Kvadratické rovnice V zadání lineární rovnice se může vyskytovat neznámá ve vyšší než první mocnině. Vždy ale při úpravě tato neznámá ve vyšší než první mocnině zmizí, odečte se, protože se vyskytuje na oou stranách ve stejném násoku. Přesto se dá řešit řada rovnic, kde se neznámá vyskytuje v druhé mocnině. Každá rovnice, která se dá upravit do tvaru a x xc=0, kdy a R {0},, c R, se nazývá kvadratická. Člen a x se nazývá kvadratický člen, člen x lineární člen a člen c asolutní člen. Člen a se nazývá kvadratický koeficient, člen se nazývá lineární koeficient. Řešení kvadratických rovnic Hledání řešení rovnice x =4 znamená hledání takových čísel, jejichž druhá mocnina je rovna 4. Druhá mocnina kladného čísla i záporného čísla je kladná, druhá mocnina opačných čísel je dokonce stejná ( = =4 ). Proto x =4 x = x 1 = x =. Všechny ostatní rovnice, osahující nejvýše druhou mocninu, se dají řešit odoně. Jinak můžeme tu samou rovnici řešit pomocí vzorce: x =4 x 4=0 (x )(x +)=0 Součin je roven nule, jsou-li součinitelé rovni nule (aspoň jeden). Proto x =0 x 1 = x+=0 x =. Výsledek je stejný. Ještě se často potkáme s rovnicí, kde se druhá mocnina čísla rovná zápornému číslu, např. x = 5. Tady je nutné si uvědomit, že zatímco druhá mocnina jakéhokoliv čísla je číslo kladné neo nula, tak na druhé straně rovnice máme číslo záporné. Neřešitelný prolém žádné reálné číslo není zároveň kladné neo nula a zároveň záporné. Proto mezi reálnými čísly tato rovnice řešení nemá! Nejprve se podíváme na řešení neúplných kvadratických rovnic. Kvadratická rovnice ez lineárního členu Zkuste začít tím, že si vyřešíte sami pár příkladů. Pak se vraťte k tomuto oecnému postupu. Taková rovnice se dá napsat ve tvaru a x c=0, kde a 0. Převedeme-li c na druhou stranu rovnice, dostaneme a x = c. A převedeme-li a na druhou stranu, dostáváme x = c a. Jako mezivýsledek tu máme opačné ( ) číslo k podílu dvou čísel c a a. Toto číslo ( c a ) musí ýt c kladné neo nula, má-li mít rovnice řešení, protože je rovno druhé mocnině neznámé x. Tedy číslo a musí ýt záporné a tedy c0 a0 c0 a0, jinými slovy čísla a a c musí mít rozdílná znaménka. Není-li tomu tak, rovnice nemá žádné řešení. Je-li c=0 (rovnice je ez lineárního i c asolutního členu), pak má jediné řešení x=0. A je-li a 0, pak x=± c a. Příklad 1: Řešte rovnice: a) 5 x 15=0 ) 1,5 x 6=0 c) 4 x =0 d) 7 x 8=0 e) 14 x 3,5=0 f) x 3 1 x=0 a) pomalu: 5 x 15=0 +15 5 x =15 :5 x =5 x =5 x=±5 P={ 5 ;5} rychle: a=5,c= 15 mají rozdílná znaménka; x=± 15 =±5=±5 5
1,5 x 6=0 6 1,5 x =6 : 1,5 ) pomalu: x = 4 P={} rychle: a= 1,5,c= 6 mají stejná znaménka; rovnice 4 x =0 :4 c) pomalu: x =0 x=0 P={0} rychle: a=4,c=0 ; protože c=0 rovnice má jediné řešení x=0 7 x 8=0 8 7 x = 8 :7 d) pomalu: x = 4 P={} rychle: a=7, c=8 mají stejná znaménka; rovnice 14 x 3,5=0 3,5 14 x = 3,5 : 14 e) pomalu: x =0,5 x=±0,5 P={ 0,5; 0,5} rychle: a= 14,c=3,5 mají rozdílná znaménka; x=± 3,5 14 =±0,5=±0,5 x 3 1 x=0 4 x 1 x91 x=0 4 x 9=0 9 f) 4 x = 9 :4 x = 9 4 P={} Kvadratická rovnice ez asolutního členu Znovu zkuste začít tím, že si vyřešíte sami pár příkladů. Pak se vraťte k tomuto oecnému postupu. Taková rovnice se dá napsat ve tvaru a x x=0, kde a 0. Dá se vytknout x, takže dostaneme rovnici x a x=0. Součin dvou výrazů se rovná nule tehdy, když se aspoň jeden z výrazů rovná nule. Rovnice má jedno řešení x=0 a druhé řešení je řešením lineární rovnice a x=0, tedy x= a. Protože a 0 má tento typ neúplné kvadratické rovnice vždy řešení a vždy dvě řešení, P= { 0; a }. Příklad : Řešte rovnice: a) 5 x 15 x=0 ) 1,5 x 6 x=0 c) x 8 x=0 d) 7 x 8 x=0 e) 14 x 15 x=0 f) x 3 9=0 a) pomalé: 5 x 15 x=0 5 x x 5=0 x 1 =0 x =5 rychlé: P= { 0 ; 15 5 } ={0 ; 5}
1,5 x 6 x=0 ) pomalé: 1,5 x x4=0 x 1 =0 x = 4 rychlé: P= { 0 ; 6 1,5 } ={0 ; 4 } x 8 x=0 c) pomalé: x x 8=0 x 1 =0 x =8 rychlé: d) pomalé: rychlé: e) pomalé: P= { 0; 8 1 } ={0;8} 7 x 8 x=0 7 x x4=0 x 1 =0 x = 4 P= { 0; 8 7 } ={0; 4} 14 x 15 x=0 x 14 x15=0 x 1 =0 x = 15 14 14 } rychlé: P= { 0; 15 14 } = { 0 ; 15 f) pomalé: x 3 9=0 4 x 1 x9 9=0 4 x 1 x=0 4 x x 3=0 x 1 =0 x =3 Snadno řešitelné úplné kvadratické rovnice Některé rovnice, hlavně ty, které mají kvadratický koeficient rovný 1 a lineární koeficient sudý, se dají řešit s pomocí vzorců (a+) =a +a+ či (a ) =a a+. Ukážeme si nejdříve ty, které vedou na tvar a x =0, tedy druhá mocnina dvojčlenu rovná nule. Pak je výsledek x= a. Příklad 3: a) x 40 x400=0 ) x 14 x49=0 c) 3 x 18 x7=0 x 40 x400=0 x x 00 =0 a) x 0 =0 x=0; P={0} x 14 x49=0 x x 77 =0 ) x7 =0 x= 7; P={ 7} 3 x 18 x7=0 3 x 6 x9=0 :3 c) x x 33 =0 x 3 =0 x=3; P={3} Řešení úplných kvadratických rovnic Než si odvodíme vzorec, ukážeme si několik příkladů, jak y se kvadratická rovnice v úplném tvaru dala řešit.
Příklad 4: a) x 4 x15=0 ) x 30 x 15=0 c) 3 x 1 x147=0 x 4 x15=0 x x 11 1 15=0 151 x 1 =456 oě strany a) x 1=± 114 x 1 =1 114 x =1 114 P={1± 114} x 30 x 15=0 x x 1515 5 15=0 515 x 15 = 10 : 1 ) x 15 =10 x 15=±10 x 1 =1510=5 x = 95 P={ 95; 5} 3 x 1 x147=0 :3 x 7 x49=0 x x 7 49 4 49 4 49=0 c) x 7 49 3 4 =0 147 4 x 7 = 147 4 P= Tento postup je vždy použitelný, ale, jak je vidět, velmi často opakujeme úplně stejné kroky doplnění na čtverec (vzorec a± =a ± a ), pak převedeme čísla na pravou stranu, odmocníme (je-li na pravé straně kladné číslo) a převedeme číslo z levé strany na druhou. Jak y to vypadalo pro oecný tvar kvadratické rovnice?
a x xc=0 : a x a x c a =0 a x x a x a a x x a x a a a c a =0 a c a c a =0 = = 4 a c a 4 a c 4 a 4 a = 4 a c 4 a x a =± 4 a c 4 a x 4 a c a =± a a x 1, = ± 4 a c a Vztah, ke kterému jsme došli za použití povolených úprav při řešení rovnice s výjimkou odmocňování y se dal použít univerzálně. Tedy vzorec y mohl pomoci k řešení kvadratických rovnic, kde ostatní řešení jsou otížnější a zdlouhavá. Zývá se podívat na odmocnění. Není prolém se jmenovatelem 4 a je kladné a nenulové číslo, znaménko a nehraje žádnou roli ani v a, ani po odmocnění, protože před celou odmocninou je ±, proto můžeme psát a. Co s čitatelem 4 a c? Je to matematický výraz, který může naývat, podle čísel, hodnot kladných, záporných neo nuly. Protože má větší význam, označíme ho pojmem diskriminant, D= 4 a c. Je-li D0, můžeme jej odmocnit a dostaneme dvě různá řešení, dva kořeny kvadratické rovnice; je-li D=0, jeho odmocnina je také 0 a dostaneme jeden kořen, kterému říkáme dvojnásoný kořen. A je-li D<0, odmocnit nemůžeme, protože to pro reálná čísla není povolené. Pak tedy v ooru reálných čísel kvadratická rovnice řešení nemá. Možná, až připustíme odmocninu ze záporného čísla, se dostaneme dál, ale už to neudou reálná čísla (ale imaginární). Vzorec pro řešení kvadratické rovnice x1, = ± D D= 4 a c a Příklad 5: Vyřešte kvadratickou rovnici: a) x 15 x36=0 ) 5 y 5 x 900=0 c) x x1=0 a=1;= 15; c=36 D=5 4 36=5 144=81 D0, takže rovnice ude mít dvě řešení x 1, = 15±81 x 1 = 159 a) = 4 =1 x = 15 9 = 6 =3 P={3 ;1} 5 x 5 x 900=0 : 5 ) x 9 x 36=0 a=1; = 9; c= 36 D=81 4 36=814 36=5 D0, takže rovnice ude mít dvě řešení
x 1, = 9±5 x 1 =1 x = 3 P={ 3;1} a=1;= ;c=1 c) D=8 4=4 D0, takže rovnice ude mít dvě řešení x 1, = ± x 1 = 1 x = 1 P={ 1;1}