Matematická analýza I

Matematická analýza I Zápisky z přednášek Stanislava Hencla na MFF UK, zimní semestr, ak. rok 2007/2008 Adam Liška 2. ledna 206 http://www.karlin.mff.cuni.cz/~hencl/ http://www.adliska.com

Obsah Úvod 3. Výroková a predikátová logika.......................... 3.2 Základní metody důkazů............................. 3.2. Důkaz sporem............................... 3.2.2 Nepřímý důkaz.............................. 4.2.3 Přímý důkaz................................ 4.2.4 Matematická indukce........................... 4.3 Množina reálných čísel.............................. 6 2 Posloupnosti 0 2. Úvod........................................ 0 2.2 Vlastní ita posloupnosti............................ 0 2.3 Nevlastní ita posloupnosti.......................... 5 2.4 Monotónní posloupnosti............................. 8 3 Funkce jedné reálné proměnné 23 3. Základní definice................................. 23 3.2 Věty o itách.................................. 26 3.3 Funkce spojité na intervalu............................ 3 3.4 Elementární funkce................................ 34 3.4. Exponenciála a logaritmus........................ 34 3.4.2 Goniometrické funkce........................... 39 3.5 Derivace funkce.................................. 42 3.6 Konvexní a konkávní funkce........................... 54 3.7 Průběh funkce................................... 58 3.8 Taylorův polynom................................. 62 4 Řady 69 4. Úvod........................................ 69 4.2 Řady s nezápornými členy............................ 7 4.3 Neabsolutní konvergence řad........................... 79 4.4 Přerovnání řad.................................. 83 4.5 Součin řad..................................... 83 2

Úvod. Výroková a predikátová logika Výroková a predikátová logika je věda o pravdivosti výroků. Výrok je tvrzení, u kterého můžeme rozhodnout, zda-li je pravdivé nebo nikoliv. Definice.. Výroková funkce je výrok, do něhož dosazujeme proměnné. Poznámka.2 (Příklady výrokových funkcí). A(x) : x < 3. A() je pravda, A(3) je lež. B(x, y) : x < y. B(, 2) je pravda, B(5, 2) je lež. Poznámka.3 (Úmluva ohledně zápisu výroků). Zápisem x R; x > 0 : A(X) budeme rozumět výrok x R : (x > 0 = A(X)). Zápisem x R, y R : B(x, y) budeme rozumět výrok x R : ( y R : B(x, y)). Poznámka.4 (Pořadí kvantifikátorů). Na pořadí kvantifikátorů záleží, to jest zápisy x R, y R : B(x, y) a vyjadřují dva rozdílné výroky. x R, y R : B(x, y).2 Základní metody důkazů.2. Důkaz sporem Naším cílem je dokázat výrok A. V důkazu sporem se prokáže, že výrok A vede ke sporu. Díky zákonu o vyloučení třetího tedy odvodíme, že výrok A musí být pravdivý. Mějme například následující výrok A: Nyní ukážeme, že výrok A: n N : (n 2 je liché = n je liché). n N : (n 2 je liché n je sudé) vede ke sporu. Tedy, pokud je n sudé a n 2 liché, potom jejich součet, n + n 2, je také lichý. To nicméně vede ke sporu, jelikož n + n 2 = n(n + ) je součin dvou po sobě následujících čísel, z nichž jedno je liché a jedno sudé. Součin sudého a lichého čísla je vždy sudé číslo. 3

.2.2 Nepřímý důkaz Naším cílem je dokázat implikaci typu A = B. Někdy je ovšem jednodušší dokázat ekvivalentní výrok tvaru B = A. V našem příkladě budeme tedy dokazovat výrok: n N : (n je sudé = n 2 je sudé). Vyjádřeme n jako 2k. Potom n 2 = 4k, což je sudé číslo..2.3 Přímý důkaz Přímý důkaz implikace A = B spočívá v nalezení řady výroků tvaru: A = C, C = C 2,..., C n = C n, C n = B. V našem případě můžeme vyjádřit číslo n jako součin p... p k. Potom n 2 = p 2... p 2 k. Pokud je číslo n 2 liché, potom žádný činitel z p 2... p 2 k neobsahuje číslo 2, a tedy žádný činitel z p... p n neobsahuje číslo 2 a tedy číslo n = p... p k je liché..2.4 Matematická indukce Matematickou indukci využijeme v případě, kdy chceme dokázat platnost výroku pro všechna přirozená čísla, či případně pro jinou, předem danou nekonečnou posloupnost, např. pro všechna přirozená čísla větší než 5. V prvním kroce důkazu matematickou indukcí se ukáže, že tvrzení platí pro nejmenší přirozené číslo k. V indukčním kroce se dokáže, že pokud tvrzení platí pro n = m, pak platí i pro n = m +. Dle principu matematické indukce pak tvrzení platí pro každé přirozené číslo větší nebo rovno k. Jako příklad dokážeme následující dvě věty. Věta.5 (Bernoulliho nerovnost). Nechť x R, x a n N. Potom: Důkaz. ( + x) n + nx. I. Pro n = zřejmě platí: ( + x) = + x. II. Předpokládejme, že tvrzení platí pro n = m a pokusme se jej dokázat pro n = m +. Tedy: ( + x) m+ = ( + x)( + x) m ( + x)( + mx) = + x + mx + mx 2 = + (m + )x + mx 2 (dle indukčního předpokladu) + (m + )x (jelikož mx 2 0) 4

Věta.6 (Vztah aritmetického a geometrického průměru). Aritmetický průměr nezáporných čísel je vždy větší nebo roven geometrickému průměru. Důkaz. Nejprve dokážeme, že toto tvrzení platí pro jedno číslo, V (). Poté ukážeme, že V (n) = V (2n). Nakonec ukážeme, že V (n + ) = V (n). Tím je důkaz ukončen. Základní krok je jednoduchý: x = x Jednoduše se ukáže i platnost výroku V (2): x + x 2 2 x x 2 x 2 x x 2 + x 2 0 ( x x 2 ) 2 0 Nyní ukážeme platnost tvrzení V (n) = V (2n): x + x 2 + + x 2n 2n = x + +x n n + x n++ +x 2n n 2 n x... x n + n x n+... x 2n (indukční předpoklad V (n)) 2 n x... x n n x n+... x 2n (V (2)) = 2n x... x 2n Zbývá dokázat platnost tvrzení: V (n+) = V (n). Mějme čísla x,..., x n > 0. Položme y i = pro i =,..., n, a y n+ =. Dle předpokladu: x i n x...x n y + + y n+ n + n+ y... y n+ x = n+ n... x... x n = x n n x... x n Potom: x n x...x n + + n xn x...x n + n + x + + x n n n x... x n x + + x n n n x... x n 5

.3 Množina reálných čísel Ze střední školy známe množiny: N = {, 2, 3,... } Z = {..., 2,, 0,, 2,... } Q = { p, p Z, q N} q Tyto množiny nicméně neobsahují všechna čísla, se kterými pracujeme. Věta.7. 2 Q Důkaz. Sporem. Nechť p Z, q N nesoudělná taková, že 2 = p q. Potom 2q 2 = p 2, p 2 je sudé a p musí být taktéž sudé: k Z : p = 2k a 2q 2 = 4k 2. Z toho vyplývá, že q je také sudé, čímž dostáváme spor s nesoudělností p a q. Poznámka.8 (Vlastnosti reálných čísel I.). Na množině R je dána binární relace R R, operace sčítání (+), násobení ( ) a význačné prvky 0, tak, že platí: i. x, y, z R : x + (y + z) = (x + y) + z (asociativita sčítání) ii. x, y R : x + y = y + x (komutativita sčítání) iii. x R : x + 0 = x (existence 0) iv. x R, ( x) R : x + ( x) = 0 (existence opačného prvku při sčítání) v. x, y, z R : x (y z) = (x y) z (asociativita násobení) vi. x, y R : x y = y x (komutativita násobení) vii. x R : x = x (existence ) viii. x R \ {0} : x R : x x = (existence opačného prvku při násobení) ix. x, y, z R : x (y + z) = xy + xz (distributivita) Poznámka.9 (Vlastnosti reálných čísel II.). i. x, y R : (x y y x) = x = y ii. x, y, z R : (x y y z) = x z iii. x, y R : (x y) (y x) 6

iv. x, y, z R : (x y) = x + z y + z v. x, y R : (0 x 0 y) = 0 xy Definice.0. Množina M R je omezená shora (zdola), pokud existuje x R tak, že y M : y x (y x). Číslo x nazýváme horní (dolní) závora množiny M. Definice.. Nechť M R. Číslo s R nazveme supremum M (nejmenší horní závora) a značíme sup M, pokud: i. x M : x s (s je horní závora M) ii. y < s R : x M : y < x (s je nejmenší horní závora) Poznámka.2 (Vlastnosti reálných čísel III.). Nechť množina M R je neprázdná shora omezená. Pak existuje sup M R. Vlastnosti I., II. a III. určují jednoznačně množinu reálných čísel. Definice.3. Nechť M R. Číslo i R nazveme infimem, pokud: i. x M : x i (i je dolní závora) ii. y > i R : x M : x < y (i je největší dolní závora) Věta.4 (O existenci infima). Nechť M R je neprázdná zdola omezená. Pak existuje inf M R. Důkaz. Definujme M = { x; x M}. Tato množina je neprázdná shora omezená a tedy existuje s = sup( M). Označíme i = s a ukážeme, že i = inf M: i. x M, x s = x = x, x M, x i, x i ii. y R, y < s : x M : y < x = x = x, ỹ = y, ỹ R, ỹ > s = i : x M : ỹ < x = ỹ > x Věta.5 (Archimédova vlastnost). x R : n N : x < n Důkaz. Sporem. x R : n N : x n = s = sup N, tedy n N : n + s a tedy n s. Číslo s je také horní zavorou N, což je spor s definicí s jako nejmenší horní zavory N. Věta.6 (Hustota Q a R \ Q). Nechť a, b R, a < b. Pak existují q Q a r R takové, že q (a, b), r (a, b). 7

Důkaz. Díky Archimédově vlastnosti (Věta.5) existuje n N : n > a tedy b a >. b a n Vezměme za m nejmenší přirozené číslo větší než na. Potom m = q (a, b). n Proč? Hledáme m takové, že a < m < b, tj. na < m < nb. Jelikož jsme vybrali m jako n nejmenší přirozené číslo větší než na, platí: m na < m. Z pravé části nerovnice přímo plyne a < m. Dále platí: n m na + ( < n b ) n = nb + (plyne z n > b a ) Tímto jsme dokázali větu o hustotě racionálních čísel v R. Rozšíření na iracionální čísla je jednoduché: Mějme q, q 2 Q, q < q 2 (a, b). Položme r = q + 2 ( ) q 2 q 2. Zřejmě r R \ Q. Věta.7 (O existenci n-té odmocniny). Nechť x [0; + ) a n N. Pak existuje právě jedno y [0; + ) takové, že y n = x. Důkaz. Definujme dvě množiny, M a M 2 následovně: M = {a [0; + ) : a n x}. Tato množina je neprázdná a shora omezená, tedy existuje y = sup M. M 2 = {a [0; + ) : a n x}. Tato množina je neprázdná a zdola omezená, tedy existuje y 2 = inf M. Pozorování: y y 2. Pokud by tomu tak nebylo, potom existuje q R : y < q < y 2 a buď q n x nebo x q n. Obě možnosti vedou ke sporu s definicemi suprema či infima. Tvrdím: y n x a y n 2 x. Tvrzení dokážeme sporem. Vezměme libovolné k N takové, že k > nyn. Z definice suprema víme, že pro y y n x existuje a M k : a > y. Potom k dostáváme spor: y n x y n a n (a M a tedy a n x) = (y a)(y n + y n 2 a + + y a n 2 + a n ) (y a)ny n (jelikož y a) < k nyn (vzpomeňme a > y k ) < y n x Podobně lze ukázat, že y n 2 x, čímž dostáváme dvě sady nerovností: y y 2, a y n x y n 2. 8

Zřejmě x = y n = y n 2. Definice.8. Pro x R definujeme absolutní hodnotu x následovně: Věta.9 (Vlastnosti absolutní hodnoty). i. x R : x 0, ii. x R : x = 0 x = 0, iii. x R : x x, iv. x, y R : xy = x y, x pokud x 0, x = x pokud x < 0. v. x, y R : x y x ± y x + y (rozšířená trojúhelníková nerovnost). Důkaz. První čtyři vlastnosti jsou zřejmé: Postačí jednoduché rozepsání případů (x 0, x < 0, y 0, y < 0) či jejich kombinací. Dokažme nyní poslední vlastnost. Z předchozích bodů vyplývá: 2 x y 2xy 2 x y. Přičtěme v nerovnostech výraz x 2 + y 2 = x 2 + y 2 : x 2 2 x y + y 2 x 2 + 2xy + y 2 x 2 + 2 x y + y 2 Tyto nerovnosti můžeme dále upravit: Jelikož platí: dostáváme: ( x y ) 2 (x + y) 2 ( x + y ) 2 a b a 2 b 2, x y x + y x + y = x + y. Pokud dále dosadíme y za y, dostaneme: x y x y x + y 9

2 Posloupnosti 2. Úvod Definice 2.. Nechť pro n N máme dáno a n R. Pak {a n } = {a, a 2, a 3,... } nazveme posloupnost reálných čísel. Číslo a n nazveme n-tým prvkem posloupnosti. Poznámka 2.2 (Příklady posloupností). { } n Tedy,,, atd. 2 3 {2 n } {p n }, kde p n je n-té prvočíslo. a =, a n+ = + a 2 n. Tato posloupnost je zadána rekursivně. Definice 2.3. Posloupnost {a n } je omezená, pokud je množina členů posloupnosti {a n } R omezená množina. Analogicky definujeme omezenost shora a omezenost zdola. Definice 2.4. Řekneme, že posloupnost {a n } n N je: neklesající, pokud n N : a n a n+, nerostoucí, pokud n N : a n a n+, rostoucí, pokud n N : a n < a n+, klesající, pokud n N : a n > a n+. 2.2 Vlastní ita posloupnosti Definice 2.5. Nechť A R a {a n } je posloupnost. Řekneme, že A je vlastní itou posloupnosti {a n }, jestliže: Značíme: Poznámka 2.6 (Příklady it). Mějme posloupnost { n ε > 0 n 0 N n n 0, n N : a n A < ε } Dle definice ity musí platit: a n = A. n. Tato posloupnost zřejmě směřuje k nule, formálně: n n = 0. ε > 0 n 0 N n n 0, n N : n 0 < ε Pro dané ε volíme n 0 > ε. Pro všechna n n 0 > ε platí: n < ε, a tedy: n 0 = n < ε. 0

n n n = Sporem: Nechť daná ita neexistuje, tedy: ε > 0 n 0 N n n 0 : n n ε. Jelikož n N : n n, vyplývá, že n n + ε. Potom ovšem: n ( + ε) n n(n ) + nε + ε 2 2 nε( + n ε) 2 Po vydělení obou stran číslem n dostáváme: ε( + n ε) 2 což očividně pro příliš velká n N nemůže platit. n ( ) n neexistuje. Sporem: Předpokládejme, že daná ita A existuje, tj.: (první tři členy binomického rozvoje) ε > 0 n 0 N n n 0, n N : ( ) n A < ε Ukážeme, že existuje protipříklad. Nechť ε =. Potom dostáváme následující spor: 4 2 = ( ) n ( ) n+ ( ) n A + A ( ) n+ 4 + 4 (trojúhelníková nerovnost) (z definice ity pro n n 0 ) = 2 Věta 2.7 (jednoznačnost vlastní ity). Každá posloupnost má nejvýše jednu itu. Důkaz. Nechť má posloupnost {a n } dvě různé ity, A a A 2. Bez újmy na obecnosti: A < A 2. Zvolíme 0 < ε < A 2 A. Z definice víme, že existují n 2, n 2 N takové, že: n n : a n A < ε a n n 2 : a n A 2 < ε. Vezměme n 0 := max(n, n 2 ). Potom dostáváme následující spor: n n 0 : A 2 A = A 2 A A 2 a n + a n A (trojúhelníková nerovnost) < 2ε (z definice ity) < A 2 A (díky volbě ε < A 2 A 2 )

Věta 2.8. Nechť posloupnost {a n } má vlastní itu A R. Pak je množina {a n } omezená. Důkaz. Zvolme ε =. Dle definice ity: Pro všechna n n 0 potom platí: Nyní zvolme Zřejmě: n N : a n K. n 0 N n n 0, n N : a n A <. a n = a n A + A a n A + A < + A. K := max { A +, a, a 2,..., a n0 }. Definice 2.9. Řekneme, že posloupnost {b k } k N je vybraná z posloupnosti {a n } n N, jestliže existuje rostoucí posloupnost přirozených čísel {n k } k= tak, že b k = a nk. Poznámka 2.0 (Příklad vybrané posloupnosti). Posloupnost { } { } 2 je vybraná z posloupnosti n n. Věta 2. (O itě vybrané posloupnosti). Nechť n a n = A R a nechť {b k } je vybraná z {a n }. Potom n b k = A. Důkaz. Z definice ity víme, že: ε > 0 n 0 N n n 0, n N : a n A < ε K tomuto ε volíme k 0 := n 0. Potom k k 0, k N platí n k k n 0 a tedy b k A = a nk A < ε. Poznámka 2.2. Předchozí implikace neplatí v opačném směru. Uvažujte například posloupnost {( ) n } a její možné vybrané posloupnosti. Věta 2.3 (Aritmetika it). Nechť n a n = A R a n b n = B R. Pak platí: i. n a n + b n = A + B ii. n a n b n = AB iii. pokud n N : b n 0 a B 0, pak n a n bn = A B. Důkaz. 2

i. Z definice ity dostáváme: Zvolme n 0 := max{n, n 2 }. Potom: ε > 0 n N n n, n N : a n A < ε, ε > 0 n 2 N n n 2, n N : b n B < ε. n n 0, n N : a n + b n (A + B) a n A + b n B < ε + ε = 2ε ii. Mějme n 0 := max{n, n 2 } jako v předchozím bodě. Potom: n n 0, n N : a n b n AB a n b n a n B + a n B AB a n b n B + B a n A < a n ε + B ε Z Věty 2.8 víme, že posloupnost {a n } je omezená, tj. K n N : a n K, a tedy: a n ε + B ε ε(k + B ). iii. Mějme n a n 2 jako v předchozích bodech. Navíc, pro ε = B 2 : n 3 N n n 3, n N : b n B < B 2. Dle rozšířené trojúhelníkové nerovnosti (Věta.9) dále platí: a tedy: b n B b n B b n B. n n 3, n N : b n > B 2. Zvolme n 0 := max{n, n 2, n 3 }, potom a n n 0, n N : n A b n B = a n B AB + AB Ab n b n B a n B AB b n B + AB Ab n b n B B a n A + A B b n b n B b n B < ε B = ε 3 2 + A ε B 2 ) B (jelikož b n > B 2 ) ( 2 B + 2 A B 2

Věta 2.4 (Limita a uspořádání). Nechť n a n = A R, n b n = B R. i. Jestliže A < B, pak n 0 N n n 0 : a n < b n. ii. Jestliže existuje n 0 N takové, že pro každé n n 0 platí a n b n, pak A B. Důkaz. i. Zvolme 0 < ε < B A 2. Dle definice ity: Položmě n 0 := max{n, n 2 }. Potom: n N n n, n N : a n A < ε n 2 N n n 2, n N : b n B < ε n n 0 : a n < A + ε ii. Sporem: Nechť A < B. Potom dle předchozího bodu: což je ve sporu s předpoklady. ñ 0 N n ñ 0 : a n < b n, < B ε (0 < ε < B A 2 ) < b n Věta 2.5 (O dvou strážnících). Nechť {a n }, {b n }, {c n } jsou posloupnosti splňující: i. n 0 N n n 0 : a n c n b n, ii. a n = b n = A R. Pak c n = A. Důkaz. Zvolme ε > 0. Dle definice ity: n N n n, n N : a n A < ε n 2 N n n 2, n N : b n A < ε Položme n 3 := max{n 0, n, n 2 }. Potom: n n 3 : A ε < a n c n b n < A + ε, tedy n n 3 : c n A < ε, a proto c n = A. 4

Poznámka 2.6 (Příklad využití věty o dvou strážnících). Pomocí předchozí věty dokážeme následující tvrzení: Nechť a > 0. Pak n n a =. Podle hodnoty a rozdělíme důkaz do tří částí: (a = ) Triviální. (a > ) Zřejmě: Potom: n 0 N, n 0 a, n n 0 : a n. n n 0 : n a n n. Jelikož = a n n = (Poznámka 2.6), potom dle věty o dvou strážnících i n a =. (0 < a < ) S pomocí věty o aritmetice it (Věta 2.3) převedeme problém na již vyřešený případ a > : n n a = n n a = n n n a (aritmetika it) = = ( a > 0) Věta 2.7 (O itě součinu omezené a mizející posloupnosti). Nechť a n = 0 a {b n } je omezená. Potom: n a nb n = 0. Důkaz. Posloupnost {b n } je omezená, tedy K : n N : b n K. Potom: 0 a n b n = a n b n K a n a s pomocí dvou strážníků (Věta 2.5) je n a n b n = 0. Poznámka 2.8. Předchozí větu můžeme využít např. při důkazu n sin n = 0. n 2.3 Nevlastní ita posloupnosti Definice 2.9. Řekneme, že posloupnost {a n } n N má nevlastní itu + (respektive ), pokud: K R n 0 N n n 0, n N : a n > K ( K R n 0 N n n 0, n N : a n < K) 5

Poznámka 2.20 (Příklady nevlastních it). n n 2 = + Ke K R zvol n 0 N takové, že n 0 > K. Pak n n 0 : n n 0 K, a tedy: n 2 > K. n n = Ke K R zvol n 0 N takové, že n 0 > K 2. Pak n n 0 : n > K, a tedy n < K. Definice 2.2. Nechť a n = A. Pokud A R, říkáme, že posloupnost {a n } konverguje. Pokud A = ±, říkáme, že posloupnost diverguje. Metatvrzení 2.22. Věty 2.7, 2., 2.4 a 2.5 platí i v případě, že uvažujeme nevlastní ity. Důkaz. Důkazy zmíněných vět je třeba rozepsat pro jednotlivé případy: vlastní ita, nevlastní ita, kombinace vlastní a nevlastní ity, atd. Definice 2.23. Rozšířená reálná osa je množina R := R {+ } { } s následujícími vlastnostmi: Uspořádání: a R : < a < + Absolutní hodnota: = + = + Sčítání: a R \ {+ } : + a = a R \ { } : + + a = + Násobení: a R, a > 0 : a (± ) = ± a R, a < 0 : a (± ) = Dělení: a a R : ± Výrazy +, 0 (± ), ± ±, cokoli 0 nejsou definovány. Definice 2.24 (Rozšíření definice suprema a infima). Pokud množina M není shora omezená, potom sup M = +. Pokud množina M není zdola omezená, potom inf M =. Pokud M =, potom sup M = a inf M = +. Poznámka 2.25. Všimněte si, že při M = je inf M > sup M. Věta 2.26 (aritmetika it podruhé). Nechť n a n = A R a n b n = B R. Pak platí: i. n a n + b n = A + B, pokud je výraz A + B definován, ii. n a n b n = AB, pokud je výraz AB definován, a 6

iii. pokud B 0 a n N : b n 0, pak n a n bn = A B, pokud je výraz A B definován. Důkaz. Tato věta je rozšířením původní věty o aritmetice it (Věty 2.3), ve které jsme uvažovali pouze vlastní ity. Jako příklad podívejme na důkaz bodu (i) a případ A = +, B R. K ε = : n N, n n, n N : b n B <, a tedy n n, n N : b n > B. Dále, ke K R : Zvolme n 0 := max{n, n 2 }, potom: n 2 N, n n 2, n N : a n > K B +. n n 0, n N : a n + b n > K B + + B = K. Věta 2.27 (Limita typu A 0 ). Nechť n a n = A R, A > 0, n b n = 0 a n 0 N, n n 0, n N : b n > 0. Potom n a n bn =. Poznámka 2.28. n ( ) n n = 0 n ( ) n n neexistuje, jelikož porušuje podmínku n 0 N, n n 0, n N : b n > 0. Důkaz. Uvažujme případ, kdy A R, tedy a n je vlastní. Pro ε = A 2 n N, n n, n N : a n A < A 2, platí: a tedy n n, n N : a n > A 2. Zvolme K > 0 pevné, potom k ε = A 2 K : Zvolme n 3 = max{n 0, n, n 2 }. Potom: n 2 N, n n 2, n N : b n < A 2 K. n n 3, n N : a n b n > A 2 A 2 K = K. 7

2.4 Monotónní posloupnosti Věta 2.29 (O itě monotónní posloupnosti). Každá monotónní posloupnost má itu. Důkaz. Nechť je bez újmy na obecnosti posloupnost {a n } neklesající. Položme A = sup{a n, n N}. Tvrdím, že a n = A. i. Nechť A R a ε > 0. Z definice suprema: n 0 N : a n0 > A ε. Potom n n 0, n N platí: A a n a n0 > A ε (supremum) (motononie) a tedy n n 0, n N : a n A < ε ii. Nechť A = + a K R. Z definice suprema: n 0 N : a n0 > K. Potom n n 0, n N platí: a n a n0 > K. (monotonie) Poznámka 2.30 (Příklad využití Věty 2.29). Určeme itu (pokud existuje) rekursivně zadané posloupnosti {x n } : x = 2 x n+ = x2 n + 2 2x n Dokažme nejprve, že n N : x n > 0; toto pozorování se nám bude hodit později. Využijeme indukci: Pro n = platí x = 2 > 0. Nechť x n > 0. Potom x2 n+2 2x n jsou větší než 0. je zřejmě také větší než 0, jelikož jak čitatel, tak jmenovatel 8

Nyní dokažme, že daná posloupnost {x n } je nerostoucí, tj. n N : x n+ x n. Pro x n > 0 je tato nerovnost ekvivalentní: x 2 n + 2 2x n x n x 2 n + 2 2x 2 n 2 x 2 n 2 xn Je třeba tedy dokázat tvrzení: n N : x n 2. Využijme znovu indukci: Pro n = platí: 2 2. Nechť x n 2. Potom: x n+ = x2 n + 2 2x n = x2 n + 2 2 2x 2 n = 2 x n x n (vztah aritmetického a geometrického průměru, Věta.6) Potud jsme o posloupnosti {x n } dokázali, že je: nerostoucí a podle věty o itě monotónní posloupnosti (Věta 2.29) má tedy itu, zdola omezená a tedy její ita je vlastní. Označme tuto itu A (tedy: n x n = A R). Potom platí: Vyřešením této rovnice získáme A = 2. A = n x n = n x n+ (Věta 2. a b k = x k+ ) = n x 2 n + 2 2x n = x n x n + 2 2 x n (Věta 2.3) = A A + 2 2A 9

Definice 2.3. Nechť {a n } n N je posloupnost a označme b k = sup{a n, n k}, c k = inf{a n, n k}. Je-li {a n } shora (zdola) neomezená, pak klademe k b k = ( k c k = ). Potom: Číslo k b k nazýváme es superior posloupnosti {a n } a značíme sup n a n. Číslo k c k nazýváme es inferior posloupnosti {a n } a značíme inf n a n. Poznámka 2.32. Nechť {a n } je libovolná posloupnost. Potom sup a n a inf a n existují, jelikož {b k } a {c k } jsou monotónní posloupnosti, které dle věty o itě monotónní posloupnosti (Věta 2.29) mají itu. Věta 2.33 (vztah ity, es superior a es inferior). Důkaz. a n = A R sup a n = inf a n = A R n n = Nechť jsou b k a c k definovány jako v předchozí definici. Potom: k N : c k a k b k, Jelikož c k = b k = A R, s použitím Věty 2.5 o dvou strážnících je i a k = A. = Nechť A R. Z definice ity víme: Zřejmě také platí: a proto b n = c n = A. n 0 N, n n 0, n N : A ε < a n < A + ε. n n 0, n N : A ε c n a n b n A + ε, Nechť naopak A = +. Potom je posloupnost {a n } shora neomezená a sup a n = +. Zvolme K R. Z definice ity: n 0 N, n n 0, n N : a n > K. Potom c n0 K. Jelikož posloupnost {c n } je neklesající, platí: n n 0, n N : c n K. Zřejmě: Analogicky pro A =. c n = +. 20

Věta 2.34 (Bolzano-Weierstrass). Z každé omezené posloupnosti lze vybrat konvergentní podposloupnost. Důkaz. Mějme posloupnost {a n }. Jelikož je omezená, platí: K, L R : n N : K a n L. Rozpůlme interval [K, L] na dva nové intervaly: [K, K+L ], [ K+L, L] (bod K+L leží v obou 2 2 2 intervalech). Potom alespoň jeden z nových intervalů obsahuje nekonečně mnoho členů posloupnosti {a n }. Tento interval označíme [K, L ] a znovu jej rozpůlíme na dva podintervaly. Ten, ve kterém se nachází nekonečně mnoho členů posloupnosti {a n }, označíme [K 2, L 2 ]. Tento postup opakujeme a získáme tak posloupnost intervalů [K k, L k ], pro něž platí: i. k N : [K k, L k ] [K k+, L k+ ] ii. k N : L k K k = (L K)/2 k, a tedy velikost intervalů konverguje k nule. iii. k N : [K k, L k ] obsahuje nekonečně mnoho členů posloupnosti {a n }. Můžeme proto vybrat rostoucí posloupnost přirozených čísel n k takovou, že k N : a nk [K k, L k ]. Díky vlastnosti (i) posloupnosti intervalů [K k, L k ] : x R, k N : x [K k, L k ]. Tvrdím, že posloupnost {a nk } konverguje k x. Zvolme ε > 0 a k 0 N takové, že Potom jelikož jak a nk, tak x náleží do [K k, L k ]. k k 0, k N : L k K k < ε. k k 0, k N : a nk x < ε, Věta 2.35 (Bolzano-Cauchyho podmínka). Posloupnost {a n } n N má vlastní itu, právě když splňuje Bolzano-Cauchyho podmínku, tedy: Důkaz. ε > 0 n 0 N m, n N, n n 0, m n 0 : a n a m < ε. = a n = A R. Z definice ity: Pro m, n n 0 platí: ε > 0 n 0 N, n n 0, n N : a n A < ε 2. a n a m a n A + A a m < ε 2 + ε 2 = ε. 2

= Definujme posloupnosti: b n = sup{a n, a n+,...}, c n = inf{a n, a n+,...}. Posloupnost {b n } klesá k sup a n ; posloupnost {c n } stoupá k inf a n. Dále n N : b n c n. V následujícím ukážeme, že inf a n = sup a n, z čehož za použití věty o vztahu ity, es superior a es inferior (Věta 2.33) plyne, že posloupnost {a n } konverguje. Cauchyho podmínka říká, že ε > 0 n 0 N m, n N, n n 0, m n 0 : a n a m < ε. Zvolíme m = n 0. Potom n n 0, n N : a tedy: a n0 ε < a n < a n0 + ε a n0 ε c n a n b n a n0 + ε a n0 ε inf a n a n sup a n a n0 + ε ε > 0 : sup a n inf a n 2ε, z čehož vyplývá, že sup a n = inf a n a posloupnost {a n } konverguje. 22

3 Funkce jedné reálné proměnné 3. Základní definice Definice 3.. Funkcí jedné reálné proměnné rozumíme zobrazení kde M R. f : M R, Definice 3.2. Řekneme, že funkce f : M R, M R je: rostoucí, pokud x, y M, x < y : f(x) < f(y), klesající, pokud x, y M, x < y : f(x) > f(y), nerostoucí, pokud x, y M, x < y : f(x) f(y), neklesající, pokud x, y M, x < y : f(x) f(y). Definice 3.3. Řekneme, že funkce f : M R, M R je: sudá, pokud x M : ( x M) & (f(x) = f( x)), lichá, pokud x M : ( x M) & (f(x) = f( x)), periodická, pokud p > 0, x M : (x + p M) & (x p M) & (f(x) = f(x + p)). Definice 3.4. Řekneme, že funkce f : M R, M R je omezená (omezená shora, omezená zdola), jestliže f(m) je omezená (omezená shora, omezená zdola) podmnožina R. Definice 3.5. Nechť δ > 0 a a R. Prstencové okolí bodu je: Pravé a levé prstencové okolí bodu a je: Okolí bodu je: P (a, δ) = (a δ, a + δ) \ {a}, P (+, δ) = ( δ, + ), P (, δ) = ( δ, ). P + (a, δ) = (a, a + δ), P (a, δ) = (a δ, a). U(a, δ) = (a δ, a + δ), U(+, δ) = ( δ, + ), U(, δ) = ( δ, ). 23

Pravé a levé okolí bodu a je: U + (a, δ) = [a, a + δ), U (a, δ) = (a δ, a]. Definice 3.6. Nechť f : M R, M R. Řekneme, že f má v bodě a R itu A R, jestliže platí: ε > 0 δ > 0 x P (a, δ) : f(x) U(A, ε). Značíme: f(x) = A. x a Poznámka 3.7 (Poznámky k definici ity). Funkce f nemusí být v bodě a R definována, aby v něm měla itu. Z definice ity vyplývá, že pokud x a f(x) existuje, tak je funkce f definována na nějakém prstencovém okolí bodu a. Navíc, je-li f v bodě a definována, na hodnotě f(a) nezáleží. Pokud x a f(x) existuje a je rovna A, tak potom je buď vlastní (A R) nebo nevlastní (A = ± ). x a f(x) je nazývá itou ve vlastním bodě, pokud a R, nebo itou v nevlastním bodě, pokud a = ±. Definice 3.8. Nechť f : M R, M R. Řekneme, že f má v bodě a R itu zprava (zleva) rovnou A R, jestliže platí: ε > 0 δ > 0 x P + (a, δ) : f(x) U(A, ε) ( ε > 0 δ > 0 x P (a, δ) : f(x) U(A, ε)). Značíme: f(x) = A x a+ ( f(x) = A). x a Pozorování 3.9 (Vztah ity a jednostranných it). Nechť f : M R, M R, a R, A R. Potom: f(x) = A x a Poznámka 3.0 (Příklady it). f(x) = f(x) = A. x a+ x a 24

f(x) = x Její ita v bodě a R : f(x) = a. x a K ε > 0 volme δ = ε. Potom f(p (a, δ)) U(a, ε). f(x) = k a R : x a f(x) = k. f(x) = sgn(x) : sgn(x) x Z grafu je zřejmé, že jednostranné ity se sobě nerovnají: sgn(x) =, x 0+ sgn(x) =, x 0 a tedy dle pozorování o vztahu ity a jednostranných it (Pozorování 3.9) x 0 sgn(x) neexistuje. Dirichletova funkce:, pokud x Q, D(x) = 0, pokud x R \ Q. Tato funkce nemá itu nikde, jelikož dle věty o hustotě Q a R \ Q (Věta.6) každé prstencové okolí bodu a R obsahuje alespoň jedno racionální a iracionální číslo. Riemannova funkce: R(x) =, pokud x Q, tj. x = p, kde p Z, q N, a p, q jsou nesoudělná, q q 0, pokud x R \ Q. Jako domácí cvičení dokažte: a R : x a R(x) = 0. 25

Definice 3.. Nechť f : M R, M R, a M. Řekneme, že f je v bodě spojitá (spojitá zleva, spojitá zprava), jestliže: f(x) = f(a) ( f(x) = f(a), x a x a+ Poznámka 3.2 (Příklady spojitých a nespojitých funkcí). f(x) = x Spojitá na R. f(x) = sgn(x) Spojitá na R \ {0}. f(x) = D(x), Dirichletova funkce Není spojitá v žádném bodě R. f(x) = R(x), Riemannova funkce Spojitá v R \ Q. 3.2 Věty o itách f(x) = f(a)) x a Věta 3.3 (Heine). Nechť A R, f : M R a f je definována na prstencovém okolí bodu a R. Následující tvrzení jsou ekvivalentní: i. x a f(x) = A ii. pro každou posloupnost {x n } n N takovou, že: Důkaz. platí: = Z definice ity: n N x n M, x n a, a zároveň n x n = a f(x n) = A. n ε > 0 δ > 0 x P (a, δ) : f(x) U(A, ε). Nechť máme dále posloupnost {x n }, jež splňuje podmínky bodu (ii). Jelikož x n = a a n N : x n a, tak k δ > 0 : a tedy Potom n 0 N, n n 0, n N : x n P (a, δ) n n 0, n N : f(x n ) U(A, ε). f(x n) = A. n 26

= Implikaci dokážeme nepřímo, tj. dokážeme tvrzení (i.) = (ii.), tedy že z tvrzení, že ita funkce f neexistuje nebo není rovna A, vyplývá existence alespoň jedné posloupnosti {x n }, která splňuje zadaná kritéria a zároveň f(x n ) A. Pokud x a f(x) neexistuje nebo není rovna A, potom ε > 0 δ > 0 x P (a, δ) : f(x) U(A, ε). Pro δ n = n, n =, 2, 3,... vezmeme takové x a označíme ho x n. Zřejmě platí, že n x n = a. Jelikož dané elementy x n vybíráme z prstencového okolí a, platí, že n N : x n a. Z definice této posloupnosti navíc vyplývá, že n N : f(x n ) U(A, ε), takže n f(x n ) A. Tím je implikace splněna. Věta 3.4 (o jednoznačnosti ity). Funkce f má v daném bodě nejvýše jednu itu. Důkaz. Sporem. Nechť A a A 2 jsou dvě různé ity funkce f daném bodě a R. Mějme dále posloupnost {x n }, n x n = a, n N : x n a. Potom dle Heineho (Věta 3.3) n f(x n ) = A a zároveň n f(x n ) = A 2. Dostáváme tím spor s větou o jednoznačnosti ity posloupnosti (Věta 2.7). Věta 3.5 (ita a omezenost). Nechť f má vlastní itu v bodě a R. Pak existuje δ > 0 tak, že f je na P (a, δ) omezená. Důkaz. Nechť x a f(x) = A R. Z definice ity vyplývá, že: Jelikož je ita vlastní, platí dále: Zvolme ε =. Platí: a tedy f(x) je omezená na P (a, δ). ε > 0 δ > 0 : f(p (a, δ)) U(A, ε). U(A, ε) = (A ε, A + ε). δ > 0 x P (a, δ) : f(x) U(A, ) = (A, A + ), Věta 3.6 (o aritmetice it funkcí). Nechť a R, x a f(x) = A R, a x a g(x) = B R. Pak platí: i. x a (f(x) + g(x)) = A + B, pokud je výraz A + B definován; ii. x a f(x)g(x) = AB, pokud je výraz AB definován; iii. x a f(x) g(x) = A B, pokud je výraz A B definován. 27

Důkaz. Dokážeme pouze pro bod (i); ostatní případy se řeší analogicky. Zvolme libovolnou posloupnost {x n }, splňující x n = a, n N : x n a. n Potom dle Heineho (Věta 3.3): f(x n) = A, n g(x n) = B. n a dle věty o aritmetice it posloupností (Věta 2.3): (f(x n) + g(x n )) = A + B. n Protože posloupnost {x n } je libovolná, dle Heineho: (f(x) + g(x)) = A + B. x a Důsledek 3.7. Nechť jsou funkce f a g spojité v bodě a R. Pak jsou i funkce f + g, f g spojité v bodě a. Pokud je navíc g(a) 0, pak je i funkce f spojitá v a. g Věta 3.8 (Limita a uspořádání). Nechť a R. i. Nechť x a f(x) > x a g(x). Pak existuje prstencové okolí P (a, δ) tak, že: x P (a, δ) : f(x) > g(x). ii. Nechť existuje prstencové okolí P (a, δ) tak, že: x P (a, δ) : f(x) g(x). Nechť existují x a f(x) a x a g(x). Potom platí: f(x) g(x). x a x a iii. Nechť na nějakém prstencovém okolí P (a, δ) platí f(x) h(x) g(x). Nechť x a f(x) = x a g(x) = A R. Pak existuje x a h(x) a všechny tři ity se rovnají. Důkaz. i. Nechť x a f(x) = A, x a g(x) = B, A > B. Zvolme 0 < ε < A B 2. Dle definice ity: δ : f(p (a, δ )) U(A, ε), Zvolme δ 0 = min{δ, δ 2 }. Zřejmě: δ 2 : g(p (a, δ 2 )) U(B, ε). x P (a, δ 0 ) : f(x) > g(x). 28

ii. Sporem. Důkaz je analogický k bodu (ii) v důkazu věty o itě a uspořádání posloupností (Věta 2.4). iii. Pro ε > 0 existují δ, δ 2 jako v bodě (i). Pro δ 0 = min{δ, δ, δ 2 } platí: a tedy x a h(x) = A. h(p (a, δ 0 )) U(A, ε), Definice 3.9. Mějme funkce f : M R, M R a g : N R, N R. Pokud g(n) M, potom funkci h : N R, h(x) = f(g(x)) nazveme složenou funkcí. Složenou funkci h značíme: h = f g. Funkci f se říká vnější funkce, funkci g vnitřní funkce. Poznámka 3.20 (Vztah it vnější, vnitřní a složené funkce). Nechť: g(x) = A, x a f(x) = B. x A Platí obecně: f(g(x)) = B? x a Neplatí! Uvažujme následující dvě funkce: Zřejmě: Limita složené funkce: g(x) = 3 x N, pro x = 3 f(x) = 0 pro x 3 g(x) = 3 x 0 }{{}, A f(x) = 0 x A=3 }{{}. B f(g(x)) = f(3) = = B. x 0 x 0 x 0 Schéma z počátku poznámky nicméně platí při splnění dodatečných podmínek, které jsou popsány v následující větě. Věta 3.2 (Limita složené funkce). Nechť funkce f a g splňují: i. x a g(x) = A, 29

ii. y A f(y) = B. Je-li navíc splněna alespoň jedna z podmínek: (P) f je spojitá v A, (P2) η > 0 x P (a, η) : g(x) A, pak platí x a f(g(x)) = B. Poznámka 3.22. Funkce f a g z předchozí poznámky nesplňovaly podmínky (P) a (P2). Funkce f nebyla spojitá v A = 3 a pro funkci g neexistovalo prstencové okolí bodu a = 0, ve kterém nenabývala své ity A = 3. Důkaz. (P) Díky existenci ity a spojitosti funkce f v bodě A platí, že ke zvolenému ε > 0: Dále, k danému ϕ: Nakonec: a tedy x a f(g(x)) = B. ϕ > 0 : f(u(a, ϕ)) U(B, ε). χ > 0 : g(p (a, χ)) U(A, ϕ). f(g(p (a, χ))) f(u(a, ϕ)) U(B, ε), (P2) Díky existenci ity funkce f v bodě A platí, že ke zvolenému ε > 0: Dále, k danému ϕ: ϕ > 0 : f(p (A, ϕ)) U(B, ε). χ > 0 : g(p (a, χ)) U(A, ϕ). Pro ψ = min(χ, η) díky podmínce (P2) dále platí: Nakonec: a tedy x a f(g(x)) = B. g(p (a, ψ)) P (A, ϕ). f(g(p (a, ψ))) f(p (A, ϕ)) U(B, ε), Věta 3.23 (ita monotónní funkce). Nechť funkce f je monotónní na intervalu (a, b), a, b R. Potom existuje x a+ f(x) i x b f(x). 30

Důkaz. Větu dokážeme pro f neklesající a pro x a+. Ostatní případy se dokáží analogicky. Definujme množinu M = f((a, b)) = {f(x), x (a, b)}, položme A := inf M a zvolme ε > 0. Z vlastností infima (Definice.3) víme, že: Potom díky monotonii funkce f: y 0 = f(x 0 ) M : A y 0 < A + ε. x, a < x < x 0 : f(x) U(A, ε). Nyní zvolíme δ > 0 takové, aby P + (a, δ) (a, x 0 ). Potom: a tedy x a+ f(x) = A. 3.3 Funkce spojité na intervalu x P + (a, δ) : f(x) U(A, ε), Definice 3.24. Množina M R je interval, pokud a, b R tak, že: M = {x R : a x b}, kde relace je buď nebo <. Body a, b nazýváme krajními body intervalu; ostatní body intervalu M nazýváme vnitřními body. Pozorování 3.25. Množina M R je interval, právě když x, y, z R : x z y, x M, y M = z M, tj. právě když je konvexní podmnožinou R. Důkaz. = Zřejmé: Každý interval je konvexní množina. = Nechť M R je konvexní množina. Označme a := inf M, b := sup M. Potom (a, b) M [a, b]. Proč? Pokud x (a, b), potom z definice suprema a infima α, β M : α < x < β. Díky konvexivitě je i x M. Pokud naopak x M, z definice suprema a infima vyplývá a x a x b, a tedy x [a, b]. Množina M se tedy od (a, b) liší jen eventuálním přidáním jednoho nebo obou bodů a, b, a je tedy intervalem. 3

Definice 3.26. Nechť f je funkce a J interval. Řekneme, že f je spojitá na intervalu J, jestliže je spojitá ve všech vnitřních bodech J. Je-li počáteční bod J prvkem J, tak požadujeme i spojitost zprava v tomto bodě, a je-li koncový bod J prvkem J, tak požadujeme i spojitost zleva v tomto bodě. Věta 3.27 (Darboux). Nechť f je spojitá na [a, b] a platí f(a) < f(b). Pak pro každé y (f(a), f(b)) existuje x (a, b) tak, že f(x) = y. Důkaz. Definujme množinu M := {x [a, b], f(x) < y}. Označme dále x 0 = sup M. Tvrdím, že f(x 0 ) = y. Toto tvrzení nyní dokážeme sporem s vlastnostmi suprema. Nechť platí f(x 0 ) < y. Zvolme ε = y f(x 0) 2 > 0. Jelikož dle předpokladů je f spojitá v x 0, existuje δ > 0 x U(x 0, δ) : f(x) U(f(x 0 ), ε), neboli f(x) < y. Zde nicméně dostáváme spor s definicí suprema: x 0 nemůže býti supremem množiny M, neboť existují x > x 0, pro které také platí f(x) < y. Nechť naopak platí f(x 0 ) > y. Zvolme ε = f(x 0) y 2 > 0. Jelikož je f spojitá, existuje δ > 0 x U(x 0, δ) : f(x) U(f(x 0 ), ε), neboli f(x) > y. Potom ale x (x 0 δ, x 0 ) : f(x) > y a tedy x 0 δ je také horní závora množiny M a dostáváme se tak do sporu s druhou vlastností suprema. Věta 3.28 (Zobrazení intervalu spojitou funkcí). Nechť J je interval. Nechť funkce f : J R je spojitá. Pak je množina f(j) také interval. Důkaz. Nechť x, y f(j), z R a x z y. Potom x = f(α) a y = f(β) pro α, β J. Nechť bez újmy na obecnosti α β. Protože zúžená funkce f : [α, β] R je spojitá a f(α) z f(β), podle Darbouxovy věty (Věta 3.27) máme i z = f(γ) pro nějaké γ [α, β]. Množina f(j) je tedy konvexní a dle Pozorování 3.25 je tedy interval. Definice 3.29. Nechť f : M R, M R. Řekneme, že funkce f nabývá v bodě a M maxima na M, jestliže x M : minima na M, jestliže x M : ostrého maxima na M, jestliže x M, x a : ostrého minima na M, jestliže x M, x a : f(x) f(a), f(x) f(a), f(x) < f(a), f(x) > f(a), lokálního maxima (ostrého lokálního maxima, ostrého lokálního minima, lokálního minima), jestliže existuje δ > 0 tak, že f nabývá na M U(a, δ) svého maxima (ostrého maxima, ostrého minima, minima). Pozorování 3.30 (Heineho věta pro spojitost). Následující tvrzení jsou ekvivalentní: i. f je spojitá v a, tj. x a f(x) = f(a); 32

ii. pro každou posloupnost {x n } n N takovou, že: n N x n M, x n a, a zároveň n x n = a platí: f(x n) = f(a). n Věta 3.3 (spojitost funkce a nabývání extrémů). Nechť f je spojitá funkce na intervalu [a, b]. Pak funkce f nabývá na [a, b] svého maxima a minima. Důkaz. Označme A := sup{f(x), x [a, b]}. Z vlastností suprema existuje posloupnost {x n } taková, že n f(x n ) = A, např. f(x ) > A, f(x 2 ) > A 2, f(x 3) > A 3, atd. Jelikož n N : x n [a, b], posloupnost {x n } je omezená, a tedy dle Bolzano-Weierstrassovy věty (Věta 2.34) existuje vybraná konvergentní podposloupnost {x nk }: x n k = z [a, b]. k Jelikož je funkce f v bodě z spojitá, platí dle Heineho věty pro spojitost (Pozorování 3.30): Zároveň ale víme, že f(x n k ) = f(z). k f(x n) = A n Dle věty o itě vybrané posloupnosti (Věta 2.) je i f(x n k ) = A k a dle věty o jednoznačnosti ity posloupnosti (Věta 2.7) platí f(z) = A, a tedy funkce f nabývá svého maxima A v bodě z [a, b]. Důkaz minima je analogický. Věta 3.32 (spojitost funkce a omezenost). Nechť f je spojitá funkce na intervalu [a, b]. Pak je funkce f na [a, b] omezená. Důkaz. Dle věty o spojitosti funkce a nabývání extrémů (Věta 3.3) nabývá funkce f na [a, b] svého maxima (A) i minima (B). Potom x [a, b] : B f(x) A a funkce f je tedy na intervalu [a, b] omezená. Definice 3.33. Nechť f je funkce a J interval. Řekneme, že f je prostá na J, pokud x, y J : x y = f(x) f(y). Pro prostou funkci f : J R definujeme inversní funkci f : f(j) R předpisem: f (y) = x f(x) = y. Věta 3.34 (o inversní funkci). Nechť f je spojitá a rostoucí (klesající) funkce na intervalu J. Potom je funkce f spojitá a rostoucí (klesající) na itervalu f(j). 33

Důkaz. Nechť je f například rostoucí. Nejprve dokážeme sporem, že i f je rostoucí. Nechť existují y, y 2 f(j), y < y 2 tak, že f (y ) > f (y 2 ). Potom ovšem dostáváme spor: y = f(f (y )) > f(f (y 2 )) = y 2. Dokažme nyní spojitost f. Zvolme y 0 f(j), y 0 = f(x 0 ), ε > 0 a uvažujme nejprve možnost, kdy y 0 je vnitřní bod f(j) (a tedy x 0 je vnitřní bod J). Potom existují x, x 2 tak, že x < x 0 < x 2 a (x, x 2 ) U(x 0, ε). Zvolme δ > 0 tak, aby U(y 0, δ) (f(x ), f(x 2 )). Potom: f (U(y 0, ε)) f (f(x ), f(x 2 )) = (x, x 2 ) U(x 0, ε) = U(f (y 0 ), ε). Uvažujme dále možnost, že je J uzavřený interval a x 0 je jeho levý krajní bod. Zvolme x U + (x 0, ε) a δ = f(x ) y 0. Potom díky monotonii funkce f platí pro všechny y U + (y 0, δ) : f (y) U + (x 0, ε) U(x 0, ε). Pravý krajní bod se řeší analogicky. 3.4 Elementární funkce 3.4. Exponenciála a logaritmus Věta 3.35 (Zavedení exponenciály). Existuje právě jedna funkce exp : R R splňující následující dvě podmínky: i. exp(x + y) = exp(x) exp(y), ii. x R : exp(x) + x Důkaz. Předpokládejme nejprve, že daná funkce existuje, a ukažme si, že v tom případě je definována jednoznačně: Postupně odvodíme několik jejích vlastností, až se tak dostaneme k jejímu jednoznačnému vyjadření. Poté dokážeme i její existenci. A. Jednoznačnost.. n N x R : exp(nx) = exp(x) n. Důkaz indukcí: I. exp(x) = exp(x) II. exp((n+)x) = exp(nx+x) = exp(nx) exp(x) = (exp(x)) n exp(x) = (exp(x)) n+ 2. exp(0) =. Rozepišme nejprve výraz exp(0): exp(0) = exp(0 + 0) i. = exp(0) exp(0) = (exp(0)) 2. exp(0) tedy může být buď 0 nebo. První možnost je ve sporu s podmínkou (ii), a proto exp(0) =. Důkaz této věty jsem zpracoval na základě poznámek Petra Baudiše z přednášek Luboše Picka: http: //math.or.cz/analyza. 34

3. x R : exp( x) = exp(x) 0. exp(x) = exp(0) = exp(x x) = exp(x) exp( x). 4. x exp(x) = +. Plyne z podmínky (ii) a Věty 3.8 (ita a uspořádání). 5. x exp(x) = 0. Vyplývá z předchozích dvou bodů. 6. x R : exp(x) > 0. exp(x) = exp( x 2 + x 2 ) i.) = exp( x 2 ) exp( x 2 ) 0. 7. x > 0 : exp(x) >. Vyplývá z podmínky (ii). 8. Exponenciála je rostoucí funkce na R. x, y R, x < y : < 7. exp(y x) = exp(y). Jelikož se jedná o kladnou funkci, platí exp(x) exp(y) > exp(x). 9. x 0 exp(x) x =. a tedy: Další úpravou získáváme: a po vydělení výrazem x: exp(x) 3. = exp( x) ii. x, + x (ii.) exp(x) x. x exp(x) x = x x exp(x) x x. Výslednou itu získáme díky Větě 3.8 (ita a uspořádání). 0. exp(x) je spojitá na R. (exp(x) exp(x 0 )) = x x 0 x x0 (exp((x x 0 ) + x 0 ) exp(x 0 )) = x x0 (exp(x x 0 ) exp(x 0 ) exp(x 0 )) = x x0 exp(x 0 ) exp(x x 0) (x x 0 ) x x }{{ 0 }{{}} 0 = 0 35

( ) n. x R : exp(x) = n + x n Pokud se nám podaří dokázat tuto rovnost, dokážeme díky jednoznačnosti ity posloupnosti (Věta 2.7) i jednoznačnost definice exponenciály. Dle podmínky (ii) platí: ( exp x ) x n n Zvolme k > x. Pro n k, n N je i pravá strana nerovnice kladná a při umocnění obou stran na n-tou dostáváme: ( exp x ) n. = exp n ( n x n ) = exp( x) 3. = a tedy: exp x ( ) n x n Můžeme tedy psát: ( + x ) n ( ) x n exp = exp(x) ( n n x n a po vydělení výrazem ( n: + n) x ( exp(x) ) n + x n Dle Bernoulliho (Věta.5) dále platí: a proto: ( x 2 n 2 ) n ( exp(x) ) n + x n ( x 2 n 2 ) n ( ) x 2 n ( ) x 2 n }{{} při n ( exp(x) x ) n n Nyní již stačí využít strážníků (Věta 2.4) k dokázání ity z počátku. B. Existence. V následujících bodech ukážeme, že posloupnost: ( a n = + x n je pro dostatečně velká n neklesající a omezená pro všechna x R, což zaručí, že tato posloupnost má itu a že tato ita je vlastní (viz také Větu 2.29). Tím dokončíme formální zavedení exponenciály. 36 ) n ) n

I. Monotonie. Podobně jako výše zvolme k > x. Pro n k, n N platí: ( + x ) n n ( + x) + n n n + n+ = + x n + Zde jsme využili vztahu geometrického a aritmetického průměru (Věta.6) pro z = z 2 = = z n = + x n a z n+ =. Pokud umocnímě obě strany nerovnosti na (n + )-tou, dostáváme: ( + x ) n ( + x ) n+, n n + a tedy platí n k : a n a n+. Posloupnost {a n } je tedy neklesající. II. Omezenost. Nyní ukážeme, že posloupnost {a n } má omezenou podposloupnost {a nk }. Z toho pak vyplývá, že i posloupnost {a n } je omezená 2. Zvolme k > x. Dokážeme, že n N : ( + x ) nk ( x ) k, nk k a tedy, že n N : a nk ( x k ) k. Pro zvolené k a pro n N platí: ) n ( + x ) ( n nk + x = nk nk ( ) n nk = nk + x ( = x nk + x nx nk + x x k > 0. ) n (Bernoulliho nerovnost, Věta.5) ( x k nx nk+x ) 2 Zde využíváme jednoduchého pozorování, které tvrdí, že posloupnost, která je monotónní a která má omezenou podposloupnost, je omezená. Nechť {a n } je neklesající posloupnost a nechť pro její podposloupnost {a nk } platí: k N : a nk L. Nechť, pro spor, posloupnost {a n } není omezená. Potom K n 0 : a n0 > K. Díky monotonii dále platí: n n 0 : a n > K. Zvolme K = L. Potom k n 0 : n k k n 0 : a nk > L, čímž dostáváme spor s omezeností podposloupnosti {a nk }. 37

Po umocnění obou stran nerovnice na k-tou dostáváme: ( + x ) nk ( x ) k nk k a po úpravě: ( + x ) nk ( x ) k nk k Definice 3.36. Funkci inversní k exponenciále exp nazveme logaritmus log. Věta 3.37 (Vlastnosti logaritmu). Funkce log splňuje: a) log : (0, ) R je spojitá rostoucí funkce. b) x, y > 0 : log(xy) = log(x) + log(y). c) x log(x) x =. Důkaz. V důkazech budeme využívat vlastnosti exponenciály dokázané v předchozí větě (Věta 3.35). a) Exponenenciála exp : R (0, ) je rostoucí a spojitá funkce. Podle věty o inversní funkci (Věta 3.34) je tedy i logaritmus jako její inversní funkce spojitá a rostoucí funkce. b) log(x) = A, x = exp(a) a log(y) = B, y = exp(b). Potom: xy = exp(a) exp(b) = exp(a + B) a tedy log(xy) = A + B = log(x) + log(y). c) Definujme funkce pro jejichž ity platí: f(y) = exp(y), g(x) = log(x) y f(y) =, g(x) = y 0 x 03. Potom pro itu složené funkce f(g(x)) v bodě platí: f(g(x)) =. x Zde jsme využili větu o itě složené funkce (Věta 3.2) a její podmínky (P2), tj. že funkce log nenabývá v prstencovém okolí bodu hodnoty 0. Můžeme tedy psát: = x f(g(x)) = x exp(log(x)) log(x) = x x log(x). 3 Víme, že exp(0) = a tedy log() = 0. Dále víme, že logaritmus je spojitá funkce. 38

Definice 3.38. Nechť a > 0 a b R. Pak definujeme obecnou mocninu jako: a b := exp(b log(a)). Je-li navíc b > 0, pak definujeme logaritmus při základu b následovně: log b (a) := log(a) log(b). Poznámka 3.39 (Korektnost definice obecné mocniny). Pro x > 0 platí: x n = exp(n log(x)) (nová definice) = exp(log(x n )) (matematickou indukcí) = x n (stará definice) Poznámka 3.40 (Logaritmus při základu 0). Na případu b = 0 ukážeme, že b log b (x) = x, a tedy že definice logaritmu při základu b je korektní: 0 log 0 (x) = 0 log(x) log(0) Poznámka 3.4 (Odmocnina jako obecná mocnina). = (e log(0) ) log(x) log(0) = e log(x) = x. n exp ( x = n log(x)) x > 0, 0 x = 0. 3.4.2 Goniometrické funkce Věta 3.42. Existuje právě jedna funkce sin : R R a právě jedna funkce cos : R R splňující: a) x, y R : sin(x + y) = sin x cos y + cos x sin y cos(x + y) = cos x cos y sin x sin y cos( x) = cos x, sin( x) = sin x, b) π > 0 tak, že sin je rostoucí na [0, π 2 ] a sin( π 2 ) =, c) sin x x 0 x =. Poznámka 3.43 (Další vlastnosti goniometrických funkcí). Ze základních vlastností goniometrických funkcí uvedených v předchozí větě lze odvodit jejich další vlastnosti: periodicita, intervaly monotónnosti, ostatní součtové vzorce, atd. V následujícím textu budeme předpokládat, že tyto vlastnosti známe ze střední školy, a dokazovat je nebudeme. 39

Poznámka 3.44. Dokažme tuto itu: cos x. x 0 x 2 Nejprve daný výraz v několika krocích upravíme: cos x x 0 x 2 Jelikož cos x + cos x = x 0 x 2 + cos x = x 0 sin 2 ( x = x 0 x 2 x 0 cos 2 x x 2 + cos x = x 0 ) sin x 2 = x sin 2 x x 2 + cos x. a kosinus je spojitá funkce (jak dokážeme později), můžeme využít věty o aritmetice it (Věta 3.6) a psát: cos x x 0 x 2 sin 2 ( x = x 0 x 2 + cos x = x 0 ) sin x 2 x x 0 + cos x = 2. Definice 3.45. Pro x R\{ π +kπ, k Z} a y R\{kπ, k Z} definujeme funkce tangens 2 a kotangens předpisem: tan x = sin x cos y a cotg y = cos x sin y. Věta 3.46 (spojitost sinu a kosinu). Funkce sin, cos, tan a cotg jsou spojité na svém definičním oboru. Důkaz. Začněme sinem. Nechť a R. Potom: (sin x sin a) = x a ( x a 2 sin x a 2 = 2 sin ( ) x a 2 x a x a } 2 {{ } = 0. ) cos x a 2 }{{} 0 ( ) x a 2 ( ) x a cos 2 }{{} (goniometrický vzorec) (viz níže) Ve druhém kroku jsme využili věty o itě složené funkce (Věta 3.2) pro: f(y) = sin y y a g(x) = x a 2 a to za podmínky (P2). Nyní dokážeme spojitost pro kosinus. Pokud do vzorce: sin(x + y) = sin x cos y + cos x sin y 40

dosadíme y = π, získáme následující vztah mezi sinem a kosinem: 2 cos x = sin(x + π 2 ). Dle věty o itě složené funkce (Věta 3.2) je tedy kosinus spojitý, neboť jak sinus, tak x x + π jsou spojité funkce. 2 Dle věty o aritmetice it funkcí (Věta 3.6) (ita podílu) jsou i tan a cotg spojité funkce. Definice 3.47. Nechť sin x = sin x pro x [ π 2, π 2 ], cos x = cos x pro x [0, π], tan x = tan x pro x ( π 2, π 2 ) a cotg x = cotg x pro x (0, π). Definujeme arcsin (resp. arccos, arctan, arccotg) jako inversní funkce k funkci sin (resp. cos, tan, arctan ). Poznámka 3.48. arcsin(sin x) = x pouze pro x [ π 2, π 2 ]. Poznámka 3.49 (Příklady it). arcsin x x 0. x Definujme následující dvě funkce: sin y y 0 y f(y) =, g(x) = arcsin x. y = 0 Potom ita jejich složené funkce v bodě 0 se rovná převrácené hodnotě hledané ity: sin(arcsin x) f(g(x)) = x 0 x 0 arcsin x x = x 0 arcsin x Víme dále, že: g(x) = 0 a f(y) =. x 0 x 0 Za použití věty o itě složené funkce (Věta 3.2) a podmínky (P) (funkce f je v bodě 0 spojitá): f(g(x)) =, x 0 a tedy: arcsin x =. x 0 x n n sin( n ). n sin( n n ) = sin( ) n n n 4 =.

3.5 Derivace funkce Definice 3.50. Nechť f je reálná funkce a a R. Pak derivací f v bodě a budeme rozumět: derivací f v bodě a zprava budeme rozumět: f f(a + h) f(a) (a) = ; h 0 h f +(a) = h 0+ derivací f v bodě a zleva budeme rozumět: f(a + h) f(a) ; h Poznámka 3.5. f (a) = h 0 f (a) = h 0 f(a + h) f(a) h f(a + h) f(a). h f(x) f(a) =. x a x a Poznámka 3.52 (Příklady it). f(x) = x n, a R, n N. f(x) = sgn(x). f (a + h) n a n (a) = h 0 ( h a n + n = h 0 ( ) n = a n = na n. ) a n h + ( n 2 Vyjádřeme nejdříve jednostranné ity: f +(0) f(h) f(0) = h 0+ h f (0) f(h) f(0) = h 0 h ) a n 2 h 2 + + ( ) n h n a n h 0 = h 0+ h 0 = h 0 h n = +, = +. Díky vztahu ity a jednostranných it (Pozorování 3.9) můžeme psát: sgn 0 = +. 42

f(x) = x. f +(0) f(h) f(0) = h 0+ h f (0) f(h) f(0) = h 0 h Derivace f(x) v bodě 0 neexistuje. f(x) = exp x. Vyjádřeme derivaci funkce exp v bodě a R : exp(a + h) exp a h 0 h = h 0 exp a exp h exp a h h = h 0+ h =, h = h 0 h = exp a (exp h ) =. h 0 h exp h Jelikož h 0 exp a = exp a a h 0 =, získáme za použití věty o aritmetice h it funkcí (Věta 3.6) následující rovnost: f(x) = log x. f (a) = h 0 exp a h 0 exp h h log(a + h) log(a) h 0 h log = h 0 = exp a. ( ) + h h a a a = a. Věta 3.53 (vztah derivace a spojitosti). Nechť má funkce f v bodě a R vlastní derivaci f (a) R. Pak je f v bodě a spojitá. Důkaz. Chceme dokázat, že x a (f(x) f(a)) = 0 : (f(x) f(a)) = x a x a f(x) f(a) f(x) f(a) (x a) = x a x a x a (x a) = f (a) 0 = 0. x a Poznámka 3.54. Podobná věta platí i pro jednostranné ity. Platí-li f +(a) R, je funkce f spojitá v bodě a zprava. Věta 3.55. Nechť f (a) a g (a) existují. Potom: i. (f + g) (a) = f (a) + g (a), pokud má pravá strana smysl. ii. Nechť je g spojitá v a, pak (fg) (a) = f (a)g(a)+f(a)g (a), pokud má pravá strana smysl. iii. Nechť je g spojitá v a a g(a) 0, pak ( ) f g (a) = f (a)g(a) f(a)g (a), pokud má pravá strana g 2 (a) smysl. Důkaz. 43

i. (f + g) (a) = f(a + h) + g(a + h) f(a) g(a) = h 0 h f(a + h) f(a) g(a + h) g(a) = + h 0 h h 0 h = f (a) + g (a). ii. (fg) (a) = f(a + h)g(a + h) f(a)g(a) = h 0 h f(a + h)g(a + h) f(a)g(a + h) + f(a)g(a + h) f(a)g(a) = h 0 f(a + h) f(a) = h 0 h = f (a)g(a) f(a)g (a). h g(a + h) + f(a) h 0 h 0 h 0 g(a + h) g(a) h Spojitosti funkce g jsme využili při vyjádření ity: h 0 g(a + h) = g(a). iii. Funkce g spojitá v a a g(a) 0, tedy δ > 0 h U(a, δ) : g(a + h) 0. Dále: ( ) f (a) = g f(a+h) = f(a) g(a+h) g(a) h 0 h f(a + h)g(a) f(a)g(a) + f(a)g(a) f(a)g(a + h) = h 0 g(a + h)g(a)h ( ) f(a + h) f(a) g(a + h) g(a) = g(a) + ( f(a)) h 0 g(a + h)g(a) h 0 h 0 h h 0 h 0 h = g 2 (a) (g(a)f (a) f(a)g (a)). Věta 3.56 (derivace složené funkce). Nechť f má derivaci v bodě y 0, g má derivaci v x 0 a je v x 0 spojitá a y 0 = g(x 0 ). Pak: je-li výraz vpravo definován. (f g) (x 0 ) = f (y 0 )g (x 0 ) = f (g(x 0 ))g (x 0 ), 44

Příklad 3.57. Určete derivaci funkce e x2 v bodě a. Funkce e x2 je složená funkce f(g(x)) : f(y) = e y, g(x) = x 2, f (y) = e y, g (x) = 2x Potom: (e x2 ) = e x2 2x. Důkaz. Potřebujeme upravit následující itu: h 0 f(g(x + h)) f(g(x)). h Z existence derivace funkce f v bodě y 0 víme, že tato funkce je definována na jistém okolí toho bodu: U(y 0, ε). Funkce g je spojitá v x 0 a g(x 0 ) = y 0. Z toho vyplývá, že δ > 0 : g(u(x 0, δ)) U(y 0, ε) a tedy že složená funkce f g je definovaná na U(x 0, δ). Zabývejme se nejprve případem, kdy derivace funkce f v bodě y 0 je vlastní, tj. f (y 0 ) R. Definujme následující funkci: f(y) f(y 0 ) y y F (y) := 0 y y 0 f (y 0 ) y = y 0. Funkce F je spojitá v bodě y 0. Díky spojitosti funkce g platí x x0 g(x) = g(x 0 ) = y 0. Dle věty o itě složené funkce (Věta 3.2), podmínka (P) platí: f (y 0 ) = y y0 F (y) = x x0 F (g(x)) f(g(x)) f(g(x 0 )) = x x0 x x 0 f(g(x)) f(g(x 0 )) = g(x) g(x 0) x x0 g(x) g(x 0 ) x x 0 = x x0 F (g(x)) g(x) g(x 0) x x 0 = x x0 F (g(x)) x x0 g(x) g(x 0 ) x x 0 = f (y 0 )g (x 0 ). Uvažujme nyní případ, kdy derivace funkce f v bodě y 0 je nevlastní, tj. f (y 0 ) = ±. V tomto případě musí platit, že g (x 0 ) 0, jinak by nebyl výraz f (y 0 )g (x 0 ) definován. Z toho vyplývá, že: δ > 0 x P (x 0, δ) : g(x) g(x 0) x x 0 0, 45