Fyzikajekolemnás(Polohaajejízměny) Sudijní ex pro řešiele FO a osaní zájemce o fyziku Ivo Volf Miroslava Jarešová Obsah Slovo úvodem 3 1 Popis polohy ělesa 4 1.1 Jednorozměrnýprosor....................... 4 Příklad1 jízdapodálnici.................... 5 Úloha1 jízdaexpresu1..................... 6 Úloha2 jízdaexpresu2..................... 6 1.2 Dvojrozměrnýprosor....................... 6 Příklad2 žebřík.......................... 8 Úloha3 výškabudovy...................... 9 Úloha4 měřenívzdálenosí................... 9 1.3 Kóovanésouřadnicevrovině................... 9 Příklad3 přesnosleeckéhosnímkování............ 10 1.4 Karézskésouřadnice........................ 11 1.5 Doplněk1 sférickésouřadnice.................. 12 Příklad4 Polárka......................... 13 Úloha5 úhlovávýškaslunce.................. 14 1.6 Zeměpisnésouřadnice....................... 14 Příklad5 zeměpisnápoloha................... 15 Úloha6 zeměpisnápoloha Inerne.............. 15 Příklad6 vzdálenosnamapě.................. 15 Úloha7 vzdálenos Inerne.................. 16 1.7 Jakčaszávisínapolozeobjeku?................. 16 Příklad7 časovápásma..................... 17 Úloha8 pásmovýčas....................... 17 Úloha9 leleadlem....................... 17 Příklad8 rychlosčlunu..................... 17 Úloha10 vzdálenosi....................... 17 1.8 Doplněk2 omapách........................ 18 1.9 Doplněk3 GPS.......................... 19
2 Změnypolohyačas 21 2.1 Průměrnárychlos......................... 21 Příklad9 leleadlem...................... 22 Příklad10 cesovánívlakem................... 22 Úloha11 průměrnárychlos1.................. 23 Úloha12 průměrnárychlos2.................. 23 Úloha13 průměrnárychlos3.................. 23 2.2 Jednoduchýmodeljednorozměrnéhopohybu........... 23 Příklad11 jízdamerem..................... 24 Příklad12 elekrickávlakovásouprava............. 25 Úloha14 auomobil....................... 26 Úloha15 leadlo......................... 27 2.3 Několikproblémůorychlosi................... 27 Úloha16 cyklisé......................... 27 Úloha17 nákladnívlak..................... 27 Úloha18 puk........................... 27 Úloha19 spriner......................... 28 Úloha20 spriner rekordman................. 28 Úloha21 rambus........................ 28 2.4 Rovinnýnerovnoměrnýpohyb................... 28 Příklad13 auomobilvzaáčce................. 30 2.5 Skládánípohybů.......................... 31 Příklad14 enisovýmíček.................... 32 Příklad15 hopík......................... 32 Úloha21 enisovýmíček..................... 32 Úloha23 loďky1......................... 32 Úloha24 loďky2......................... 33 Úloha25 pohybměsíce..................... 33 2.6 Grafzávislosidráhynačasearychlospohybu......... 33 Příklad15 vrhmíčku....................... 35 Úloha26 volnýpádmíčkusodporemprosředí........ 36 Výsledky úloh 37 2
Slovo úvodem Když se člověk ve fyzice dozví, že žije ve čyřrozměrném prosoročase, může mí zohonejprverochušok.zkusmesivšakuověublížeobjasni.pokudsezamyslímenadím,jakjeonapř.smapami,můžemeříci,žedorovinnéplochy umíme zabudova rojrozměrný svě. Pokud bychom se na nějakou rovinnou mapu podívali, uvidíme zde barevně znázorněné hory a nížiny, na přesnějších mapách nalezneme aké údaje o nadmořské výšce(např. Sněžka 1602 m), popř. i vrsevnice. Tyo údaje nám nahrazují řeí prosorovou souřadnici. Analogickýmzpůsobemjemožnopopsaakédějevreálnémsvěě.Vběžnémživoě víme,žesenesačídomluvinaschůzceak,žesiřeknemekdesesejdeme;důležiéjeio,kdysesejdeme.informaceosekáníproomusíobsahovaúdaj o poloze(ři souřadnice) a o době sekání(čvrá souřadnice). Míso v prosoru jsme popsali pomocí čyř souřadnic: řemi prosorovými a jednou časovou jinak řečeno provádíme popis v prosoročase. Tao publikace je zaměřena na o, abychom si uvědomili, že pro přesný popis realiy pořebujeme nejprve sanovi údaje o poloze a čase; y se během jevůadějůpochopielněbudouměni.časběžíneusálealzeho zasavi např. jen na foografii. Souřadnice polohy se měni nemusí(ěleso je v klidu) nebo se mění alespoň jedna z nich(nasane pohyb ělesa). Naším úkolem bývá časo předpovída další vývoj pohybu, a ak musíme naléz funkční závislosi, jakzměnysouřadnicpolohyzávisínačase.oomjseseučilivkinemaice; mysepokusímevnašíbrožuřepodívanapohybzrochujinéhopohledu. Brožura, kerou vám předkládáme, je první díl celého cyklu Fyzika je kolemnás.mechanikabuderozpracovánav8brožuráchpodlekapiolvevaší učebnici.důrazvšakklademenaslova kolemnás.tomuodpovídájakvýklad, ak aké zvolené problémy k řešení. Problémy vybíráme sice jednoduché (pro zájemce o fyziku), ale přeso podsaně složiější než školní úlohy na procvičování probraných vzorců. Pamaujme na o, že školská fyzika nejsou na sebe navazující vzorečky, keré semusíe našroi,abysezvládlipísemky.školskáfyzikabysesiceměla opíra o poznaky, ale podsané je především použií ěcho znalosí v praxi, edypřiřešeníproblémů.anaomjezaložennášpřísupkmechanice. Auoři 3
1 Popis polohy ělesa V éo čási se budeme zabýva jen jednoduchými ělesy. Abychom si popis polohy i jejich změn ješě ulehčili, budeme popisova ělesa velmi malých rozměrů, kerá ve fyzice nazýváme hmoné body. Tím bude ěleso zcela jednoduše idenifikováno co nejmenším počem údajů. Z fyzikálního pohledu edy ělesu ponecháme jeho hmonos m; objem, husoa ani var nás nebudou zajíma získáváme idealizovaný objek: hmoný bod. Kpopisupořebujemezná,kdyakdeseenohmonýbodnachází.Proo popis polohy hmoného bodu vzhledem k přímce, na níž se nachází, musí obsahova údaj o vzdálenosi a čase. Popis polohy hmoného bodu v rovině bude určen dvěma souřadnicemi pro polohu a časovým údajem, ad. To znamená, že fyzika popisuje hmoné body a událosi s nimi spojené vždycky v prosoročase. Pro rojrozměrný prosor budeme udáva vždy ři prosorovésouřadniceačasovýúdaj,edyjakjenámjižznámozhodinzeměpisu, pořebujeme k jednoznačnému určení polohy bodu na Zemi zná ři souřadnice: zeměpisnou šířku ϕ, zeměpisnou délku λ, nadmořskou výšku h a časový údaj. K fyzikálnímu popisu mechanických dějů musíme přida např. hmonos m hmonéhobodu,uělesobjemavar,propohybyvblízkosipovrchuzemě íhové zrychleníg, pro záření husou a lak vzduchu aj. K jednoznačnému sanovení událosi nebo děje v prosoročase pořebujeme mí určié výchozí a neměnné údaje. Proo vždy ješě než začneme cokoli popisova musíme vymezi sousavu souřadnic. Aby naše práce byla zajímavější a prakicky použielná, neoddělujeme popis polohy a změnu polohy srikně od sebe. 1.1 Jednorozměrný prosor Havárii na dálnici D1 věšinou idenifikuje policie jednak délkovým údajem, dále pak údajem časovým. Kpopisupolohymísanadálnici sačí jediný údaj. Máme celkem ři možnosi pro sanovení sousavy lineárních souřadnic: a) Počáek zvolíme na začáku dálnice v Praze; poom každé míso na dálnici má jednoznačně kladnou souřadnici x >0(vizobr.2a)). Obr.1MapadálniceD1 4
b)počáekzvolímenazačákudálnicevbrně;každýbodnadálnicimá jednoznačně kladnou souřadnici x > 0(viz obr. 2b)). c)počáekzvolímevmísě MmeziPrahouaBrnem;pakkaždémísomezi MaPrahoumásouřadnici x <0,mísomezi MaBrnemmásouřadnici x >0(vizobr.2c)). V posledním případě lze kladné a záporné souřadnice vyměni, j. mísa mezi MaPrahoumají x >0,mezi MaBrnemmají x <0. a) b) c) x >0 x >0 x <0 x >0 x x P O B P B O P M O B Obr. 2 Volba počáku sousavy souřadnic Zbývá ješě časový údaj. Pro sanovení času na dálnici přijmeme planý sředoevropskýčas,vycházejícízměřeníčasuna15 v.d.,popř.planýlení sředoevropskýčas 1 = +1h. Poom každé událosi na dálnici D1 můžeme přiřadi časoprosorové souřadnice(x;).časovéinervalymeziudálosmi,popsanýmisouřadnicemi(x 1 ; 1 ), (x 2 ; 2 )určímejako = 2 1,vzdálenosimezipolohami x=x 2 x 1. Příklad1 jízdapodálnici Přijízděpodálniciseřidičpřiprůjezdukolemznačky78kmpodívalnahodinky azjisilčasovýúdaj14h28min30s.ponějakédobějízdypřečelúdaje93km, 14h36min00s.Určee,jakouvzdálenosřidičujel,jakýčaspřiomuplynul a jakou průměrnou rychlosí jel. Řešení Ujeávzdálenos: s= x=93km 78km=15km. Uplynulýčas: = =14:36:00h 14:28:30h=7:30min. Průměrnárychlos v p = s =33,3m s 1 =120km h 1. Na principu záznamu polohy hmoného bodu v jednorozměrném prosoru jsou založeny železniční a auobusové jízdní řády. Např. pro rasu Praha Wien a zpě jsme vybrali dvousměrný expres Anonín Dvořák. 5
Tabulka 1 jízdní řád expresu Anonín Dvořák Sanice km EC 71 EC 70 km Praha 0 5:00 23:10 404 Kolín 62 5:41 5:42 22:23 22:24 342 Pardubice 104 6:04 6:05 21:59 22:00 300 ČeskáTřebová 164 6:39 6:40 21:24 21:25 240 Brno 255 7:41 7:43 20:21 20:23 149 Břeclav 314 8:14 8:23 19:33 19:50 90 Wien 410 9:28 18:33 0 Poznámka: Rozdíl ve vzdálenosi je způsoben jízdou po různých rasách v okolí Vídně. Úloha1 jízdaexpresu1 Zjisěe průměrné rychlosi expresu v jednolivých úsecích raě Praha Wien azpě.vkerémúsekujedeexpresnejrychleji?jakáčászudanédobypřipadá najízduajakánazasávky?jakájeprůměrnárychlosexpresunacelérase Praha WienneboWien Praha? Úloha2-jízdaexpresu2 Znázorněe graficky závislos dráhy na čase expresu pro oba směry(pro každý směr zvlášť). Předpokládeje, že expres jede v každém úseku rovnoměrným pohybem průměrnou rychlosí o velikosi, kerou jse určili v úloze 1. Dobu zasávek expresu s výjimkou zasávky v Břeclavi považuje za zanedbaelně malou vzhledem k době jízdy v jednolivých úsecích. 1.2 Dvojrozměrný prosor Velmi časo nám pro orienaci v prosoru posačuje plán, mapa, globus zkráka dvojrozměrné zobrazení. Používají ho savbaři při savbě domu nebo při rekonsrukci inženýrských síí, orienační běžci při závodech, urisé při přepravě na výleu, na mapách hledáme a nacházíme mnoho užiečných informací. Při zobrazení svěa do dvojrozměrného prosoru vycházíme z geomerických úvah. Zvolíme osu x(zpravidla zleva doprava), kerou rozdělíme bodem O(= origo počáek)nadvěpolopřímky+xa x.bodem Ovedemekolmicinaosu x vznikneosa y(směremnahoru+y,směremdolů y). 6
+y x +x O y Obr. 3 Dvojrozměrný prosor Ikdyžoběosyležívéobrožuřeve vodorovné rovině, říkáme zpravidla ose xosavodorovná,ose yosasvislá (obr. 3). Je o pravděpodobně důsledek školní výuky a zobrazování na abuli. Jesliže právě pracujee s počíačemadíváesenamonior,dáe nám za pravdu. +y X[x, y] x +x O y Obr.4Bodvedvojrozměrném prosoru Každý bod X, umísěný v rovinné sousavě souřadnic Oxy je přesně určen co do polohy uspořádanou dvojicí souřadnic[x; y](obr. 4). Předpokládáme-li však, že se s časem může poloha bodu X měni, musíme doda ješě časový údaj. Jednoznačné umísění bodu X je poom dáno řemi souřadnicemi v dvoj rozměrném prosoru, j. můžeme psá X[x, y; ]. Zde je příležios definova mechanický pohyb hmoného bodu: Čas se mění(empusfugi časběžíazasavímehopouzevefoografii),aleobědalší souřadniceseměninemusí(x=kons., y= kons. hmonýbodjevklidu); jesliže se alespoň jedna ze souřadnic polohy mění, jde o mechanický pohyb. +y X[x, y;] B y d x x +x O x A y Obr. 5 Vzdálenos bodu od počáku Zúdajůpolohybodu Xmůžemeurči vzdálenos OX (vzdálenos bodu X od počáku sousavy souřadnic). Zobr.5plyne,žerojúhelníky OAX i OBXjsoupravoúhlé,aproo OX =d x = x 2 + y 2. Obecnějizvolíme-livrovině Oxydvabody A, Bsesouřadnicemi[a 1,a 2 ] a[b 1,b 2 ],poomdokážemesanovi délku +y úsečky B[b 1,b 2 ; 2 ] AB = (b 1 a 1 ) 2 +(b 2 a 2 ) 2. A[a 1,a 2 ; 1 ] a 2 x O +x a 1 b 1 y Obr. 6 Vzdálenos dvou bodů b 2 Musímedádobrýpozornaznaménko u souřadnic; ve výrazu pro délku úsečky musíme určova rozdíl souřadnic. Také zde dokážeme urči průměrnou rychlos pohybu mezibody A, B,ao v p = AB, kde = 2 1. 7
jv prakickém živoě nahrazujeme časo mírně zakřivené plochy rovinou, nemůžeme ir však dospě ke zcela přesným výsledkům. Možná, že by bylo vhodné sledova polohu bodu X[x, y; ] jen na základě jedné veličiny. Spojímeproobod X spočákem O,poom y X nám úsečka OX vymezuje zv. polohový vekor r,kerývdanémčasovémokamžikumásouřadnicepolohy x, y,j.prodanýčasovýokamžik můžeme psár(x, y). Zavedeme-li zv. ϕ x O A jednokové vekoryivesměruosy xajve směru osy y(obr. 7), poom polohový vekor Obr. 7 Polohový vekor r= xi+ yj. Too vyjádření nám později zjednoduší naše vyjadřování změn polohy meodou změn souřadnic polohového vekoru. Mohli bychom vyjí z oho, že rojúhelník OAX je pravoúhlý. Poom můžeme psá x r =cosϕ, y r =sinϕ, r=(rcosϕ)i+(rsinϕ)j, kde r= r = x 2 + y 2 značívelikospolohovéhovekoru. Poznámka Jevšakřebasiuvědomi,ževýšenapsanývzahplaíprourčiýčasový okamžik. Obecně edy můžeme psár() = x()i+ y()j. Příklad2 žebřík Žebříkjeopřenvevzdálenosi1,8modsvislésěnydomuaopíráseoparape oknavevýšce4,8m.určeedélkužebříkuaúhelsklonu. Řešení y B y l Zavedeme sousavu souřadnic dle obr. 8. Žebřík je opřen na vodorovné podložce ve vzdálenosi x = =1,8m,edyvbodě A[1,8m;0],osěnujeopřen vevzdálenosi y = 4,8 m,vbodě B[0;4,8 m]. Délka l žebříku se určí pomocí Pyhagorovy věy, j. α O x Obr. 8 Žebřík A x l= x 2 + y 2 = 1,8 2 +4,8 2 m=5,1m. Úhelsklonu αseurčípomocíg α= y x,zčehož α=69,5. 8
Úloha3 výškabudovy h O l 1 l 2 d a Obr. 9 Měření výšky budovy Výšku h budovy obklopené drobnými savbami nedokázali žáci gymnázia změři, a ak je napadlo jiné řešení pomocí provázku zjisili délky l 1 =42m, l 2 =48madokázaliješězměři vzdálenos a = 12 m,alenejižvzdálenos d (obr.9).sačíyonaměřenéúdajekomu,aby sejiždalaurčivýška hbudovy?pokudano, vypočěe ji. Návod Zvole počáek sousavy souřadnic v nedosupnémbodě O(obr.9). Úloha 4 měření vzdálenosí Na adrese www.mapy.cz najděe možnosi, keré vám Inerne poskyuje: a) sezname se se základní mapou, foomapou a urisickou mapou okolí svého bydlišě, dále aké s mapou okolí své školy, kerou navšěvujee. Pokuse se orienova ve foomapě a využije možnosí, keré dávají funkce GPS a funkce Měření. b) Prohlédněe si určiou lokaliu(např. Václavské náměsí v Praze, okolí Sněžky v Krkonoších, náměsí Svobody v Brně) a sezname se s informacemi, keré můžee získa užiím foomapy. c)podívejesepomocífoomapynaleišěpraha Ruzyňaurčee,jak dlouhé jsou rozleové a přisávací ranveje. 1.3 Kóované souřadnice v rovině V prakickém živoě se leckdy můžeme seka s ím, že bychom pořebovali do dvojrozměrné sousavy vloži další souřadnici. Může o bý časový údaj nebo údajovýšcebodunadrovinou Oxy,kerouvymezujíosysouřadnic x, y,keré obě zvolíme ve vodorovné rovině. V geomerii maemaici vymysleli, jak oo echnickyprovés(obr.10).naprvnípohledbysezdálo,žeřeírozměrsdělený pomocí dodakové informace je něco neobvyklého. Podíváme-li se však do urisické mapy(obr. 11), poom u řady významných bodů najdeme údaj o nadmořské výšce. Dokonce pro lepší předsavivos nacházíme na podrobnější mapě členios erénu doplněnou o zv. vrsevnice(spojnice mís o sejné nadmořské výšce),zpravidlavýškovémrozdílupo5mči10m,aošrafování,vyjadřujícím geomerii povrchu(prudké či pozvolnější soupání). 9
+y x O y 2:00 min 2:30 min 3:00 min +x Obr. 10 Vložení další souřadnice Obr. 11 Turisická mapa Zajímavé je na mapách znázorněných na serverech www.mapy.cz nebo na www.googleearh.com jednak měření vzdálenosí, jednak velmi přesné údaje zjišěné přes GPS, keré obsahují jednak sanovení zeměpisných souřadnic(zeměpisná délka λ, zeměpisná šířka ϕ), ale i nadmořské výšky. Aťjdeokerýkolizpůsobzáznamu,zajímavánaněmjeiskuečnos,žedokážeme do dvojrozměrného prosoru(j. do roviny) znázorni další souřadnice nuné pro přesnější idenifikaci ve čyřrozměrném časoprosoru. Příklad 3 přesnos leeckého snímkování Na serveru www.mapy.cz leecké snímkování se poloha bodu určuje s přesnosína0,001.zjisěe,sjakoupřesnosílzepracovasleeckýmsnímkováním na 50. rovnoběžce a 15. poledníku. Řešení Délka15.poledníkujerovnaasi40008km R p. =6367,5km,délkana1 je111,1km,úhlu1 odpovídádélka1,852km,naúhel1 připadáasi30,9m. Přesnosnaseinyúhlovéveřinyznamenáúdajasi0,3m. =1sopa.Vesměru východ západjepřesnosna50.rovnoběžceasi20mna1veřinu. Určee, s jakou přesnosí je možno pracova s leeckým snímkováním na rovníku R e =6378,2kma40.rovnoběžce. 10
1.4 Karézské souřadnice Podíváme-li se do volného dolního rohu mísnosi(v obýváku, v učebně), můžeme pozorova ři kolmice, jež se sýkají v jednom bodě, zv. počáku zavedené sousavy souřadnic.danémubodu X vdanémčasovém okamžiku přiřadíme ři souřadnice polohy:zbodu X spusímekolmicikrovině Oxy, její délka je zároveň souřadnice z, z= XX p (je-li z >0,jebod Xnadrovinou,pro z <0jebod X podrovinou Oxy). Nyní se nacházíme v rovině Oxy, vnížbudemepopisovapolohubodu X p ; získáme souřadnice x, y. x x O z X[x, y,z;] z X p Obr. 12 Zavedení karézské sousavy souřadnic i kz j z OrX y y x x X p Celkověedymámepropolohubodu Xčyřisouřadnice x, y, z;. Obdobně jako v rovině zavedeme v rojrozměrném prosoru ři jednokové vekoryi, j,kapolohovývekorr(plaí OX = r ). Dle obr. 13 zapíšeme r= xi+ yj+ zk, OX = r = x 2 + y 2 + z 2. Analogicky jako v dvojrozměrném prosoru můžeme pro vzdálenos dvou bodů A[a 1,a 2,a 3 ]ab[b 1,b 2,b 3 ]vrojrozměrném prosoru psá(užiím vlasnosí karézské sousavy souřadnic) Obr. 13 Karézská sousava souřadnic AB = (b 1 a 1 ) 2 +(b 2 a 2 ) 2 +(b 3 a 3 ) 2. Při popisu pohybu poom zjišťujeme, zda při časové proměně došlo či nedošlo ke změně alespoň jedné ze ří souřadnic polohy. y y 11
1.5 Doplněk 1 sférické souřadnice Označme úhel, kerý svírá polohový vekor sosou zjakoúhel ψ,úhelprůměudoroviny Oxysosou xjako ϕ.poommůžeme psá z z X z= XX 0 =r cosψ; OX 0 =r sinψ, x=r sinψ cosϕ, y=r sinψ sinϕ. Obr. 14 Sférické souřadnice Jak poznáme později při analyické geomerii, můžeme urči x x O ϕ ψrx0 x 2 + y 2 + z 2 = r 2 sin 2 ψcos 2 ϕ+r 2 sin 2 ψsin 2 ϕ+r 2 sin 2 ψ= = r 2 sin 2 ψ(cos 2 ϕ+sin 2 ϕ)+r 2 cos 2 ψ= = r 2 sin 2 ψ+ r 2 cos 2 ψ= r 2, neboťcos 2 ϕ+sin 2 ϕ=1(cožplynezpyhagorovyvěy). Vidíme,žeprobod X lzepoužídvoumožnosízápisupolohybodu X v sousavě souřadnic (x,y,z;)nebo(r,ϕ,ψ;). Obě možnosi jsou ekvivalenní, proože můžeme ze znalosi souřadnic r, ϕ, ψurčisouřadnice x, y, zanaopak.souřadnice x, y, znazývámekarézské. Souřadnice r, ϕ, ψ popisují bod na povrchu koule vzhledem k sousavě spojené sesředemkouleanazývámejesférické. S použiím sférických souřadnic souvisí dvě prakické aplikace. Při pozorování oblohy pozorovael na povrchu Země může popsa objeky na obloze pomocí několika měřielných údajů. Nuno poznamena, že asronomové dnes sice umějí docela dobře zjisi vzdálenos řady objeků na obloze, ale v minulosi měli yo možnosi značně omezené, umisťovali všude nebeská ělesa na zv. nebeskou sféru, kerá byla dosaečně daleko a pnula se nad mísem pozorovaele, kerý sál ve sředu éo nebeské sféry. Nebeská sféra se oáčela kolem osy roace, kerá spojovala zv. svěový pól s mísem pozorovaele. Pozorovael vycházel z úvahy, že vodorovná rovina omezuje nebeskou sféru kružnicí, jež se nazývá maemaický horizon(zv. skuečný horizon je čára na obvodu, kerá bere v úvahu reálné vzdálené předměy krajiny). y y 12
Svislice proíná nebeskou sféru v bodě Z Z (zeni = nadhlavník), svislá rovina obsahujícíbody P, Z, P S proínámaemaický P S horizon v bodech N(severní bod obzoru), N E S (jižní bod obzoru) a pomocí průchodu P Slunce ouo rovinou určujeme zv. mísní S poledne, na jehož základě definujeme zv. W mísní čas v daném mísě. Svislá rovina kolmá k éo rovině proíná maemaický Obr. 15 Maemaický horizon horizon v bodech E(východní bod obzoru) a W(západní bod obzoru). Každý objek na nebeské sféře je v daný okamžik charakerizován dvěma údaji, keré pochopíme, budeme-li se díva na oblohu sarým námořním dalekohledem, upevněným oáčivě ve sojanu. Nejprve zaměříme dalekohled na severní bod obzoru a směrem pohybu hodinových ručiček oáčíme dalekohledem kolemsvisléosyakdlouho,až refímesměrnapříslušnýobjek ;enoúhel označíme A(azimu). Poom budeme osu dalekohledu zveda směrem vzhůru, až se osový kříž dalekohledu dokne objeku; úhel směru osy s vodorovnou rovinouoznačíme h(výška).víme,že0 A 360,0 h 90 (prozeni). Kvůli obecnosi musíme zváži, že proipól zeniu je bod N(nadir, podnožník nepodhlavník),jemužodpovídá h= 90.Výškaobjekunanebeskésféře můžedosahovahodno 90 h 90. Prooženebeskásféraroujekolemsvěovéosy P S P,měníseprůběžněsčasem obě souřadnice A, h, a ak asronomové po nějaké době sousavu obzorníkových souřadnic opusili: zajímavé je, že pro dvě zv. sálice se sice souřadnice A 1, A 2, h 1, h 2 mění,alejejichrozdíly A, hzůsávajísálé.vybereme-lisi vhodný referenční bod na obloze, hodí se pro rychlou orienaci. Příklad 4 Polárka Odhadněe úhlovou výšku Polárky nad obzorem. Řešení Vezmeme papír a pomocí úhloměru označíme úhly po 5. Papír přiložíme kolmo na vodorovnou desku(obr. 16) a hledíme přes papír směrem k Polárce. Přiložíme oko k mísu O a špendlíkem propíchneme papírak,žejepřesněmeziokemapolárkou. Přečemeúdaj(asi50 ). O Obr. 16 Princip sexanu 13
Úloha5 úhlovávýškaslunce Zjisěe úhlovou výšku Slunce nad obzorem přesněvpoledne(vlenímobdobíobude asive13hodin).využijekomudélku d sínusvisléyčeodélce h(obr.17)avzahu g α= h d. Do Slunce se nedíveje! h α d Obr. 17 Úhlová výška Slunce 1.6 Zeměpisné souřadnice V hodinách zeměpisu se dozvídáme, že každému mísu na povrchu Země odpovídají určié zeměpisné souřadnice. Jsou jimi zeměpisná šířka ϕ(dosahující0 ϕ 90 s.š.,0 ϕ 90 j.š.),zeměpisnádélka λ(dosahující 0 λ 180 v.d.,0 λ 180 z.d.)asamozřejmězv.nadmořskávýška (k níž zvolíme jakousi základní(nulovou) referenční výšku a objeky nad ouo úrovnímají h >0 MonBlanc4807m,objekypodouoúrovnímají h <0 Mrvémoře 412m). Podívejme se na zeměpisné souřadnice z pohledu fyzikálního. Tvar Země zjednodušíme na ideální kouli, a poom se pokusíme vysvěli vzah zeměpisných a sférických souřadnic. Země má osu roace, kerá proíná povrch Země v bodech P N (severní zeměpisnýpól)ap S (jižnízeměpisnýpól), a prochází sředem Země (obr. 18). Rovinykolmékéoosevymezujínapovrchu Země kružnice, keré se nazývají rovnoběžky, o různých poloměrech. Poloroviny obsahujícíosuroaceadanémíso Mproínají povrch Země v půlkružnicích, keré nazýváme poledníky(meridiány). Ve všech mísech jednoho poledníku dochází ve sejném okamžiku k horní kulminaci Slunce (j. nasává poledne). S λ P N P S M ϕ Obr. 18 Zeměpisné souřadnice Poledník, procházející známou hvězdárnou v Greenwich v Londýně, označímejakonulový.úhel λ,kerýsvírárovinamísníhopoledníkubodu MsrovinoupoledníkuGreenwichského,nazývámezeměpisnádélka.Tadosahuje0 až 14
180 v.d.směremnavýchod,maemaicky 0 ;180 a0 až180 z.d.směrem nazápad,maemaicky 180 ;0. Úhel, kerý svírá spojnice M S daného mísa se sředem ideální koule s rovinourovníku,senazývázeměpisnášířka ϕadosahuje0 až90 s.š.,maemaicky 0 ;90 nasevernípolokoulia0 až90 j.š.,maemaicky 90 ;0 najižní polokouli. V daný okamžik má edy každý objek jednu uspořádanou dvojici (λ;ϕ).problémjevom,žekroměmalýchčlunůnaoceánech(aleiamo nebude plai přesně), má určié míso ješě zv. nadmořskou výšku h. V souvislosi s pohybem objeků po povrchu Země se mohou souřadnice polohy měni s časem a k jednoznačnému vyjádření se musíme vyjadřova časoprosorově. Změny polohových souřadnic nacházíme jednak na mapách, v moderní době nám je aké udávají velmi přesně meody užívající měření GPS. Příklad 5 zeměpisná poloha Podle údajů ze zeměpisného alasu určee nejsevernější, nejjižnější, nejzápadnější a nejvýchodnější bod koninenu Afrika. Řešení DlealasujenejsevernějšímísoBinzar(Bizera) 10 v.d.,39 s.š.,nejjižnější mísocapeagulhas(sřelkovýmys) 20 v.d.,35 j.š.,nejzápadnějšímíso CapVeruDakaru 17 z.d.,15 s.š.,nejvýchodnějšímísotooxin 52 v.d., 12 s.š.. Poznámka V zeměpisné lierauře se uvádí, že nejsevernější bod je mys Rás Ben Sekka (Tunisko) 37 21 s.š.,nejjižnějšíbodjemyscapeagulhas(jar) 34 52 j.š.,nejzápadnějšíbodjemyspoinedesalmadies 17 38z.d.anejvýchodnější mísojemysráshafun 51 23 v.d.. Úloha 6 zeměpisná poloha Inerne Ověře výsledky příkladu 5 pomocí Inerneu na www.googleearh.com. Jak se výsledky liší? Příklad6 vzdálenosnamapě Zjisěe, jak daleko jsou leošní olympijské hry v Pekingu(Beijing) od mísa jejich zrodu v Ahénách. V alasu zjisíe, že se zeměpisná šířka obou mís příliš neliší(ahény ϕ A =38 s.š.,beijing ϕ B =40 s.š.).měřenívalasuproveďe 15
narovnoběžce39,porovnejevýsledkyměřenívzdálenosivalasusvýsledky měření pomocí glóbusu. Řešení Měřením ve školním zeměpisném alasu vychází vzdálenos asi 7 800 km, měřením pomocí glóbusu vychází vzdálenos asi 7 900 km. Úloha 7 vzdálenos Inerne Pokuse se ověři výsledek příkladu 7 měřením na www.googleearh.com. Pokuse se o zdůvodnění případných rozdílů. 1.7 Jak čas závisí na poloze objeku? NašeZeměroujekolemsvéosysdobouroace23h56min04s,j.86164s. Od sarověku víme, že zv. sřední sluneční den, j. sřední časový inerval mezi dvěma po sobě následujícími horními kulminacemi Slunce je však roven 1den=24h=86400s. Budeme-li se pohybova po 50. rovnoběžce, zjisíme, že doba kulminace Slunce(pravépoledne),sebudečasověposunova zadobu24hsezeměoočí ccao360,cožčiníúhlovourychlos15 /h.mísa,jejichžzeměpisnádélkase lišío15,simohouvoličasrozdílnýo1h.takvzniklamyšlenkazv.pásmovéhočasu.zazákladbylvr.1884doporučenčasnanulém Greenwichském poledníku(zv. svěový čas- Universal Time UT nebo Greenwich Mean Time GMT),zvanýněkdyWorldTimeWT. Časová pásma pak využívají převážně časové údaje podle sředního poledníku(0 v.d.,15 v.d.,30 v.d.).zprakickéhodůvoduvšaknesledujíjen zeměpisnou délku, ale i hranice sáů nebo oblasí(např. v Ausrálii se užívají aočasovápásma:wesernausraliagt+8h(113 129 v.d.),souhausraliagt+9h30min(129 141 v.d.),newsouhwalesgt+10h(141 154 ). Měli bychom si zjisi, zda v daných mísech neplaí sezónní změna času (lení či zimní čas). Poznámka: Málokdojiždnesví,ževminulosibylnulýpoledníkposununazápad ak, že procházel zvoleným mísem na osrově Ferro(Kanárské osrovy, dnes Hierros), ale eno údaj najdee ješě na velmi sarých mapách z konce 19. soleí. 16
Příklad7 časovápásma Sanove,jakselišíčasovéúdajevPrazeavSydneyčivSanFrancisku. Řešení Prahaležína14 20 v.d.avziměvníplaízv.sředoevropskýčasgt+1h, Sydneyna151 aplaízv.východoausralskýčasgt+10h,sanfrancisco na122 z.d.aplaízv.pacifickýčasgt-8h.podlezeměpisnýchúdajůje rozdílzeměpisnýchdélekmeziprahouasydney137,j.časovýrozdíl9h,pro SanFranciscojerozdíl137,j.časovýrozdíl9h.Tyoúdajeodpovídají.Pozor musíme dá při zavádění leního dekreového času. Úloha8 pásmovýčas Na www.wikipedia.com si najděe heslo Pásmový čas(zone ime) a prosuduje ho.udělejesipřehledozměnáchpásmovéhočasu.jakmůžee předběhnou čas? Úloha9 leleadlem Přesněve12:00hvyleíeleadlemoprůměrnérychlosi900km h 1 změsa OslodoSPeerburgu.ZpěleíleadlozeSPeerburguv19:00h.Kdydoleíe dospeerburguakdyzpědoosla? Příklad 8 rychlos člunu Chmurné fuurisické předpovědi naznačují, že koncem léa 2015 by mohlo bý kolemseverníhopóluvolnémoře.přesněnamísě0 v.d.a89 s.š.senachází člunsvýzkumníky,keříchějíověři,žeenodenlze zasavičas,j.dosáhnou oho, že se mohou pohybova sejnou relaivní rychlosí jako Slunce(a bude edy sále 12:00 h). Jakou rychlos musejí vyvinou? Řešení Doseverníhopóluzbývá1,j.111km,obvodkružnice,sledující89.rovnoběžku,činí697km,cožznamenázískarychlos29km h 1 =15,7uzlu.Toho lze moorovým člunem dosáhnou. Zbývá vyřeši problém s zv. daováním. Čassezasaví,alenadaovéčářejenunopřičíscelýden.Tohoedydosáhnou nelze. Úloha 10 vzdálenosi Cojedál?BeijingodAhénneboKapskéměsoodSockholmu?Údajeopoloze si najděe v alase nebo na www.googleearh.com. Jak je o s časovým rozdílem? 17
1.8 Doplněk2 omapách... V našem exu jsme se zaím zabývali určováním vzdálenosí použiím map. Přesnos určení vzdálenosi ímo způsobem je však ovlivněna mapou, keroukomupoužijeme,cožjemj.akédánoím,jakýmzpůsobemjemapa vyvořena. Základním problémem, kerý je nuno při vorbě mapy vyřeši, je promínuí polohy bodu na zemském povrchu do roviny mapy. Než se začnou promía polohy jednolivých bodů na zemském povrchu, je řeba vyvoři zv. referenční plochu. Členiý zemský povrch se proo nejprve nahrazuje zv. nulovou hladinovou plochou. Nulové hladinové plochy jsou uzavřené plochy, keré jsouvkaždémboděkolmékíhovésíle.tyonulovéplochypakvyvářejí základní plochu zemského ělesa, keré se nazývá geoid. Jelikož geoid je pro svůj složiý var nevhodný k dalšímu maemaickému zpracování, nahrazuje se roačním elipsoidem, a proože eno zemský elipsoid má jen malé zplošění, nahrazuje se v mnoha případech koulí. Přesně znázorni povrch výše popsaných ploch do roviny není možné, a proo se v praxi používají různé ypy projekcí s ohledem na požadavky, keré namapyklademe.pokudbychomchělizobrazi maléúzemí,cožjenapř. územínašírepubliky,použijemekonformnízobrazení 1 (nezkreslujeúhly,přesné znázornění vzdálenosí a ploch). Too zobrazení se však nehodí pro mapy svěa, o pak nežádoucím způsobem ovlivňuje přesnos určování velkých vzdálenosí na mapě. Zabýva se ím však dále nebudeme(překročilo by o rozsah ohoo exu), ale přeso je nuné brá uo skuečnos v úvahu. Časoseukazujejakovhodnějšípoužívéosiuaciglóbus,aleienmá své přednosi i nedosaky. Mezi velké výhody paří např. vyvoření názorného geomerického modelu krajiny, lepší možnos měření velkých vzdálenosí než na rovinné mapě. Budeme-li však mí pouze plošný glóbus, pak nasává siuace, že se liší velikosi vrsevnic na glóbusu od velikosí vrsevnic na rovinné mapě, což je způsobeno odlišným způsobem promíání vrsevnic na rovinnou mapu a glóbus(eno problém je podrobněji rozebrán např. v[1]). V omo případě je nuno použí rovinnou mapu. Při měření velkých vzdálenosí dnes je velkým pomocníkem Inerne, jak bylo již dříve uvedeno. Sačí oevří prohlížeč googleearh.com, zada do pařičných mís požadované údaje, počíač pak vše vyhodnoí a vypíše výsledek. Prohlížeč googleearh.com poskyuje velmi kvaliní informace díky omu, že napovrchemzeměkroužívevýšce681kmdružicegeoeye1 aobleízemi dvanáckrá za den. Bližší údaje o éo družici je možno naléz na Inerneu, např. na sránkách hp://www.zive.cz/clanky/ Google-nabidne-nejpodrobnejsi -saelini-snimky-svea/sc-3-a-143398/defaul.aspx. 1 Podrobnějemožnonaléznapř.vpublikaci:[1]NOVÁK,V.;MURDYCH,Z.Karografie a opografie. Praha: SPN, 1988. 18
Někeré služby prohlížeče googleearh.com se však neobejdou bez použií GPS,čímžsebudemezabývavnásledujícímdoplňku3. 1.9 Doplněk3 GPS Nazávěréokapiolysiješěněcořeknemeoměřenípolohyajejízměnydnes, neboli o Globálním Polohovém Sysému(GPS). GPS vyvinulo Minisersvo obrany USA. Too zařízení bylo původně vyvinuo pro vojenské účely. První družice sysému GPS byla vypušěna v roce 1978,avšakplněfunkčnísesysémsalvroce1995. GPSseskládáze24družic,kroužícíchokoloZeměvevýšceasi18isíckilomerů. Tyo družice vysílají signály, keré jsou zachyceny přijímači GPS, en jepakvyužívákezjišěnísvépolohynazemi.polohanazemijepozpracování da uvedena pomocí zeměpisné délky, šířky a výšky nad povrchem Země. Princip práce GPS Jak již bylo dříve uvedeno, přijímač GPS vypočíává svou přesnou polohu pomocí měření z družicových rádiových signálů, keré pak dále zpracovává. Sysém pracuje na geomerickém principu, kerý si nejprve popíšeme na příkladu v rovině, pak přejdeme do prosoru. Předsave si, že se nacházíe na nějakém vám neznámém mísě. Pokáe člověka a zepáe se ho, kdesenacházíe.onvámodpoví,ženěkdevevzdálenosi 20 km od Čáslavi. Tao informace není příliš Čáslav Chrudim dosačující, proože geomericky o znamená, že jse někdenakružnici,jejížsředjevčáslaviapoloměr Obr. 38 Dvě kružnice éokružniceje20km.zepáe-liseznovunaoéž dalšíhočlověkaaenvámodpovíobdobně,žejsevevzdálenosi14kmod Chrudimi, můžee již na základě ěcho informací nakresli dvě kružnice, keré sepronouvedvoubodech(obr.38). Nyníužvíme,žepřicházejívúvahudvěmísa,kde bychom se mohli nacháze. Abychom zjisili, keré zěchdvoumísoje,pořebujemeješěřeíinformaci. Když se objevil další člověk, odpověděl na oázku o naší poloze, že se nacházíme 27 km od Havlíčkova Brodu. Sesrojímeedyješěřeíkružnici,aanámjižposkyne přesnou informaci o naší poloze (obr. 39). Díky posupu ří kružnic zjisíme, že se nacházíme v blízkosi Sečské přehrady. 19 Čáslav Havlíčkův Brod Chrudim Obr. 39 Tři kružnice
Na sejném principu pracuje GPS. V omo případě, proože jsme v prosoru, však míso ří kružnic budeme pořebova čyři kulové plochy, jejichž sředy se budou nacháze na čyřech nezávislých družicích. Pak bude ješě řeba zjisi poloměry ěcho kulových ploch. Tedy přijímač GPS musí zjisi pomocí signálů a družic sysému GPS svou přesnou vzdálenos od každé ze čyř družic. Jesliže přijímač GPS obdrží signály od čyř družic, je schopen urči svou polohu v prosoru. Na základě údajů o Zemi pak přijímač vypíše na displeji zeměpisnou délku, šířku a výšku nad povrchem Země. Tím, že si přijímač GPS naměřené údaje uchovává, může vypočía aké akuální(okamžiou) rychlos, průměrnou rychlos a uraženou vzdálenos. Znašichúvahdálevyplývá,žekomu,abypřijímačGPSurčilpolohuobjeku, pořebuje dva údaje: polohu nejméně čyř družic sysému GPS a vzdálenos mezi objekem a každou z ěcho družic. Zjišěnípolohydružicseopíráoskuečnos,žesepohybujíasi18isíckilomerů nad povrchem Země(dále aké uvažujeme, že amosféra v éo výšce nemá vliv). Pak je možno vzdálenos poměrně snadno odhadnou, proože přijímač má v paměi informace o pohybu všech družic v kerémkoli časovém okamžiku. Určiý problém zde ale přece jen nasává: graviační působení Slunce a Měsíce v malé míře rajekorie pohybu družic ovlivňuje. Z ohoo důvodu Minisersvo obrany USA sleduje přesun poloh družic a vysílá případné opravy do všech přijímačů GPS(jako součás signálu vysílaného družicí). Přiměřenívzdálenosisesysémopíráovzah s=v,kde vjerychlos šířenírádiovýchvln, jedobašířenívlnzdružicedopřijímače.zdealenasávádalšíproblém,žerádiovévlnysesicevevakuušířírychlosísvěla c,ale amosféra eno pohyb zpomaluje. Přijímač GPS odhaduje skuečnou rychlos signálu pomocí složiých maemaických modelů zahrnujících v sobě i celou řadu amosférických podmínek. Jako součás svého rádiového signálu vysílají družice i informace o počasí. Kroměměřenírychlosijevšakřebaakézměřičas.Komujeřeba,aby vysílač a přijímač měly synchronizované a přesné hodiny. Každá družice aké k času přidává svůj kód, podle kerého přijímač rozpoznává signály jednolivých družic. Poznámka Ve skuečnosi je o se synchronizací ak, že družice mají nejpřesnější aomové hodiny, zaímco přijímač GPS méně finančně nákladné hodiny křemíkové (z důvodů přijaelné ceny GPS přijímače). Přesnosi aomových hodin pak přijímač dosahuje ak, že měří chybu svého sysému a podle ní upravuje výpočy. Nazávěrjeedymožnoříci,žepřijímačGPSpřisvépráciprovádíznačné množsví výpočů(výpoče přesné polohy každé družice, doba než signál dorazí 20