Z těchto kurzů shrneme poznatky, které budeme potřebovat: výčtem prvků

@00. Základní poznatky Umět řešit rovnice a nerovnice je jedna ze stěžejních úloh středoškolské matematiky. Řešit bez problémů základní rovnice by měl umět každý středoškolák, který získal maturitu (jakoukoli, ne nutně z matematiky). Teoretický základ řešení rovnic a nerovnic je obsažen v kurzech: Výroková logika, Množiny obecně, Číselné množiny. Z těchto kurzů shrneme poznatky, které budeme potřebovat: výčtem prvků ** množina je určena charakteristickou vlastností tj. výrokovou formou Množiny značíme velkými písmeny a podrobnosti zapisujeme do složených závorek (Ω univerzální množina): ** { Ω ; V() } - pravdivostní množina výrokové formy V() ** podmnožina množiny je definována takto: A B <=> Ω : A => B což můžeme zapsat i takto: { Ω; V() } { Ω; W() } <=> Ω : V() => W() Ještě připomeňme definici rovnosti množin: ** rovnost množin A = B <=> A B B A Následující věta shrnuje všechna základní pravidla, pomocí kterých rovnice a nerovnice upravujeme do tvarů lépe řešitelných. Všimněte si, že jde vesměs o implikace a ne o ekvivalence. Věta: Nechť a(), b(), c() jsou názvové formy v R (reálná čísla). Pro každé reálné číslo platí následující implikace: výchozí => následná c() je libovolný platný výraz pro každé R rovnosti (rovnice) a() = b() => a() + c() = b() + c() přičíst k oběma stranám a() - c() = b() - c() odečíst od obou stran a() = b() c() 0 => a()c() = b()c() vynásobit, je-li c() 0, obě strany a()/c() = b()/c() vydělit, je-li c() 0, obě strany a() = b() => a () = b () umocnit obě strany

a() = b() a() > 0 => a() = b() odmocnit obě strany, při a() > 0 nerovnosti (nerovnice) a() < b() => a() ± c() < b() ± c() přičíst/odečíst na obě strany a() < b() c()>0 => a()c() < b()c() vynásobit obě strany bez změny relace c()<0 => a()c() > b()c() vynásobit obě strany a obrátit relaci 0 a() < b() => a () < b () umocnit/odmocnit obě strany jen, je-li a() < b() menší výraz nezáporný Definice: Nechť L() a P() jsou dvě názvové formy v R. Výroková forma L()=P() se nazývá rovnice. Výrokové formy L()<P() L() P() L() P() L()>P() se nazývají nerovnice. Názvová forma L() se nazývá levá strana rovnice (nerovnice), názvová forma P() se nazývá pravá strana rovnice (nerovnice). Definice: Řešit rovnici L()=P() v R znamená určit množinu řešení S = { R ; L()=P() } výčtem nebo intervalem. Řešit rovnici L()=P() v M znamená určit množinu řešení S M = { M ; L()=P() } = S M výčtem nebo intervalem. Poznámka: Definice řešení nerovnosti je táž, jen místo = napíšeme některé z relačních znamének < >. Poznámka: Nejčastěji množinou M bývá množina přirozených čísel (řešte rovnici pro přirozená čísla) nebo množina celých čísel. Někdy jde o množinu kladných reálných čísel. Může jít však teoreticky o jakoukoli číselnou množinu. Poznámka: Máme-li řešit rovnici (nerovnici) v nějaké podmnožině M reálných čísel, provedeme to tak, že rovnici vyřešíme v množině reálných čísel, a pak vytvoříme průnik výsledné množiny S a množiny M. pokračování

@00 Příklad: Řešte v R rovnici Řešení: rozbor úlohy R : jestliže celou rovnici umocníme na druhou - = ( + ) na levou stranu použijeme známý vzorec -=++ od celé rovnice odečteme - = + od celé rovnice odečteme -4 = celou rovnici vydělíme = - pak - = je to jen kandidát na řešení rovnice, protože postupné úpravy jsou logicky pouze implikace S { R; } { R; } { } Patří - do množiny S nebo nepatří? ) zkouška: L( P( ) ) ( ) ( ) 4 L( ) P( ) S To znamená, že množina řešení je prázdná, neboť jsme měli jediného kandidáta a ten zklamal, jak ukázala zkouška. S = Ø VÝSTRAHA: Bohužel, stává se, že studenti, kteří nepochopili logickou podstatu řešení rovnic provádějí zkoušku tak, že dosadí do původní rovnice a upravují obě strany vlastně postupem, který nazýváme rozbor. Toto je špatný postup! -> ( L( ) 4 ) ( P( ) ) <- Toto je špatný postup! A protože na konci jim vyjde pravdivý výrok, pokládají to za ověření správnosti, že zkouška vyšla, tedy je řešením (v našem případě). Prosím, takto zkoušku nikdy neprovádějte. Je to logicky špatně a může vás to dovést k chybám.

Následující příklad je logicky jednodušší. Vyřešte jej a vysvětlete proč je logicky jednodušší. Úkol: Řešte v R rovnici = +. výsledek

@005 Bohužel. Někde jste udělali chybu. znovu prostudujte

@007 Bohužel. Někde jste udělali chybu. znovu prostudujte

@009 NEROVNICE Řešení nerovnic probíhá stejně. Zkouška se musí převážně provádět obrácením analýzy. Kromě ostražitého sledování nul při dělení a nezáporných čísel při odmocňování jako u rovnic musíme být ostražití i na nezápornost při umocňování a dávat si pozor na změnu znaménka nerovnosti při násobení záporným číslem. Příklad: Řešte nerovnici v R 6 Řešení: rozbor úlohy R : jestliže 6 - < + 6 - < + 6 - - < + - < - < pak - < celou nerovnici vynásobíme 6, je to číslo kladné a proto se relační znaménko nezmění naší snahou je konstanty dostat na jednu stranu a členy obsahující na druhou od rovnítka od celé nerovnice odečteme od celé nerovnice odečteme celou nerovnici vydělíme, je to kladné číslo a proto se relační znaménko nezmění > - kandidátem řešení nerovnice je interval (-; + ) (***) S R; { R; } 6 (, ) zkouška: je možná jen obrácením rozboru, protože kandidátů na řešení je nekonečně mnoho R : jestliže - < - < - < + 6 pak 6

tedy (, ) S R; 6 což spolu s (***) znamená rovnost S = (-; + ) pokračování

@0 Řešte v R nerovnici Řešení: číslo se nesmí dostat do jmenovatele rozdělí nám číselnou osu na dva intervaly - + - + R : jestliže pak R : jestliže pak rozbor kandidáti řešení zkouška > 4 > pak (- ; 4) jestliže (- ; ) (- ; 4) = (- ; ) < 4 < pak (4; + ) jestliže (; + ) (4; + ) = (4; + ) se provede obrácením postupu (modrá cesta) naznačeno šipkou řešení sjednocení dílčích řešení (-,) (4,+ ) je řešení celkové Příklad: Řešte v N nerovnici Řešení: Vyřešit zadanou nerovnici v množině přirozených čísel N znamená vyřešit ji v množině reálných čísel R a výsledek podrobit průniku s množinou N. V množině reálných čísel R jsme tuto nerovnici právě vyřešili. Řešením jsou všechna reální čísla z intervalu (- ; ) (4; + ) Řešení v N je tedy ( (- ; ) (4; + ) ) N = {; 5; 6; 7; 8; 9; 0; ;...} Úkol: Řešte v N nerovnici výsledek

@0 Bohužel. Není to zcela tak, jak jste zjistil. Asi jste dělil výrazem (-). Zvažte, kdy je to možné. znovu prostudujte

@00 ROVNICE Příklad: Řešte v R rovnici 6 Řešení: pomocí úprav (přičíst k rovnici, vynásobit rovnici, atd. viz výše) se pokusíme získat takovou rovnici, jejíž řešení dokážeme snadno určit. ) Budeme provádět rozbor úlohy. R : jestliže 6 - = + 6 - = + 6 - - = + - = - = pak - = celou rovnici vynásobíme 6 naší snahou je konstanty dostat na jednu stranu a členy obsahující na druhou od rovnítka od celé rovnice odečteme od celé rovnice odečteme celou rovnici vydělíme = - je to jen kandidát na řešení rovnice, protože postupné úpravy jsou logicky pouze implikace Protože postupné úpravy jsou logicky implikace, je množina řešení původní rovnice podmnožinou množiny řešení výsledné rovnice. S R; { R; } 6 { } Množina řešení S je podmnožinou jednoprvkové množiny obsahující prvek. Jsou tedy jen dvě možnosti a to: - patří do S (- S) nebo nepatří do S (- S). To zjistíme tak, že dosadíme do původní rovnice. Vzpomeňte si, jak se dokazují identity: nutno dosadit do levé strany původní rovnice L() a do pravé strany původní rovnice P() za nalezené číslo -. Tato fáze řešení se nazývá zkouška.

) zkouška L( P( ) ) ( 6 ) 5 6 5 6 L( ) P( ) S Zkouška rozhodla a číslo - je skutečně řešením zadané rovnice. Následující příklad ukáže, že tomu nemusí vždycky tak být. pokračování

@004 Úkol: Řešte v R rovnici = +. Řešení: rozbor úlohy R : jestliže = + od celé rovnice odečteme pak 0 = toto je výrok nepravdivý rovnost neplatí pro řešení nemáme žádného kandidáta a tady množina řešení je prázdná S = Ø S { R; } { R; 0 } Protože podmnožinou prázdné množiny může být pouze prázdná množina je S = Ø. A je to konečné, aniž bychom museli dělat zkoušku. V tom je to logicky jednodušší. Říkáme, že rovnice nemá žádné řešení. Příklad: Řešte v R rovnici Řešení: rozbor úlohy R : jestliže ( ) pak + = + uvědomme si, že levá strana není pro =- definována, nemá smysl; na levou stranu použijeme známý vzorec levou stranu vykrátíme na obou stranách rovnice máme stejný výraz, což znamená, že ať za dosadíme jakékoli reálné číslo, vždycky se bude levá strana L() rovnat pravé straně P(). kandidáti na řešení rovnice jsou všechna reálná čísla, až na, kdy nemá původní rovnice smysl (*) S R; zkouška: Kandidátů na řešení rovnice je nekonečně mnoho a tak provést zkoušku dosazením do levé a pravé strany technicky nedokážeme. Jediná cesta je pokusit se projít úpravami opačným směrem, tj. dokázat obrácenou implikaci. R \ { }

(**) R : jestliže + = + ( ( ) levou stranu vynásobíme vhodně napsanou a to ) POZOR, takto lze napsat pouze pro - proto musíme vyloučit z dalšího postupu pak R \ { } S čitatele levé strany rozepíšeme podle vzorce čímž jsme dosáhli původní rovnice ovšem cestou jsme museli vyloučit - R; Spojíme-li (*) a (**) dostáváme R\{-} S R\{-} a nezbývá než, že platí rovnost množin S = R\{-} = (- ; -) (-; + ) V takovémto případě říkáme, že rovnice má nekonečně mnoho řešení. Poznámka: Právě předvedený příklad ukazuje, že v případě nekonečně mnoha řešení je zkouška možná jen obrácením postupu rozboru. Musíme přitom pečlivě posoudit, jestli lze opravdu jednotlivé kroky udělat, nebo je nutné některá čísla vyloučit ze hry. Jde o případy dělení nulou, nebo odmocňování záporných čísel. U nerovnic ještě musíme dát pozor na změnu nerovnosti při násobení nerovnosti záporným číslem. Poznámka: Všem příkladům jsme se dosud věnovali velmi podrobně včetně komentářů jednotlivých kroků i formální stránce. A to proto, aby si všichni čtenáři řádně uvědomili, co všechno je ve hře. Při běžném řešení (ne)rovnic to nikdo nedělá a nadále to nebudeme dělat ani my. Neznamená to však, že by to v pozadí nezůstalo. Na to nezapomínejte. } Úkol: Řešte rovnici v R 9 rovnice má nekonečně mnoho řešení rovnice má jediné řešení rovnice nemá žádné řešení

@006 Správně. Porovnejte si postup. Rozbor: 9 ( + )( + ) = ( + 9)( + ) + + 44 + 66 = + 9 + 4 + 08 4 = 4 = Zkouška: L() P() 9 9 5 5 5 5 5 => L() = P() => S = {} Řešením rovnice v R je jediné číslo, a to. Poznámka: Dosud jsme značili proměnnou rovnice písmenem. To ale není nutné pravidlo. Úkol: Řešte rovnici v R t 5 t t t rovnice má nekonečně mnoho řešení rovnice má jediné řešení rovnice nemá žádné řešení

@008 Správně. Porovnejte si postup. Rozbor: t 5 t t t (t + 5) - t = (t - ) - (t - ) t + 0 - t = t - 4 - t + 9 0 = 5 Což je nepravdivý výrok, tedy rovnice nemá řešení S = Ø. pokračování

@00 Příklad: Řešte nerovnici v oboru C - (záporných celých čísel) 6 Řešení: Nejprve nerovnici vyřešíme v R. Podle předchozího příkladu je řešením v R interval <-; + ) Řešením v C - je pak průnik řešení v R a množiny C -, tedy <-; + ) C - = {-} Příklad: Řešte v R nerovnici Řešení: rozbor U nerovnice nelze jednoduše vynásobit obě strany výrazem ( - ), protože se nám to rozpadá na dva případy. Buď je ( ) kladné, pak se znaménko nerovnosti nezmění, nebo je ( ) záporné, a pak se znaménko nerovnosti změní. Číslo samo je vyloučeno, neboť po dosazení do levé strany nerovnice by se ve jmenovateli ocitla 0, což je zcela nepřípustné. Rozdělme si číselnou osu na dvě části: vlevo a vpravo od čísla. Ve druhém řádku si označme, v které části je výraz ( ) záporný a kde je kladný. V dalším řádku pak provedeme rozbor zadané nerovnice. Dvojitá čára v tabulce symbolizuje, že je nepřípustná. - + - + R : jestliže R : jestliže pak rozbor kandidáti řešení zkouška 4 pak <4; + ) 4 pak (- ; 4> jestliže (- ; ) <4; + ) = Ø (; + ) (- ; 4> = (; 4> se provede obrácením postupu (modrá cesta) naznačeno šipkou v levé části se neprovádí, protože chybí kandidáti; dílčí řešení je prázdné řešení sjednocení dílčích řešení Ø (; 4> = (; 4> je řešení celkové Úkol: Řešte v R nerovnici

výsledek

@0 Řešte v N nerovnici Řešení: Tuto nerovnici jsme vyřešili v R již dříve. V množině reálných čísel má nerovnice za řešení interval (; 4>. V množině přirozených čísel je pak řešením dvouprvková množina daná průnikem (; 4> N = {; 4} Úkol: Řešte v N rovnici (-) = 4(-) Řešením je množina množina jednoprvková: {5} množina prázdná: Ø množina dvouprvková: {; 5}

@04 Bohužel. Buď neznáte operace s množinami, jmenovitě pak průnik, nebo vám uniká něco podstatného. V prvním případě doporučujeme prostudovat kurz Množiny obecně. V druhém případě prostudujte znovu tento kurz od začátku. znovu prostudujte

@05 Správně. Nejprve rovnici (-) = 4(-) musíme vyřešit v R a pak provést průnik řešení s množinou N. První krok, který se nabízí je dělení výrazem ( ). To ale smíme udělat jen v případě, že to není nula. Rozbor úlohy se tedy dělí na dva případy podmínka rozbor zkouška = 0 rozbor dává jednoho kandidáta = 0 L() = (-) = 0 = 0 řešení = P() = 4(-) = 0 =0 0 závěr celou rovnici můžeme vydělit nenulovým číslem (-) dostáváme jednoho kandidáta řešení (-) = 4(-) - = 4 = 5 L() = P() L(5) = (5-) = 4 = 64 P(5) = 4(5-) = 4.4 = 4.6 = 64 L(5) = P(5) pro oba kandidáty řešení vyšla zkouška a tak jsou řešením v R S = {; 5} V množině přirozených čísel N má pak rovnice řešení {; 5} N = {; 5}, tedy totéž. poznámka: Cílem této lekce bylo ukázat logické a množinové základy řešení rovnic a nerovnic. Jakýkoli postup, kterým se dostáváme od zadané formule rovnice k formulím jednodušším až okamžiku natolik jednoduché formule, že jsme schopni určit kandidáty řešení, je pořád a stále jen rozbor úlohy. Teprve zkouška ať už dosazením nebo obrácením postupu je vlastní důkazní řízení, že kandidáti jsou opravdu řešením. Nikdy na to nezapomínejte. KONEC LEKCE