Matematické modely a způsoby jejich řešení Kateřina Růžičková
Rovnice matematické fyziky Přednáška převzata od Doc. Rapanta
Parciální diferencíální rovnice Diferencialní rovnice obsahujcí parcialní derivace nezname funkce podle více proměnných (obyčejná diferencialní rovnice - derivace podle jedné proměnné) Řád diferencialní rovnice odpovdá řádu nejvyšší derivace
Rovnice matematické fyziky Parciální diferenciální rovnice => parciální diferenciální rovnice druhého řádu => popis fyzikálních procesů a polí v systémech s rozloženými parametry
Obecná rovnice matematické fyziky n u u aij + bi + cu + f = 0 xi x j i =1 xi i =1 n 2 j =1 Koeficienty aij, bi, c a f - obecné spojité funkce nezávisle proměnných x1, x2... xn, (obvykle prostorové souřadnice x, y, z a čas t), případně i závisle proměnné u
Lineární parciální difrenciální rovnice Koeficienty nejsou funkcemi závisle proměnné u uvažujme rovnici pouze se dvěma nezávisle proměnnými souřadnicemi x a y
Rovnice matematické fyziky Označme koeficienty aij velkými písmeny: A a11 2 B a12 + a21 C a22 a zbylé členy výrazem: H ( x, y, u, u x, u y )
Rovnice matematické fyziky potom rovnice (1) přejde na tvar: 2u 2u 2u A 2 + 2B + C 2 = H ( x, y, u, u x, u y ) x x y y a na základě hodnoty diskriminantu: D = B 2 AC
Rovnice matematické fyziky se rovnice odpovídající obecnému zápisu dělí na: eliptické: parabolické: hyperbolické: D < 0, D = 0, D > 0. uvedeme si stručný výčet některých eliptických, parabolických a hyperbolických rovnic a vysvětlíme si jejich význam,
Eliptické rovnice popisují ustálená fyzikální pole, jako příklady si uvedeme dva základní typy rovnic: Laplaceova rovnice, Poissonova rovnice,
Laplaceova rovnice matematický zápis Laplaceovy rovnice je velice jednoduchý: (2) u = 0 kde Δ je Laplaceův operátor delta, který po rozepsání vypadá takto: = 2 + 2 + 2 x y z 2 2 2
Laplaceova rovnice popisuje četná ustálená fyzikální pole bez vnitřních zdrojů a propadů, jedná se o: elektrická, teplotní, hydrodynamická a filtrační pole a jiná fyzikální pole.
Laplaceova rovnice Příklad: h = 0 resp.: h h + 2 =0 2 x y 2 2 popisuje ustálené proudění podzemní vody v homogenním a isotropním prostředí.
Poissonova rovnice Matematický zápis je rovněž velice jednoduchý: (3) u F ( x, y, z ) = 0 tato rovnice popisuje četná ustálená fyzikální pole s vnitřními zdroji a propady, jako jsou:
Poissonova rovnice elektrická, elektrostatická a magnetická pole, proudění dokonalé nestlačitelné tekutiny s vnitřními zdroji a propady, vířivé proudění, filtraci tekutin porézním materiálem, atd.
Poissonova rovnice Příklad: h F ( x, y, z ) = 0 resp.: 2h 2h R x 2 + y 2 k =0 popisuje ustálené proudění podzemní vody v homogenním a isotropním prostředí s vnitřními zdroji a propady.
Parabolické rovnice popisují neustálená fyzikální pole difúze hmoty nebo šíření energie vedením, k základním typům patří: Fourierova rovnice, rovnice vedení tepla, rovnice atmosférické difúze částic,
Fourierova rovnice matematický zápis: u u + B =0 t popisuje neustálené pole bez vnitřních zdrojů a propadů, patří mezi ně pole elektrická, elektromagnetická, teplotní, hydrodynamická, difúzní i filtrační,
Rovnice vedení tepla matematický zápis: u u + B F ( x, y, z ) = 0 t popisuje stejná neustálená pole jako rovnice Fourierova, ale zahrnuje i vnitřní zdroje a propady,
Rovnice atmosférické difůze částic matematický zápis: u K u + H u + B =0 t popisuje difúzi částic a umožňuje řešit četné ekologické problémy z oblasti znečišťování ovzduší,
Hyperbolické rovnice mají základní význam v nauce o šíření energie vlněním v látkách tuhých, kapalných i plynných, jedná se například o problémy: akustiky, šíření seizmických vln při zemětřesení a geologickém průzkumu apod.
Řešení rovnic modelů Analytické řešení (analytické modely) Exaktní řešení parciální diferenciální rovnice (spojité v prostoru a čase) Mnoho zjednodušujících předpokladů Numerické řešení (numerické modely) Přibližné řešení Pro komlikovanější problémy, složitější podmínky
Analytické modely vzhledem k rozsáhlosti a proměnlivosti zkoumaných systémů jsou tyto modely prakticky použitelné jen ve velice omezené míře jen u nejjednodušších úloh, jako je např. vyhodnocení tzv. čerpacích zkoušek
Zjednodušení Složitý systém => jednodušší subsystémy zpracovávané odděleně Neexistující formy homogenní a isotropní materiál (např. vzduch => ideální plyn) Nezávislost látkových vlastností (např. na teplotě)
Zjednodušení Zanedbání ztrát Linearizace nelineárních závislostí Zavádění korekčních (empirických) koeficientů Koordinace pomalých a rychlých dějů (např. předpoklad, že rychlý děj již dosáhl rovnovážného stavu)
Zjednodušení Použití empiricky zjištěných vztahů a závislostí mezi veličinami Zjednodušení geometrických proporcí (+ volba vhodných souřadnicových soustav) Odstranění závislostí sledovaných veličin na souřadnicích (modely se soustředěnými parametry)
Začínat vždy od teoretických modelů maximálně jednoduchých a komplikovat je teprve tehdy, když výsledky nevyhovují našim představám a požadavkům nebo praktickým zkušenostem.
Numerické modely Postup: řešení diferenciálních rovnic se převádí na řešení soustavy algebraických rovnic, modelovaná oblast se rozdělí na samostatné části diskretizace prostoru, časový interval se rovněž rozdělí na samostatné úseky diskretizace času,
Numerické metody modelování Metoda konečných rozdílů (angl. Finite Difference Method; FDM) Metoda konečných prvků (angl. Finite Element Method; FEM) Metoda hraničních prvků (Boundary Elements Method; BEM) Metoda oddělených elementů (Distinct Elements Method; DEM)
Metoda konečných prvků Rozdělení spojité modelované oblasti do množiny podoblastí Konečný prvek zvolený element (objemu, délky, plochy) definovaný uzly v rozích
Metoda konečných prvků Postup: Distretizace analyzované oblasti Aproximace hledané funkce Sestavení maticové rovnice Vyřešení maticové rovnice
Diskretizace oblasti Podoblasti: Vzájemně se nepřekrývají Pokrývají celou oblast V každém prvku konstantní parametry analyzované struktury Linie (1D), trojúhelníky (2D), obdélníky(2d), čtyřstěny (3D)
Hustota sítě Hustší síť výpočet přesnější, ale pomalejší Proměnlivá hustota sítě Zjemňování: Interaktivně Adaptivně dle velikosti chyby na jednotlivých prvcích
Aproximace hledané funkce Nad celou plochou, každého prvku Dif. rovnice => lin. nebo kvadratické polynomy Řešení potenciálů v uzlech sítě
Vyřešení maticové rovnice Pomocí inverzní matice Gaussovou eliminací Pomocí vlastních čísel vlastních vektorů
Výhody Umožňuje řešit obrovské soustavy až o miliónech rovnic a miliónech neznámých (paralelní výpočty) Dokonalá aproximace vyšetřovaného povrchu Lze dobře automatizovat
Metoda konečných diferencí Náhrada parc. derivací diferencemi v uzlových bodech Aproximace derivací diferencemi:
Metoda konečných diferencí Výběr vhodné množiny uzlů Volba vzdálenosti mezi uzly Aproximace diferenciálního operátoru diferenčním Sestavení soustavy rovnic Řešení soustavy rovnic
Výběr vhodné množiny uzlů
Volba vzdálenosti mezi uzly Hustší síť výpočet přesnější, ale pomalejší Proměnlivá hustota tam, kde se hodnota sledované funkce více mění => hustší síť
Výhody/nevýhody + jednoduchost při programování + relativní jednoduchost v nelineárních matem. modelech - problém s aproximací okrajových podmínek - zhoršení přesnosti pro síť s různým odstupem uzlů (nutný malý časový krok)
Diskretizace času obou metod je jednodušší, časový období, pro které má proběhnout modelování, se rozdělí na jednotlivé časové intervaly (kroky), ty mohou být buďto pravidelné, nebo nepravidelné,
Porovnání MKP a MKR matematický popis modelovaného procesu diskretizace prostoru interpolace
Matematický popis obě metody vycházejí z popisu modelovaného procesu parciálními diferenciálními rovnicemi obě vedou na konci k řešení soustavy algebraických rovnic, jejímž řešením je vektor hodnot požadované veličiny modelovaného procesu, vztahujících se k bodům, pro něž je výpočet prováděn MKP používá náročnější postupy řešení
Diskretizace prostoru MKP: (ne)pravidelná síť trojúhelníkových plošek hodnoty jsou počítány ve vrcholech plošek platí pro vrcholy, jinak interpolujeme MKD: pravidelná síť zpravidla čtvercových buněk hodnoty jsou počítány pro středy buněk platí pro celou plochu buňky
Interpolace hodnot MKP: nad trojúhelníkovými ploškami se nejčastěji provádí vážená lineární interpolace váha je vyjádřena tzv. bázovou funkcí MKD: používá nejjednodušší způsob interpolace bodům v celé buňce se přiřazuje hodnota odpovídající středu buňky (tzv. metoda nejbližšího souseda)
Numerické řešení Výsledek soustava lineárních rovnic Přesné (finitní) metody Teoreticky přesné řešení po konečně mnoha krocích Iterační (přibližné) metody K přesnému řešení konverguje nekonečná posloupnost kroků Efektivnost závislá na volbě počáteční aproximace (problematické) a rychlosti konvergence
Literatura Teorie diferenciálních rovnic: http://eamos.pf.jcu.cz/amos/kat_fyz/externi/kat_f yz_0062/kapitola1.pdf a kapitola2.pdf Numerická řešení: home.zcu.cz/~mika/snm2/snm2.pdf