Kvadratická funkce a rovnice

IČ: 50 45 9 IZO: 80078 Tel.: +40 4 30 96, 98 fa: +40 4 30 97 e-mail: info@ssdvs.cz web: www.ssdvs.cz Operační program Vzdělávání pro konkurenceschopnost III/ ICT INOVACE Matematika. ročník Kvadratická funkce a rovnice Datum vytvoření: listopad 0 Třída:. A,. C Autor: PaedDr. Jan Wild Klíčová slova: kvadratická funkce kvadratická rovnice kvadratický trojčlen 0

IČ: 50 45 9 IZO: 80078 Tel.: +40 4 30 96, 98 fa: +40 4 30 97 e-mail: info@ssdvs.cz web: www.ssdvs.cz Anotace Sada obsahuje dvacet DUMů tematicky zaměřených na využití počítačových aplikací k výuce a studiu kvadratických funkcí a rovnic. Tím je zaměřena zejména na kompetence k řešení problémů, kompetence k práci s prostředky informačních a komunikačních technologií a kompetence k matematickým aplikacím. Cíle této sady lze shrnout zejména na následující oblasti: žák zná počítačové aplikace pro řešení matematických úloh a umí tyto aplikace s návodem využít pro řešení matematických úloh, které umí řešit klasickým způsobem.

IČ: 50 45 9 IZO: 80078 Tel.: +40 4 30 96, 98 fa: +40 4 30 97 e-mail: info@ssdvs.cz web: www.ssdvs.cz Obsah Kvadratická funkce... 3 Cvičení na předpis a hodnoty kvadratické funkce... 5 3 Graf ryze kvadratické funkce... 6 4 Vliv koeficientu a na graf ryze kvadratické funkce... 7 5 Vliv koeficientu a na graf kvadratické funkce v GeoGebře... 8 6 Převod obecného tvaru kvadratické funkce na vrcholový tvar... 9 7 Obecný a vrcholový tvar rovnice kvadratické funkce dynamicky... 0 8 Graf kvadratické funkce v tabulkovém procesoru Microsoft Ecel... 9 Graf kvadratické funkce v programu Microsoft Mathematics... 0 Graf kvadratické funkce v programu SpaceTime... 3 Graf kvadratické funkce v programu GeoGebra... 4 Graf kvadratické funkce v programu Wolfram Mathematica... 5 3 Kvadratická rovnice... 6 4 Řešení kvadratické rovnice v aplikaci Microsoft Mathematics... 8 5 Řešení kvadratické rovnice v aplikaci SpaceTime... 9 6 Souvislost kvadratické rovnice a kvadratické funkce... 0 7 Vztahy mezi kořeny a koeficienty kvadratické rovnice... 8 Rozklad kvadratických trojčlenů na součin kořenových činitelů... 3 9 Rozklad kvadratických trojčlenů v aplikaci Microsoft Mathematics... 4 0 Rozklad kvadratických trojčlenů v aplikaci SpaceTime... 5

IČ: 50 45 9 IZO: 80078 Tel.: +40 4 30 96, 98 fa: +40 4 30 97 e-mail: info@ssdvs.cz web: www.ssdvs.cz Kvadratická funkce Pochopení pojmů předpis kvadratická funkce, koeficienty kvadratické funkce, nezávisle proměnná a závisle proměnná kvadratické funkce. Předpis kvadratické funkce Předpis kvadratické funkce je funkce. f : y a b c; = + + ˇ, kde a, b, c ˇ, a 0 jsou koeficienty lineární Předpis kvadratické funkce je tvořen kvadratickým trojčlenem kvadratický, člen b lineární a c je člen absolutní. a + b + c; člen a se nazývá V souvislosti s předpisem kvadratické funkce je potřeba zvládnout dvě úlohy: ) Určete koeficienty a, b, c v předpisu lineární funkce. ) Napište předpis lineární funkce, jestliže jsou dány její koeficienty a, b, c. Příklady na předpis lineární funkce ad ) V předpisu lineární funkce je ad ) Předpis lineární funkce s koeficienty a = 3; b = ; c = je f : y = + 3 4 jsou koeficienty a = ; b = 3; c = 4. f : y = 3 +. Jaká je hodnota koeficientů a, b, c v předpisech y = + a (respektive ) žádné číslo není, nebo dokonce takový člen chybí? y = +, když u proměnné Hodnoty kvadratické funkce Je-li zadán předpis kvadratické funkce f : y = a + b + c, můžeme ke každému zvolenému číslu jednoznačně přiřadit (vypočítat) číslo y. Proměnnou nazýváme nezávisle proměnná, protože její hodnoty volíme sami. Proměnnou y nazýváme závisle proměnnou, protože její hodnoty jsou výsledkem jednoznačného výpočtu po dosazení hodnot závisle proměnné. Příklad na hodnoty kvadratické funkce V příkladu kvadratické funkce f : y = + 3 4 dostaneme pro zvolenou hodnotu = vypočítanou hodnotu y = ( ) + 3 ( ) 4 = 3 4 = 5. Výsledek minulého příkladu můžeme matematicky zapsat různými způsoby: f : 5 - číslu - přiřadíme číslo -5, f ( ) = 5 - funkční hodnota pro číslo - je -5, y( ) = 5 - y ová hodnota pro číslo - je -5 a [ ;5 ] f - uspořádaná dvojice čísel - a -5, nebo [ ; 5], je prvkem funkce f. 3

IČ: 50 45 9 IZO: 80078 Tel.: +40 4 30 96, 98 fa: +40 4 30 97 e-mail: info@ssdvs.cz web: www.ssdvs.cz Tabulka hodnot kvadratické funkce Nejpřehlednější způsob zápisu hodnot každé funkce je tabulka, platí i pro kvadratickou funkci. Do prvního řádku zapisujeme zvolená čísla a do druhého řádku vypočítané hodnoty y. Doplňte tabulku funkčních hodnot kvadratické funkce Tabulka: -3 - - 0 3 y 3 8 9 4 3 6 3 f : y = 3 + 4: Hodnoty v prvním řádku jsme zvolili, hodnoty y v druhém řádku jsme vypočítali. Například pro druhý sloupeček hodnot vypočítáme y = + = + + = ( ) 3 ( ) 4 8 6 4 8 Sešit aplikace Ecel má název.0-tabulka kvadr fce-me.ls. 4

IČ: 50 45 9 IZO: 80078 Tel.: +40 4 30 96, 98 fa: +40 4 30 97 e-mail: info@ssdvs.cz web: www.ssdvs.cz Cvičení na předpis a hodnoty kvadratické funkce Praktické zvládnutí předpisu kvadratické funkce, procvičení výpočtu funkčních hodnot, zopakování počítání s celými čísly, zlomky a mocninami Cvičení. Určete hodnoty koeficientů a, b, c v předpisech kvadratických funkcí: a) b) c) d) e) y = 3 + a = b = c = y = 4 a = b = c = 3 = + a = b = c = 4 y y =,5 a = b = c = y = 5 6 + a = b = c =. Napište předpisy kvadratických funkcí, jejichž koeficienty jsou dány: a) a = ; b = 4; c = 3 b) a = ; b = 4; c = c) a = ; b = 4; c = 0 d) a = ; b = 0; c = 3.3 Doplňte tabulku hodnot kvadratické funkce a) b) f y : = -3 - - 0 3 y f y = + + : -3 - - 0 3 y 5

IČ: 50 45 9 IZO: 80078 Tel.: +40 4 30 96, 98 fa: +40 4 30 97 e-mail: info@ssdvs.cz web: www.ssdvs.cz 3 Graf ryze kvadratické funkce Pochopení pojmu graf ryze kvadratické funkce a jeho konstrukce Graf kvadratické funkce Graf kvadratické funkce f je množina všech bodů soustavy souřadnic Oy, které splňují rovnici f : y = a + b + c; ˇ, kde a, b, c ˇ, a 0. Ryze kvadratická funkce Nejprve se zabývejme grafem kvadratické funkce absolutní člen. y = a, a 0, ve které chybí lineární i Pro sestrojení grafu je nejvýhodnější nejprve vytvořit tabulku jejích hodnot. Sestrojte graf funkce f : y =. Tabulka: -3 - - 0 3 y 9 4 0 4 9 Graf: Nejprve sestrojíme soustavu souřadnic, do ní zaneseme body z tabulky a pak jimi proložíme křivku. Můžeme použít křivítko, nebo šablonu funkce. Grafem kvadratické funkce je parabola. Jak ovlivňuje polohu a tvar paraboly koeficient a? 6

IČ: 50 45 9 IZO: 80078 Tel.: +40 4 30 96, 98 fa: +40 4 30 97 e-mail: info@ssdvs.cz web: www.ssdvs.cz 4 Vliv koeficientu a na graf ryze kvadratické funkce Odvození vlivu koeficientu a na graf kvadratické funkce s použitím tabulkového procesoru Obecný předpis ryze kvadratické funkce je y = a a chceme zjistit, jaká vliv má koeficient a na graf její funkce. Lze to udělat tak, že si narýsujeme graf několika funkcí, ve kterých budeme postupně měnit hodnoty koeficientů, zkusme to ale udělat pomocí počítačových aplikací. Vliv koeficientu a budeme zkoumat pomocí sešitu Ecel, ve kterém jsme pro tyto účely přidali ovládací prvky Číselník, která nám umožňují měnit hodnoty koeficientu a sledovat, jak se mění graf. Zkoumání vlivu koeficientu a na graf kvadratické funkce Spusťte si sešit.04-graf Kvadr fce-me.ls, a měňte postupně hodnoty koeficientu a. Jak se změní graf? Kvadratická funkce y=a a= 6 Tabulka: -5-4 -3 - - 0 3 4 5 y 5 6 9 4 0 4 9 6 5 Graf 5 4 3 0-5 -4-3 - - 0 3 4 5 - - -3-4 -5 Závěr Koeficient a mění polohu paraboly; pro a > 0 vytváří jámu (nebo říkáme, že do paraboly prší ) pro a < 0 vytváří kopec (nebo říkáme, že do paraboly neprší ) Pro zvětšující hodnotu a se parabola zužuje a naopak, pro menší hodnoty a je parabola širší. Grafy kvadratických funkcí y = a pro a = ;; jsou součástí Šablony funkce a využívají se k sestrojení obecné kvadratické funkce. 7

IČ: 50 45 9 IZO: 80078 Tel.: +40 4 30 96, 98 fa: +40 4 30 97 e-mail: info@ssdvs.cz web: www.ssdvs.cz 5 Vliv koeficientu a na graf kvadratické funkce v GeoGebře Odvození vlivu koeficientu a na graf kvadratické funkce s použitím GeoGebry Obecný předpis ryze kvadratické funkce je y = a a chceme zjistit, jaká vliv má koeficient a na graf její funkce. Lze to udělat tak, že si narýsujeme graf několika funkcí, ve kterých budeme postupně měnit hodnoty koeficientů, zkusme to ale udělat pomocí počítačových aplikací. Vliv koeficientu a budeme zkoumat pomocí sešitu Ecel, ve kterém jsme pro tyto účely přidali ovládací prvky Číselník, která nám umožňují měnit hodnoty koeficientu a sledovat, jak se mění graf. Zkoumání vlivu koeficientu a na graf kvadratické funkce Spusťte si dokument.5-graf Kvadr fce-gg.ggb, a měňte postupně hodnoty koeficientu a. Jak se změní graf? Tato aplikace je názornější, než stejná úloha v tabulkovém procesoru! Závěr Koeficient a mění polohu paraboly; pro a > 0 vytváří jámu (nebo říkáme, že do paraboly prší ) pro a < 0 vytváří kopec (nebo říkáme, že do paraboly neprší ) Pro zvětšující hodnotu a se parabola zužuje a naopak, pro menší hodnoty a je parabola širší. Grafy kvadratických funkcí y = a pro a = ;; jsou součástí Šablony funkce a využívají se k sestrojení obecné kvadratické funkce. 8

IČ: 50 45 9 IZO: 80078 Tel.: +40 4 30 96, 98 fa: +40 4 30 97 e-mail: info@ssdvs.cz web: www.ssdvs.cz 6 Převod obecného tvaru kvadratické funkce na vrcholový tvar Pochopení převodu obecného předpisu kvadratické funkce na vrcholový tvar. Převedení obecného tvaru kvadratické funkce na vrcholový tvar Obecný předpis kvadratické funkce y = a + b + c lze převést na tvar y = a( V ) + yv (), kde b a je koeficient kvadratického členu obecného (původního) tvaru kvadratické funkce a V = (); a b yv = c (3) jsou souřadnice vrcholu V = [ V ; yv ] paraboly- grafu kvadratické funkce. 4a Zkuste odvodit vrcholový tvar kvadratické funkce (a tím i dokázat její platnost). Vrcholový tvar kvadratické funkce je vhodný pro sestrojení jejího grafu. Grafem je vlastně, nepřesně řečeno, parabola y = a posunutá do vrcholu V = [ V ; yv ]. Převeďte obecnou rovnici kvadratické funkce f : y = + na vrcholový tvar Řešení: Dosazením do vzorců () a (3) vypočítáme: b b ( ) 4 V = = = = ; yv = c = = = + = 3, tedy V = [ ;3] a ( ) 4a 4 ( ) a dosadíme do vztahu (). Dostaneme ( ( )) 3 y = + a po estetické úpravě y = ( + ) + 3. Převod můžeme ověřit zkouškou: y = ( + ) + 3 ( y = + + 4) + 3 y = + 3 y = + Závěr: Vrcholový tvar kvadratické funkce je y ( ) 3 = + +, vrchol paraboly je v bodě [ ;3] V =. 9

IČ: 50 45 9 IZO: 80078 Tel.: +40 4 30 96, 98 fa: +40 4 30 97 e-mail: info@ssdvs.cz web: www.ssdvs.cz 7 Obecný a vrcholový tvar rovnice kvadratické funkce dynamicky Vytvoření názorné představy o vrcholovém a obecném tvaru rovnice kvadratické funkce v souvislosti s jejím grafem. Prozkoumání tvaru a pozice paraboly v dynamické aplikaci GeoGebry V aplikaci GeoGebra otevřete dokument.07-vrch a Obec tvar Kvadr fce-gg.ggb. Zrušte zaškrtnutí políček Zobrazit vrcholový tvar a Zobrazit obecný tvar. Nastavte hodnotu parametru a kvadratické funkce, přesouvejte parabolu za vrchol do požadovaného bodu a řešte následující úlohy:. Určete vrcholový tvar rovnice kvadratické funkce y = a( V ) + yv. Určete obecný tvar rovnice kvadratické funkce y = a + b + c Řešení: Správnost řešení zkontrolujete zaškrtnutím políček Zobrazit vrcholový tvar a Zobrazit obecný tvar. 0

IČ: 50 45 9 IZO: 80078 Tel.: +40 4 30 96, 98 fa: +40 4 30 97 e-mail: info@ssdvs.cz web: www.ssdvs.cz 8 Graf kvadratické funkce v tabulkovém procesoru Microsoft Ecel Zvládnutí sestrojení grafu kvadratické funkce s použitím nástroje tabulkového procesoru Vložit graf. V následujícím příkladu si ukážeme, jak sestrojit graf kvadratické funkce v aplikaci Microsoft Ecel Sestrojte graf funkce f : y = 4 + 5. Tabulka a graf: Nejprve vytvoříme tabulku tak, že v prvním řádku zvolíme hodnoty vzestupně a do druhého řádku zadáme vzorec pro výpočet hodnot kvadratické funkce, pak tabulku vybereme a zvolíme Vložení/Graf/XY bodový. Kvadratická funkce y=a +b+c a= b= -4 c= 5 Tabulka: -3 - - 0 3 4 5 6 7 y 6 7 0 5 5 0 7 6 30 Graf 5 0 5 0 5 0-4 - 0 4 6 8 Vzhled grafu si upravte podle vlastního vkusu. Řešení naleznete v sešitě Microsoft Ecel.8-Graf Kvadr fce.ls.

IČ: 50 45 9 IZO: 80078 Tel.: +40 4 30 96, 98 fa: +40 4 30 97 e-mail: info@ssdvs.cz web: www.ssdvs.cz 9 Graf kvadratické funkce v programu Microsoft Mathematics Ukázka možnosti sestrojení grafu kvadratické funkce s použitím nástroje Microsoft Mathematics V následujícím příkladu si ukážeme, jak sestrojit graf kvadratické funkce v aplikaci Microsoft Matematics Sestrojte graf funkce f : y = 4 + 5. Graf: V záložce Graphing zadáme předpis kvadratické funkce ve stejném tvaru a s použitím tlačítka Graph vygenerujeme graf požadované funkce. Graf je možné přizpůsobit vlastním potřebám a lze také například funkci trasovat- Graph Controls/Trace. Graf lze eportovat do aplikace Microsoft Word. Tento nástroj je výhodné použít v případě složitějších matematických úloh. Řešení této úlohy naleznete v dokumentu.09-graf Kvadr fce-mm.gcw.

IČ: 50 45 9 IZO: 80078 Tel.: +40 4 30 96, 98 fa: +40 4 30 97 e-mail: info@ssdvs.cz web: www.ssdvs.cz 0 Graf kvadratické funkce v programu SpaceTime Zvládnutí sestrojení grafu kvadratické funkce s použitím nástroje SpaceTime V následujícím příkladu si ukážeme, jak sestrojit graf lineární funkce v aplikaci SpaceTime Sestrojte graf funkce f : y = 4 + 5. Graf: Do vstupního řádku zadejte předpis lineární funkce ve tvaru y = ^ 4 + 5 a stiskněte tlačítko Plot. Graf lze poklepáním otevřít v novém okně a v němž lze využít i další funkce, například trasování. Tento nástroj je výhodné použít v případě složitějších matematických úloh. Soubor s řešením této úlohy má název.0-graf Kvadr fce-st.st. 3

IČ: 50 45 9 IZO: 80078 Tel.: +40 4 30 96, 98 fa: +40 4 30 97 e-mail: info@ssdvs.cz web: www.ssdvs.cz Graf kvadratické funkce v programu GeoGebra Zvládnutí sestrojení grafu kvadratické funkce s použitím nástroje GeoGebra V následujícím příkladu si ukážeme, jak sestrojit graf lineární funkce v aplikaci GeoGebra Sestrojte graf funkce f : y = 4 + 5. Graf: Do vstupního řádku zadejte předpis lineární funkce ve tvaru y = ^ 4 + 5 a stiskněte tlačítko Enter. Graf lze upravit podle potřeb uživatele. Tento nástroj je výhodné použít v případě složitějších matematických úloh. Dokument GeoGebry má název.-graf Kvadr fce-gg.ggb. 4

IČ: 50 45 9 IZO: 80078 Tel.: +40 4 30 96, 98 fa: +40 4 30 97 e-mail: info@ssdvs.cz web: www.ssdvs.cz Graf kvadratické funkce v programu Wolfram Mathematica Ukázka sestrojení grafu kvadratické funkce s použitím nástroje Mathematica V následujícím příkladu si ukážeme, jak sestrojit graf kvadratické funkce v aplikaci Mathematica Sestrojte graf funkce f : y = 4 + 5. Graf: Zadejte příkazy podle obrázku stiskněte kombinaci tlačítek Shift+Enter. Graf lze upravit podle potřeb uživatele. Tento nástroj je výhodné použít v případě složitějších matematických úloh. Vzhledem k tomu, že aplikace je placená, je tato ukázka zařazena kvůli úplnosti matematického software. Notebook aplikace Mathematica má název.-graf Kvadr fce-wm.nb. 5

IČ: 50 45 9 IZO: 80078 Tel.: +40 4 30 96, 98 fa: +40 4 30 97 e-mail: info@ssdvs.cz web: www.ssdvs.cz 3 Kvadratická rovnice Pochopení pojmů kvadratická rovnice, diskriminant kvadratické rovnice, kořeny kvadratické rovnice, počet kořenů v závislosti na diskriminantu. Kvadratická rovnice Kvadratickou rovnicí o neznámé nazveme každou rovnici, kterou můžeme pomocí ekvivalentních úprav převést na tvar a + b + c = 0, kde a 0, b, c ˇ. Úloha řešte kvadratickou rovnici znamená určit všechna čísla, která splňují rovnici a nazývají se kořeny kvadratické rovnice. Kvadratická rovnice může mít dva, jeden, nebo žádný kořen. V kvadratické rovnici se nesmí vyskytovat žádná mocnina neznámé vyšší než. Výraz a + b + c je kvadratický trojčlen. Levá strana úplné kvadratické rovnice má tři členy: a je kvadratický člen, b je lineární člen a c je absolutní člen, čísla a, b, c se nazývají koeficienty pořadě kvadratického, lineárního a absolutního členu. Určení kořenů kvadratické rovnice I. Neúplná kvadratická rovnice. Kvadratická rovnice bez absolutního členu ( c = 0). Řešíme jí vytknutím (násobku ). Příklad: Řešte kvadratickou rovnici (bez absolutního členu): + 0 = 0 /vytkneme ( + 5) = 0 Na levé straně je součin, který se má rovnat 0, tj. jeden z činitelů musí být 0. Musí být tedy buď = 0 a to nastane pro = 0, nebo 5 = 0, což nastane pro = 5. Kořeny jsou tedy 0; 5.. Kvadratická rovnice bez lineárního členu ( b = 0) se řeší vyjádřením Příklad: Řešte kvadratickou rovnici (bez lineárního členu): 8 = 0 /vyjádříme = ± 4 = 8/ :, = ± = 4 Tato rovnice má kořeny + ;. II. Úplná kvadratické rovnice a b c Označíme-li diskriminant kvadratické rovnice + + = 0 ( a, b, c 0). D=b 4ac, potom platí: a odmocněním. Jestliže D > 0, b ± D pak má rovnice dva kořeny, =. a Je-li D = 0, b pak má rovnice jeden kořen = = a jedná se o tzv. dvojnásobný kořen. a pro D < 0, pak rovnice nemá řešení. 6

IČ: 50 45 9 IZO: 80078 Tel.: +40 4 30 96, 98 fa: +40 4 30 97 e-mail: info@ssdvs.cz web: www.ssdvs.cz Příklad: Řešte rovnici = 0. Určíme a =, b =, c =, určíme b ± D ( ) ± 9 ± 3, = = = a. Kořeny jsou = a =. D b ac = 4 = ( ) 4 ( ) = + 8 = 9 a dosadíme do vzorce 7

IČ: 50 45 9 IZO: 80078 Tel.: +40 4 30 96, 98 fa: +40 4 30 97 e-mail: info@ssdvs.cz web: www.ssdvs.cz 4 Řešení kvadratické rovnice v aplikaci Microsoft Mathematics Pochopení počítačového řešení kvadratické rovnice v aplikaci Microsoft Mathematics Řešte kvadratickou rovnici = 0 v aplikaci Microsoft Mathematics: V aplikaci Microsoft Mathematics zvolíme Equation Solver, zadáme rovnici a klepneme na tlačítko Solve. Dostaneme Vstup (Input) ve formátu Mathematics a Řešení (Solution). Eport do aplikace Microsoft Word je následující: (Degrees/Real Numbers) Input Solution Solution Závěr: Rovnice má dvě řešení = ; =. Zkuste sami eperimentovat s různými rovnicemi. Dokument Microsoft Mathematics má název.4-kvadr rce-mm.gcw. 8

IČ: 50 45 9 IZO: 80078 Tel.: +40 4 30 96, 98 fa: +40 4 30 97 e-mail: info@ssdvs.cz web: www.ssdvs.cz 5 Řešení kvadratické rovnice v aplikaci SpaceTime Pochopení počítačového řešení kvadratické rovnice v aplikaci SpaceTime. Řešte kvadratickou rovnici = 0 v aplikaci SpaceTime: V aplikaci SpaceTime zadáme příkaz k řešení rovnice ve tvaru Solve(^--=0) a klepneme na tlačítko Solve. Dostaneme Výstup: [-,]. Závěr: Rovnice má dvě řešení = ; =. Zkuste sami eperimentovat s různými rovnicemi. Dokument SpaceTime má název.5-kvadr rce-st.st. 9

IČ: 50 45 9 IZO: 80078 Tel.: +40 4 30 96, 98 fa: +40 4 30 97 e-mail: info@ssdvs.cz web: www.ssdvs.cz 6 Souvislost kvadratické rovnice a kvadratické funkce Pochopení souvislosti kvadratické rovnice a kvadratické funkce, využití kořenů kvadratické rovnice k načrtnutí grafu kvadratické funkce. Kvadratickou rovnici a + b + c = 0 lze chápat, jako předpisy dvou funkcí y = a + b + c a y = 0. Grafem funkce y = a + b + c je parabola a grafem funkce y = 0 je osa. Kořeny kvadratické rovnice jsou tedy průsečíky paraboly s osou. Kořeny kvadratické funkce lze tedy využít k poměrně přesnému načrtnutí kvadratické funkce. Otevřete si dokument GeoGebry.6-Kvadr rce a fce.ggb a změnou hodnot parametrů a, b, c zkuste řešit různé kvadratické rovnice a zároveň sledujte, jak se změna koeficientů projeví na tvaru a poloze grafu kvadratické funkce. 0

IČ: 50 45 9 IZO: 80078 Tel.: +40 4 30 96, 98 fa: +40 4 30 97 e-mail: info@ssdvs.cz web: www.ssdvs.cz 7 Vztahy mezi kořeny a koeficienty kvadratické rovnice Pochopení vztahů mezi kořeny a koeficienty kvadratické rovnice, znalost využití vztahů pro rychlé řešení kvadratické rovnice. Má-li kvadratická rovnice + = p = q p q + + = 0() kořeny ;, potom platí Každou kvadratickou rovnici a + b + c = 0 lze převést a tvar () jejím vydělením koeficientem a 0 Vztahy () a (3() jsou známy jako Vietovy vzorce. Vietových vzorců lze využít k řešení kvadratické rovnice zpaměti. Pomocí Vietových vztahů řešte rovnici + 6 = 0. Řešení: V této rovnici je p = a q = 6, pro hledané kořeny ; musí tedy platit + = = 6 Postupujeme tak, že určuji rozklady čísla -6 ne součin dvou celých čísel a zároveň určuji jejich součet součin -6 součet -6-6 - 6 6-3 - - 3 Řešením jsou čísla = ; = 3. Přesvědčte se o tom zkouškou. Řešte zpaměti kvadratické rovnice a proveďte zkoušku: ) ) 3) 6 = 0 4) = = 5 + 6 = 0 5) = = + 7 + 6 = 0 6) + 7 + 0 = 0 = = 3 0 = 0 = = + 6 = 0

IČ: 50 45 9 IZO: 80078 Tel.: +40 4 30 96, 98 fa: +40 4 30 97 e-mail: info@ssdvs.cz web: www.ssdvs.cz = = = =

IČ: 50 45 9 IZO: 80078 Tel.: +40 4 30 96, 98 fa: +40 4 30 97 e-mail: info@ssdvs.cz web: www.ssdvs.cz 8 Rozklad kvadratických trojčlenů na součin kořenových činitelů Pochopení a osvojení rozkladu kvadratických trojčlenů na součin kořenových činitelů. Má-li kvadratická rovnice a + b + c = 0 kořeny ;, potom platí a + b + c = a( )( ) Připomeňme vytýkání a rozklad podle vzorců jako jiné způsoby rozkladu mnohočlenu na součin. Součin je potřebný například při úpravách zlomků či při řešení nerovnic. 4 + 0 6 Upravte daný výraz a uveďte, kdy má smysl + 7 + 3. Řešení: Rozložíme kvadratické trojčleny v čitateli na jmenovateli a zkrátíme. Vypočteme kořeny rovnice 0 ± 00 + 96 0 ± 96 0 ± 4 + = :, 8 8 8 4 0 6 0 = = = ={ 3 7 ± 49 4 7 ± 5 7 ± 5 Vypočteme kořeny rovnice + 7 + 3 = 0:, = = = ={ 3 4 4 4 Tedy můžeme kvadratické trojčleny ve zlomku přepsat jako 4 + 0 6 = 4( + 3)( ) + 7 + 3 = ( + 3)( + ) a tyto výrazy pak dosadit do zlomku, kde pak můžeme krátit. 4( + 3)( ) ( ) 4 + 0 6 = = + 7 + 3 ( + 3)( + ) + Na závěr určíme podmínky platnosti výrazu v zadání příkladu. Celý zlomek je definován jen pro ta, pro která není jmenovatel zlomku nulový. Neboli není definován pro kořeny rovnice + 7 + 3 = 0. Ty už jsme ale vypočetli, a tak jednoduše můžeme napsat podmínky platnosti 3;. Rozložte zpaměti kvadratické trojčleny (s využitím Vietových vztahů): ) ) 3) 6 4) 5 + 6 5) + 7 + 6 6) 3 + 7 + 0 3 0 + 6

IČ: 50 45 9 IZO: 80078 Tel.: +40 4 30 96, 98 fa: +40 4 30 97 e-mail: info@ssdvs.cz web: www.ssdvs.cz 9 Rozklad kvadratických trojčlenů v aplikaci Microsoft Mathematics Pochopení a osvojení rozkladu kvadratických trojčlenů na součin kořenových činitelů v aplikaci Microsoft Mathematics. 4 + 0 6 Upravte daný výraz v aplikaci Microsoft Mathematics + 7 + 3. Řešení: Rozložíme kvadratické trojčleny v čitateli na jmenovateli jednotlivě zadáním příkazů 4 factor 0 6 factor + 7 + 3. Celý výraz můžeme řešit najednou zadáním příkazu ( + ) a ( ) 4 + 0 6 simplify + 7 + 3 Řešení v aplikaci Mathematics bude potom následující:. Podmínky určíme řešením rovnice solve( 7 3 0, ) + + =. Dokážete vysvětlit zdánlivý rozdíl výsledků ( ) + a 4 +? Rozložte v aplikaci Microsoft Mathematics kvadratické trojčleny: ) ) 3) 6 4) 5 + 6 5) + 7 + 6 6) + 7 + 0 3 0 + 6 Soubor s dokumentem Microsoft Mathematics má název.9-rozklad Kvadr trojclenu-mm.gcw. 4

IČ: 50 45 9 IZO: 80078 Tel.: +40 4 30 96, 98 fa: +40 4 30 97 e-mail: info@ssdvs.cz web: www.ssdvs.cz 0 Rozklad kvadratických trojčlenů v aplikaci SpaceTime Pochopení a osvojení rozkladu kvadratických trojčlenů na součin kořenových činitelů v aplikaci SpaceTime. Upravte daný výraz v aplikaci SpaceTime 4 + 0 6 7 3 + +. Řešení: Rozložíme kvadratické trojčleny v čitateli na jmenovateli jednotlivě zadáním příkazů factor(4^+0-6) a factor(^+7+3). Celý výraz můžeme řešit najednou zadáním příkazu factor((4^+0-6)/(^+7+3)). Podmínky určíme řešením rovnice Solve(^+7+3=0). Řešení v aplikaci bude potom následující: Porovnejte komfort počítačového řešení v Matematics a SpaceTime. Rozložte v aplikaci SpaceTime kvadratické trojčleny: ) ) 3) 6 4) 5 + 6 5) + 7 + 6 6) + 7 + 0 3 0 + 6 Soubor s dokumentem SpaceTime má název.0-rozklad Kvadr 3clenu-ST.st. 5