ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE FAKULTA STAVEBNÍ OBOR GEODÉZIE A KARTOGRAFIE KATEDRA VYŠŠÍ GEODÉZIE název předmětu úloha/zadání název úlohy Kosmická geodézie 1/99 Výpočet zeměpisné šířky z měřených zenitových vzdáleností a časů školní rok semestr skupina zpracoval datum klasifikace 2010/11 2 NG1-90 Jan Dolista 14. 03.
Výpočet zeměpisné šířky z měřených zenitových vzdáleností a časů Zadání: Na stanovisku byly vteřinovým teodolitem měřeny zenitové vzdálenosti hvězdy v obou polohách dalekohledu v registrovaných okamžicích UT. Pro výpočet opravy z astronomické refrakce jsou k dispozici informace o teplotě a tlaku vzduchu. Zjistěte, do kterého souhvězdí zadaná hvězda patří, a jeho schematický zákres uveďte v úloze. Zdánlivé souřadnice zaměřeného objektu vypočtěte pro okamžik měření kvadratickou interpolací z astronomické ročenky. Zeměpisnou šířku stanoviska počítejte pro každou záměru zvlášť; za výslednou hodnotu považujte aritmetický průměr. Číselné zadání 99: Hvězda (FK5): 535 Datum: 6.5.1990 Teplota: 23.9 C Tlak: 870.4 hpa Zeměpisná délka: 0 h 57 m 33.000 s UT zenitová vzdálenost hod min 23 24 14 31 52.12 23 25 14 38 14.66 23 26 14 44 36.95 23 27 14 51 4.77 23 28 345 2 43.33 23 29 344 56 7.37 23 30 344 49 21.42 23 31 344 42 32.95 23 32 344 35 42.25 23 33 344 28 49.43 23 34 344 21 47.46 23 35 344 14 43.11 23 36 15 52 44.41 23 37 15 59 54.81 23 38 16 7 9.19 23 39 16 14 28.40 Vypracování: Veškeré výpočty byly provedeny v programu Octave. 1 Vyhledání hodnot v tabulkách Nejprve byl v astronomických tabulkách vyhledán greenwichský hvězdný čas pro světovou půlnoc daného dne. S 0 = 14 h 54 m 22.189 s Dále pak byla vyhledána hvězda a určeno v kterém souhvězdí se nachází. Hvězda 535 leží v souhvězdí Bootis souhvězdí Pastýře. Jedná se o hvězdu γ, tedy třetí nejjasnější hvězdu tohoto souhvězdí. Na závěr byla vyhledána rektascenze a deklinace pro nejbližší dřívější tabelované datum (D 0 ). Rovněž byly vypsány 1. diference a to vždy jedna zpět a dvě následující k tabelovanému datu.
H D 0 α 0 Δ I 0.5 Δ I +0.5 Δ I +1.5 δ 0 Δ I 0.5 Δ I +0.5 Δ I +1.5 535 6.5.1990 14 h 31 m 43.791 s +0.055 s +0.017 s 0.020 s 38 20 50.86 +2.50 +2.49 +2.43 2 Přibližný hodinový úhel od greenwichského poledníku Pro hvězdu byl určen přibližný hodinový úhel od greenwichského poledníku vztažený ke středu intervalu měření (23 h 32 m ): t gr = S 0 + UT (1 + μ) α 0, kde 1 + μ = 1.0027379093 je změna měřítka mezi hvězdným a slunečním časem. 3 Interpolace v astronomických tabulkách Pro hvězdu byly vyinterpolovány souřadnice α, δ pro daný den a střed intervalu měření. Použit byl Besselův interpolační polynom 2.stupně. Kromě 1.diferencí získaných z tabulek bylo tedy nutné dopočítat 2.diference 0 = I +0.5 I 0.5 +1 = I +1.5 I +0.5 a jejich průměr +0.5 = 1 ( ) 0 + +1. 2 Rektascenze hvězdy v době pozorování je pak dána vztahem: resp. deklinace hvězdy v okamžik pozorování: α = α 0 + n I +0.5 + 1 n(n 1) II +0.5 2 δ = δ 0 + n I +0.5 + 1 n(n 1) II 2 +0.5, kde n = D D 0 + t gr, 10 kde D je datum měření, D 0 datum pro které jsou tabelovány hodnoty, t gr je přibližný hodinový úhel od greenwichského poledníku uvedený ve dnech a 10 dní je krok v astronomických tabulkách. 4 Hodinový úhel v okamžiku měření Pro každý z okamžiků měření zenitové vzdálenosti byl určen hodinový úhel s použitím rektascenze vyinterpolované pro střed intervalu měření: 5 Převod čtení v II. poloze t i = S 0 + UT i (1 + μ) + λ α, Pro měření byl použit stroj s šedesátinným dělením kruhu, tedy: z = 360 o II Pro čtení v I. poloze platí: z = o I
6 Oprava o refrakci Zenitové vzdálenosti byly opraveny o refrakci: ( ) z = z + 60.27 tan z 0.07 tan 3 z b 1048.6 1.0342 1 + 0.00367t Poznámka: Oprava z vlivu refrakce je ve vteřinách zatímco zenitová vzdálenost ve stupních. 7 Určení zeměpisné šířky φ Z nautickeho trojúhelníka platí kosinová věta: 7.1 Zavedení substitucí Do kosínové věty jsou zavedeny substituce: cos z = sin φ sin δ + cos φ cos δ cos t sin δ = m sin M cos δ cos t = m sin M Po umocnění obou výrazů a jejich sečtení lze ze substitucí vyloučit proměnnou M a tedy vyjádřit neznámou m: m = sin 2 δ + cos 2 δ cos 2 t Obdobně lze poměrem obou substitucí vyloučit proměnnou m a získat výraz pro proměnnou M: tan M = tan δ cos t Dosazením substitucí do kosínové věty je získán výraz: Aplikací součtového vzorce je získán výraz: cos z = m sin M sin φ + m cos M cos φ cos z m Následně je pak vyjádřena zeměpisná šířka: = cos(φ M) φ = M + arccos ( ) cos z m Z daného vztahu byla určena zeměpisná šířka pro každou z dvojic měřené zenitové vzdálenosti a hodinového úhlu (závislý na okamžiku měření). Výsledná zeměpisná délka určovaného bodu byla určena aritmetickým průměrem dílčích výsledků.
8 Číselné výsledky Dílčí výsledky: φ 1 = 50 6 34.236 φ 9 = 50 6 09.096 φ 2 = 50 6 39.293 φ 10 = 50 6 04.858 φ 3 = 50 6 37.431 φ 11 = 50 6 07.846 φ 4 = 50 6 36.428 φ 12 = 50 6 08.437 φ 5 = 50 6 07.053 φ 13 = 50 6 37.743 φ 6 = 50 6 03.953 φ 14 = 50 6 36.018 φ 7 = 50 6 08.411 φ 15 = 50 6 34.573 φ 8 = 50 6 10.243 φ 16 = 50 6 34.867 Zeměpisná šířka určovaného bodu: φ = 50 6 21.905 Zeměpisná délka určovaného bodu: λ = 0 h 57 m 33 s 9 Schéma souhvězdí Pastýře zdroj: http://cs.wikipedia.org
Závěr: Z měřených zenitových vzdáleností a okamžiků pozorování byla vypočtena zeměpisná šířka stanoviska pozorování. Souřadnice hvězdy byly určeny kvadratickou interpolací z astronomických tabulek. Takto určené souřadnice jsou vztaženy ke středu intervalu pozorování. Vzhledem k malému pohybu hvězdy (řádově 0.1 s v rektascenzi a jednotky vteřin v deklinaci za 10dní) jsou souřadnice vztažené ke středu intervalu pozorování pro výpočet dostatečně přesné. Měřené zenitové vzdálenosti byly pro výpočet opraveny o refrakci, použit byl vzorec se členem zohledňujícím měření teploty a tlaku v době pozorování. Výsledná zeměpisná šířka je aritmetickým průměrem dílčích výsledků. Z dílčích výsledků je patrný rozdíl mezi měřeními v I. a II. poloze dalekohledu.to je patrně způsobeno indexovou chybou, která je vyloučena zprůměrováním výsledků (měření v I. a II. poloze je stejný počet).výpočty byly provedeny v programu Octave. Zdrojový kód k výpočtům není přílohou technické zprávy (v případě potřeby bude zaslán). V Kralupech nad Vltavou 10.03.2011 Jan Dolista (so-cool@ehm.cz)