Perfektní funkce první třídy

Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Břetislav Skovajsa Perfektní funkce první třídy Katedra matematické analýzy Vedoucí bakalářské práce: Studijní program: Studijní obor: doc. RNDr. Jiří Spurný Ph.D. Matematika Obecná matematika Praha 2012

Chtěl bych poděkovat vedoucímu práce doc. RNDr. Jiřímu Spurnému, Ph.D. za veškerou pomoc při její tvorbě, především však za velice podnětný způsob, jakým mi problematiku představil.

Prohlašuji, že jsem tuto bakalářskou práci vypracoval samostatně a výhradně s použitím citovaných pramenů, literatury a dalších odborných zdrojů. Beru na vědomí, že se na moji práci vztahují práva a povinnosti vyplývající ze zákona č. 121/2000 Sb., autorského zákona v platném znění, zejména skutečnost, že Univerzita Karlova v Praze má právo na uzavření licenční smlouvy o užití této práce jako školního díla podle 60 odst. 1 autorského zákona. V... dne... Podpis autora

Název práce: Perfektní funkce první třídy Autor: Břetislav Skovajsa Katedra: Katedra matematické analýzy Vedoucí bakalářské práce: doc. RNDr. Jiří Spurný Ph.D. Abstrakt: Široká třída problémů v matematické analýze se dá popsat jako hledání vlastností V takových, že pro každé F z předem daného systému zobrazení F mezi prostory K a L má libovolná reálná funkce na prostoru L vlastnost V právě tehdy, pokud ji má její složení s F. Práce se inspiruje v [1], kde je tento problém zkoumán v podobě stability funkcí Baireových tříd na kompaktních topologických prostorech vůči složení se spojitým zobrazením. Cílem práce bude seznámit se s původním výsledkem, mírně jej zlepšit na kompaktních metrických prostorech, pak se blíže podívat na jemnější strukturu B 1 funkcí a zkusit v tomto prostředí najít podobný druh stability. Klíčová slova: Funkce první Baireovy třídy, teorie selekcí. Title: Perfect functions of the first Baire class Author: Břetislav Skovajsa Department: Department of mathematical analysis Supervisor: doc. RNDr. Jiří Spurný Ph.D. Abstract: A wide class of problems in mathematical analysis can be described as searching for properties P such that for each F from a given system of mappings F between spaces K and L an arbitrary real valued function on L has the property P if and only if its composition with F also has this property. The inspiration for this text comes from [1], where the mentioned problem is examined in the form of stability of Baire classes of functions towards composition with a continuous mapping between compact topological spaces. The goal of this text will be to get acquainted with the original result, to slightly improve it on compact metric spaces, then to take a closer look at the finer structure of B 1 functions and to try to find a similar kind of stability in this environment. Keywords: Functions of the first Baire class, selection theory.

Obsah Použité značení 1 Úvod 2 1 Funkce Baireových tříd 3 2 Funkce první třídy 8 3 Stabilita 16 3.1 Stabilita B λ funkcí.......................... 16 3.2 Stabilita B 1 funkcí.......................... 19 Seznam použité literatury 21

Použité značení N Množina přirozených čísel. Q Množina racionálních čísel. R Množina reálných čísel. f : X Y f je zobrazení z X do Y. A B Množina A je podmnožina množiny B. A B Průnik množin A a B. A B Sjednocení množin A a B. A B Rozdíl množin A a B. x M x je prvek množiny M. A c Doplněk množiny A. A Uzávěr množiny A. φ 1 (X) Vzor množiny X při zobrazení φ. P(X) Potenční množina množiny X. B(r, x) Otevřená koule o středu r a poloměru x. G(X) Systém všech otevřených podmnožin prostoru X. F(X) Systém všech uzavřených podmnožin prostoru X. C(K) Množina všech spojitých reálných funkcí na prostoru K. ω 1 Nejmenší nespočetný ordinál. Prázdná množina. F Standardní suprémová norma funkce F. f g Zobrazení x f(g(x)). x Absolutní hodnota x. diam(a) Průměr množiny A. dist(x, y) Vzdálenost x od y. Q δ Všechny spočetné průniky množin ze systému Q. Q σ Všechna spočetná sjednocení množin ze systému Q. 1

Úvod Obecný výsledek z [1] tvrdí, že pokud X a Y jsou kompaktní topologické prostory a φ spojité zobrazení X na Y, pak pro každý spočetný ordinál λ je libovolná reálná funkce F na prostoru Y třídy B λ právě tehdy, když F φ je třídy B λ na X. Řečeno jednodušeji, Baireovy třídy funkcí jsou stabilní vůči skládání se spojitým, surjektivním zobrazením mezi kompaktními prostory. Na kompaktních metrických prostorech se však samotné B 1 funkce dělí do mnohých zajímavých podtříd, které jsou zkoumány např. v textech [2] a [3]. Otázka jejich stability se pak jeví jako přirozená. Za zmínku také stojí původ názvu práce. Zobrazení mezi dvěma topologickými prostory nazýváme perfektní, pokud je spojité, uzavřené, na a pokud vzor každého bodu je kompaktní množina. Takové zobrazení není tak silné jako homeomorfismus, přičemž hlavní problém představuje, že nemusí nutně být prosté. Řešením tohoto problému se zabývá odvětví nazývané teorie selekcí, neboť se snaží z množinové inverze vybrat tzv. selektor, který by nahrazoval inverzní zobrazení. Třídy funkcí stabilní vůči skládání s perfektním zobrazením se pak někdy pro jednoduchost označují také jako perfektní. Spojité, surjektivní zobrazení mezi kompaktními prostory je vždy perfektní, tedy cílem práce vskutku bude zabývat se perfektními podtřídami B 1 funkcí. 2

1. Funkce Baireových tříd Ke zkoumání stability funkcí Baireových tříd budeme nejprve potřebovat přehled jejich základních vlastností, blíže se pak podíváme na vztah jejich úrovňových množin a hierarchie Borelovských množin. Definice 1.1. Nechť K je kompaktní metrický prostor. Pak B 1 (K) bude označovat množinu všech funkcí první Baireovy třídy na K, neboli bodové limity posloupností spojitých funkcí na K. Pro 1 < λ < ω 1 pak definujeme B λ (K) jako bodové limity posloupností ze 1 γ<λ B γ(k). Všimněme si, že B λ jsou uzavřené na součet, rozdíl, maximum, minimum a součin dvou (tedy i konečně mnoha) funkcí přímo z aritmetiky limit. Pokud chceme dělit všude nenulovou funkcí, je potřeba si uvědomit, že nemusí být limitou všude nenulových funkcí. Je však zřejmé, že pokud f n f a g n g, pak f n g n g 2 n + n 1 f g. Lemma 1.2. Nechť K je kompaktní metrický prostor, 1 λ < ω 1 (F n ) n=1 B λ (K) stejnoměrně konverguje k funkci F. Pak F B λ (K). a nechť Důkaz. Pokud f je bodovou limitou posloupnosti funkcí (f n ) a platí f ϑ, pak můžeme předpokládat, že f n ϑ, jinak položíme f n := max{min{f n, ϑ}, ϑ}. Díky standardní úvaze je možné předpokládat, že pro všechna a b přirozená čísla platí F a F b r a, kde posloupnost kladných reálných čísel (r n ) n=1 tvoří konvergentní řadu. Můžeme psát F F 1 = (F 2 F 1 ) + (F 3 F 2 ) +... a označit φ = F F 1 a φ n = F n+1 F n. Zřejmě stačí dokázat φ B λ (K). Mějme tedy funkce (f k,n ) k,n=1 1 γ<λ B γ(k) C(K) takové, že φ k = lim n f k,n a f k,n r k. Definujme g n = f 1,n +... + f n,n. Pak pro m < n zřejmě platí g n (f 1,n +... + f m,n ) = f m+1,n +... + f n,n < d=m+1 Tedy pokud sumu na pravé straně označíme s m, zjevně s m 0 pro m a přímočarou úpravou nerovnosti dostaneme f 1,n +... + f m,n s m < g n < f 1,n +... + f m,n + s m. Po limitním přechodu n máme φ 1 +... + φ m s m lim inf g n lim sup g n φ 1 +... + φ m + s m. To už přímo dává lim n g n = φ. r d. 3

Definice 1.3. Nechť X je metrický prostor. Pak systém množin M P(X) nazveme algebrou, pokud M, X M a M je uzavřený na konečná sjednocení, konečné průniky a doplněk. Definice 1.4. Nechť X je metrický prostor a M P(X) libovolný systém množin. Označme Σ 1 (M) := M a Π 1 (M) := {A c ; A M}. Dále induktivně pro 1 < ξ < ω 1 definujme Σ ξ (M) := ( 1 γ<ξ Π γ(m)) σ a Π ξ (M) := ( 1 γ<ξ Σ γ(m)) δ. Pro M = G(X) budeme používat pouze Σ ξ (X) a Π ξ (X). Poznámka 1.5. Všimněme si, že pro 1 α < β < ω 1 je Σ α (M) Σ β (M) a Π α (M) Π β (M). Lemma 1.6. Nechť X je metrický prostor a M P(X) algebra množin. 1) Pro A P(X) a 1 λ < ω 1 platí A Σ λ (M) právě tehdy, když A c Π λ (M). 2) Pro 1 λ < ω 1 je Σ λ (M) uzavřený na spočetné sjednocení a konečné průniky, Π λ (M) je uzavřený na konečné sjednocení a spočetné průniky. Důkaz. 1) Pro λ = 1 jde o základní vlastnost otevřených množin. Pro 1 < λ < ω 1 víme, že A Σ λ (M) znamená A = n=1 A n, kde A n 1 γ<λ Π γ(m). Pak pro n N je z indukčního předpokladu A n 1 γ<λ Π γ(m) právě tehdy, když A c n 1 γ<λ Σ γ(m), ale A c = n=1 Ac n. 2) Pro λ = 1 se opět jedná pouze o základní vlastnosti otevřených a uzavřených množin. Pokud pro n N je A n Σ λ (M), pak A n = t=1 A n,t, kde A n,t 1 γ<λ Π γ(m). Přečíslujeme {A n,t ; n N, t N} na {B m ; m N} a vidíme, že n=1 A n = m=1 B m Σ λ (M). Uzavřenost Π λ (M) na spočetné průniky dostaneme stejným způsobem. Pokud k N a pro všechna n k je A n Σ λ (M), pak opět A n = t=1 A n,t, kde A n,t 1 γ<λ Π γ(m). Tedy x k n=1 A n platí právě tehdy, když pro každé n k existuje t n takové, že x A n,tn. Tento fakt lze také zapsat tak, že existují t 1,..., t k takové, že pro každé n k je x A n,tn, neboli x (t 1,...,t k ) N k A 1,t1... A k,tk. Uzavřenost Π λ (M) na konečná sjednocení je pak jednoduchým důsledkem De Morganových pravidel a tvrzení 1). Značení. Pro f, g : X R a ϑ R budeme množinu {x X ; f(x) > ϑ} značit jako [f > ϑ], {x X ; f(x) ϑ} jako [f ϑ] a {x X ; f(x) > g(x)} jako [f > g]. Úrovňovými množinami funkce f budeme dále rozumět množiny typu [f > γ] a [f γ] pro γ R. Pro důkaz následujícího tvrení si bude potřeba rozmyslet 4

některé základní znalosti o úrovňových množinách reálných funkcí, pocházející z [4]. Nejdříve si všimneme zřejmého vztahu mezi různými druhy úrovňových množin, pro f reálnou funkci a λ R máme [f λ] = [f > λ] = [f > λ 1 n ], n=1 [f λ + 1 n ]. n=1 Nechť je nyní (f n ) n=1 posloupnost reálných funkcí, pak pro g := sup f n a h := inf f n platí [g > λ] = [h λ] = [f n > λ], n=1 [f n λ]. n=1 Definice 1.7. Nechť f je reálná funkce na množině X a A, B P(X). Řekneme, že f je typu (A, ), pokud α R : [f > α] A. Naopak f je typu (, B), pokud β R : [f β] B. Dále f je typu (A, B), pokud je typu (A, ) i typu (, B). Lemma 1.8. Nechť (f n ), (g n ) n=1 jsou posloupnosti reálných funkcí takové, že pro n N je f n typu (A, ) a g n typu (, B). Pak sup f n je typu (A σ, ) a inf f n typu (, A δ ), sup g n je typu (B σ, ) a inf g n typu (, B δ ). Důkaz. Z předchozích poznatků je přímo vidět, že sup f n je typu (A σ, ) a inf g n typu (, B δ ). Dále pak platí [sup g n > λ] = [inf f n λ] = [g n > λ] = n=1 [f n λ] = n=1 n=1 w=1 n=1 w=1 [g n λ + 1 w ], [f n > λ 1 w ]. Tvrzení 1.9. Nechť K je kompaktní metrický prostor a F : K R. Pak pro 1 λ < ω 1 je F B λ (K) právě tehdy, když F je typu (Σ λ+1 (K), Π λ+1 (K)). Důkaz. Jelikož nedochází ke konfliktu, budeme pro B λ (K), Σ λ (K) a Π λ (K) používat pouze B λ, Σ λ a Π λ. 5

Nejprve si uvědomíme, že C(K) (G(K), F(K)). Pokud je funkce F bodovou limitou posloupnosti (f n ) n=1, platí t K : F (t) = lim sup f n (t) = lim n N t K : F (t) = lim inf n N sup n k n f k (t) = inf f n(t) = lim inf f n k(t) = sup k n sup n N k n n N f k (t), inf f k(t). k n Nechť je 1 λ < ω 1 izolovaný, B λ 1 (Σ λ, Π λ ) a (f n ) n=1 B λ 1 bodově konverguje k funkci F (pro zkrácení zápisu bude B 0 znamenat C(K)). Pak dle lemmatu 1.8 a výše uvedených rovností je F ((Π λ ) δσ, (Σ λ ) σδ ). Z lemmatu 1.6 je potom (Π λ ) δσ = (Π λ ) σ Σ λ+1 a (Σ λ ) σδ = (Σ λ ) δ Π λ+1, tedy F (Σ λ+1, Π λ+1 ). Pokud je λ limitní, pak z indukčního předpokladu a poznámky 1.5 platí 1 γ<λ B γ (Σ λ, Π λ ) a zbytek úvahy pokračuje stejně. K důkazu obrácené implikace nejdříve potřebujeme vědět, že pro každou množinu typu Σ λ+1 najdeme funkci z B λ, která je na ní kladná a nulová na jejím doplňku. Indukci začneme pochopitelně od spojitých funkcí. Pro G otevřenou stačí vzít g(x) := dist(x, G c ) a pak G = [g > 0]. Nechť 1 λ < ω 1 a nechť N je libovolná Σ λ+1 množina. Pak N = h=1 N h, kde pro h N je N h Π λ. Vezměme konvergentní řadu čísel (r h ) h=1 a definujme g h := r h 1 Nh a dále pak g := g h. h=1 Takto definovaná funkce g je pak zřejmě kladná na N a nulová jinde. K dokončení důkazu stačí 1 Hn B λ, pak je totiž g stejnoměrnou limitou B λ funkcí, tedy je dle lemmatu 1.2 také B λ. Buď λ izolovaný a nechť již umíme ke každé M Σ λ najít f B λ 1 tak, že M = [f > 0] a f je nulová jinak. Definujme pro k N funkce f k := kf 1 + kf. Pak lim k f k = 1 M, tedy platí 1 M B λ. Pokud je tedy H Π λ, platí 1 H c B λ a tedy i 1 K 1 H c = 1 H B λ. Nechť je nyní λ limitní a E Π λ, pak E = n=1 E n, kde E n 1 γ<λ Σ γ pro n N. Pak 1 E = inf n N 1 En = lim t 1 E1... E t. Předchozí odstavec a lemma 1.6 dávají 1 E1... E t 1 γ<λ B γ. Tím je 1 E B λ. 6

Pokračujme důkazem (Σ λ+1, Π λ+1 ) B λ. Nechť F (Σ λ+1, Π λ+1 ). Pro pevná reálná čísla x 1 < x 2 můžeme tedy najít f 1, f 2 B λ, že [f 1 > 0] = [F > x 1 ] a [f 2 > 0] = [F < x 2 ], jinak nulové. Jelikož [F x 1 ] [F x 2 ] =, je f 1 + f 2 všude kladná. Definujme f := f 1 f 1 + f 2. Pak zřejmě [F x 1 ] = [f = 0], [x 1 < F < x 2 ] = [0 < f < 1] a [F x 2 ] = [f = 1]. Pro pevná x 1, x 2 pak takovouto funkci označme f(x 1, x 2 ). Nechť je nejprve 0 F 1. Zvolíme libovolné n N. Pro přirozené m n definujeme x 1,m := m 1 n, x 2,m := m n. Označíme e m := f(x 1,m, x 2,m ) a nakonec e := e 1 +... + e n. n V pevném bodě x K pak určite existuje m n, že x 1,m F (x) x 2,m. Pak z konstrukce e plyne, že také x 1,m e(x) x 2,m, neboli F e < n 1. Jelikož e B λ, je dle lemmatu 1.2 F B λ. Pokud F není omezená, definujeme pro x R a z ( 1, 1) funkce b(x) = x 1 + x, c(z) = z 1 z. Jednoduchou úpravou lze ověřit, že pro x R je c b(x) = x, navíc si všimneme, že je vždy b(x) ( 1, 1) a funkce b, c jsou spojité. Jelikož platí b(x 1 ) b(x 2 ) pro x 1 x 2 reálné, odpovídají množiny [F > x] a [F x] množinám [b F > b(x)] a [b F b(x)], tedy F je stejného typu jako b F. Funkce b F je však omezená, tedy je typu B λ a funkce c b F = F je tudíž také typu B λ. Důsledek 1.10. Nechť K je kompaktní metrický prostor, F : K R a 1 λ < ω 1. Pak F B λ (K) právě tehdy, když F 1 (U) je typu Σ λ+1 (K) pro každou U R otevřenou. Důkaz. Plyne ihned ze struktury otevřených množin na R. Každá taková množina je totiž sjednocením spočetně mnoha disjunktních otevřených intervalů a každý interval (a, b) je průnikem intervalů (, b) a (a, ). Jejich vzory při F však jsou typu Σ λ+1 (K), což je však systém uzavřený na konečné průniky a spočetná sjednocení. 7

2. Funkce první třídy V této kapitole se blíže podíváme na funkce první Baireovy třídy. Věnujeme pozornost především jejich charakterizacím. Srovnáním s charakterizací B 1/2 funkcí, které se později ukážou jako stabilní podtřída, se pokusíme nahlédnout, které z nich mají vliv na stabilitu. Pokud by se ukázala případná souvislost, mohlo by to vést k získání stability širšího systému podtříd B 1 funkcí. Připomeňme, že zdola resp. shora polospojité funkce na metrickém prostoru X jsou funkce typu (G(X), ), resp. (, F(X)). Označíme A(X) := F σ (X) G δ (X). Nejmenší algebru obsahující všechny uzavřené množiny v X budeme značit jako D(X). Lemma 2.1. Nechť K je kompaktní metrický prostor a F : K R zdola polospojitá funkce, pak F je zdola omezená a nabývá minimum. Důkaz. Systém {[F > λ] ; λ R} pokryje K, tedy existují λ 1,..., λ n R takové, že K n k=1 [F > λ k] a zřejmě F > min k n λ k. Dostáváme, že h := inf x K F (x) R a z definice polospojitosti zdola jsou pro n N množiny [F h+n 1 ] uzavřené, tedy kompaktní, tudíž jejich průnik je neprázdný. Tvrzení 2.2. Nechť K je kompaktní metrický prostor. Pak F : K R je zdola polospojitá právě tehdy, když je bodovou limitou neklesající posloupnosti spojitých funkcí.. Důkaz. Pokud (f n ) n=1 C(K) je neklesající, platí lim n f n = sup n N f n a stačí použít lemma 1.8. Pro důkaz opačné implikace nejdřív zmíníme, že díky lemmatu 2.1 je možné předpokládat F 0. Množinu Q (0, ) seřadíme do posloupnosti (q n ) n=1. Pak H n := [F > q n ] je otevřená a tedy F σ v K. Buď tedy H n = k=1 F n,k, kde F n,k jsou uzavřené a F n,k F n,k+1 pro každé n, k N, jinak vezmeme F n,k := F n,1... F n,k. Definujme standardní funkce f n,k (x) = q n dist(x, H c n) dist(x, H c n) + dist(x, F n,k ). Pak f n,k bodově konvergují k q n 1 Hn, tedy stačí položit f n := max k n f k,k a dostáváme požadovanou posloupnost. Definice 2.3. Nechť K je kompaktní metrický prostor. Pro F B 1 (K) položme F D := inf{ f n+1 f n ; (f n ) C(K) bodově konverguje k F a f 0 0}, n=0 DBSC(K) := {F B 1 (K) ; F D < }. 8

Nejprve si rozmyslíme, že každá funkce F DBSC(K) se dá vyjádřit jako rozdíl omezených, nezáporných, zdola polospojitých funkcí na K. Pokud totiž F D <, existuje dle definice 2.3 posloupnost (f n ) splňující f n+1 f n <. n=0 Pak F = F 1 F 2, kde F 1 := max{f n+1 f n, 0} F 2 := min{f n+1 f n, 0}. n=0 n=0 Funkce F 1 a F 2 jsou zdola polospojité z lemmatu 2.2 a omezené z rovnosti f n+1 f n = F 1 + F 2. n=0 Tvrzení 2.4. Nechť K je kompaktní metrický prostor a F : K R, pak F D = inf{ G + H kde G, H jsou nezáporné, omezené, zdola polospojité funkce, že F = G H}. Důkaz. Buď F D <, volme ε > 0 a najděme z definice 2.3 posloupnost (f n ) splňující f n+1 f n < F D + ε. n=0 Pokud definujeme F 1, F 2 jako v předchozí úvaze, platí F 1 + F 2 < F D + ε, z čehož jednoduše dostaneme první nerovnost. Nechť je nyní F = G H rozklad na omezené, nezáporné, zdola polospojité funkce. Lemma 2.2 nám dá neklesající posloupnosti spojitých funkcí (g n ), (h n ) n=1 bodově konvergující ke G resp. H. Položme g 0 i h 0 jako nulové a rozmysleme si, že obě posloupnosti můžeme předpokládat nezáporné, jinak g n := max{g n, 0}. Jelikož (g n h n ) bodově konverguje k F, platí Dále vidíme, že F D (g n+1 h n+1 ) (g n h n ). n=0 (g n+1 h n+1 ) (g n h n ) n=0 Dostáváme tedy F D G + H. g n+1 g n + h n+1 h n = G + H. n=0 9

Pokud je nyní F = f 1 f 2, kde f 1 a f 2 jsou omezené a zdola polospojité, vezmeme c R, které omezuje obě tyto funkce. Pak F = (f 1 + c) (f 2 + c), tedy z tvrzení 2.4 platí F D f 1 + f 2 + 2c 4c a dostali jsme F DBSC(K). Můžeme tedy tvrdit, že DBSC(K) jsou právě všechny rozdíly omezených, zdola polospojitých funkcí na K. Dále si všimneme, že je vždy F F D, platí totiž F (x) = Tím je nutně také (f n+1 (x) f n (x)) (f n+1 (x) f n (x)). n=0 n=0 F (f n+1 (x) f n (x)). n=0 Norma F však nezávisí na volně posloupnosti (f n ), tedy na pravé straně můžeme přejít k F D. Toto pozorování vede k definici následujících tříd funkcí představených v [3]. B 1/2 (K) := {F B 1 (K) ; existuje posloupnost (F n ) n=1 DBSC(K) stejnoměrně konvergující k F }. B 1/4 (K) := {F B 1 (K) ; existuje posloupnost (F n ) n=1 DBSC(K) stejnoměrně konvergující k F, pro kterou platí sup{ F n D ; n N} < }. Velice zajímavé možnosti v případné charakterizaci stabilních podtříd by mohly nabídnout následující indexy, standardně zaváděné na funkcích první třídy. Definice 2.5. Nechť F : K R je omezená funkce na kompaktním metrickém prostoru K a D K je uzavřená, pak definujeme oscilaci funkce F vůči množině D v bodě k jako osc D (F, k) := lim r 0 + sup{ F (k 1 ) F (k 2 ) ; k 1, k 2 B(k, r) D}. Pro c > 0 označme Φ 0 (F, c) := K a Φ λ+1 (F, c) := {h Φ λ (F, c) ; osc Φλ (F,c)(F, h) c}. Pro λ limitní Φ λ (F, c) := κ<λ Φ κ(f, c). Dále pro c > 0 buď β(f, c) := inf{λ < ω 1 ; Φ λ (F, c) = }. Oscilační index funkce F je pak β(f ) := sup γ>0 β(f, γ). Dále položme 0 (F, a, b) := K a pro a < b definujme λ+1 (F, a, b) = λ (F, a, b) [F a] λ (F, a, b) [F b]. 10

Pro λ limitní pak λ (F, a, b) := κ<λ κ(f, a, b). Dále α(f, a, b) := inf{γ < ω 1 ; γ (F, a, b) = }. Separační index funkce F potom bude znamenat α(f) := sup{α(f, a, b) ; a Q, b Q, a < b}. Poznámka 2.6. Množiny λ (F, a, b) a Φ λ (F, c) jsou uzavřené. V limitních případech jsou totiž průnikem uzavřených množin. Pro λ izolované je λ (F, a, b) definována jako průnik dvou uzavřených množin, tedy je uzavřená. Nechť (x i ) Φ λ (F, c) konverguje k x K. Vezměme libovolné otevřené okolí V x, pak existuje k N, že x k V. Pak pro libovolné c > ɛ > 0 existuje r > 0 takové, že B(x k, r) V a sup{ F (k 1 ) F (k 2 ) ; k 1, k 2 B(x k, r) Φ λ 1 (F, c)} > c ɛ, tedy i sup{ F (k 1 ) F (k 2 ) ; k 1, k 2 osc Φλ 1 (F,c)(F, x) c. V Φ λ 1 (F, x)} > c ɛ a vidíme, že Lemma 2.7. Nechť K je kompaktní metrický prostor a F B 1 (K). Pak α(f ) β(f ). Důkaz. Nechť a < b jsou pevně zvolená racionální čísla a L libovolná uzavřená množina. Pokud x L {h L ; osc L (F, h) b a}, pak existuje okolí V x, že sup{ F (k 1 ) F (k 2 ) ; k 1, k 2 V L} < b a. To nám dává, že V nemůže protnout L [F b] a L [F a] zároveň. Tím dostaneme L [F b] L [F a] {h L ; osc L (F, h) b a} pro libovolné L. Z toho je přímo vidět, že pro λ < ω 1 je λ (F, a, b) Φ λ (F, b a), tedy α(f ) β(f ). Lemma 2.8. Nechť K je kompaktní metrický prostor a F : K R B 1 (K). Pak každá uzavřená A K obsahuje bod spojitosti funkce F A Důkaz. Pouhým rozepsáním definicí dostaneme, že F je spojitá v x K právě tehdy, když osc K (F, x) = 0. Pro γ > 0 definujme Φ γ := {x K ; osc K (F, x) γ}. Z poznámky 2.6 již víme, že Φ γ je uzavřená. Dokážeme Int Φ γ =. Nechť pro spor existuje uzavřená koule Q, že Q Φ γ. Volme tedy (f n ) n=1 C(K) posloupnost bodově konvergující k F a definujme k := {x K ; p, q k : f p (x) f q (x) γ }, které jsou uzavřené, protože se dají vyjádřit jako průnik úrovňových množin spojitých funkcí. Díky bodové konvergenci (f n ) je zřejmě 4 K = k=1 k a tedy Q = k=1 ( k Q). Q má neprázdný vnitřek, tedy z Baireovy věty o kategoriích existuje k 0 N, pro které k0 Q má opět neprázdný vnitřek, neboli obsahuje uzavřenou kouli Y o středu x 0 k0 Q a poloměru λ > 0. Pak z definice k0 pro všechna x Y a všechna t k 0 platí f t (x) f k0 (x) γ a tedy 4 i F (x) f k0 (x) γ. Dále najdeme κ (0, λ) ze stejnoměrné spojitosti f 4 k 0, aby pro x, y K, x B(y, κ) platilo f k0 (x) f k0 (y) γ 4. Pak pro x, y B(x 0, κ) máme F (x) F (y) F (x) f k0 (x) + f k0 (x) f k0 (y) + f k0 (y) F (y) 3γ 4 a tedy osc K (F, x 0 ) < γ pro x 0 Φ γ, což je spor. 11

Množina bodů nespojitosti F se však dá napsat jako h=1 Φ 1 a opětovným použitím Baireovy věty dostáváme, že v K existuje bod mimo h h=1 Φ 1, který je h tudíž bodem spojitosti F. Každá uzavřená podmnožina K je kompaktní, tedy tuto úvahu můžeme provést v její zděděné metrice a dostaneme požadovaný výsledek. Tvrzení 2.9. Nechť F : K R je omezená funkce na kompaktním metrickém prostoru K. Pak následující tvrzení jsou ekvivalentní: 1) F B 1 (K). 2) β(f ) < ω 1. 3) α(f ) < ω 1. 4) Pro a < b lze [F a] a [F b] oddělit disjunktními množinami z A(K). 5) F je stejnoměrnou limitou A-jednoduchých funkcí (A(K) měřitelných funkcí s konečným oborem hodnot). 6) F je typu (F σ, G δ ). 7) Pro U otevřenou podmnožinu R je F 1 (U) typu F σ v K. Důkaz. 1 2 Nejprve si rozmysleme, že na kompaktním metrickém prostoru nemůže existovat nespočetný systém uzavřených množin (F λ ), pro který by platilo F λ+1 F λ. Nechť takový systém existuje. Zvolme spočetnou bázi prostoru K. Pak pro každé λ je F λ+1 F λ neprázdné, tedy můžeme najít bázovou množinu U λ takovou, že U λ (F λ+1 F λ ) a U λ F c λ+1. Tím však musí být U λ U κ pro λ κ a na to nám spočetná báze nestačí, což je spor. Musí tedy pro libovolné c > 0 existovat nejmenší λ < ω 1 takové, že Φ λ (F, c) Φ λ+1 (F, c) =. Nechť je Φ λ (F, c) neprázdné, potom pro každé k Φ λ (F, c) je osc Φλ (F,c)(F, k) c. To znamená, že F Φλ (F,c) je ve všech bodech nespojitá, to je v rozporu s lemmatem 2.8. Musí tedy být β(f, c) < ω 1 a tudíž i β(f ) < ω 1. 2 3 Je přímým důsledkem lemmatu 2.7. 3 4 Pokud a < b jsou dvě reálná čísla, pak vezmeme p, t Q takové, že a p < t b. Z definice separačního indexu je α(f,p,t) (F, p, t) =. Pro jednoduchost budeme dále značit λ (F, p, t) jenom jako K λ. Nejdříve ukážeme, že α(f, p, t) nemůže být limitní. Pokud by se tak stalo, je K α(f,p,t) z definice průnikem neprázdných, kompaktních, do sebe zanořených množin, tedy také neprázdný, což je spor. Dále víme, že K 0 = K, K λ jsou zanořené do sebe a K α(f,p,t) je prázdná, tedy λ<α(f,p,t) K λ K λ+1 = K. Definujeme množinu D := [F p] K λ K λ+1. λ<α(f,p,t) 12

Pak je D λ<α(f,p,t) ([F p] K λ) K λ+1 = λ<α(f,p,t) [F p] (K λ K λ+1 ) = [F p] λ<α(f,p,t) K λ K λ+1 = [F p]. Rozepíšeme definici K λ+1 a dostaneme [F p] K λ K λ+1 = [F p] K λ ([F p] K λ [F t] K λ ) = [F p] K λ [F t] K λ. Jelikož K λ je uzavřená, je [F p] K λ [F t] K λ K λ [F t] K λ. Potom platí, že λ<α(f,p,t) [F p] K λ K λ+1 λ<α(f,p,t) K λ [F t] K λ λ<α(f,p,t) K λ ([F t] K λ ) = λ<α(f,p,t) K λ [F t] = K [F t]. To znamená, že D odděluje [F p] a [F t], tedy i [F a] a [F b]. Zbývá dokázat, že D je typu A(K). Zřejmě D je spočetným sjednocením rozdílů uzavřených množin, ty jsou typu F σ. Stačí tedy ve stejném tvaru vyjádřit její doplněk, a to jako D c = λ<α(f,p,t) K λ [F p] K λ. Všimněme si tedy, že K λ [F p] K λ K λ+1, můžeme proto napsat K λ = (K λ [F p] K λ ) ([F p] K λ K λ+1 ) K λ+1. Takto můžeme pokračovat a K λ+1 zapsat stejným způsobem. Jelikož K α(f,p,t) = a α(f, p, t) není limitní, proces se zastaví na K α(f,p,t) 1 = (K α(f,p,t) 1 [F p] K α(f,p,t) 1 ) ([F p] K α(f,p,t) 1 ), tedy vidíme, že λ<α(f,p,t) K λ [F p] K λ je doplňkem λ<α(f,p,t) [F p] K λ K λ+1 = D. 4 5 Předpokládejme, že 0 F 1. Pro n N pevné a k n najdeme H k A(K) tak, že Pak funkce [F k n ] H k [F > k 1 n ]. f n = 1 H 1 +... + 1 Hn n zřejmě splňuje F f n n 1 a je požadovaného typu. 1 6 7 je pouze zvláštním případem tvrzení 1.9. 5 6 1 A je zřejmě typu (F σ, G δ ) pro A A(K), tedy je to B 1 funkce. Potom A-jednoduché funkce jsou také B 1 a F je jejich stejnoměrnou limitou. Lemma 2.10. Nechť X je metrický prostor, pak D(X) jsou právě všechna konečná sjednocení rozdílů uzavřených množin. Důkaz. Pokud D bude značit konečná sjednocení rozdílů uzavřených množin, pak zřejmě D D(K). Nechť A = n k=1 (F k H k ), kde F k a H k jsou uzavřené. Z vlastností uzavřených množin můžeme předpokládat, že H k F k pro k n. 13

Můžeme však zapsat A c = n ( n ) c (Fk c H k ) = F k k=1 k=1 I {1,...,n} ( H k k I k {1,...,n} I F k ). Rovnost plyne z elementární úvahy, že x n k=1 (F k c H k) právě tehdy, když existuje I {1,..., n}, že x H k pro k I a x Fk c pro k {1,..., n} I. Tím je D uzavřený na doplněk. Konečná sjednocení D jsou D přímo z definice. Mějme A = n k=1 A k F k a B = s t=1 B t H t. Potom A B = k n (A k F k ) t s (B t H t ) = k n,t s (A k F k ) (B t H t ) = k n,t s (A k B t ) (F k H t ). Tedy D je algebra a D(X) D. Tvrzení 2.11. Nechť F : K R je omezená funkce na kompaktním metrickém prostoru K. Pak následující tvrzení jsou ekvivalentní: 1) F B 1/2 (K). 2) β(f ) ω. 3) α(f ) ω. 4) Pro a < b lze [F a] a [F b] oddělit disjunktními množinami z D(K). 5) F je stejnoměrnou limitou D-jednoduchých funkcí. Důkaz. 1 2 Nechť F je stejnoměrnou limitou (F n ) n=1 DBSC(K). Pak pro pevné c > 0 existuje t N takové, že F t F < c. Pro libovolnou uzavřenou množinu L pak zřejmě osc L (F t, k) < c snadno dává osc L (F, k) < 2c, neboli Φ λ (F, 2c) Φ λ (F t, c). Odtud vidíme, že β(f, 2c) β(f t, c), stačí tedy ukázat β(g) ω kdykoliv G DBSC(K). Nechť β(g) > ω. Pak existuje κ > 0 tak, že Φ n (G, κ) pro všechna n N. Ukážeme, že pokud pro m N a κ > 0 je Φ m (G, κ), pak G D mκ 4, neboli že G / DBSC(K). Buď (g n ) n=1 C(K) bodově konvergující ke G. Stačí ukázat, že existují přirozená čísla n 1 < n 2 <... < n m + 1 a k K tak, že g nj+1 (k) g nj (k) > κ pro 4 1 j m. Za tímto účelem induktivně sestrojíme pro 1 i m indexy n 1 <... < n i+1, bod k i Φ m i (G, κ) a jeho otevřené okolí U i takové, že pro libovolné k U i a 1 h i je g nh+1 (k) g nh (k) > κ 4. Položme n 1 = 1, zvolme k 0 Φ m (G, κ) libovolně a označme U 0 := K. Buď tedy 1 i m. Ze spojitosti g ni pak existuje V i otevřené okolí k i 1 Φ m i+1 (G, κ) takové, že sup{ g ni (a) g ni (b) ; a, b V i } < κ. Označme dále 8 14

W i := V i U i 1. Z definice Φ m i+1 (G, κ) a otevřenosti W i plyne, že existují ki a, ki b W i Φ m i (G, κ), pro které je G(ki a ) G(ki b ) > 3κ. Díky bodové konvergenci (g n ) můžeme najít n i+1 > n i takové, že g ni+1 (ki a ) g ni+1 (ki b ) > 3κ. Potom 4 4 pokud by platilo g ni+1 (ki a ) g ni (ki a ) κ, pak je 4 g ni+1 (k a i ) g ni (k b i ) g ni+1 (k a i ) g ni (k a i ) + g ni (k a i ) g ni (k b i ) < κ 4 + κ 8 = 3κ 8. Dostáváme, že platí g ni+1 (k b i ) g ni (k b i ) = g ni+1 (k b i ) g ni+1 (k a i ) (g ni (k b i ) g ni+1 (k a i )) > 3κ 4 3κ 8 > κ 4. Pokud by naopak bylo g ni+1 (k b i ) g ni (k b i ) κ 4, je ze stejného důvodu g n i+1 (k a i ) g ni (k a i ) > κ 4. Tedy existuje U i W i otevřené okolí k i {k a i, k b i } takové, že pro k U i je g ni+1 (k) g ni (k) > κ 4. 2 3 Je opět důsledek lemmatu 2.7. 3 4 Je pouze zvláštním případem 3 4 z tvrzení 2.9, stačí si uvědomit, že lemma 2.10 přímo dává α(f,p,t) 1 λ=0 [F p] K λ K λ+1 D(K). 4 5 Proběhne zcela stejným způsobem jako 4 5 v důkazu tvrzení 2.9. 5 1 Každá D-jednoduchá funkce je díky lemmatu 2.10 lineární kombinací charakteristických funkcí uzavřených množin, ty jsou polospojité a tedy DBSC. Lineární kombinace DBSC funkcí je zřejmě také DBSC, tudíž F B 1/2. Nepřehlédnutelnou souvislostí je shoda horní meze oscilačního a separačního indexu funkce. V textu [2] se dá najít výsledek, že pro spočetný ordinál λ je α(f ) ω λ právě tehdy, když β(f ) ω λ, vidíme tedy, že má smysl se dále zabývat B 1/2 funkcemi a oscilačním resp. separačním indexem ve vztahu ke stabilitě. 15

3. Stabilita V této kapitole se budeme zabývat samotnou stabilitou systémů funkcí vůči složení se spojitým zobrazením mezi kompaktními metrickými prostory. Nejprve předvedeme již zmíněný výsledek z [1] o stabilitě B λ funkcí, ukážeme mimo jiné, že na metrických prostorech je navíc selektor vždy F σ měřitelné zobrazení. Poté se z již zmíněných důvodů budeme zabývat stabilitou B 1/2 a B 1/4 funkcí. 3.1 Stabilita B λ funkcí Lemma 3.1. Nechť K, L jsou kompaktní metrické prostory, nechť (A n ) n=1 je posloupnost uzavřených podmnožin K a nechť Φ : L P(K) má tyto vlastnosti: 1) Φ(y) je kompaktní a neprázdná pro každé y L, 2) pro F K uzavřenou je Φ 1 (F ) = {y L ; Φ(y) F } uzavřená podmnožina L. Pak existuje zobrazení φ : L K takové, že: (a) φ(y) Φ(y) pro každé y L, (b) φ 1 (A n ) D(L) pro všechna n N, (c) φ 1 (U) je typu F σ pro každou U K otevřenou. Důkaz. Prostor K je kompaktní, tedy existuje spočetná báze tvořená uzavřenými množinami. Předpokládejme, že jsme posloupnost (A n ) již rozšířili o tuto bázi, že žádná z množin A n není prázdná a položme A 0 := K. Sestrojíme (Φ n ) n=0 posloupnost zobrazení z L do P(K) takovou, že pro každé n 0 platí (α) Φ n (y) je neprázdná a kompaktní pro všechna y L, (β) Φ n+1 (y) Φ n (y) Φ(y) pro všechna y L, (γ) (Φ n ) 1 (F ) D(L) pro každou F K uzavřenou, (δ) (Φ n ) 1 (A n ) (Φ n ) 1 (A c n) =. Pro Φ 0 := Φ jsou všechny podmínky splněny z předpokladů. Mějme tedy požadované Φ k pro všechna k n. Označme Λ := (Φ n ) 1 (A n+1 ). Podmínka (γ) nám dává Λ D(L). Definujme Φ n+1 následovně { Φ n (y) A n+1, y Λ, Φ n+1 (y) = Φ n (y), y Λ c. Podmínky (α) a (β) plynou přímo z indukčních předpokladů. Pro F K uzavřenou plyne (γ) z rovnosti (Φ n+1 ) 1 (F ) = {y Λ ; Φ n (y) A n+1 F } {y Λ c ; Φ n (y) F 16

} = ({y L ; Φ n (y) A n+1 F } Λ) ({y L ; Φ n (y) F } Λ c ) = ((Φ n ) 1 (A n+1 F ) Λ) ((Φ n ) 1 (F ) Λ c ). Abychom ověřili (δ), uvědomíme si, že pokud Φ n (y) A n+1 =, pak je Φ n (y) A c n+1, neboli Λ c (Φ n ) 1 (A c n+1). Potom stačí dosadit do předchozí rovnosti F = A n+1 a F = A c n+1 a dostaneme (Φ n+1 ) 1 (A n+1 ) = ((Φ n ) 1 (A n+1 A n+1 ) Λ) ((Φ n ) 1 (A n+1 ) Λ c ) = (Λ Λ) (Λ Λ c ) = Λ, (Φ n+1 ) 1 (A c n+1) = ((Φ n ) 1 (A n+1 A c n+1) Λ) ((Φ n ) 1 (A c n+1) Λ c ) = Λ c. Buď y L libovolné. Z kompaktnosti Φ(y) víme, že ji lze pokrýt konečně mnoha otevřenými koulemi o poloměru 1, z nichž každá je sjednocením nějakého systému bázových množin, spojení těchto systémů označme I. Pak I je podsystém 2m {A n ; n N} a pokrývá Φ(y). Protože n=1 Φ n(y) Φ(y), musí existovat n 0 N takové, že A n0 I a A n0 n=1 Φ n(y). Z toho, jak vznikají Φ n (y) můžeme vyvodit, že n=1 Φ n(y) A n0, tedy diam n=1 Φ n(y) < 1 pro všechna m N. m Z vlastností kompaktních prostorů je tedy n=1 Φ n(y) jeden bod, ten označíme φ(y). Podmínka (a) je jasná z konstrukce φ. Dále vidíme, že φ 1 (A n ) (Φ n ) 1 (A n ) a φ 1 (A c n) (Φ n ) 1 (A c n). Jelikož (Φ n ) 1 (A n ) (Φ n ) 1 (A c n) = a φ 1 (A n ) φ 1 (A c n) = L, dostaneme φ 1 (A n ) = (Φ n ) 1 (A n ) D(L), tedy je splněno (b). Pokud U K je otevřená, pak je spočetným sjednocením nějakého podsystému {A n, n N}, vzor každé z nich je D(L), a tedy φ 1 (U) je typu D(L) σ. Podmínka (c) je tedy splněna z následujícího lemmatu. Lemma 3.2. Nechť K je kompaktní metrický prostor a 1 < λ < ω 1. Pak Σ λ (K) = Σ λ (D(K)) Důkaz. Zřejmě stačí Σ 2 (D(K)) = Σ 2 (K) a Π 2 (D(K)) = Π 2 (K). Pokud je množina typu (D(K)) σ, lze ji napsat jako n=1 (F n,1 F n,2 ), kde pro n N jsou F n,1 a F n,2 uzavřené. Pak (F n,1 F n,2 ) = (F n,1 F c n,2). Protože F n,2 je uzavřená, je F c n,2 otevřená a tedy F σ, ty jsou však uzavřené na konečné průniky a spočetné sjednocení, je tedy Σ 2 (D(K)) = Σ 2 (K). Víme, že množina je typu Π 2 (D(K)) právě tehdy, když její doplňek je typu Σ 2 (D(K)) = Σ 2 (K), tedy jsme hotovi. Lemma 3.3. Nechť X je metrický prostor, 1 λ < ω 1 a M Σ λ (X). Pak existuje spočetný systém množin Λ G(X) F(X), že M Σ λ (Λ). Obdobně lze pro každou N Π λ (X) najít spočetný systém Λ G(X) F(X), že N Π λ (Λ). 17

Důkaz. Pro λ = 1 je M otevřená nebo uzavřená a tvrzení platí. Nechť je tedy 1 < λ < ω 1 a předpokládejme, že pro všechna 1 γ < λ již množiny ze Σ γ (X) a Π γ (X) vznikají ze spočetných podsystémů G(X) F(X). Pokud je M Σ λ (X), pak M = n=1 A i, kde A i 1 γ<λ Π γ(x) pro i N. Nechť tedy A i vzniká ze systému Λ i G(X) F(X), pak pokud označíme Λ := n=1 Λ i, je zřejmě M Σ λ (Λ). Pro N Π λ (X) je N = n=1 B i, kde B i 1 γ<λ Σ γ(x) pro i N. Pokud nyní B i vzniká z Λ i, je opět N Π λ (Λ). Lemma 3.4. Nechť K, L jsou metrické prostory, φ : K L, 1 λ < ω 1, Λ P(K) a M Σ λ (Λ). Pak pro = {φ 1 (H) ; H Λ} je φ 1 (M) Σ λ ( ). Obdobně pro N Π λ (Λ) je φ 1 (N) Π λ ( ) Důkaz. Pro λ = 1 tvrzení zřejmě platí, stačí si vzpomenout, že vzor doplňku je doplňkem vzoru. Pro 1 < λ < ω 1 je M = n=1 A i, kde A i Π γi (Λ) pro i N a γ i < λ. Pak φ 1 (A i ) Π γi ( ), navíc víme, že můžeme zaměnit vzor množin a jejich sjednocení, neboli φ 1 (M) = n=1 φ 1 (A i ), tedy φ 1 (M) Σ λ ( ). Jelikož je možné zaměnit také vzor množin a jejich průnik, proběhne důkaz pro Π λ (Λ) zcela stejně. Tvrzení 3.5. Nechť K, L jsou kompaktní, metrické prostory, f : K L spojité a na, P L a 1 < λ < ω 1. Pak P Σ λ (L) právě tehdy, když f 1 (P ) Σ λ (K). Důkaz. Pokud P Σ λ (L), existuje podle lemmatu 3.3 spočetný systém Λ G(L) F(L), že P Σ λ (Λ). Tedy pokud označíme := {f 1 (H), H Λ}, pak dle lemmatu 3.2 a 3.4 je f 1 (P ) Σ λ ( ) Σ λ (K). Pokud Q := f 1 (P ) Σ λ (K), pak opět najdeme spočetný systém Λ G(L) F(L) tak, že Q Σ λ (Λ). Systém {H c ; H Λ G(K)} {H ; H Λ F(K)} uspořádáme do posloupnosti {A n }. Všimneme si, že pro x L je f 1 (x) kompaktní, dále pro F F(K) je množina {y L ; f 1 (y) F } = f(f ) uzavřená. Tedy můžeme použít lemma 3.1 pro {A n } a Φ = f 1. Tím dostaneme φ : L K, že pro n N je φ 1 (A n ) D(L), dále pro y L je φ(y) f 1 (y), z čehož plyne P = φ 1 (Q). Označme opět := {f 1 (H) ; H Λ} a vidíme, že D(L), je tedy P Σ λ ( ) Σ λ (D(L)) = Σ λ (L). Tvrzení 3.6. Nechť K, L jsou kompaktní, metrické prostory, nechť φ : K L je spojité a na. Nechť dále g : L R a označme f := g φ. Pak pro 1 λ < ω 1 je g B λ (L) právě tehdy, když f B λ (K). Důkaz. Nechť G R otevřená. Pak platí φ 1 (g 1 (G)) = f 1 (G) a požadovaný výsledek přímo plyne z tvrzení 1.9 a 3.5. 18

3.2 Stabilita B 1 funkcí Nejprve si všimneme, že pokud φ je zobrazení mezi kompaktními metrickými prostory K a L, které je spojité a na, F : L R a F D <, pak F D = F φ D přímo z vlastností limit složených funkcí. Pokud však F je funkce na K, vůbec nemusí vznikat jako složení s φ, tedy na první pohled není jasné, jak by se měly znalosti o F D dát využít na prostoru L, což nás vede k následujícím úvahám. Lemma 3.7. Nechť K, L jsou kompaktní metrické prostory, φ : K L je spojité zobrazení K na L a f : K R je zdola polospojitá funkce. Pak funkce f : L R definovaná jako je zdola polospojitá. f(y) := min{f(x) ; x φ 1 (y)} Důkaz. Nejdříve je potřeba zmínit, že f je dobře definována, neboť φ je na a zdola polospojitá funkce nabývá na kompaktu minima. Buď λ R libovolné. Chceme ověřit, že f 1 (λ, ) je otevřená v L. Pro λ < min{f(t) ; t K} platí triviálně. Nechť tedy λ min{f(t) ; t K}. Zřejmě pro libovolné x L platí f(x) λ y K : φ(y) = x & f(y) λ. To znamená, že f 1 (, λ] = φ(f 1 (, λ]), tudíž doplněk f 1 (λ, ) je uzavřený v L. Tvrzení 3.8. Nechť K, L jsou kompaktní metrické prostory, φ : K L je spojité zobrazení K na L, g : L R, f := g φ. Pak g B 1/2 (L) právě tehdy, když f B 1/2 (K). Důkaz. Nechť g B 1/2 (L), pak existuje posloupnost (g n ) n=1 DBSC(L) stejnoměrně konvergující ke g. Již jsme si rozmysleli, že pak g n φ D = g n D, tedy platí (g n φ) n=1 DBSC(L). Jako posloupnost však (g n φ) n=1 konverguje stejnoměrně ke g φ a vidíme, že f B 1/2 (K). Nechť je nyní f B 1/2 (K). Potom víme, že existuje posloupnost fukncí (f n ) n=1 DBSC(K) stejnoměrně konvergující k f. Zvolme pevné y L, n N a f a, f b omezené, zdola polospojité funkce na K, že f n = f a f b. Označme γ := g(y), M := φ 1 (y) a ε n := f f n. Pak zřejmě f(x) = γ pro libovolné x M. Dále víme, že na M platí : γ ε n f a f b γ + ε n, f b + (γ ε n ) f a f b + (γ + ε n ), f a (γ + ε n ) f b f a (γ ε n ). Dále vybereme body x a, x b z M, že f a (y) = f a (x a ) a f b (y) = f b (x b ). Dostáváme 19

f a (y) f a (x b ) f b (x b ) + (γ + ε n ) = f b (y) + (γ + ε n ), f b (y) f b (x a ) f a (x a ) (γ ε n ) = f a (y) (γ ε n ). Druhou nerovnost upravíme na f b (y) + (γ ε n ) f a (y) a dohromady dostaneme f b (y) + γ ε n f a (y) f b (y) + γ + ε n, γ ε n f a (y) f b (y) γ + ε n. ( ) To však platí pro všechna n N a pro všechna y L, tedy pokud f n = f n,a f n,b bude opět rozklad na rozdíl omezených, zdola polospojitých funkcí, můžeme definovat g n (t) := f n,a (t) f n,b (t), t L. Vidíme, že g n DBSC(L) díky lemmatu 3.7 a g g n f f n z ( ), neboli g n stejnoměrně konvergují ke g, tedy g B 1/2 (L). Tvrzení 3.9. Nechť K, L jsou kompaktní metrické prostory, φ : K L je spojité zobrazení K na L, g : L R, f := g φ. Pak g B 1/4 (L) právě tehdy, když f B 1/4 (K). Důkaz. Pokud g B 1/4 (L), je opět stejnoměrnou limitou (g n ) n=1 DBSC(L) a g n φ D = g n D. Pokud tedy platí, že posloupnost ( g n D ) n=1 je omezená, pak ( g n φ D ) n=1 je také omezená a f B 1/4. Nechť f B 1/4 (K). Z definice B 1/4 dostaneme posloupnost (f n ) n=1 DBSC(K) stejnoměrně konvergující k f takovou, že sup{ f n D ; n N} <. Pro n N a ε > 0 můžeme díky tvrzení 2.4 najít f n,a, f n,b nezáporné, omezené, zdola polospojité, že f n,a + f n,b f n D + ε. Pokud definujeme funkce f n,a, f n,b a g n jako v předchozím tvrzení, vidíme, že g n D f n,a + f n,b opět z tvrzení 2.4. Jelikož (g n ) stejnoměrně koncerguje ke g, stačí k dokončení důkazu ověřit f n,a + f n,b f n,a + f n,b. Pro x K je f n,b (x) + f n,a (x) min{f n,b (z) ; z φ 1 (φ(x))} + min{f n,a (z) ; z φ 1 (φ(x))} = f n,b (φ(x)) + f n,a (φ(x)). 20

Seznam použité literatury [1] J. Lukeš, J. Malý, I. Netuka, J. Spurný, Integral representation theory: applications to convexity, Banach spaces and potential theory, Walter de Gruyter (2010). [2] A. S. Kechris, A. Louveau, A classification of Baire class 1 functions, Trans. A.M.S. 318 (1990), 209-236. [3] R. Haydon, E. Odell and H. Rosenthal, On certain classes of Baire-1 functions with applications to Banach space theory, Springer-Verlag LNM 1470 (1991), 1-35. [4] Felix Haussdorf, Set Theory, Chelsea, New York (1962). 21