(. -. lekce) Sylva Potůčková, Dana Stesková, Lubomír Sedláček Gymnázium a Jazyková škola s právem státní jazykové zkoušky Zlín Zlín, 3. října 0
Postup při vyšetřování průběhu funkce. Definiční obor funkce, funkce sudá, lichá, periodická. Výpočet limit v krajních bodech definičního oboru, tzn. v nevlastních bodech a v bodech, kde není funkce definována (jednostranné limity) 3. Průsečíky grafu funkce s osami x, y, znaménka funkčních hodnot 4. Výpočet. derivace, nulové body. derivace a body, ve kterých neexistuje.derivace 5. Lokální extrémy, intervaly monotónnosti 6. Výpočet. derivace, nulové body. derivace a body, ve kterých neexistuje.derivace 7. Inflexní body, intervaly konvexnosti a konkávnosti 8. Asymptoty 9. Graf funkce
Vyšetřete průběhy funkcí: a) f : y = x 3 6x + 9x, b) f : y = x x.
f(x) = x 3 6x + 9x
f(x) = x 3 6x + 9x Funkce f(x) je polynom 3. stupně, tedy funkce spojitá.. D f = R
f(x) = x 3 6x + 9x Funkce x 3 a x jsou liché funkce, x je sudá funkce, tedy funkce f(x) nemůže mít ani jednu z těchto vlastností. Tzn.: x D f \{0} : f( x) f(x), f( x) f(x).. D f = R f( x) = x 3 6x 9x ani lichá ani sudá funkce
f(x) = x 3 6x + 9x Funkce f je definována pro všechna x R, počítáme pouze limity funkce v a +.. D f = R f( x) = x 3 6x 9x ani lichá ani sudá funkce (. lim x 3 6x + 9x ) = x ±
f(x) = x 3 6x + 9x Při výpočtu vytýkáme člen s největší mocninou.. D f = R f( x) = x 3 6x 9x ani lichá ani sudá funkce (. lim x 3 6x + 9x ) = lim x ± x ± x3 ( 6 x + ) 9 x =
f(x) = x 3 6x + 9x Výsledná limita závisí pouze na limitě členu s největší mocninou.. D f = R f( x) = x 3 6x 9x ani lichá ani sudá funkce (. lim x 3 6x + 9x ) = lim x ± x ± x3 ( 6 x + ) 9 x = ±
f(x) = x 3 6x + 9x Řešením rovnice f(x) = 0 hledáme průsečíky grafu funkce f s osou x.. D f = R f( x) = x 3 6x 9x ani lichá ani sudá funkce (. lim x 3 6x + 9x ) = lim x ± x ± x3 ( 6 x + ) 9 x = ± 3. x 3 6x + 9x = 0
f(x) = x 3 6x + 9x Řešením rovnice f(x) = 0 hledáme průsečíky grafu funkce f s osou x.. D f = R f( x) = x 3 6x 9x ani lichá ani sudá funkce (. lim x 3 6x + 9x ) = lim x ± x ± x3 ( 6 x + ) 9 x = ± 3. x 3 6x + 9x = 0 x(x 3) = 0
f(x) = x 3 6x + 9x Řešením rovnice f(x) = 0 hledáme průsečíky grafu funkce f s osou x.. D f = R f( x) = x 3 6x 9x ani lichá ani sudá funkce (. lim x 3 6x + 9x ) = lim x ± x ± x3 ( 6 x + ) 9 x = ± 3. x 3 6x + 9x = 0 x(x 3) = 0 x = 0 x = 3
f(x) = x 3 6x + 9x Dosazením x = 0 do předpisu funkce f získáme její průsečík s osou y.. D f = R f( x) = x 3 6x 9x ani lichá ani sudá funkce (. lim x 3 6x + 9x ) = lim x ± x ± x3 ( 6 x + ) 9 x = ± 3. x 3 6x + 9x = 0 x(x 3) = 0 x = 0 x = 3 x = 0 f(0) = 0
f(x) = x 3 6x + 9x Zakreslíme průsečíky x = 0 a x = 3 na osu x, body nespojitosti funkce f nemá.. D f = R f( x) = x 3 6x 9x ani lichá ani sudá funkce (. lim x 3 6x + 9x ) = lim x ± x ± x3 ( 6 x + ) 9 x = ± 3. x 3 6x + 9x = 0 x(x 3) = 0 x = 0 x = 3 x = 0 f(0) = 0 0 3
f(x) = x 3 6x + 9x Vyznačíme intervaly, na kterých funkce f nabývá kladných hodnot a intervaly, na kterých funkce f nabývá záporných hodnot.. D f = R f( x) = x 3 6x 9x ani lichá ani sudá funkce (. lim x 3 6x + 9x ) = lim x ± x ± x3 ( 6 x + ) 9 x = ± 3. x 3 6x + 9x = 0 x(x 3) = 0 x = 0 x = 3 x = 0 f(0) = 0 0 3
f(x) = x 3 6x + 9x Znaménka funkce spolu s nulovými body určují, jak se funkční hodnoty mění z kladných na záporné nebo naopak.. D f = R f( x) = x 3 6x 9x ani lichá ani sudá funkce (. lim x 3 6x + 9x ) = lim x ± x ± x3 ( 6 x + ) 9 x = ± 3. x 3 6x + 9x = 0 x(x 3) = 0 x = 0 x = 3 x = 0 f(0) = 0 0 3
f(x) = x 3 6x + 9x 0 3 Vypočteme derivaci. 4. f (x) = 3x x + 9
f(x) = x 3 6x + 9x 0 3 Hledáme řešení rovnice f (x) = 0. 4. f (x) = 3x x + 9 f (x) = 0
f(x) = x 3 6x + 9x 0 3 Dosazením za derivaci řešíme kvadratickou rovnici. 4. f (x) = 3x x + 9 f (x) = 0 3x x + 9 = 0
f(x) = x 3 6x + 9x 0 3 Upravíme. 4. f (x) = 3x x + 9 f (x) = 0 3x x + 9 = 0 3(x )(x 3) = 0
f(x) = x 3 6x + 9x 0 3 Rovnice f (x) = 0 má dvě řešení, funkce f má dva stacionární body x =, x = 3. Body, kde derivace neexistuje, nejsou. 4. f (x) = 3x x + 9 f (x) = 0 3x x + 9 = 0 3(x )(x 3) = 0 x = x = 3
f(x) = x 3 6x + 9x 0 3 Nakreslíme osu x a stacionární body. 4. f (x) = 3x x + 9 5. f (x) = 0 3x x + 9 = 0 3(x )(x 3) = 0 x = x = 3 3
f(x) = x 3 6x + 9x 0 3 Dosazením x = 0 zjistíme, že f (0) > 0, a tedy funkce f je rostoucí na intervalu (,. 4. f (x) = 3x x + 9 5. f (x) = 0 3x x + 9 = 0 3(x )(x 3) = 0 x = x = 3 3
f(x) = x 3 6x + 9x 0 3 Dosazením x = zjistíme, že f () < 0, a tedy funkce f je klesající na intervalu, 3. 4. f (x) = 3x x + 9 5. f (x) = 0 3x x + 9 = 0 3(x )(x 3) = 0 x = x = 3 3
f(x) = x 3 6x + 9x 0 3 Zadaná funkce má v bodě x = lokální maximum. Funkční hodnota je f() = 4. 4. f (x) = 3x x + 9 5. f (x) = 0 3x x + 9 = 0 3(x )(x 3) = 0 x = x = 3 MAX 3
f(x) = x 3 6x + 9x 0 3 Dosazením x = 4 zjistíme, že f (4) > 0, a tedy funkce f je rostoucí na intervalu 3, ). 4. f (x) = 3x x + 9 5. f (x) = 0 3x x + 9 = 0 3(x )(x 3) = 0 x = x = 3 MAX 3
f(x) = x 3 6x + 9x 0 3 Zadaná funkce má v bodě x = 3 lokální minimum. Funkční hodnota je f(3) = 0. 4. f (x) = 3x x + 9 5. f (x) = 0 3x x + 9 = 0 3(x )(x 3) = 0 x = x = 3 MAX min 3
f(x) = x 3 6x + 9x MAX min 0 3 3 Vypočteme druhou derivaci. 6. f (x) = 6x
f(x) = x 3 6x + 9x MAX min 0 3 3 Hledáme řešení rovnice f (x) = 0. 6. f (x) = 6x f (x) = 0
f(x) = x 3 6x + 9x MAX min 0 3 3 Dosadíme a zderivujeme. 6. f (x) = 6x f (x) = 0 6x = 0
f(x) = x 3 6x + 9x MAX min 0 3 3 Bod x = je nulový bod. derivace, body, kde neexistuje. derivace nejsou. 6. f (x) = 6x f (x) = 0 6x = 0 x =
f(x) = x 3 6x + 9x MAX min 0 3 3 Na osu x vyneseme bod x =. 6. f (x) = 6x 7. f (x) = 0 6x = 0 x =
f(x) = x 3 6x + 9x MAX min 0 3 3 Dosazením např. x = 0 zjistíme, že f (x) < 0 na intervalu (, ). Tzn., že funkce f je zde konkávní. 6. f (x) = 6x 7. f (x) = 0 6x = 0 x =
f(x) = x 3 6x + 9x MAX min 0 3 3 Dosazením x = 3 zjistíme, že f (x) > 0 na intervalu (, ). Navíc v bodě x = 3 je lok. minimum, tzn., že funkce f musí být konvexní na intervalu (, ). 6. f (x) = 6x 7. f (x) = 0 6x = 0 x =
f(x) = x 3 6x + 9x MAX min 0 3 3 Bod x = je inflexním bodem funkce f, f() =. 6. f (x) = 6x 7. f (x) = 0 6x = 0 x = infl.
f(x) = x 3 6x + 9x MAX min 0 3 3 infl. Určíme asymptotu se směrnicí ke grafu funkce f pro x +. f(x) 8. k = lim x + x
f(x) = x 3 6x + 9x MAX min 0 3 3 infl. Určíme asymptotu se směrnicí ke grafu funkce f pro x +. f(x) ( 8. k = lim x + x = lim x 6x + 9 ) x +
f(x) = x 3 6x + 9x MAX min 0 3 3 infl. Asymptota pro x + neexistuje. f(x) ( 8. k = lim x + x = lim x 6x + 9 ) = + x +
f(x) = x 3 6x + 9x MAX min 0 3 3 infl. Určíme asymptotu se směrnicí ke grafu funkce f pro x. f(x) ( 8. k = lim x + x = lim x 6x + 9 ) = + x + k = f(x) lim x x
f(x) = x 3 6x + 9x MAX min 0 3 3 infl. Určíme asymptotu se směrnicí ke grafu funkce f pro x. f(x) 8. k = lim x + x = lim k = x + f(x) lim x x = lim x ( x 6x + 9 ) = + ( x 6x + 9 )
f(x) = x 3 6x + 9x MAX min 0 3 3 infl. Asymptota pro x neexistuje. f(x) 8. k = lim x + x = lim k = x + f(x) lim x x = lim x ( x 6x + 9 ) = + ( x 6x + 9 ) = +
f(x) = x 3 6x + 9x MAX min 0 3 3 infl. Asymptoty se směrnicí graf nemá. Asymptoty bez směrnice taky neexistují, protože D f = R a funkce f je všude spojitá. f(x) 8. k = lim x + x = lim k = x + f(x) lim x x = lim x ( x 6x + 9 ) = + ( x 6x + 9 ) = + asymptoty se směrnicí ani bez směrnice neexistují
f(x) = x 3 6x + 9x MAX min 0 3 3 infl. Načrtneme graf funkce f. Zakreslíme souřadný systém. y 4 3 0 3 4 x 3 4
f(x) = x 3 6x + 9x MAX min 0 3 3 infl. Vyneseme průsečíky s osami, znaménka funkce rozhodují o tom, jak se funkční hodnoty mění z kladných na záporné nebo naopak. y 4 3 0 3 4 x 3 4
f(x) = x 3 6x + 9x MAX min 0 3 3 infl. Vypočítali jsme limity lim f(x) = ±. Částečně si je můžeme naznačit do grafu. x ± y 4 3 0 3 4 x 3 4
f(x) = x 3 6x + 9x MAX min 0 3 3 infl. Zjistili jsme lokální extrémy. V bodě x = je lokální maximum, jeho hodnota je f() = 4. V bodě x = 3 má funkce lokální minimum, f(3) = 0. y 4 LMAX 3 0 3 4 LMIN x 3 4
f(x) = x 3 6x + 9x MAX min 0 3 3 infl. V bodě x = má funkce f inflexi, f() =. y 4 LMAX 3 IB 0 3 4 LMIN x 3 4
f(x) = x 3 6x + 9x MAX min 0 3 3 infl. Na intervalu (, ) je funkce f rostoucí a konkávní. y 4 LMAX 3 IB 0 3 4 LMIN x 3 4
f(x) = x 3 6x + 9x MAX min 0 3 3 infl. Na intervalu (, ) je funkce f klesající a konkávní. y 4 LMAX 3 IB 0 3 4 LMIN x 3 4
f(x) = x 3 6x + 9x MAX min 0 3 3 infl. Na intervalu (, 3) je funkce f klesající a konvexní. y 4 LMAX 3 IB 0 3 4 LMIN x 3 4
f(x) = x 3 6x + 9x MAX min 0 3 3 infl. Na intervalu (3, ) je funkce f rostoucí a konvexní. 4 y LMAX f 3 IB 0 3 4 LMIN x 3 4
f(x) = x x
f(x) = x x Určujeme definiční obor. Jmenovatel zlomku musí být různý od nuly.. D f = R\{}
f(x) = x x Funkce nemá symetrický definiční obor, proto není ani sudá ani lichá.. D f = R\{} ani lichá ani sudá funkce
f(x) = x x Počítáme limity funkce v a +.. D f = R\{} ani lichá ani sudá funkce x. lim x ± x =
f(x) = x x Při výpočtu vytýkáme člen s největší mocninou z čitatele i jmenovatele.. D f = R\{} ani lichá ani sudá funkce x. lim x ± x = lim x x ± x ( ) = x
f(x) = x x Po vykrácení čitatele se jmenovatelem získáme výsledek. Limita čitatele je + nebo a jmenovatele.. D f = R\{} ani lichá ani sudá funkce x. lim x ± x = lim x ± x x ( x ) = lim x ± x = ± x
f(x) = x x Vypočítáme limity zleva i zprava v bodě nespojitosti x =.. D f = R\{} ani lichá ani sudá funkce. lim x ± lim x ± x x = lim x ± x x = x x ( x ) = lim x ± x x = ±
f(x) = x x Při výpočtu využijeme pravidlo pro výpočet limity součinu.. D f = R\{} ani lichá ani sudá funkce. lim x ± lim x ± x x = lim x ± x x = lim x ± x x x ( x x = ) = lim x ± x x = ±
f(x) = x x Limita funkce x je. O hodnotě limity funkce x rozhodneme např. z jejího grafu.. D f = R\{} ani lichá ani sudá funkce. lim x ± lim x ± x x = lim x ± x x = lim x ± x x ) = lim x ± x ( x x = lim x ± x x x = ± = ±
f(x) = x x Řešením rovnice f(x) = 0 hledáme průsečíky grafu funkce f s osou x.. D f = R\{} ani lichá ani sudá funkce. lim x ± 3. lim x ± x x x = 0 x = lim x ± x x = lim x ± x x ) = lim x ± x ( x x = lim x ± x x x = ± = ±
f(x) = x x Zlomek je roven 0, právě když je čitatel roven 0.. D f = R\{} ani lichá ani sudá funkce. lim x ± 3. lim x ± x x = lim x ± x x = lim x ± x x x = 0 x = 0; x ) = lim x ± x ( x x = lim x ± x x x = ± = ±
f(x) = x x Dosazením x = 0 do předpisu funkce f získáme její průsečík s osou y.. D f = R\{} ani lichá ani sudá funkce. lim x ± 3. lim x ± x x = lim x ± x x = lim x ± x x ) = lim x ± x ( x x = lim x ± x = 0 x = 0; x = 0 f(0) = 0 x x x x = ± = ±
f(x) = x x Zakreslíme průsečík x = 0 s osou x a bod nespojitosti x =.. D f = R\{} ani lichá ani sudá funkce. lim x ± 3. lim x ± x x = lim x ± x x = lim x ± x x ) = lim x ± x ( x x = lim x ± x = 0 x = 0; x = 0 f(0) = 0 x x x x = ± = ± 0
f(x) = x x Vyznačíme intervaly, na kterých funkce f nabývá kladných hodnot a intervaly, na kterých funkce f nabývá záporných hodnot.. D f = R\{} ani lichá ani sudá funkce. lim x ± 3. lim x ± x x = lim x ± x x = lim x ± x x ) = lim x ± x ( x x = lim x ± x = 0 x = 0; x = 0 f(0) = 0 x x x x = ± = ± 0
f(x) = x x 0 Vypočteme derivaci funkce f s využitím pravidla pro derivování podílu funkcí a upravíme. 4. f (x) = x (x ) x (x ) = x x (x )
f(x) = x x 0 Hledáme řešení rovnice f (x) = 0. 4. f (x) = x (x ) x (x ) = x x (x ) f (x) = 0
f(x) = x x 0 Dosadíme a vytkneme x v čitateli. 4. f (x) = x (x ) x (x ) = x x (x ) f (x) = 0 x (x ) (x ) = 0
f(x) = x x 0 Rovnice f (x) = 0 má dvě řešení, funkce f má dva stacionární body x = 0, x =. Derivace funkce f není definována pro x =. 4. f (x) = x (x ) x (x ) = x x (x ) f (x) = 0 x (x ) (x ) = 0 x = 0 x =
f(x) = x x 0 Nakreslíme osu x a stacionární body. Vyznačíme i bod nespojitosti. derivace. 4. f (x) = x (x ) x (x ) = x x (x ) 5. f (x) = 0 x (x ) (x ) = 0 x = 0 x = 0
f(x) = x x 0 Dosazením x = zjistíme, že f ( ) > 0, a tedy funkce f je rostoucí na intervalu (, 0. 4. f (x) = x (x ) x (x ) = x x (x ) 5. f (x) = 0 x (x ) (x ) = 0 x = 0 x = 0
f(x) = x x 0 Dosazením x = zjistíme, že f ( ) < 0, a tedy funkce f je klesající na intervalu 0, ). 4. f (x) = x (x ) x (x ) = x x (x ) 5. f (x) = 0 x (x ) (x ) = 0 x = 0 x = 0
f(x) = x x 0 Zadaná funkce má v bodě x = 0 lokální maximum. Funkční hodnota je f(0) = 0. 4. f (x) = x (x ) x (x ) = x x (x ) 5. f (x) = 0 x (x ) (x ) = 0 x = 0 x = MAX 0
f(x) = x x 0 Dosazením x = 3 zjistíme, že f ( 3 ) < 0, a tedy funkce f je klesající na intervalu (,. 4. f (x) = x (x ) x (x ) = x x (x ) 5. f (x) = 0 x (x ) (x ) = 0 x = 0 x = MAX 0
f(x) = x x 0 Dosazením x = 3 zjistíme, že f (3) > 0, a tedy funkce f je rostoucí na intervalu, ). 4. f (x) = x (x ) x (x ) = x x (x ) 5. f (x) = 0 x (x ) (x ) = 0 x = 0 x = MAX 0
f(x) = x x 0 Zadaná funkce má v bodě x = lokální minimum. Funkční hodnota je f() = 4. 4. f (x) = x (x ) x (x ) = x x (x ) 5. f (x) = 0 x (x ) (x ) = 0 x = 0 x = MAX min 0
f(x) = x MAX min x 0 0 Vypočteme druhou derivaci s využitím pravidla pro derivování podílu funkcí a upravíme. 6. f (x) = ( x x (x ) ) = (x )(x ) (x x) (x ) (x ) 4 = (x ) 3
f(x) = x MAX min x 0 0 Hledáme řešení rovnice f (x) = 0. 6. f (x) = ( x x (x ) ) = (x )(x ) (x x) (x ) (x ) 4 = (x ) 3 f (x) = 0
f(x) = x MAX min x 0 0 Dosadíme. 6. f (x) = ( x x (x ) ) = (x )(x ) (x x) (x ) (x ) 4 = (x ) 3 f (x) = 0 (x ) 3 = 0
f(x) = x MAX min x 0 0 Pro každé x D f je f (x) 0. Nulové body. derivace nemá, bod x = je bod, kde funkce není definována. 6. f (x) = ( x x (x ) ) = (x )(x ) (x x) (x ) (x ) 4 = (x ) 3 f (x) = 0 (x ) 3 = 0 f (x) 0 x R\{}
f(x) = x MAX min x 0 0 Na osu x vyneseme bod x =. Tento bod určuje intervaly (, ), (, + ). 6. f (x) = 7. ( x x (x ) ) = (x )(x ) (x x) (x ) (x ) 4 = (x ) 3 f (x) = 0 (x ) 3 = 0 f (x) 0 x R\{}
f(x) = x MAX min x 0 0 Dosazením např. x = 0 zjistíme, že f (x) < 0 na intervalu (, ). Tzn., že funkce f je zde konkávní. 6. f (x) = 7. ( x x (x ) ) = (x )(x ) (x x) (x ) (x ) 4 = (x ) 3 f (x) = 0 (x ) 3 = 0 f (x) 0 x R\{}
f(x) = x MAX min x 0 0 Dosazením x = zjistíme, že f (x) > 0 na intervalu (, ). Navíc v bodě x = je lok. minimum, tzn., že funkce f musí být konvexní na intervalu (, ). 6. f (x) = 7. ( x x (x ) ) = (x )(x ) (x x) (x ) (x ) 4 = (x ) 3 f (x) = 0 (x ) 3 = 0 f (x) 0 x R\{}
f(x) = x MAX min x 0 0 Bod x = není inflexním bodem funkce f, D f. 6. f (x) = 7. ( x x (x ) ) = (x )(x ) (x x) (x ) (x ) 4 = (x ) 3 f (x) = 0 (x ) 3 = 0 f (x) 0 x R\{} není infl.
f(x) = x MAX min x 0 0 není infl. Určíme asymptoty se směrnicí ke grafu funkce f pro x + i x. Počítáme směrnici asymptoty y = k x + q ke grafu funkce f pro x +. f(x) 8. k = lim x + x
f(x) = x MAX min x 0 0 není infl. Počítáme směrnici k asymptoty y = k x + q ke grafu funkce f pro x +. f(x) x 8. k = lim x + x = lim x + x
f(x) = x MAX min x 0 0 není infl. Směrnice asymptoty pro x + je k =. f(x) x 8. k = lim x + x = lim x + x =
f(x) = x MAX min x 0 0 není infl. Počítáme směrnici k asymptoty y = k x + q ke grafu funkce f pro x. f(x) x 8. k = lim x + x = lim x + x = f(x) k = lim x x
f(x) = x MAX min x 0 0 není infl. Počítáme směrnici k asymptoty y = k x + q ke grafu funkce f pro x. f(x) 8. k = lim x + x = lim x + f(x) k = lim x x = lim x x x = x x
f(x) = x MAX min x 0 0 není infl. Směrnice asymptoty pro x je k =. f(x) 8. k = lim x + x = lim x + f(x) k = lim x x = lim x x x = x x =
f(x) = x MAX min x 0 0 není infl. Počítáme q pro asymptotu y = k x + q. f(x) 8. k = lim x + x = lim x + f(x) k = lim x x = lim x q = lim x + (f(x) k x) x x = x x =
f(x) = x MAX min x 0 0 není infl. Počítáme q pro asymptotu y = k x + q. f(x) 8. k = lim x + x = lim x + f(x) k = lim x x = lim x q = lim x + (f(x) k x) = lim x + x x = x x = [ ] x x x
f(x) = x MAX min x 0 0 není infl. Počítáme q pro asymptotu y = k x + q. f(x) 8. k = lim x + x = lim x + f(x) k = lim x x = lim x q = lim x + (f(x) k x) = lim x + x x = x x = [ ] x x x = lim x + x x =
f(x) = x MAX min x 0 0 není infl. Podobně se vypočítá q pro asymptotu y = k x + q. f(x) 8. k = lim x + x = lim x + f(x) k = lim x x = lim x q = lim x + (f(x) k x) = lim x + q = lim x (f(x) k x) = x x = x x = [ ] x x x = lim x + x x =
f(x) = x MAX min x 0 0 není infl. Existuje jediná asymptota se směrnicí, přímka y = x +. f(x) 8. k = lim x + x = lim x + f(x) k = lim x x = lim x q = lim x + (f(x) k x) = lim x + q = lim x (f(x) k x) = x x = x x = [ ] x x x = lim x + asymptota se směrnicí: y = k x + q = k x + q = x + x x =
f(x) = x MAX min x 0 0 není infl. x Protože lim = ±, má graf funkce f také asymptotu bez směrnice, přímku x =. x ± x f(x) 8. k = lim x + x = lim x + f(x) k = lim x x = lim x q = lim x + (f(x) k x) = lim x + q = lim x (f(x) k x) = x x = x x = [ ] x x x = lim x + asymptota se směrnicí: y = k x + q = k x + q = x + asymptota bez směrnice: x = x x =
f(x) = x MAX min x 0 0 není infl. Načrtneme graf funkce f. Zakreslíme souřadný systém. y 5 4 3 0 3 4 x 3
f(x) = x MAX min x 0 0 není infl. Vyneseme průsečík s osou x, znaménka funkce rozhodují o tom, jak se funkční hodnoty mění z kladných na záporné nebo naopak. y 5 4 3 0 3 4 x 3
f(x) = x MAX min x 0 0 není infl. Vypočítali jsme limity lim f(x) = ±. Částečně si je můžeme naznačit do grafu společně x ± s asymptotou se směrnicí y = x +. y 5 4 3 0 3 4 x 3
f(x) = x MAX min x 0 0 není infl. Vypočítali jsme limity lim f(x) = ±. Částečně si je můžeme naznačit do grafu společně x ± s asymptotou bez směrnice x =. y 5 4 3 0 3 4 x 3
f(x) = x MAX min x 0 0 není infl. Zjistili jsme lokální extrémy. V bodě x = 0 je lokální maximum, jeho hodnota je f(0) = 0. V bodě x = má funkce lokální minimum, f() = 4. Inflexní body funkce f nemá. y 5 4 LMIN 3 LMAX 0 3 4 x 3
f(x) = x MAX min x 0 0 není infl. Na intervalu (, 0) je funkce f rostoucí a konkávní. y 5 4 LMIN 3 LMAX 0 3 4 x 3
f(x) = x MAX min x 0 0 není infl. Na intervalu (0, ) je funkce f klesající a konkávní. y 5 4 LMIN 3 LMAX 0 3 4 x 3
f(x) = x MAX min x 0 0 není infl. Na intervalu (, ) je funkce f klesající a konvexní. y 5 4 LMIN 3 LMAX 0 3 4 x 3
f(x) = x MAX min x 0 0 není infl. Na intervalu (, ) je funkce f rostoucí a konvexní. 5 y f 4 LMIN 3 LMAX 0 3 4 x 3
Úlohy na procvičení Příklad Vyšetřete průběhy funkcí: a) f : y = x 3 x, b) f : y = x 4 6x + 5, c) f : y = x3 x, d) f : y = x 3 (x ) 3.