UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI PEDAGOGICKÁ FAKULTA Katedra matematiky Bakaláská práce Martin Krbec, DiS. Analytická geometrie kuželoseek Olomouc 2013 vedoucí práce: Mgr. David Nocar, Ph.D.
Prohlášení Prohlašuji, že jsem bakaláskou práci vypracoval samostatn a uvedl veškerou použitou literaturu a zdroje. V Olomouci dne 15. 4. 2013 Martin Krbec, DiS.
Podkování Dkuji Mgr. Davidu Nocarovi, Ph.D. za odborné vedení, cenné rady a zkušenosti, kterými m vedl a motivoval pi zpracování bakaláské práce.
Obsah Úvod... 6 1 Kuželoseky... 7 1.1 Kuželoseky jako ezy na kuželové ploše... 7 2 Typy kuželoseek a jejich popis... 9 2.1 Kružnice... 9 2.1.1 Základní pojmy kružnice... 9 2.1.2 Konstrukce kružnice... 9 2.2 Elipsa... 10 2.2.1 Základní pojmy elipsy... 10 2.2.2 Konstrukce elipsy... 11 2.3 Hyperbola... 13 2.3.1 Základní pojmy hyperboly... 13 2.3.2 Konstrukce hyperboly... 15 2.4 Parabola... 16 2.4.1 Základní pojmy paraboly... 16 2.4.2 Konstrukce paraboly... 17 3 Rovnice kuželoseek... 19 3.1 Kružnice... 19 3.1.1 Odvození stedové rovnice kružnice... 19 3.1.2 Stedová (osová) rovnice kružnice... 19 3.1.3 Obecná rovnice kružnice... 19 3.2 Elipsa... 20 3.2.1 Odvození stedové rovnice elipsy... 20 3.2.2 Stedová (osová) rovnice elipsy... 21 3.2.3 Obecná rovnice elipsy... 21 3.3 Hyperbola... 22 3.3.1 Odvození stedové rovnice hyperboly... 22 3.3.2 Stedová (osová) rovnice hyperboly... 23 3.3.3 Obecná rovnice hyperboly... 23
3.4 Parabola... 24 3.4.1 Odvození rovnice paraboly... 24 3.4.2 Rovnice paraboly... 25 3.4.3 Obecná rovnice paraboly... 26 4 Vyšetování vzájemné polohy kuželoseky a pímky, dvou kuželoseek... 27 4.1 Vzájemná poloha kuželoseky a pímky v rovin... 27 4.2 Rovnice teen ke kuželosekám... 29 4.3 Vzájemná poloha dvou kuželoseek... 29 5 ešené píklady... 30 5.1 Kružnice... 30 5.2 Elipsa... 33 5.3 Hyperbola... 36 5.4 Parabola... 40 5.5 Vzájemná poloha kružnice a pímky... 43 5.6 Vzájemná poloha elipsy a pímky... 45 5.7 Vzájemná poloha hyperboly a pímky... 47 5.8 Vzájemná poloha paraboly a pímky... 49 5.9 Vzájemná poloha dvou kuželoseek... 52 Závr... 55 Seznam literatury... 56 Seznam obrázk... 57 Seznam použitých symbol... 58 Seznam píloh... 59 Anotace
Úvod Studium kuželoseek je dležitou souástí analytické geometrie. Pojem kuželoseky je spolený název pro kružnici, elipsu, hyperbolu a parabolu. S kuželosekami a jejich vlastnostmi se žáci setkávají již na stední škole. Hlavním cílem této bakaláské práce je podat pohled na problematiku kuželoseek. Obsahem je analytický pístup ke studiu kuželoseek v euklidovské rovin. Celá práce je rozdlena na dv ásti, a to na ást teoretickou a na ást praktickou. Teoretická ást je rozdlena do nkolika kapitol. V první kapitole je vysvtleno, co jsou kuželoseky a jak vznikají. V druhá kapitola se zabývá typy kuželoseek, jejich definicí a popisem jejich vlastností. Celé práce se zabývá kuželosekami, jejichž osy jsou rovnobžné s osami kartézské soustavy souadnic. V kapitole je naznaena konstrukce každé kuželoseky. Tetí kapitola se zamuje na rovnice kuželoseek. U každé kuželoseky je provedeno odvození stedové, resp. vrcholové rovnice kuželoseky, napsány všechny tvary tchto rovnic podle polohy kuželoseky a tvary obecných rovnic. tvrtá kapitola je zamena na urování vzájemné polohy kuželoseky a pímky, resp. dvou kuželoseek. Popisuje postup pro urení vzájemné polohy na základ ešení soustavy rovnic. Dále jsou vysvtleny jednotlivé polohy pímky, které mže pímka zaujmout ke kuželosece. Praktická ást má jednu kapitolu, která je tžištm této práce. Tato kapitola obsahuje sadu ešených píklad, které logicky navazují na pedchozí kapitoly. Zde by si ml tená ovit, zda správn pochopil teoretickou ást a dokáže aplikovat teoretické znalosti pi ešení praktických píklad. Pro grafické zpracování textu byl použit software GeoGebra, který je voln stažitelný nebo použitelný jako webová aplikace. Pomocí tohoto programu byly narýsovány obrázky do prvních ty kapitol a bylo naznaeno ešení píklad z páté kapitoly, které je umístno do pílohy. Obrázky by mly sloužit pro snadnjší pochopení teorie. - 6 -
1 Kuželoseky 1.1 Kuželoseky jako ezy na kuželové ploše Definice Kuželoseky jsou rovinné kivky, ve kterých rovina see rotaní kuželovou plochu. Z definice vyplývá, že kuželoseky jsou rovinné kivky a všechny body kuželoseek leží v téže rovin na rozdíl od prostorových kivek (nap. šroubovice), u nichž tomu tak není. Rzné druhy kuželoseek vznikají podle plochy roviny ezu vzhledem ke kulové ploše (obr. 1). elipsa parabola hyperbola Obr. 1: Kuželoseky Pedpokládejme, že rovina ezu není vrcholová rovina. Vrchol. Kuželoseka je kružnicí, je-li rovina ezu rovnobžná s nkterou rovinou kruhového ezu Roviny kolmé k rotaní kuželové ploše ji protínají v kružnicích. Uvedená nesena pejde v nevlastní pímku roviny. Kuželoseka je elipsou, jestliže vrcholová rovina, která je rovnobžná s rovinou ezu ( ), protíná rovinu ídicí kružnice k kuželové plochy v pímce, která je nesenou kružnice. Kuželoseka je parabolou, jestliže vrcholová rovina, která je rovnobžná s rovinou ezu protíná rovinu ídicí kružnice k v pímce t, která je tenou kružnice k. - 7 -
Kuželoseka je hyperbolou, jestliže vrcholová rovina, která je rovnobžná s rovinou ezu, protíná rovinu ídicí kružnice v sen této kružnice. Nyní si oznaíme dva úhly. Úhel svírají povrchové pímky rotaní kuželové plochy s rovinou kolmou k ose rotace a úhel svírá rovinu ezu s rovinou kolmou k ose rotaní plochy. Podle polohy roviny ezu vzhledem ke kuželové ploše mžeme rozlišit rzné druhy kuželoseek: ezem je elipsa, je-li > ; ezem je parabola, je-li = ; ezem je hyperbola, je-li <. Obr. 2: Kuželoseky v osovém ezu kuželové plochy Klasifikaci kuželoseek mžeme provést podle toho, kolik pímek kuželové plochy je proato rovinou ezu. ezem je elipsa nebo kružnice, protíná-li rovina všechny pímky kuželové plochy (obr. 2a). ezem je parabola, protíná-li rovina všechny pímky kuželové plochy krom jediné, s níž je rovnobžná (obr. 2b). ezem je hyperbola, protíná-li rovina všechny pímky kuželové plochy až na dv, s nimiž je rovnobžná (obr. 2c). Klasifikace kuželoseek je schematicky znázornna v osovém ezu kuželové plochy. Je-li rovina ezu vrcholová rovina (, je ezem tzv. složená kuželoseka. - 8 -
2 Typy kuželoseek a jejich popis 2.1 Kružnice 2.1.1 Základní pojmy kružnice Definice Kružnice je množina všech bod v rovin, které mají od daného bodu S (stedu kružnice) stejnou vzdálenost r (polomr kružnice) (obr. 3). Obr. 3: Základní pojmy kružnice Bod se nazývá sted kružnice. Vzdálenost se nazývá polomr a znaí se r. Kružnice je speciálním pípadem elipsy. V tomto pípad ohniska splynou v jeden bod (sted S) a dostaneme kružnici. Pro velikosti poloos platí a velikost excentricity Všechny body roviny je možné charakterizovat na základ jejich polohy vzhledem ke kružnici: a), je vnitní bod kružnice; b), je bod kružnice; c), je vnjší bod kružnice. 2.1.2 Konstrukce kružnice Konstrukce kružnice je velmi jednoduchá a všem dobe známá. Zvolíme si sted kružnice a pomocí kružítka narýsujeme kružnici s polomrem. Znaíme Konstrukci kružnice mžeme využít v bžném život. Pi tvorb kruhového záhonu na zahrad, pi tvorb kružnic a kruhových oblouk na sportovištích, atd. - 9 -
2.2 Elipsa 2.2.1 Základní pojmy elipsy Definice Elipsa je množina všech bod v rovin, které mají od dvou rzných bod konstantní souet vzdáleností rovný, který je vtší než vzdálenost bod. íslo je velikost hlavní poloosy a musí platit (obr. 4). Obr. 4: Základní pojmy elipsy Body! se nazývají ohniska elipsy. Pímka " procházející ohnisky elipsy se nazývá hlavní osa elipsy. Bod je sted elipsy. Pímka "!, která je kolmá k hlavní ose elipsy a prochází stedem elipsy, se nazývá vedlejší osa elipsy. Body #$ se nazývají hlavní vrcholy elipsy a body %& se nazývají vedlejší vrcholy elipsy. Vzdálenost hlavních vrchol elipsy '(!) nazýváme délka hlavní osy elipsy. Vzdálenost hlavních vrchol od stedu elipsy '() se nazývá délka hlavní poloosy elipsy. Stejnou vzdálenost jakou mají hlavní vrcholy elipsy od stedu elipsy, mají vzdálenosti ohnisek elipsy od jejich vedlejších vrchol *++*,,). Vzdálenost vedlejších vrchol elipsy +,!- nazýváme délka vedlejší osy elipsy. Vzdálenost vedlejších vrchol od stedu elipsy +,- se nazývá délka vedlejší poloosy elipsy. Vzdálenost ohniska elipsy od stedu elipsy *. se nazývá excentricita (výstednost) elipsy. Vzdálenost ohnisek * elipsy je rovna *!. a nazývá se ohnisková vzdálenost. - 10 -
Bod / je libovolný bod elipsy a spojnice / a! / nazýváme prvodie bodu. Úhel 0 se nazývá vnitní úhel prvodi. Pravoúhlý trojúhelník %, který nazýváme charakteristickým trojúhelníkem elipsy, vyjaduje vztah mezi délkou hlavní poloosy a, délkou vedlejší poloosy b a excentricitou e. 1 Všechny body roviny je možné charakterizovat na základ jejich polohy vzhledem k elipse: a) 1, je vnitní bod elipsy; b) 1, je bod elipsy; c) 1, je vnjší bod elipsy. 2.2.2 Konstrukce elipsy Jednotlivé body elipsy lze sestrojit pomocí tzv. bodové konstrukce elipsy (obr. 5). Nech jsou dány hlavní vrcholy '( elipsy a její ohniska Budeme hledat body, které mají od ohnisek konstantní souet vzdáleností rovný. Sestrojíme si pomocnou úseku 2, pro kterou platí 2'( Budeme volit libovoln bod 3 2 jenž úseku 2 rozdlí na dv ásti o délkách 32 a 3 Sestrojíme kružnice 32 a 3 Je zejmé, že se kružnice, protínají v bodech elipsy ( 4 5 6). Rznou volbou bodu 3 získáme rzné polomry kružnic a tím i rzné body elipsy. Obr. 5: Bodová konstrukce elipsy - 11 -
Konstrukce sted hyperoskulaních kružnic Pi rýsování v okolí vrchol nahrazujeme elipsu oblouky oskulaních kružnic (obr. 6). Tyto kružnice ze všech kružnic nejlépe nahrazují elipsu, jak se dokazuje v diferenciální geometrii. Ukažme si konstrukci tchto kružnic. Body '+ doplníme na obdélník '+7 a z vrcholu7 spustíme kolmici na úhlopíku '+. Prseík této kolmice s hlavní poloosou dává sted a prseík této kolmice s vedlejší poloosou dává sted Obr. 6: Konstrukce sted hyperoskulaních kružnic Mjme libovolnou kružnici se stedem 89: na hlavní ose elipsy a procházející nap. vrcholem A elipsy. Rovnice této kružnice má tvar ;<9 1= <9. Pro prseík 8;=: kružnice s elipsou o rovnici ; 1 = platí vztah ; < 9;< <9 Kružnice bude v okolí vrcholu ' nejlépe nahrazovat elipsu, když její prseíky ' a s elipsou splynou. Toto nastane v pípad, že má rovnice jeden dvojnásobný koen. Diskriminant je roven nule, když je splnn vztah 9< Pro polomr oskulaní kružnice v hlavních vrcholech elipsy platí Pro polomr oskulaní kružnice ve vedlejších vrcholech platí Pro oskulaní kružnice ve vrcholech elipsy se nkdy používá termín hyperoskulaní kružnice. Termín oskulaní kružnice je pak vyhrazen pro kružnice, které nahrazují elipsu v jejich libovolných bodech. - 12 -
2.3 Hyperbola 2.3.1 Základní pojmy hyperboly Definice Hyperbola je množina všech bod v rovin, které mají od dvou rzných pevn daných bod konstantní kladný rozdíl vzdáleností rovný, který je menší než vzdálenost bod (obr. 7). Obr. 7: Základní pojmy hyperboly Body! se nazývají ohniska hyperboly. Pímka ", která prochází ohnisky hyperboly, se nazývá hlavní osa hyperboly. Bod je sted hyperboly. Pímka "!, která je kolmá k hlavní ose hyperboly a prochází stedem hyperboly, se nazývá vedlejší osa hyperboly. Body #$, které vzniknou jako prseíky hyperboly s hlavní osou, se nazývají vrcholy hyperboly. Vzdálenosti vrchol hyperboly '(!) se íká délka hlavní osy hyperboly. Vzdálenost hlavních vrchol od stedu hyperboly '() se nazývá délka hlavní poloosy hyperboly. Vzdálenost +,b se nazývá délka vedlejší poloosy hyperboly. Vedlejší osa hyperboly neobsahuje žádné body hyperboly, protože rozdíl prvodi vedlejší osy je roven nule. Platí-li, nazývá se hyperbola rovnoosá. Vzdálenost ohniska hyperboly od stedu hyperboly. se nazývá excentricita (délková výstednost) hyperboly. Vzdálenost ohnisek hyperboly je rovna!. a nazývá se ohnisková vzdálenost. - 13 -
Hyperbola není souvislá kivka, skládá se ze dvou navzájem disjunktních ástí, které nazýváme vtve hyperboly. Aby byl dle definice dodržen kladný rozdíl prvodi, platí pro body opaných vtví hyperboly opaný rozdíl prvodi. Bod / je libovolný bod hyperboly a spojnice / a! / nazýváme prvodie bodu. Pro body jedné vtve platí rozdíl < a pro body druhé vtve platí rozdíl <. Charakteristický obdélník hyperboly a v nm charakteristický trojúhelník hyperboly dostáváme z prseík vrcholových teen hyperboly (kolmice na hlavní osu hyperboly v bodech '() s kružnicí se stedem a polomrem > > V charakteristickém trojúhelníku hyperboly platí vztah 1. Z tohoto vztahu mžeme vyvodit další vztahy mezi délkou hlavní poloosy a, délkou vedlejší poloosy b a excentricitou e: pro excentricitu: 1? @ 1 pro délku hlavní poloosy: <? @ < pro délku vedlejší poloosy: <? @ < Krom délkové výstednosti (excentricity) používáme ješt další charakteristiku hyperboly, která se nazývá íselná výstednost. íselnou výstednost znaíme A a vypoítáme ji ze vztahu B C. Hodnota íselné výstednosti je vždy menší než 1, protože D Pro pesnjší urení tvaru hyperboly bývá vhodné sestrojit si asymptoty ) )! Jsou to pímky, které procházejí stedem hyperboly S a souasn procházejí vrcholy charakteristického obdélníka hyperboly. Asymptoty jsou úhlopíky charakteristického obdélníka a s hlavní osou hyperboly svírají úhel E FGHIJKIHLMJNONPIQRSIPMT IPKU V D Všechny body roviny je možné charakterizovat na základ jejich polohy vzhledem k hyperbole: a) <, je vnitní bod hyperboly; b) <, je bod hyperboly; c) <, je vnjší bod hyperboly. - 14 -
2.3.22 Konstrukce hyperboly Jednotlivé body hyperboly mžeme sestrojit následujícím zpsobem pomocí bodové konstrukce hyperboly (obr. 8). Jsou dány hlavní vrcholy A, B hyperboly a její ohniska Zvolme na polopímce opané k polopímce W libovolný bod L. Z ohnisek opišme kruhové oblouky o polomrech 'X (X Tyto vzdálenosti pedstavují velikosti prvodi bod hyperboly, nebo platí 'X<(X'( Prseíky kruhových oblouk nám dávají body Y Z hyperboly. Obr. 8: Bodová konstrukce hyperbolyy Konstrukce asymptot V hlavním vrcholu A vztyíme kolmici. V prseíku této kolmice s kružnicí se stedem a polomrem > > dostaneme bod 7. Bod 7 je jedním vrcholem charakteristického obdélníka a souasn bodem asymptoty. Asymptota je dána body a 7.. Obdobn se provádí konstrukce asymptoty (obr. 9). Obr. 9: Konstrukce asymptot - 15 -
Konstrukce sted hyperoskulaních kružnic Pi konstrukci v okolí vrchol se nahrazuje hyperbola, obdobn jako v pípad elipsy, oblouky oskulaních kružnic. Bodem E, který je jedním vrcholem charakteristického obdélníka a souasn bodem asymptoty, vedeme kolmici k asymptot, která tímto bodem prochází. Prseík této kolmice s hlavní osou dává sted oskulaní kružnice s polomrem ' Obdobn se provede konstrukce stedu druhé oskulaní kružnice. 2.4 Parabola 2.4.1 Základní pojmy paraboly Definice Parabola je množina všech bod v rovin, které mají od pevného bodu a od dané pímky, která tímto bodem neprochází, stejné vzdálenosti (obr. 10). Obr. 10: Základní pojmy paraboly Pevný bod nazýváme ohnisko a znaí se. Danou pímku nazýváme ídicí pímkou a znaíme ji [. Parametrem \ se rozumí vzdálenost ohniska od ídicí pímky. V nkterých uebnicích matematiky se mžeme setkat s pojmem poloparametr. Poloparametr je vzdálenost ídicí pímky od ohniska. Pímka, která je kolmá k ídicí pímce ] a prochází ohniskem je osa " paraboly. Bod ^ se nazývá vrchol. Tento bod leží na ose a plí vzdálenost bodu F od ídicí pímky d. Spojnice / ohniska a bodu a spojnice _/ paty ` kolmice sestrojené z bodu na ídicí pímku ] a bodu ase nazývají prvodie bodua. - 16 -
Parabola dlí rovinu na dv disjunktní ásti. První ást, v níž leží ohnisko F, budeme nazývat vnitní oblast paraboly a druhou ást, která ohnisko F neobsahuje, budeme nazývat vnjší oblast paraboly. Pro prvodie bodu L vnjší oblasti paraboly platí: X3X Pro prvodie bodu L vnitní oblasti paraboly platí: X3X Nech bod M je bodem paraboly. Úhel 03, ve kterém leží prseík osy b a ídicí pímky d, a píslušný vrcholový úhel se nazývají vnjší úhly prvodi bodu M. Vedlejší úhly k tmto vnjším úhlm se nazývají vnitní úhly prvodi bodu M. Všechny body roviny je možné charakterizovat na základ jejich polohy vzhledem k parabole: a) MF < Md, M je vnitní bod paraboly; b) MF = Md, M je bod paraboly; c) MF > Md, M je vnjší bod paraboly. 2.4.2 Konstrukce paraboly Libovolný bod paraboly, která je dána ohniskem F a ídicí pímkou d, sestrojíme pomocí tzv. bodové konstrukce paraboly (obr. 11). Z ohniska F sestrojíme na ídicí pímku d kolmici o, její patu oznaíme D. Sted úseky FD je vrchol V paraboly. Vrchol V leží na ose b a platí pro nj VF = Vd. Další body paraboly sestrojíme tak, že v libovolném bod L otevené polopímky VF vedeme kolmici k pímce b. Dále narýsujeme kružnici c,x Prseíky a kolmice a kružnice c jsou zjevn body paraboly. Obr. 11: Bodová konstrukce paraboly - 17 -
Konstrukce stedu hyperoskulaní kružnice Pi konstrukci v okolí vrcholu nahrazujeme parabolu obloukem oskulaní kružnice. Její sted S snadno sestrojíme, nebo jak se dokazuje v diferenciální geometrii, polomr oskulaní kružnice paraboly v jejím vrcholu je roven parametru p. Naneseme tedy vzdálenost ] na její polopímku VF a dostaneme sted S oskulaní kružnice paraboly. Nech je libovolná kružnice se stedem 89: na ose paraboly o rovnici ;<9 1= 9, která má s parabolou = ; spolený vrchol 8:. Pro prseík 8;=: kružnice s parabolou platí rovnice ; <;<9 Prseík M splyne s vrcholem paraboly v pípad, že tato rovnice má jeden dvojnásobný koen, což nastane práv tehdy, když 9-18 -
3 Rovnice kuželoseek 3.1 Kružnice 3.1.1 Odvození stedové rovnice kružnice V kartézské soustav zvolíme dva rzné body. Sted kružnice se souadnicemi 8de:. Bod M ležící na kružnici se souadnice 8;=: (obr. 12). Vzdálenost tchto dvou bod je rovna polomru kružnice a platí:. Obr. 12: Odvození stedové rovnice kružnice Pomocí Pythagorovy vty odvodíme stedovou rovnici kružnice ;<d 1=<e 3.1.2 Stedová (osová) rovnice kružnice f 1g G ;<d 1=<e pro 8: pro 8de: 3.1.3 Obecná rovnice kružnice Pomocí úprav stedové rovnice kružnice dostaneme obecnou rovnici kružnice. ; <;d1d 1= <e=1e ; 1= <d;<e=1d 1e < <d;h <e=x d 1e < ; 1= 1;1h=1X kde 1h <ix - 19 -
3.2 Elipsa 3.2.1 Odvození stedové rovnice elipsy Zvolíme kartézskou soustavu souadnic s poátkem ve stedu elipsy S a souadnou osou x v hlavní ose elipsy AB a souadnou osou y ve vedlejší ose elipsy CD. Jsou-li souadné osy osami soumrnosti elipsy (tj. poátek je souasn stedem elipsy), potom íkáme, že elipsa je v tzv. základní poloze. Souadnice ohnisek ozname 8<: 8: (obr. 13). Obr. 13: Odvození stedové rovnice elipsy Pro libovolný bod elipsy 8;=: platí, 1 Rozepsáním rovnice dostáváme j;1 1= 1j;< 1= Celou rovnici umocníme na druhou j Z 1; Z 1= Z < ; 1 = 1; = i < <; <= Po dalším umocnní a úpravách dostaneme <i ; i Z <i <i ; <i = ; < 1 = <. S následným užitím vztahu <, dostaneme rovnici ; 1 =, ; 1= * - 20 -
3.2.2 Stedová (osová) rovnice elipsy Hlavní osa elipsy je rovnobžná s osou x: f P 1g k * pro 8: f<l P 1 g<k k * OGH8de: Obr. 14: Elipsa (" n Hlavní osa elipsy je rovnobžná s osou y: g P 1f k * pro m8: g<k P 1 f<l k * OGHm8lK: Obr. 15: Elipsa (" o 3.2.3 Obecná rovnice elipsy Pomocí úprav stedové rovnice elipsy dostaneme obecnou rovnici elipsy. ;<d 1 =<e * ;<d 1 =<e ; <d ;1 d 1 = <e =1 e < ; 1 = 1<d ;1<e =1 d 1 e < ' ( + <d, <e 7 d 1 e < '; 1(= 1+;1,=17 '( - 21 -
3.3 Hyperbola 3.3.1 Odvození stedové rovnice hyperboly Zvolíme kartézskou soustavu souadnic s poátkem ve stedu hyperboly a souadnou osou x v hlavní ose a souadnou osou y ve vedlejší ose. Jsou-li souadné osy osami soumrnosti hyperboly (tj. poátek je souasn stedem hyperboly), potom íkáme, že hyperbola je v tzv. základní poloze. Souadnice ohnisek oznaíme 8<: 8: (obr. 16). Obr. 16: Odvození stedové rovnice hyperboly Pro libovolný bod hyperboly 8;=: platí, > < > Rozepsáním rovnice dostáváme pj;1 1= <j;< 1= p Provedeme úpravy podobn jako v pípad elipsy <j Z 1; Z 1= Z < ; 1 = 1; = i < <; <= S následným užitím vztahu dostaneme rovnici <i ; i Z <i <i ; <i = <; < 1 = < < <, <; 1 = <, ; <= * - 22 -
3.3.2 Stedová (osová) rovnice hyperboly Hlavní osa elipsy je rovnobžná s osou x: f P <g k * pro m8: f<l P qhrkrsjptgloihi < g<k k * OGHm8lK: =u ; pro m8: Obr. 17: Hyperbola " n =<eu ;<d OGHm8lK: Hlavní osa elipsy je rovnobžná s osou y: g P <f k * pro m8: g<k P < f<l k * OGHm8lK: qhrkrsjptgloihi =u ; pro m8: Obr. 18: Hyperbola " o =<eu ;<d OGHm8lK: 3.3.3 Obecná rovnice hyperboly Pomocí úprav stedové rovnice hyperboly dostaneme obecnou rovnici hyperboly. f<l P < g<k k * k f<l <P g<k P k k ; <lk f1k l <P = 1KP g<p K <P k k ; <P = 1<lk f1kp g1k l <P K <P k ' ( + <d, e 7 d < e < '; <(= 1+;1,=17 '( - 23 -
3.4 Parabola 3.4.1 Odvození rovnice paraboly Nyní provedeme odvození rovnice paraboly. Kartézskou soustavu souadnic zvolíme tak, aby vw x y a rovnice ídicí pímky z byla z: f<x. Nech bod 8;=: je libovolný bod roviny (obr. 19). Obr. 19: Odvození rovnice paraboly Nejprve pedpokládejme, že bod M náleží parabole. Potom podle definice platí ] Tento vztah rozepíšeme v souadnicích a dostáváme { ;< } 1= p;1 p Rovnici umocníme na druhou a po krátké úprav dostaneme g Of Tato rovnice se nazývá kanonická rovnice paraboly. Obrácen pedpokládejme, že pro bod 8;=: platí rovnice = ; Dosazením za = z = ; do výrazu dostaneme { ;< } 1= p;1 p] - 24 -
3.4.2 Rovnice paraboly Vrcholová rovnice: = ; pro 8: =<e ;<d pro 8de: Obecná rovnice: ]T; d< Ohnisko F: w y pro 8: Obr. 20: Parabola otevená doprava "n wd1 ey pro 8de: Vrcholová rovnice: = <; pro 8: =<e <;<d pro 8de: Rovnice ídicí pímky: ]T; d1 Ohnisko F: w< y pro 8: Obr. 21: Parabola otevená doleva "n wd< ey pro 8de: Vrcholová rovnice: ; = pro 8: ;<d =<e pro 8de: Rovnice ídicí pímky: ]T=e< Ohnisko F: w y pro 8: Obr. 22: Parabola otevená nahoru "o wde1 y pro 8de: - 25 -
Vrcholová rovnice: ; <= pro 8: ;<d <=<e pro 8de: Rovnice ídicí pímky: ]T=e1 Ohnisko F: w< y pro 8: Obr. 23: Parabola otevená dol "o wde< y pro 8de: 3.4.3 Obecná rovnice paraboly Vrcholový tvar rovnice paraboly, jejíž osa je rovnobžná s osou x, lze upravit na obecný tvar: =<e ;<d = <e=1e ;<d = 1<;1<e=1e 1d '<( <e+ e 1d = 1';1(=1+ '~ Vrcholový tvar rovnice paraboly, jejíž osa je rovnobžná s osou y, lze upravit na obecný tvar: ;<d =<e ; <d;1d =<e ; 1<d;1<e=1d 1e '<( <e+ d 1e ; 1';1(=1+ ( ~ - 26 -
4 Vyšetování vzájemné polohy kuželoseky a pímky, dvou kuželoseek Vzájemnou polohu dvou geometrických útvar vyšetujeme v analytické geometrii ešením soustavy rovnic, resp. nerovnic, které jsou analytickým vyjádením tchto útvar. ešením soustavy získáme souadnice bod prniku tchto útvar. 4.1 Vzájemná poloha kuželoseky a pímky v rovin Soustava rovnic dané kuželoseky (kvadratická rovnice) a dané pímky (lineární rovnice) se eší takto: z lineární rovnice vyjádíme neznámou ;, resp. y, kterou dosadíme do kvadratické rovnice. Tímto eliminujeme jednu neznámou a dostaneme kvadratickou rovnici pro druhou neznámou. Pokud má ešená soustava rovnic v 2 práv dv ešení, má pímka s kuželosekou práv dva spolené body a jejich prnikem je dvojbodová množina. Pokud má ešená soustava práv jedno ešení, má pímka s kuželosekou práv jeden spolený bod a jejich prnikem je jednobodová množina. Nemá-li ešená soustava žádné ešení, nemá kuželoseka s pímkou žádný spolený bod a jejich prnikem je množina prázdná. Vnitní oblastí kružnice se nazývá množina bod M roviny, pro které platí (obr. 24). Vnitní oblastí elipsy s ohnisky a s hlavní osou délky nazýváme množinu bod roviny, pro které platí 1 (obr. 25). Pro hyperbolu s ohnisky a s hlavní osou délky vnitní oblastí jedné vtve hyperboly nazýváme množinu bod M roviny, pro které platí <. Vnitní oblastí druhé vtve hyperboly nazýváme množinu bod M roviny, pro které platí < HkG Vnitní oblastí paraboly s ohniskem F a ídicí pímkou d nazýváme množinu bod M roviny, pro které platí ] (obr. 27). Sena kuželoseky je pímka, která má s kuželosekou bu práv dva spolené body, nebo obsahuje práv jeden její bod, ale není tenou kuželoseky (tj. obsahuje body vnitní oblasti kuželoseky). - 27 -
Tena kuželoseky je pímka, která má s kuželosekou práv jeden spolený bod ƒ a neobsahuje žádný bod vnitní oblasti kuželoseky. Bodu T se íká bod dotyku (dotykový bod) kuželoseky a pímky. Vnjší pímka \ kuželoseky je pímka, která nemá s kuželosekou žádný spolený bod. Prnikem kuželoseky s vnjší pímkou je množina prázdná. Všechny možné pípady vzájemné polohy elipsy a pímky jsou na obr. 28. Obr. 24: Vnitní oblast kružnice Obr. 25: Vnitní oblast elipsy Obr. 26: Vnitní oblast hyperboly Obr. 27: Vnitní oblast paraboly Obr. 28: Vzájemná poloha elipsy a pímky - 28 -
4.2 Rovnice teen ke kuželosekám Nech je dána stedová kuželoseka (kružnice, elipsa, hyperbola) rovnicí ve stedovém tvaru, resp. parabola ve vrcholovém tvaru, pak rovnice teny ke kuželosece vedené daným bodem dotyku ƒ 8; = : mají tvary uvedené v tabulce. Rovnice kuželoseky Rovnice teny kuželoseky v bod dotyku ƒ 8; = : Stedový tvar rovnice kružnice ;<d 1= <e Stedový tvar rovnice elipsy f<l P g<k P 1 g<k k * 1 f<l k * Stedový tvar rovnice hyperboly f<l P g<k P < g<k k * < f<l k * Vrcholový tvar rovnice paraboly ;<d =<e ;<d <=<e =<e ;<d =<e <;<d Rovnice teny kružnice v bod dotyku ƒ 8; = : ; <d;<d 1= <e=<e Rovnice teny elipsy v bod dotyku ƒ 8; = : f <lf<l P g <Kg<K P 1 g <Kg<K k * 1 f <lf<l k * Rovnice teny hyperboly v bod dotyku ƒ 8; = : f <lf<l P g <Kg<K P < g <Kg<K k * < f <lf<l k * Rovnice teny paraboly v bod dotyku ƒ 8; = : ; <d;<d= <e1=<e ; <d;<d<= <e<=<e = <e=<e; <d1;<d = <e=<e<; <d<;<d 4.3 Vzájemná poloha dvou kuželoseek Úlohy na urení prniku dvou kuželoseek se eší v analytické geometrii ešením soustavy jejich rovnic, tj. kvadratických rovnic se dvma neznámými x, y. - 29 -
5 ešené píklady 5.1 Kružnice Píklad 1 Urete souadnice stedu S a polomr r kružnice dané obecnou rovnicí: ; 1= <i ; 1= i 8: Píklad 2 Urete souadnice stedu S a polomr r kružnice dané obecnou rovnicí: ; 1= < ;<=1i ; < ;1= <=<i ;<i 1=< <i1*1 ;<i 1=< * 8i : * Píklad 3 Urete stedovou rovnici kružnice, je-li dán její sted S a prochází bodem A. Pak ji pevete na obecný tvar: 8<ˆ*:'8<<: 1. zpsob: Polomr r kružnice vypoítáme jako vzdálenost bod S a A, tj. r = SA = j<1ˆ 1<<* j<* 1< @*1 @*. Rovnice kružnice má pak tvar ;1ˆ 1=<* * ; 1*;1ˆ1= <=1** ; 1= 1*;<=1* 2. zpsob: Souadnice stedu S dosadíme do stedové rovnice kružnice: ;1ˆ 1=<* Bod A leží na kružnici, proto souadnice bodu A dosadíme to této rovnice: <1ˆ 1<<* *1 * - 30 -
Rovnice kružnice má potom tvar ;1ˆ 1=<* *, kterou pevedeme na obecný tvar ; 1= 1*;<=1*. Píklad 4 Urete stedovou rovnici kružnice o prmru CD a upravte ji na obecný tvar: + 8<ˆ:, 8i*:. +1, 8<: +j< 1<1ˆ @* ;< 1=1 * ; <i;1i1= 1i=1i<* Píklad 5 ; 1= <i;1i=<ˆ Napište stedovou rovnici kružnice k, která prochází body ' 8ˆ*:( 8 : + 8i<:. Urete souadnice stedu S a polomr r. Body A, B, C leží na kružnici, proto jejich souadnice postupn dosadíme do obecné rovnice kružnice ; 1= 1;1h=1X 'T ˆ1* 1 ˆ1h *1X ( T 1 1 1h 1X + T i 1< 1 i1h <1X Rovnice upravíme a dostaneme soustavu tí lineárních rovnic o tech neznámých M, N, L, tj. koeficienty hledané rovnice kružnice: ˆ1h1X < h1x < i<h1x < ešením této soustavy jsou koeficienty h< X <i. Tyto koeficienty dosadíme do obecné rovnice kružnice a dostaneme ; 1= <=<i. Rovnici pevedeme pomocí úprav na stedový tvar. ; 1= <=<i ; 1=<* <*i ; 1=<* ˆ Ze stedové rovnice uríme souadnice stedu 8*: a polomr r = 5. - 31 -
Píklad 6 Napište rovnici kružnice k, která prochází 2 danými body A = [3, 5], B = [2, 6] a má sted na dané pímce p: ;1 =<i. 'T 1d 1ˆ<e ( T 1d 1<e T d1 e<i 1d 1ˆ<e 1d 1<e <d1d 1ˆ<*e1e i<id1d 1 <*e1e <d1e< d1 e<i ˆe* e d1<i d<* 1* 1ˆ< ˆ ;1* 1=< ˆ ; 1= 1;<i=< Píklad 7 Napište rovnici kružnice, která se dotýká obou souadných os a prochází bodem A = [-2, -4]. Vzdálenost stedu S je od obou os stejná, proto souadnice stedu mžeme psát S = [m, m]. Mezi souadnicemi stedu m a polomrem r platí d<. ;< 1=< <1 1<i1 i<i1 1*< 1 <*1 < <* * Souadnice stedu m 8<<: a polomr G f1 1g1 i f 1g 1if1ig1i - 32 -
Souadnice stedu m 8<*<*: a polomr G * f1* 1g1* * f 1g 1f1g1* Píklad 8 Rozhodnte o vzájemné poloze bod f< 1g1* ˆ A: < 1i1* ˆ ˆˆ B: Š< 11* ˆ iˆ C: *< 1 1* ˆ 5.2 Elipsa Píklad 9 *Šˆ A leží na kružnici B leží vn kružnice '8i:( 8Š:+ 8* : a kružnice C leží uvnit kružnice Urete souadnice stedu, délky poloos, excentricitu a souadnice ohnisek elipsy, která je dána obecnou rovnicí i; 1 = < i; 1 = ; 1= i * 8: j < @ <i@ˆ <@ˆŒ @ˆŒ Píklad 10 Urete souadnice stedu, délky poloos, excentricitu a souadnice ohnisek elipsy, která je dána obecnou rovnicí ; 1ˆ= 1ˆi;1*=<ii ; 1ˆi;1ˆ= 1*=ii ; 1;1ˆ= 1i=ii ;1 1ˆ=1 ii1 *1* ;1 1ˆ=1 ˆ ;1 ˆ 1 =1 * 8< <: ˆ j < @ˆ< i 8<Š<: 8*<: - 33 -
Píklad 11 Urete souadnice stedu, délky poloos, excentricitu a souadnice ohnisek elipsy, která je dána obecnou rovnicí i; 1ˆ= < ;1=1 i i; < ;1ˆ= 1=< i i; < ;1ˆ= 1i=< i i;<i 1ˆ=1 < i1i1 i;<i 1ˆ=1 Zadaná obecná rovnice není rovnicí elipsy. Píklad 12 Urete stedovou a obecnou rovnici elipsy se stedem 8<: a jejím bodem 8ˆ:, je-li *b ; Do rovnice elipsy Ž D 1 V * dosadíme souadnice stedu elipsy 8<: a délku hlavní poloosy * ;1 * 1 =< * Bod K leží na elipse, proto jeho souadnice musí vyhovovat této rovnici. 1 * 1 ˆ< * i * 1 * i *< * * * i * ˆ Stedovou rovnici elipsy upravíme na obecný tvar. ;1 * 1 =< ˆ * ;1 1i=< * ; 1*;1 1i= <*=1** ; 1i= 1*;<*=<i Obecná rovnice elipsy je ; 1i= 1*;<*=<i. - 34 -
Píklad 13 Najdte rovnici elipsy, která má ohniska 8<i : 8 :a vrchol na vedlejší ose je + 8<*Š: 1 8<* : j1i 1 < @, +j<*1* 1Š< @*i j 1 @*1 ˆ ;1* ˆ 1 =< * * *;1* 1ˆ=< i *; 1;1*1ˆ= <=1 i *; 1 ;1*1ˆ= <*ˆ=1ˆi Píklad 14 *; 1ˆ= 1 ;<*ˆ=<*ˆ Najdte rovnici elipsy, která má za vrcholy body + 8ˆŠ:a, 8< Š: na vedlejší ose a ohnisko je 8*i: +1, 8*Š: +,j< <ˆ 1Š<Š @i, i j*<* 1i<Š @ j 1 @*1 ˆ ;<* * 1 =<Š ˆ * ˆ;<* 1*=<Š i ˆ; <;1*1*= <*i=1i i ˆ; <ˆ;1ˆ1*= <i=1š ii Píklad 15 ˆ; 1*= <ˆ;<i=1i Najdte rovnici elipsy, která se dotýká obou souadných os a má sted 8i: Ze souadnic stedu S uríme, že a i - 35 -
;< 1 =<i * * *;< 1 =<i ˆŠ *; <* ;1ˆŠ1 = < =1ˆŠˆŠ Píklad 16 i; 1 = <i ;<Š=1*ii Rozhodnte o vzájemné poloze bod '8< *:( 8<ˆ< :+ 8i: a elipsy f 1ˆg <iˆ A: < 1ˆ * <iˆ < ii B: <ˆ 1ˆ < <iˆ C: i 1ˆ <iˆ ˆ i A leží uvnit elipsy B leží na elipse C leží vn elipsy 5.3 Hyperbola Píklad 17 Napište stedovou a obecnou rovnici hyperboly, je-li dáno: 8: b ;. ; P <= k * ; <= * ; <= i * i; < = < Píklad 18 Napište stedovou a obecnou rovnici hyperboly, je-li dáno: 8: ˆ b =. = <; * = ˆ<; * = ˆ<; * ˆ; < = 1-36 -
Píklad 19 Urete obecný tvar rovnice hyperboly, je-li dáno: 8<**: i ˆ b ;. Uríme délku vedlejší poloosy: @ < @ˆ<i @ ;<d P =<e k * ;1* i =<* * ;1* *=<* *ii ; 1;1* *= <=1**ii ; 1* ;1 *= 1 =<**ii ; *= 1* ;1 =<*ˆ* Píklad 20 Urete obecný tvar rovnice hyperboly, je-li dáno: 8<ˆi: @@ b =. =<e P =<i ;<d k * @ ;1ˆ @ * =<i ;1ˆ * = < =1* ; 1*;1ˆ* = <i =1 ; <;<ˆ* Píklad 21 ; < = 1*;1i=<*Š Urete stedovou rovnici hyperboly se stedem 8: a jejím bodem X 8ˆ :, je-li dáno: ib ; ; P <= k * ˆ P < i * ˆ P *1 i ˆ ˆ P * P * ; * <= * * - 37 -
Píklad 22 Urete stedovou rovnici hyperboly se stedem 8<i<*: a jejím bodem X 8<ˆ:, je-li dáno: @ˆb ; ;<d P 1i =<e k * @ˆ <ˆ1* k * ;1i Píklad 23 * k * =1* * k *< * k <* k * Urete stedovou rovnici hyperboly se stedem 8<Š: a jejím bodem X 8<i:, je-li dáno: b = =<e ;<d * 1Š <i< * =1Š i i i * ;< *<i i <iˆ i k * - 38 -
Píklad 24 Urete souadnice stedu hyperboly ; <= 1 =<*, délky jejich poloos, excentricitu a rovnice asymptot. ; <= 1 =<* ; <= <i=* ; <=< *< ; =< i * 8:@ @ @ 1i@ Rovnice asymptot: =<eu ;<d =<u @ ;< =u @ ;1 Rovnice asymptot jsou = @ ;1 a =<@ ;1. Píklad 25 Urete souadnice stedu hyperboly i; <= 1 ;<i=1i, délky jejich poloos, excentricitu a rovnice asymptot. i; <= 1 ;<i=1i i; 1 ;<= 1i=<i i;1i <=1 <i1i<i ;1i < =1 * 8<i<: @ 1 @ˆ Rovnice asymptot: =<eu ;<d =1u ;1i =u;1i< Rovnice asymptot jsou =;1 a =<;<*. - 39 -
Píklad 26 Rozhodnte o vzájemné poloze bod ' 8 :( 8i : + 8<i*: a hyperboly if < g < A: i <i < * < * A leží vn hyperboly B: i < < B leží na hyperbole C: i i < < < C leží uvnit hyperboly 5.4 Parabola Píklad 27 Urete souadnice vrcholu, ohniska, parametr a rovnici ídicí pímky paraboly =< *;1*. 8<*: wd1 ey <*1ˆ 8*ˆ : * ˆ]T; d< <*<ˆ < ˆ Píklad 28 Urete souadnice vrcholu, ohniska, parametr a rovnici ídicí pímky paraboly ;1 =<. 8< : wde1 y < 1i 8< ˆ: i]t=e< <i * Píklad 29 Urete souadnice vrcholu, ohniska, parametr a rovnici ídicí pímky paraboly ;< <=1i 8 <i: wde< y <i<ˆ 8 <iˆ: * ˆ]T=e1ˆ <i1ˆ < Šˆ - 40 -
Píklad 30 Urete souadnice vrcholu, ohniska, parametr a rovnici ídicí pímky paraboly =1Š <;1 8<<Š: wd< ey << <Š 8< ˆ <Š: ]T; d1 <1 <ˆ Píklad 31 Urete obecné rovnice parabol. ;1i < =<* ; 1 ;1*< =1 ; 1 ;1 =1 =< <;1* = <*=1 <;< = 1;<*=1 Píklad 32 Napište vrcholovou rovnici paraboly s vrcholem 8: a jejím bodem 8 <:, je-li dáno ; š = ; < = *; Píklad 33 Napište vrcholovou a obecnou rovnici paraboly s vrcholem 8<i: a jejím bodem 8*< :, je-li b;. =<e ;<d < < *1i ˆ* ˆ Vrcholová rovnice paraboly: =< ˆ;1i Obecná rovnice paraboly: = <ˆ;<i=<*. Píklad 34 Napište vrcholovou a obecnou rovnici paraboly s vrcholem 8*<ˆ: a jejím bodem 8< <Š:, je-li b=. - 41 -
;<d <=<e < <* <Š1ˆ *<i i Vrcholová rovnice paraboly: ;<* < =1ˆ Obecná rovnice paraboly: ; <;1 =1i*. Píklad 35 Urete rovnici paraboly, jsou-li dány její body a b;. 8<i :X 8 : 8<ˆ : Body K, L, M leží na parabole, proto jejich souadnice postupn dosadíme do obecné rovnice paraboly = 1';1(=1+ FT 1œ <i1 1ž ŸFT 1œ 1 1ž aft 1œ <ˆ1 1ž <iœ1 1ž< œ1 1ž< * <ˆœ1 1ž< Pomocí úprav dostaneme: <iœ1 1ž< œ1 <* <*ˆœ ešením této soustavy jsou koeficienty'<( <+ <*ˆ Obecná rovnice paraboly je = <;<=<*ˆ. Píklad 36 Urete rovnici paraboly, jsou-li dány její body a b=. 8:X 8*< : 8<<: Body K, L, M leží na parabole, proto jejich souadnice postupn dosadíme do obecné rovnice paraboly ; 1';1(=1+ FT 1œ 1 1ž ŸFT * 1œ *1 < 1ž aft < 1œ <1 <1ž - 42 -
œ1ž<i *œ< 1ž<* <œ< 1ž<i Pomocí úprav dostaneme: œ1 <ži œ1ž<i iœ< ešením této soustavy jsou koeficienty'<i( + i Obecná rovnice paraboly je ; <i;1 =1i. 5.5 Vzájemná poloha kružnice a pímky Píklad 37 Urete vzájemnou polohu kružnice f 1g a pímky p: ;<=1. Z rovnice pímky vyjádíme y a dosadíme za y do rovnice kružnice. Rovnici upravíme a vypoítáme x. =;1 ; 1;1 ; 1; 1;1 ; 1; ; ;1 ; ; < Dosadíme za x do rovnice pímky =;1. ;?= ; <?= Pímka je senou kružnice se spolenými body œ8 : a 8< :. Píklad 38 Urete vzájemnou polohu kružnice f<i 1g1* ˆ a pímky p: ;<=<*. ; =1* =1*<i 1=1* ˆ i= <*=1 1= 1=1*ˆ ˆ= <*=1ˆ = <=1* = * - 43 -
; *1* ; Pímka je tenou s jedním spoleným bodem 8 *:. Píklad 39 Napište rovnici teny kružnice f 1g ˆv jejím bod dotyku 8< i:. ; ;1= = < ;1i=ˆ ;<i=1ˆ Píklad 40 Napište rovnici teny kružnice f 1g <if<ig1šv jejím bod dotyku 8 :. Obecnou rovnici kružnice pevedeme na stedový tvar f 1g <if<ig1š ;< 1=< <Š1i1i ;< 1=< * Užijeme rovnici teny kružnice v bod dotyku 8f g :. ; <d ;<d 1= <e =<e ; < ;<1= < =<* < ;<1< =<* Píklad 41 ;<* ; Napište rovnici teny kružnice f 1g <if1*g1š, která je rovnobžná s pímkou p: ;< =1ˆ Pímka p a tena t, které jsou spolu rovnobžné, mají stejný normálový vektor. Tenu t mžeme zapsat ve tvaru ;< =1 Z této rovnice vyjádíme x a dosadíme za x do rovnice kružnice. =< ; =< 1= <i =< 1*=1Š - 44 -
= < =1 1= <=1 1*=1Š i = < =1 1i= <i=1 1i =1* * = < =1 1 1i=1* * = 1i< =1 1 1* Nyní budeme ešit kvadratickou rovnici a hledat c tak, aby byl diskriminant D = 0. i< <i * 1 1* ˆŠ1 1 <ˆ <i* <ˆ* 1ii 1 *ˆ <iiu@ii <i * *ˆ <iiu Rovnice teen jsou T;< =< a T;< =< ˆ. < < ˆ 5.6 Vzájemná poloha elipsy a pímky Píklad 42 Urete vzájemnou polohu elipsy if 1*g <i a pímky p: ;<=1. Z rovnice pímky vyjádíme y a dosadíme za y do rovnice elipsy. Rovnici upravíme a vypoítáme x. = ;1 i; 1*= <i i; 1* ;1 <i i; 1* ; 1*;1i<i i; 1*ii; 1* ;1i<i *i ; 1* ; ;*i ;1* ; ; < * *i <i Š Dosadíme za x do rovnice pímky = ;1 ;?= ; < i Š?= < i Š 1<Š Š Pímka je senou elipsy se spolenými body œ8: a w< Z Y < Y y - 45 -
Píklad 43 Urete vzájemnou polohu elipsy Žš 1 Pímku vyjádíme parametricky 1 9 2 ; 1 =1 *a pímky p: 8 :9 * Souadnice x, y pímky dosadíme do rovnice elipsy a vypoítáme parametr. 1 1* 1 1 < * 1i 1i 1i 1i i 1* 1*1i 1* 1 1 1* <* Parametr t dosadíme do parametrického vyjádení pímky. ; 1 1 <** =1 <** Pímka je tenou s jedním spoleným bodem 8**:. Píklad 44 Napište rovnici teny elipsy if 1 g *v jejím bod dotyku 8<ig :. Do rovnice elipsy dosadíme souadnici f bodu T. i <i 1 g * i1 g * g = u Podmínce g vyhovuje pouze koen. Bod dotyku ; ; ˆ 1 = = * * i <i;1 =* <*;1* =<* ;< =1ˆ 8<i:. - 46 -
Píklad 45 Napište rovnici teny elipsy f 1ig <if1 g1i v jejím bod dotyku 8f <:. Postup ešení je podobný jako v pedchozím píkladu. f 1i < <if1 <1i f 1if f f1i f f i Podmínce f vyhovuje pouze koen i. Bod dotyku 8i<:. f <if1ig 1 g1i f <if1ig 1 g<i f< 1ig1i <i 1i1i ;< 1 =1i ˆ * ; < ;< i< ;< 1 = 1i =1i ˆ 1 <1i =1i ˆ * * f<i1 g1* f1 g< f1g<i 5.7 Vzájemná poloha hyperboly a pímky Píklad 46 Urete vzájemnou polohu hyperboly Ž *a pímky p: ; < 1 =i Vypotte Yª souadnice jejich bod, pokud existují. < 1 * < 1 * *<ˆi 1 * i * i * * * i *<ˆi 1 * i - 47 -
i<* 1 *ii i i<* 1 *ii i * 1* * 1 ; < 1 < = i < ; < 1 <<*ˆ = i << Pímka je senou se dvma spolenými body '8< : a ( 8<*ˆ< :. Píklad 47 Urete vzájemnou polohu hyperboly ; i= ia pímky p: =;1 Vypotte souadnice jejich bod, pokud existují. ; i= i ; i;1 i ; ii; 1*;1 i ; *; <i ;< i *ˆ; 1i ;1i Vypoteme diskriminant, i <i *ˆ i i<i< Diskriminant je záporný, pímka je vnjší pímkou. Píklad 48 Napište rovnici teny hyperboly Ž Yª * v jejím bod dotyku ƒ8<* = :. <* = * * * = * i i= i i= ˆŠ = *ii = u* Podmínce g vyhovuje pouze koen *. Bod dotyku ; ; <= = * * 8<**:. - 48 -
<*; <*= * * <*;<i *= i < ;<i =< i *ˆ;1 =1ˆi Píklad 49 hyperbole Ž «* vete tenu rovnobžnou s pímkou ;1=<Š. ª Tena má pedpis ;1=1 ; *ˆ <;< =<;< * ; ˆ<;< ; ˆ; 1 ;1 ; ˆ; <* ;<ˆ < ; 1* ;1ˆ 1 ešíme kvadratickou rovnici pro c a diskriminant musí být roven 0. * <i ˆ 1 * < 1 i u Rovnice teen jsou ;1=1 a ;1=<. 5.8 Vzájemná poloha paraboly a pímky Píklad 50 Vypoítejte souadnice prseík paraboly ; *= s pímkou ;< =1ˆ = ;1ˆ ; * ;1ˆ ; ;1 ; < ;< - 49 -
;<* ;1 ; *?= ;1ˆ ; <?= ;1ˆ *1ˆ <1ˆ ˆ * Pímka je senou k parabole s body dotyku 'w* «Y y a ( w< Y y Píklad 51 Jakou velikost má ttiva na parabole = ; kterou vytíná pímka =;< ;< ; ; <*;1i ; *u@*ii<i * i *u @ ui@ ; 1i@?= 1i@<i1i@ ; <i@?= <i@<i<i@ Dostáváme dva body ' 1i@ i1i@œ a ( <i@ i<i@œ. Velikost ttivy vypoítáme jako vzdálenost tchto dvou bod. ] '( <i@<<i@ 1 i<i@<i<i@ @ˆ* Ttiva má velikost 16. Píklad 52 Napište rovnici teny paraboly = <;<i=<*i v jejím bod dotyku ƒ 8 <i: Obecnou rovnici pevedeme na vrcholovou rovnici. = <i=;1*i =< ;1*i1i =< ;1 Bod dotyku T dosadíme do rovnice teny paraboly. = <e =<e; <d1;<d i< =< 1 1 ;1 <=1** 1 ;1 ;1=1ˆ - 50 -
Píklad 53 Najdte rovnici teny paraboly ; <;< =<Š, je-li dán bod dotyku ƒ 8Š= : Vypoítáme druhou souadnici bodu T. Š < Š< =<Š =i <i<š = Obecnou rovnici pevedeme na vrcholovou rovnici. ; <; =1Š ;< =1Š1 ;< =1 Bod dotyku T dosadíme do rovnice teny paraboly. ; <d ;<d= <e1=<e Š< ;< i11i=1 Píklad 54 i;<* 1i=1 ;<=<Š Vete k parabole = ; tenu rovnobžnou s pímkou ;<=1ˆ Rovnice teny je ;<=1. ešíme soustavu rovnic s neznámou c. = ;1 ;1 ; ; 1 ;1 ; ; 1 < ;1 Diskriminant této rovnice musí být roven nule, aby pímka byla tenou paraboly. <i < <i < 1i< i Dosadíme za c do rovnice teny a dostaneme tenu o rovnici ;< =1-51 -
5.9 Vzájemná poloha dvou kuželoseek Píklad 55 Urete vzájemnou polohu kuželoseek ;< 1= iˆ a ;< 1=< ˆ ešíme jako soustavu rovnic. ; <;1 1= <iˆ ; <* ;1 *1= <i=1i<ˆ ; 1= <;< ; 1= <* ;<i=1 <*;<i=1 =i< ; Neznámou y dosadíme do jedné z rovnic kuželoseek. ;< 1= iˆ ;< 1i< ; iˆ ; <;1 1ˆŠ<*ii;1 ; iˆ *; <*ˆ;1ˆi ; <*ˆ;1ˆi ;< ;< ;?= i< ; i< < ;?= i< ; i< Kuželoseky mají dva spolené body '8 < : a ( 8:. Píklad 56 Urete prseíky kuželoseek ; 1= <ˆ a = <*; ešíme soustavu rovnic. Vyjádíme neznámou z rovnice paraboly a dosadíme do rovnice kružnice. = *; ; 1= <ˆ ; 1*;<ˆ ;1ˆ ;< Koen ; <ˆ nevyhovuje, koen ;. = * *ii = u* Kuželoseky mají 2 spolené body 8 *: a h 8 <*: - 52 -
Píklad 57 Urete prseíky kuželoseek Ž Y 1 * a = <*; Urete délku spolené ttivy. ešíme soustavu rovnic. Vyjádíme neznámou z rovnice paraboly a dosadíme do rovnice elipsy. = *; ; 1*; * * i; 1*; * ; 1i;< ;1 ;<i Koen ; < nevyhovuje, koen ; i. = * ii = u Kuželoseky mají 2 spolené body 8i : a h 8i< :. Délku ttivy uríme jako vzdálenost bod MN. ] hje <d 1e <d ji<i 1< < @ˆ* Délka ttivy je 16. Píklad 58 Urete prseíky kuželoseek Ž «< ª * a = <*; Urete rovnici jejich spojnice. = *; ; ˆ < *; * * ; <ˆ;<ˆ ;<ˆ ;1 Koen ; ˆ, koen ; <nevyhovuje. = * ˆi = u Kuželoseky mají 2 spolené body 2 8ˆ: a 8ˆ<: Rovnici spojnice uríme pomocí obecné rovnice. 9 <i?e± i i;1=1 i ˆ1 1-53 -
i;<* <* ; ˆ - 54 -
Závr Hlavním cílem bakaláské práce bylo podání pohledu na problematiku kuželoseek. Celou práci jsem rozdlil na dv ásti, a to na ást teoretickou a na ást praktickou. Teoretickou ást jsem rozdlil do ty kapitol. V první kapitole jsem vysvtlil, že kuželoseky jsou rovinné kivky a vznikají jako prnik roviny s rotaní kuželovou plochou. V druhé kapitole jsem se zabýval jednotlivými typy kuželoseek, uvedl jejich definici a popsal jejich vlastnosti. Z vlastností by ml tená pochopit, že kružnice, elipsa a hyperbola jsou stedové kuželoseky, nebo jsou soumrné podle stedu soumrnosti. Parabola nemá sted soumrnosti, a proto bývá oznaována jako nestedová kuželoseka. V kapitole jsou popsány konstrukce každé kuželoseky. Ve tetí kapitole jsem uvedl rovnice kuželoseek. U každé kuželoseky jsem odvodil stedovou, resp. vrcholovou rovnici kuželoseky. Rovnice kuželoseek jsou uvedeny pro kuželoseky, jejichž osy jsou rovnobžné s osami kartézské soustavy souadnic. tvrtá kapitola je zamena na urování vzájemné polohy kuželoseky a pímky, resp. dvou kuželoseek. Na zaátku této kapitoly jsem popsal postup pro urení vzájemné polohy na základ ešení soustavy rovnic. Dále vysvtlil pojmy sena, tena, nesena. Praktická ást je tžištm této práce. Celá kapitola obsahuje sadu ešených píklad. V píkladech ze zadání urujeme stedové, vrcholové a obecné rovnice. Provádíme pevody mezi rovnicemi. Hledáme sted, ohniska, hlavní vrcholy, ídicí pímku a další vlastnosti kuželoseek. Urujeme polohu bodu a pímky vzhledem ke kuželosece a vzájemnou polohu dvou kuželoseek. Pro grafické zpracování jsem použil software GeoGebra. Všechny obrázky (mimo jednoho) jsem vytvoil pomocí tohoto programu. S rozvojem poíta, interaktivních tabulí a interaktivních projektor je tento program vhodným pomocníkem pro uitele a žáky pi výuce geometrie i matematiky na všech typech škol. - 55 -
Seznam literatury 1. HODAOVÁ, Jitka, David NOCAR a Vladimír VANK. Konstrukní geometrie I: Kuželoseky. 1. vyd. Olomouc: VUP, 2005, 84 s. ISBN 132 80-244-1091-5. 2. HRZA, Bohuslav a Hana MRHAOVÁ. Cviení z algebry a geometrie. 2. dopl. vyd. Brno: VUT, 1990, 183 s. ISBN 80-214-0230-X. 3. HUDCOVÁ, Milada, Libuše KUBIÍKOVÁ. Sbírka úloh z matematiky pro SOŠ, SOU a nástavbové studium. 2. vyd. Praha: Prometheus, 2006, 415 s. Uebnice pro stední školy (Prometheus). ISBN 80-719-6318-6. 4. LÁVIKA, Miroslav. Kuželoseky [online]. Zápodoeská univerzita [cit. 2013-03-12]. Dostupné z WWW: <http://mat.fsv.cvut.cz/bakalari/kog/kzs/files/kuzeloseckylavicka>. 5. POLÁK, Josef. Pehled stedoškolské matematiky. dotisk 6.vyd. Praha: Prometheus, 1995, 608 s. ISBN 80-858-4978-X. 6. SEDLÁEK, Miloš, Dana ŠALOUNOVÁ a Jií VRBICKÝ. Lineární algebra. 1. vyd. Ostrava: Vysoká škola báská, 1994, 212 s. ISBN 80-707-8227-7. - 56 -
Seznam obrázk Obr. 1: Kuželoseky Obr. 2: Kuželoseky v osovém ezu kuželové plochy Obr. 3: Základní pojmy kružnice Obr. 4: Základní pojmy elipsy Obr. 5: Bodová konstrukce elipsy Obr. 6: Konstrukce sted hyperoskulaních kružnic Obr. 7: Základní pojmy hyperboly Obr. 8: Bodová konstrukce hyperboly Obr. 9: Konstrukce asymptot Obr. 10: Základní pojmy paraboly Obr. 11: Bodová konstrukce paraboly Obr. 12: Odvození stedové rovnice kružnice Obr. 13: Odvození stedové rovnice elipsy Obr. 14: Elipsa (b ; Obr. 15: Elipsa (b = Obr. 16: Odvození stedové rovnice hyperboly Obr. 17: Hyperbola b ; Obr. 18: Hyperbola b = Obr. 19: Odvození rovnice paraboly Obr. 20: Parabola otevená doprava b; Obr. 21: Parabola otevená doleva b; Obr. 22: Parabola otevená nahoru b = Obr. 23: Parabola otevená dol b = Obr. 24: Vnitní oblast kružnice Obr. 25: Vnitní oblast elipsy Obr. 26: Vnitní oblast hyperboly Obr. 27: Vnitní oblast paraboly Obr. 28: Vzájemná poloha elipsy a pímky - 57 -
Seznam použitých symbol '( ²³ bod '( pímka úhel ²³ bod leží na pímce bod neleží na pímce 0 X konvexní úhel X s vrcholem L a rameny v polopímkách LK, LM 4 5 6 body jsou prseíky kružnic '( velikost úseky '( W polopímka (polopímka s poátkem a vnitním bodem kružnice se stedem a polomrem 8de: bod se souadnicemi de b= pímka b je rovnobžná s pímkou= - 58 -
Seznam píloh Píloha. 1: Grafické zpracování ešených úloh - 59 -
Píloha. 1: Grafické zpracování ešených úloh Píklad 1 Píklad 2 Píklad 3 Píklad 4 Píklad 5 Píklad 6 Píklad 7 Píklad 8
Píklad 9 Píklad 10 Píklad 11 Píklad 12 Nemá ešení Píklad 13 Píklad 14 Píklad 15 Píklad 16
Píklad 17 Píklad 18 Píklad 19 Píklad 20 Píklad 21 Píklad 22 Píklad 23 Píklad 24
Píklad 25 Píklad 26 Píklad 27 Píklad 28 Píklad 29 Píklad 30 Píklad 31 Píklad 32
Píklad 33 Píklad 34 Píklad 35 Píklad 36 Píklad 37 Píklad 38 Píklad 39 Píklad 40
Píklad 41 Píklad 42 Píklad 43 Píklad 44 Píklad 45 Píklad 46 Píklad 47 Píklad 48
Píklad 49 Píklad 50 Píklad 51 Píklad 52 Píklad 53 Píklad 54 Píklad 55 Píklad 56
Píklad 57 Píklad 58
ANOTACE Jméno a píjmení: Martin Krbec Katedra: Katedra matematiky Vedoucí práce: Mgr. David Nocar, Ph.D. Rok obhajoby: 2013 Název práce: Název v anglitin: Anotace práce: Klíová slova: Anotace v anglitin: Klíová slova v anglitin: Pílohy vázané v práci: Analytická geometrie kuželoseek Analytic geometry of conic sections Hlavním cílem této bakaláské práce je podat pohled na problematiku kuželoseek. Obsahem je analytický pístup ke studiu kuželoseek. Pojem kuželoseky je spolený název pro kružnici, elipsu, hyperbolu a parabolu. Teoretická ást je zamena na popis jejich vlastností, rovnice kuželoseek, vzájemnou polohu kuželoseky s pímkou nebo jinou kuželosekou. Praktická ást obsahuje sadu ešených píklad, kde by si ml tená ovit, zda správn pochopil teoretickou ást a dokáže aplikovat teoretické znalosti pi ešení praktických píklad. Kuželoseky, elipsa, kružnice, hyperbola, parabola The main objective of this thesis is to provide a perspective on the issue of conics. It contains analytical approach to the study of conics. The term conic is a common name for a circle, ellipse, hyperbola and parabola. The theoretical part is focused on a description of their characteristics, equations, a relative position of a line or a different conic. The practical part contains a set of exercises where a reader should verify correct theoretical understanding and that is able to apply theoretical knowledge to solving practical examples. Conic sections, ellipse, circle, hyperbola, parabola Grafické zpracování ešených úloh Anotace Rozsah práce: 59 Jazyk práce: eský