Analytiá geometrie v rovině V této části se udeme zaývat pouze rovinou. Využijeme něterýh vlastností teré v prostoru neplatí.. Poznáma: Opaování u = (u u ) v = (v v ) u = (u + u ) u.v = u v + u v vetory veliost vetoru salární součin vetorů A = [a a ] B = [ ] ody AB = ( a a ) vetor AB = (( a ) + ( a ) ) parametrié rovnie přímy vzdálenost dvou odů p = {A u} u směrový vetor p: x = a + tu y = a + tu t R. Přílad: Doažte že ABC A=[] B=[7] C=[56] je pravoúhlý a) pomoí salárního součinu ) pomoí Pythagorovy věty a) AB = (05) AC = () BC = (-) AC.BC = = 0 pravý úhel je při vrholu C ) = AB =5 = AC = ( + )= 0 a= BC = 5 a + = 5 + 0 = 5 = 5 =. Přílad: Určete y ta ay ABC yl pravoúhlý s pravým úhlem při vrholu B A=[] B=[-] C=[y] BA = (7-) BC = (y-) BA.BC = 8 y + = 0 => y = 0. Přílad: Uažte že ody A=[-] B=[] C=[6] jsou olineární ody ABC jsou olineární <=> AB je násoem AC AB = (6-) AC = (9-) => AB = / AC
.5 Poznáma: Oená rovnie přímy V rovině platí že příme existuje jednoznačně (až na násoe) olmý vetor. přímu můžeme určit odem a směrovým vetorem přímu můžeme určit odem a normálovým vetorem X p AX u AX.u = 0 A = [a a ] X = [x y] u = (a ) AX.u = 0 (x a )a + (y a ) = 0 ax + y + ( - aa a ) = 0 ax + y + = 0 oefiienty u x a y jsou souřadnie normálového vetoru Napište oenou rovnii přímy určenou A = [] u = (5-5) 5x 5y 5 = 0 5. 5. + = 0 => = -5 počítat zpaměti!!! u = (5-5) ~ ( -) lepší vzít vetor s menšími čísly souřadni ale stejného směru x y 7 = 0 /5 5x 5y 5 = 0 Oená rovnie přímy je dána jednoznačně až na násoe..6a Poznáma: oená -> parametrié Přehod mezi rovnií oenou a rovniemi parametriými. protože (a).(-a)=-a+a=0 u =(a) a zároveň u.u = 0 <=> u = (-a) z oené rovnie na parametrié p: x y + = 0 => u =(-) => u = () souřadnie mezi seou prohodit a u jedné změnit znaméno A = [0] jednu souřadnii volím a druhou dopočtu vhodná vola něo = 0 => p: x = t y = + t
.6 Poznáma: parametrié -> oená z parametriýh na oenou q: x = t y = - t => u = (--) => u =(-) souřadnie mezi seou prohodit a u jedné změnit znaméno A = [-] q: x y 7 = 0.7 Poznáma: směrnie Směrniový a úseový tvar přímy ax + y + = 0 0 y=(-a/)x + (-/) přeznačení y = x + q - směrniový tvar - směrnie q úse na ose y Nejdou ta napsat rovnoěžy s osou y!!! a 0 0 0 ax x a y y x y přeznačení A B směrniový tvar A úse na ose x B úse na ose y Nejdou ta napsat žádné rovnoěžy s osou x ani s osou y ani žádná příma proházejíí počátem - využívá se při rýsování
.8 Přílady: na převod S přímami a jejími částmi se v geometrii prauje neustále. V analytié geometrii pomoí příme počítáme dély vzdálenosti úhly společné ody apod. Ke aždé úloze je výhodnější jiné vyjádření téže přímy: parametriy oenou rovnií či pomoí směrnie a úseu. Pro je třea umět ryhle převádět rovnii přímy z jednoho typu vyjádření na druhý. Pod označením Cvičení na převod najdete v menu taulu ve teré jsou přílady na napsání rovnie přímy ve všeh typeh při různém výhozím zadání (informaíh o příme). Napsat potřený tvar rovni přímy musí ýt ryhlý ayste se mohli zaývat podstatou zadaného příladu a netopili se na taovém záladu (napsat rovnii přímy). Proto yste měli v průměru dosáhnout vyplnění jednoho řádu tauly zhrua za jednu minutu. Kontrolu správnosti můžete provést v textu Výsledy převodu. Něoli vzorů je postupovat: dány dva ody přímy A = [-] B = [06] směrový vetor u B-A () => normálový vetor u = (-) přehodit parametrié x = - + t y = + t směrový vetor a od A oená x y + 6 = 0 normálový vetor a od A směrniový y = x + 6 výpočet y z oené dán jeden od A a jeden z vetorů (směrový či normálový) druhý vetor zísáme přehozením souřadni a změnou znaména u jedné z nih a dál je to jao v předhozím případě dán od A = [-] a směrnie = směrniový tvar přímy y = x +q dosadím od A - = 6 + q => q = -8 y = x 8 oená rovnie x y 8 = 0 jen převedeno na jednu stranu => normálový u = (-) a směrový u = () parametrié x = + t y = - + t dány parametrié rovnie x = t y = + t vyčteme od A = [] a u = (-) a tedy u = () oená rovnie x + y 5 = 0 normálový vetor a od A směrniový tvar y = -½ x + 5/ vyjádřit y z oené rovnie dána oená rovnie x y + = 0 normálový vetor u = (-) tedy směrový u = () potřeujeme ještě jeden od: volím např. y = 0 a z rovnie vypočtu x = - A =[-0] parametriý tvar x = - + t y = t směrniový tvar y = ½ x + / dán směrniový tvar y = x oená rovnie x y = 0 vše převedeno na jednu stranu normálový vetor u = (-) tedy směrový u = () potřeujeme ještě jeden od: volím např. x = 0 a z rovnie vypočtu y = - A =[0-] parametriý tvar x = t y = - + t
.9 Přílad: Určete oenou rovnii přímy určenou ody A = [] B = [-]. Výslede porovnejte x y s rovnií z determinantu 0 u = AB = (--) => u =(-) => x y + 0 = 0 x y = 6 +x y y x + = x y + 0 = 0.0 Poznáma: Oenou rovnii přímy určenou dvěma různými ody A = [a a ] B = [ ] zísáme sestavením determinantu x y. Přílad: Určete oené rovnie příme určenýh dvojií odů pomoí determinantu. a) A = [0] B = [0] ) A = [] B = [5] ) A = [-5] B = [00] Výsledy: a) A = [0] B = [0] x + y = 0 ) A = [] B = [5] x = 0 ) A = [-5] B = [00] 5x +y = 0. Přílad: Rozhodněte zda jsou následujíí trojie odů olineární a) A = [05] B = [] C[-7] ) A = [-] B = [0] C[] ) A = [] B = [5] C[7] d) A = [-5] B = [] C[] e) A = [-] B = [] C[6] a Kolineární ody leží na jedné příme. Když napíšeme rovnii přímy určenou dvěma ody a souřadnie třetího odu mu udou vyhovovat pa jsou olineární. S výhodou lze použít determinant. a 0
a) 0 5 7 = 5 0 + = 0 => ody jsou olineární ) nejsou ) jsou d) nejsou e) jsou. Věta: osah Jsou dány tři ody v rovině A = [a a ] B = [ ] C = [ ]. Označme D determinant a a D. Body ABC jsou olineární právě dyž D = 0. Jsou-li ody ABC neolineární pa osah ABC je roven ½ D (jedné polovině asolutní hodnoty determinantu D.. Přílad: Určete osah ABC de A = [-] B = [] C = [-0-]. 0 6 0 8 0 58 P 9.5 Přílad: Vypočtěte souřadnie vrholů osočtvere jsou-li známy rovnie jeho stran AB: x + y = 0 CD: x + y 0 = 0 a rovnie jedné jeho úhlopříčy DB: y = x + průsečí AB DB je od B x + y = 0 - x - y + = 0-0 -6 - D x D y D B = [0] průsečí CD DB je od D S = (B + D)/ = [] x + y 0 = 0-0 x - y + = 0 - -6 - - D = [] příma AC je určena odem S a normálovým vetorem BD průsečí AC AB je od A x + y = 0 x + y 8 = 0 => x + y = 0
x + y = 0 0 A = [0] průsečí AC DB je od C x + y = 0 x + y 0 = 0-6 C = [-6].6 Přílad: Jsou dány vrholy ABC A = [-] B = [] a průsečí výše (ortoentrum) V = []. Určete souřadnie třetího vrholu a osah trojúhelnía. C je průsečí příme AC a BC příma AC je určena odem A a normálovým vetorem BV příma BC je určena odem B a normálovým vetorem AV AC: -x + y 0 = 0 -x + y 0 = 0 BC: 7x - 8 = 0 x - = 0 C = [7] osah ABC = 8/ =.7 Přílad: Jsou dány ody A = [-] B = [-7]. Na ose y najděte od N ta ay AN BN. Na ose y mají všehny ody souřadnie N = [0 y]. AN BN <=> AN.BN = 0 <=> (y-)(-y+7) = 0-9 + (y-)(y+7) = 0 y + 6y 6 = 0 => N = [0] N = [0-8].8 Přílad: Určete střed a poloměr ružnie opsané ABC de A = [5] B = [-] C = [-]. nutno postupně vyřešit ) rovnii osy úsečy AB: p = {S AB AB } ) rovnii osy úsečy AC: q = {S AC AC } ) průsečí S = p q ) poloměr r = AS ad ) S AB = [7//] AB = (--7) ~ (7) p: x + 7y = 0 ad ) S AC = [5//] AC = (--9) ~ () q: x + y = 0 ad ) x + 7y = 0 x + y = 0
-0 - S = [-7/ 5/] ad ) r = AS = ( + 7/) + (5 5/) = 50/ => r 5 0.9 Přílad: Na ose x nalezněte od terý je stejně vzdálen od počátu souřadni jao od odu A = [8] ) osu úsečy AP: p = {S AP AP } ) hledaný průsečí X = p o x ad ) S AP = [] PA = (8) ~ () p: x + y 0 = 0 ad ) o x : y = 0 => X = [50].0 Přílad: Je dán ABC de A = [--] B = [] C = [0]. Určete veliost jeho úhlů. úhel α svírají vetory AB AC CZ AB = () AB = os 7 7 6 6 ' BC = (-) BC = 5 os 65 5 65 9 5' AC = (5) AC = 6 os 9 9 0 5 6 0 7 5'. Poznáma: Odhyla dvou příme
. poznáma: Kritéria olmosti a rovnoěžnosti příme p q <=> p. q = 0 p. q = 0 =
p q <=> p. q = 0 p. q = 0. = - D: α = α + 90 o = tg α = = tg (α + 90 o ) = - otg α = - /tg α = - /. Přílad: Napište rovnii přímy terá prohází odem A = [--] a svírá s přímou a: x y + = 0 úhel 5 o. Taovouhle úlohu je nejlepší řešit přes směrnie a: y = (/)x + (/) : y = x + q hledaná příma tg5 9 6 9 6 9 8 6 9 6 7 7 8 7 0 7 => dvě řešení = dvě přímy : y = x/7 6/7 : y = -7 + -8. Přílad: Uažte že ody K=[8] L=[-] M=[-8-] jsou vrholy rovnoramenného trojúhelnía. pomoí úhlů. pomoí déle stran
KL = (5) LM = (-5) KM = (0) KL = LM = KM = ad doázáno norma vetoru je rovna veliosti úsečy KL = KM os os os ( 50 7. )( ) ( 5)5 0 7..5 Poznáma: Svazy příme Vysytuje-li se v rovnii přímy nějaý parametr jde o systém neonečně mnoha příme terý nazýváme svazem příme..6 Přílad: Pro terou hodnotu parametru a R dostaneme rovnii přímy ze svazu (a + )x + ( a)y + a 9 = 0 terá je (řešte sami jen v rajním případě se inspirujte návodem): a rovnoěžná s osou x -/ rovnoěžná s osou y svírá s osou x orientovaný úhel +5 o - prohází odem A = [0] neexistuje prohází počátem 9 prohází odem B = [7/0 /0] a R rovnoěžná s přímou p: x y + = 0-7/ rovnoěžná s přímou q: x = + t y = - t -6/7 olmá na přímu p / olmá na přímu q -8
návod rovnoěžná s osou x normálový vetor osy x je (0) rovnoěžná s osou y normálový vetor osy y je (0) svírá s osou x orientovaný úhel +5 o směrnie musí ýt tg5 o = => souřadnie normálového vetoru přímy jsou stejné prohází odem A = [0] dosadíme do rovnie => rovnie pro a nemá řešení prohází počátem dosadíme počáte P = [00] prohází odem B = [7/0 /0] dosadíme a zjistíme že na a nezáleží rovnoěžná s přímou p: x y + = 0 směrový vetor přímy p a normálový svazu musí dát salárně 0 (ritérium ) rovnoěžná s přímou q: x = + t y = - t dtto olmá na přímu p normálový vetor přímy p a normálový svazu musí dát salárně 0 (ritérium ) olmá na přímu q dtto.7 Poznáma: Vzdálenost odu od přímy AX.p = 0 <=> p: ax +y + = 0 p =(a) X = [X 0 Y 0 ] ax0 y0 d a.8 Přílad: Určete délu olmie spuštěné z odu S = [-] na přímu p: x 5y 7 = 0 Sp. 5.( ) 7 ( 5) 6
.9 Přílad: Napište rovnie příme rovnoěžnýh s přímou p: x-y-=0 jejihž vzdálenost od odu [] je rovna 5. hledané přímy musí mít stejný normálový vetor tedy q: x y + = 0 a vzore pro vzdálenost představuje rovnii pro.. 5 5 6 q : x y + 6 = 0 q : x y = 0.0 Poznáma: Osa úhlu. Osa úhlu ABC je určena odem B a směrovým vetorem u Musíme dostat jednotové vetory ve směreh BA BC. To jsou vetory BA BA BC BC je jednotový protože (norma je číslo ta lze vytnout) BA BA BA BA Tedy BA BA BC u. BC. Přílad: Napište rovnii osy BAC de A=[-] B=[] C=[05]. ) vetory AB AC a jejih veliost ) vetor u směrový osy úhlu ) rovnii osy úhlu BAC AB = () AB = 8 = AC = (-7) AC = 50=5
AB AB ( ) AC AC ( 5 7) 7 0 0 u 0 0 ( ) 0 ( ) u = (-) a od B o: x - y - 5 = 0. Přílad: Určete souřadnie středů ružni teré se dotýají příme t : x + y + = 0 t : 7x y + = 0 víte-li že leží na příme p: x + y = 0. Určete poloměr těhto ružni.. průsečí T. osa o. S = p o r = S t. osa o o 5. S = p o r = S t ad x + y + = 0 7x y + = 0 8-8 T = [--] ad a = (-) = (7) a = =5 ad ad ad 5 u u = (-) o : x y 8 = 0 7 5 5 x y + 8 = 0 S = [-] x + y = 0 r = + / = o: x + y + 6 = 0 x + y + 6 = 0 S = [-6] x + y = 0 r = - +6 + / = 6 5 5 ~ (). Poznáma: Střed ružnie vepsané a) Střed najdeme jao průsečí os dvou vnitřníh úhlů - postup viz.0 ) Využitím výsledů úlohy.7
PO apa PB PC a P je liovolný od ABC jsou vrholy a jsou dély stran Označme tedy P = [00] A = [a a ] B = [ ] C = [ ] S = [s s ] a.a i.i. i Pa platí si i a. Přílad: Je dán ABC A=[5] B=[5] C=[-]. Určete:. jeho osah. veliost stran. veliost vnitřníh úhlů. veliost výše 5. střed ružnie vepsané a její poloměr 5 ad ) 5 5 0 5 5 P 5 / AB AB 5 ad ) BC a BC 5 AC 7 AC 5 8 ad ) os os 5 5. 5. 0 os 0 90 5 ad ) Vzhledem tomu že je to pravoúhlý trojúhelní rovnoramenný => v a = v = a = = 5 v = = 5 / ad 5) střed ružnie vepsané 5 5 0 s 5 5 5 s 0 5 0 5 5 5 5 0 5 5 7 Poloměr je vzdálenost středu od přímy AB: x + y = 0
r 5 7 0 6 8 6 50 5 0 8 5.5 Přílad: Je dán ABC A=[0] B=[05] C=[00]. Určete střed O ružnie opsané a V střed ružnie vepsané a jejih poloměry. Výsledy: O = [6; 5] R = AB / = / V = [ ] r =.6 Přílad: Je dán ABC A=[86] B=[8] C=[].. Určete osah ABC.. Napište rovnii přímy PT de P je počáte souřadni a T je těžiště ABC.. Napište rovnie příme AB BC AC po řadě ve tvaru parametriém oeném a směrniovém.. Doažte že AB BC. 5. Rovnii přímy AC v oeném tvaru vynásote číslem p a přičtěte tomu oenou rovnii přímy AB. Vznilý svaze příme označte t. 6. Doažte že všehny přímy svazu t proházejí odem A. 7. Pro terou hodnotu parametru dostanete přímu proházejíí počátem souřadni? 8. Pro terou hodnotu parametru dostanete přímu rovnoěžnou s přímou BC? 9. Pro terou hodnotu parametru dostanete přímu olmou příme BC? Výsledy: ad ) osah = 0 ad ) T = [/6] p: 8x - y = 0 ad ) AB = (-) x=8-t y=6+t x+y-0=0 y=(-/)x+0 BC = (--) x=-t y=8-t x-y =0 y=x CA = (6) x=+t y=+t x-y+0=0 y=(/)x+0/ ad ) AB.BC=0 ad 5) t: (+p)x + (-p)y + (0p-0) = 0 ad 6) (+p)8 + (-p)6 + (0p-0) = 0 ad 7) 0p 0 = 0 p = ad 8) t BC BC.t =0 -(+p)-(-p)=0 p=5/ ad 9) t BC BC.t =0 -(-p)+(+p)=0 p=0
.7 Přílad: V pravoúhlém ABC ve standardním značení platí: v = a/ Zavedeme si soustavu souřadni podle orázu. Pa příma v níž leží strana má rovnii ax + y a = 0 AB = ( -a) je směrový vetor v = C = 0.a 0. a a a..8 Přílad: V ABC ve standardním značení označme R poloměr ružnie opsané a r poloměr ružnie vepsané. Doažte že platí: je-li ABC pravoúhlý pa R+r = (a+)/. Zavedeme souřadný systém podle orázu. Mějme na paměti že v pravoúhlém platí Pythagorova věta tedy a + = R = / střed ružnie vepsané S a.. 0 a. 0 a. 0.a. 0 a a a a r = vzdálenost středu S např. od strany tj. y-ová souřadnie a A tedy R r a a ( a ( a ) a ) a ( a a ) ( a ) ( a a ) a ( a ) ( a ( a ) ) ( a ( a )( a ) ) a q.e.d.
.9 Poznáma: Poloroviny příma p dělí rovinu na dvě poloroviny p: ax + y + = 0 - p(x) = ax + y + p(a).p(b) > 0 ody AB jsou ve stejné polorovině p(a).p(b) < 0 ody AB jsou v různýh polorovináh.0 Přílad: Je dána příma q: x y + = 0. Zjistěte teré z následujííh odů jsou ve stejné polorovině jao od M = [0]. A = [] B = [-] C = [-] D = [5] E = [--] P = [00] q(m) > 0 q(a) > 0 ano q(b) < ne q(c) > 0 ano q(d) < 0 ne q(e) > 0 ano q(p) > 0 ano KONEC