Středová rovnice hyperboly

Transkript

1 757 Středová rovnice hperol Předpokld: 7508, 75, 756 Př : Nkresli orázek, vpočti souřdnice vrcholů, ecentricitu urči rovnice smptot hperol se středem v počátku soustv souřdnic, pokud je její hlvní os totožná s osou pltí pro ni: ) =, = ) =, = ) =, = e e = + = + = 0 ;0 Vrchol: [ ;0], [ ] Ohnisk: 0; 0, 0;0 Rovnice smptot: =, = ) =, = e e = + = + = 0 ;0 Vrchol: [ ;0 ], [ ] Ohnisk: 0; 0, 0;0 Rovnice smptot: =, = Podoně jko u elips: velikosti poloos rozhodují o tom, ve kterém směru je hperol ntžená Jink než u elips: ni kdž je > nestává se z ní hlvní poloos (ohnisk pořád leží n přímce ) Je nevšší čs odvodit rovnici hperol Odvozování proíhá stejně jk u elips

2 - - - Souřdnice vznčených odů: [ e;0], [ ;0] [ ;0], [ ;0] Podmínk pro hperolu: X X = Dosdíme: ( ) ( ) e, e + + e + = - Po dlouhém uprvování dvojím umocňování dojdeme k rovnici = Hperol se středem v počátku soustv souřdnic, jejíž hlvní os je totožná s osou jejíž hlvní poloos má velikost, vedlejší pk, je dán rovnicí = Rovnice se liší od rovnici elips se středem v počátku jediným znménkem Rovnici můžeme použít n sndnější odvození rovnic smptot: = = + = Žádný od smptot n hperole neleží, splňují rovnici + = 0 Kždá závork nám dává rovnici jedné smptot Poznámk: Pokud jde o kreslení orázku jsou výpočt smptot v podsttě ztečné Dleko jednodušší je určit velikosti poloos nkreslit od středu hperol prvoúhlý trojúhelník vrvený v minulé hodině Zůstává poslední prolém: n zčátku jsme otáčeli grf funkce = o 5 ve směru hodinových ručiček Kdchom ji otočili o 5 proti směru hodinových ručiček, získli chom hperolu n orázku níže Jkou rovnici ude mít tto hperol?

3 Jk víme z příkldu 7 z minulé hodin, neude stčit fkt, že je > jko u elips Svisle rozevřená hperol má oproti vodorovně otevřené prohozené os prohodíme je i v rovnici: = o orientci hperol rozhoduje znménko mínus, kldný člen v rovnici určuje hlvní osu Hperol se středem v počátku soustv souřdnic, jejíž hlvní os je totožná s osou jejíž hlvní poloos má velikost, vedlejší pk, je dán rovnicí = Pedgogická poznámk: Čs n řešení následujících dvou příkldů je omezený tím, studenti stihli zčít s příkldem, proto všichni studenti stihnou pouze příkld příkld zůstává pro t rchlejší Stejná situce je potom situce s příkld Př : Nkresli orázek, vpočti souřdnice vrcholů, ohnisek, ecentricitu urči rovnice smptot hperol = 9 Z rovnice vidíme: hlvní osou je os, střed S [ 0;0] Hlvní poloos: =, vedlejší poloos = centricit: e = + = + e = Vrchol: [ 0;], [ 0; ], ohnisk: 0;, 0; Rovnice smptot: =, = Př : Nkresli orázek, vpočti souřdnice vrcholů, ohnisek, ecentricitu urči rovnice smptot hperol 6 = 0 Nejdříve musíme uprvit rovnici do tvru, ze kterého je možné něco poznt: 6 = 6 =

4 = 6 Hlvní osou je os, střed [ 0;0] S Hlvní poloos: = 6, vedlejší poloos = centricit: ( ) e e = + = 6 + = 0 Vrchol: 6;0, 6;0, ohnisk: 0;0, 0;0 Rovnice smptot: 6 = 6 =, = 6 = Jk se změní rovnice hperol, kdž její střed posuneme do odu S [ m; n ]? Stejně jko u elips, kde se z rovnice + = se stl rovnice ( m ) ( n ) + = Hperol se středem S [ m; n ], hlvní osou rovnici ( m ) ( n ) = n vedlejší osou = m má středovou = Její smptot jsou dán rovnicemi m = ± n Hperol se středem S [ m; n ], hlvní osou rovnici ( n ) ( m ) Př : = m vedlejší osou = n má středovou = Její smptot jsou dán rovnicemi m = ± n Nkresli orázek, vpočti souřdnice vrcholů, ohnisek, ecentricitu urči rovnice smptot hperol ( + ) ( ) Hlvní osou je přímk = S =, střed [ ; ] Hlvní poloos: =, vedlejší poloos =

5 centricit: ( ) e = + = + e = 6, ohnisk: 6;, + 6; + + Rovnice smptot: =, = Vrchol: [ ; ], [ ;] S Shrnutí: Se středovou rovnicí hperol prcujeme podoně jko se středovou rovnicí elips 5