9..3 Kombinace s opaováním Předpolady: 907. 908, 9, 92 Pedagogicá poznáma: Tato hodina zabere opět minimálně 70 minut. Asi ji čeá rozšíření na dvě hodiny. Netradiční začáte. Nemáme žádné přílady, ale rovnou definici. Definice ombinace bez opaování -členná ombinace z n prvů je neuspořádaná -tice sestavená z těchto prvů ta, že aždý se v ní vysytuje nejvýše jednou. Př. : Sestav definici -členné ombinace s opaováním z n prvů. -členná ombinace z n prvů je neuspořádaná -tice sestavená z těchto prvů ta, že aždý se v ní vysytuje nejvýše -rát. Příladem vytváření taových ombinací je napřílad známý přílad na výpočet počtu částe, teré je možné zaplatit pomocí tří jedno, dvou a pětiorunových mincí. Př. 2: Vypiš všechny částy, teré je možné zaplatit třemi mincemi, poud máš dispozici tři jednoorunové, tři dvojorunové a tři pětiorunové mince. Budeme vypisovat jednotlivé trojice mincí a jejich celovou hodnotu:,, 3,, 2 4,,5 7,2,2 5, 2,5 8,5,5 2,2,2 6 2, 2,5 9 2,5,5,5, 5 5 celem 0 možných částe { 3;4;5;6;7;8;9;;2;5 } V předchozím příladu jsme vytvářeli supiny, ve terých nezáleželo na pořadí (šlo pouze o to, že ve supině máme dvě oruny a jednu dvojorunu. Ne o to, terou minci jsme vybrali jao první), jednotlivé prvy se mohly opaovat vytvářeli jsme tříčlenné ombinace ze tří prvů s opaováním. Náš přístup nebyl příliš ombinatoricý. Všechny možnosti jsme nejdříve vypsali a pa je spočítali (dosud jsme to vždycy dělali obráceně). Taový postup nepůjde apliovat u ombinací z většího počtu prvů. musíme vymyslet postup, terý umožňuje určit počet ombinací s opaováním podobně jao jsme to udělali v jiných případech Tri: ombinace s opaováním nahradíme permutacemi s opaováním tato: tři prvy, ze terých sestavujeme naše ombinace, budeme dávat do tří přihráde, podle toho ve teré přihrádce se prve nachází znamená buď 2 nebo 5. Konrétně to vypadá tato:,,,,2,,5,2,2,2,5,5,5
2,2,2 5,5,5 2,2,5 2,5,5 aždé ombinaci s opaováním odpovídá jeden obráze s olečy a přihrádami a naopa obrázu i ombinací je stejně Koli obrázů můžeme sestavit? Jde o uspořádané pětice ze tří oleče a dvou přepáže 5! 5 4 3 2 permutace s opaováním: P ( 3;2) = = = 5 2 = 0. 3! 2! 3 2 2 Výslede odpovídá počtu ombinací, teré jsme vytvořili. Př. 3: Urči počet pětičlenných ombinací s opaováním ze tří prvů, pomocí předchozího modelu s olečy a přepážami. pětičlenné ombinace pět oleče ze tří prvů tři přihrády dvě přepážy vytváříme permutace s opaováním z pěti oleče a dvou přepáže 7! 2! 5! Poznáma: Je dobré si uvědomit, že pětičlenné ombinace ze tří prvů bez opaování není možné sestavit. Pedagogicá poznáma: Občas se objeví nědo, do si neuvědomí, že sestavujeme ombinace s opaováním a právě vůli fatu z předchozí poznámy považuje předchozí přílad za nesmyslný. Nejčastější chyby: prohození významu a n nerozlišování mezi přihrádami a přepážami a tudíž dosazování větší hodnoty do výsledného zlomu Př. 4: Urči počet tříčlenných ombinací s opaováním z pěti prvů, pomocí modelu s olečy a přepážami. tříčlenné ombinace tři oleča z pěti prvů pět přihráde čtyři přepážy vytváříme permutace s opaováním ze tří oleče a čtyř přepáže 7! 3! 4! Postřeh: Je nutné dávat pozor, na čísla n a, protože při jejich záměně můžeme zísat špatný výslede. Př. 5: Urči počet -členných ombinací s opaováním z n prvů (číslo K ( n) Postupujeme stejně jao s onrétními čísly: -členné ombinace oleče z n prvů n přihráde n přepáže ). 2
vytváříme permutace s opaováním z oleče a n přepáže ( + n ) ( n )!!! Platí: K ( n) P ( ; n ) = = ( n + ) ( n )!!! Všechny výsledy připomínají ombinační čísla. Bylo by hezé míst počet ombinací s opaováním napsaný ve formě ombinačního čísla: ( n + )! ( n + )! n + K ( n) = P ( ; n ) = = =! ( n )!! ( n ) +! Počet K ( n) všech -členných ombinací s opaováním z n prvů je n + K ( n). Pedagogicá poznáma: Existuje značné procento studentů, terým přijde přechod na ombinační číslo zbytečný. Nenutím je. Př. 6: Kolia způsoby je možné naoupit 5 oplatů, poud mají v obchodě dispozici pět druhů oplatů, všechny v dostatečném množství (alespoň 5 usů). Kupujeme 5 oplatů, nehraje roli, terý jsme vybrali jao první, zajímá nás pouze to, oli oplatů, terého druhu budeme mít sestavujeme neuspořádanou 5-tici z pěti prvů s opaováním jde o ombinaci s opaováním 5 + 5 9 vybíráme 5 prvů z 5 K 5 ( 5) 5 5 Př. 7: Urči olia způsoby je možné rozdat mariášové arty z plného balíču: a) pro hráče na prší (při hře rozlišujeme ja barvu, ta hodnotu) b) pro hráče na sedmu (při hře rozlišujeme pouze hodnoty aret, jejich barva nehraje roli) a) pro hráče na prší (při hře rozlišujeme ja barvu, ta hodnotu) vybíráme 4 arty ze 32 (žádné dvě arty nejsou stejné při výběru se nemůžeme opaovat), nezáleží na pořadí sestavujeme čtyřčlenné ombinace ze 32 bez opaování 32 počet : K4 ( 32) b) pro hráče na sedmu (při hře rozlišujeme pouze hodnoty aret, jejich barva nehraje roli) vybíráme z osmi různých aret (osm různých hodnot) a aždou hodnotu máme dispozici čtyřirát (při výběru se můžeme opaovat), nezáleží na pořadí sestavujeme čtyřčlenné ombinace z 8 s opaováním počet : K 4 ( 8) 4 Pedagogicá poznáma: Většina studentů se nachytá a neuvědomí si, že v bodě a) se jedná o ombinace bez opaování, protože není možné rozdat napřílad dvě zelená esa. 3
Př. 8: Koli trojic mohou dát počty o na čtyřech nerozlišitelných, naráz hozených hracích ostách na člověče nezlob se? osty jsou nerozlišitelné a házíme je naráz nemůžeme říct, terá z oste je první, nerozlišujeme, oli na teré ostce padlo, pouze olirát máme, olirát 2 vytváříme neuspořádané čtveřice ze šesti čísel sestavujeme čtyřčlenné ombinace z 6 s 9 opaováním počet : K 4 ( 6) 4 Př. 9: V sáču jsou červené, modré a zelené uličy. Kuličy téže barvy jsou nerozlišitelné. Urči olia způsoby je možné vybrat pět uliče (bez rozlišení pořadí, ve terém byly vytaženy) jestliže v sáču je: a) alespoň pět uliče od aždé barvy b) pět červených, čtyři modré a čtyři zelené c) pět červených, pět modrých a tři zelené a) alespoň pět uliče od aždé barvy nerozlišujeme v jaém pořadí jsme táhlí, pouze oli máme červených, modrých a zelených vytváříme neuspořádané pětice ze tří barev sestavujeme pětičlenné ombinace ze tří s 7 opaováním počet : K 5 ( 3) b) pět červených, čtyři modré a čtyři zelené nemůžeme vytáhnout všechny ombinace (pět modrých a pět zelených) musíme tyto dvě ombinace odečíst 7 K 5 ( 3) 2 2 c) pět červených, pět modrých a tři zelené opět nemůžeme vytáhnout všechny ombinace spočteme je a pa je odečteme nejde vytáhnout: pět zelených možnost čtyři zelené a jednu další barvu 2 možnosti (ja si vybrat zbývající barvu) 7 celem : K 5 ( 3) 3 3 Př. 0: Urči olia způsoby je možné rozdat mariášové arty z plného balíču: a) pro 4 hráče na prší (při hře rozlišujeme ja barvu, ta hodnotu) b) pro 4 hráče na sedmu (při hře rozlišujeme pouze hodnoty aret, jejich barva nehraje roli) a) pro 4 hráče na prší (při hře rozlišujeme ja barvu, ta hodnotu) vybíráme postupně 32. hráč: 4 arty ze 32 K4 ( 32) 4
28 2. hráč: 4 arty ze 28 K4 ( 28) 24 3. hráč: 4 arty ze 24 K4 ( 24) 20 4. hráč: 4 arty ze 20 K4 ( 20) 32 28 24 20 možnosti mezi sebou násobíme: celem b) pro 4 hráče na sedmu (při hře rozlišujeme pouze hodnoty aret, jejich barva nehraje roli) řešení tohoto příladu autor učebnice nezná. Na rozdíl od bodu a) nemůžem při vybírání aret pro druhé hráče postupovat podobně jao v bodě a), protože nevíme, ja dopadlo rozdávání pro prvního hráče (všechny čtyři rozdané arty mohly mít stejnou hodnotu pa už vybíráme pouze ze sedmi hodnot atd.. Př. : Petáová: strana 48/cvičení 74 strana 48/cvičení 75 Shrnutí: 5