, pouze Ti slší zse utomticky dělí intervly podle nuly ne dvojky n p > 0, p = 2 p < 0. 5
Př. 6: Vyřeš nerovnici x p s neznámou x prmetrem p. x p - nerovnice oshuje zlomek je tře podmínk x p 0 x p - teď můžeme násoit výrzem ( x p), může ýt kldný i záporný rozdělíme n dvě větve stejně ychom dělili n dvě větve nerovnici tohle je dělení výpočtu podle x 2 hodnot x, ne podle hodnot prmetru (jiný typ dělení než jsme u prmetrických nerovnic dosud používli) tohle dělení se neprojeví v závěrečném přehledu, výsledky z oou větví udeme muset sjednotit x p < 0 x < p - násoíme záporným číslem orcíme nerovnost x p > 0 x > p - násoíme kldným číslem zchováváme nerovnost / ( x p) x p x p / ( x p) x p x p + p x vypdá to n intervl + p x vypdá to n intervl p + ; ), ( ; p +, le počítáme jen s čísly x < p počítáme jen s čísly x > p tková jsou v intervlu p + ; ) všechn K = ( ; p) K2 = + p, ) Nedělili jsem výpočet podle různých hodnot p, le rozdělili jsme všechn možná x n dvě části pro kždou část jsem to spočítli celkový výsledek je sjednocení oou řešení. K = K K2 = (, p) p +, ) Hodnoty prmetru p: Řešení pro x: p R K =, p p +, ( ) ) Pedgogická poznámk: Diskuse o vzniku konečného výsledku sjednocením je důležitá, přesto se ojeví studenti, kteří neudou mít v situci zcel jsno. N druhou strnu jde o příkld poměrně extrémní n předstvivost je velmi málo prvděpodoné, že y se s ním ještě někdy setkli. Př. 7: Vyřeš grficky nerovnici x p s neznámou x prmetrem p. Levá strn funkce y = x p - lineární lomená funkce, posunutá po ose x o p. Prvá strn funkce y =. 6
5 4 3 2 - p p+ -2-3 -4 (, ), ) K = p p + -5 Pedgogická poznámk: Teprve z grfického řešení někteří studenti pochopí, jk se příkld vlstně měl řešit. Shrnutí: Při řešení nerovnic s prmetrem musíme při dělení s výrzem oshujícím prmetr dávt pozor i n znménko tohoto výrzu. 7