Řešení geometrické úlohy spočívá v nalezení geometrického útvaru (útvarů) daných vlastností. Metody řešení konstrukčních úloh: množinou bodů zobrazením výpočtem kombinací předchozích způsobů Konstrukční úlohy lze rozdělit na: polohové: v úloze je již specifikována poloha daných prvků v rovině (např.: Dána úsečka AB. Sestrojte všechny ΔABC takové, že...) nepolohové: není upřesněna poloha prvku v rovině; umístěním některého ze zadaných prvků lze nepolohovou úlohu převést na úlohu polohovou (např.: ΔABC, c=4cm, vc=3cm, tc=5cm) Struktura řešení: a) Rozbor úlohy spočívá v hledání neznámých bodů, pomocí nichž lze hledaný útvar sestrojit; předpokládáme, že existuje alespoň jeden hledaný útvar načrtneme ilustrační obrázek (výsledný hledaný útvar) a vyznačíme zadané prvky uvědomíme si, které body jsou neznámé a pomocí jakých konstrukcí je lze nalézt b) Popis a provedení konstrukce výčet jednotlivých konstrukčních kroků vedoucích k sestrojení neznámých bodů nazýváme jej zápis konstrukce (konstrukční předpis) grafické provedení c) Ověření správnosti konstrukce kontrola správnosti konstrukce ověření, zda má sestrojený prvek všechny požadované vlastnosti v případě, že zadání neobsahuje parametricky zadané (proměnné) prvky, je součástí zkoušky zdůvodnění počtu řešení úlohy d) Diskuse stanovení podmínek úloh s parametrickými (proměnnými) prvky tzv. Podmínky řešitelnosti určení počtu řešení sledujeme konstrukční předpis a zjišťujeme podmínky, za kterých je konstrukce proveditelná Stanovení počtu řešení: u polohových úloh úloha má tolik řešení, kolik lze sestrojit útvarů vyhovujících vlastností u nepolohových úloh vycházíme z počtu řešení polohové úlohy, na kterou jsme nepolohovou převedli; jsou-li některými řešeními shodné geometrické prvky, pokládáme je za jediné řešení nepolohové úlohy 1/11
Konstrukční úlohy řešené užitím množin bodů Konstrukční úloha se rozpadá na: 1) Stanovení neznámých bodů X1..Xn. 2) Stanovení dvou nutných podmínek pro každý z neznámých bodů X1..Xn. 3) Určení množiny M1 a M2 pro každý z bodů X1..Xn (tak, aby splňovali nutné podmínky příslušného bodu). 4) Sestrojení bodů pomocí základních eukleidovských konstrukcí. Každý z hledaných bodů náleží průniku množin M1 a M2. Konstrukční úlohy řešené užitím zobrazením Lze rozlišit tyto dvě varianty užití zobrazení: 1) Geometrické zobrazení aplikujeme na část geometrických útvarů (v náčrtku z rozboru úlohy) 2) Geometrické zobrazení aplikujeme na všechny geometrické útvary; zde je zbytečné uvažovat shodná geometrická zobrazení, protože bychom dostali shodnou geometrickou situaci. (Užití např. stejnolehlosti...) a) Užití středové souměrnosti princip: speciální případ otočení pro úhel otočení α = 180. b) Užití osové souměrnosti princip: touto metodou lze úspěšně řešit úlohy o nejkratším spojením několika bodů lomenou čarou, úlohy o odrazu a např. i některé úlohy o trojúhelníku, je-li jedním z daných prvků součet nebo rozdíl stran... c) Užití otočení princip: je-li dán v rovině bod S, úhel α a dvě čáry m, n, pak všechny body čáry m, které po otočení o daný úhel ve zvoleném smyslu budou ležet na čáře n, dostaneme jako body průniku čáry m vzniklé otočením čáry m a čáry n. d) Užití posunutí princip: jsou-li dány v rovině dvě čáry m, n, potom všechny body čáry m, které po posunutí daném vektorem posunutí s = AA budou ležet na čáře n, dostaneme jako průsečíky čáry n a m, jež je obrazem čáry m v tomto posunutí. 2/11
e) Užití podobnosti a stejnolehlosti - princip: lze užít na příklady, které jsou zadány pomocí dvou podmínek: první skupina podmínek určuje tvar geometrického útvaru a druhá skupina (zpravidla jen jedna podmínka) určuje velikost a polohu geometrického útvaru. Sestrojíme nejprve pomocný geometrický útvar splňující podmínky na geometrický tvar a následně určíme střed stejnolehlosti ta převede geometrický tvar na hledaný. Konstrukční úlohy řešené užitím výpočtu princip: v rozboru úlohy určíme vztah mezi hledanou délkou x a danými délkami úseček tak, že získáme rovnici s neznámou x. Jejím vyřešením získáme kořen(y), a stanovíme konstrukční předpis dle tab: 3/11
Úlohy řešené užitím množin bodů dané vlastnosti Nejjednodušší úlohy: 1. Sestrojte kružnici procházející danými třemi různými body A, B, C, které neleží v jedné přímce (tj. kružnice opsaná danému trojúhelníku ABC). 2. Sestrojte kružnici vepsanou trojúhelníku ABC. Rozbor úlohy: Polohová úloha s jedním neznámým bodem S (střed kružnice opsané respektive vepsané). Hledaný bod S je průsečíkem os stran tj. množin všech bodů stejně vzdálených od libovolných dvou sousedních vrcholů trojúhelníka ABC: o = {X ρ; AX = BX }, respektive hledaný bod S je průsečíkem os úhlů tj. množin všech bodů stejně vzdálených od přímek, v nichž leží ramena úhlu: o = {X AVB ; X<>VA = X<->VB }. Popis a provedení konstrukce: 1) body A, B, C 2) oa, ob (osy dvou stran např.: a, b); respektive oα, oβ (osy dvou úhlů např.: α, β) 3) S, {S} = oa ob respektive {S} = oα oβ 4) k; k(s, SA ) respektive p, p a, S p M, {M} = p a k(s, SM ) Ověření správnosti konstrukce Podle konstrukce prochází kružnice k bodem A a platí: r = SA = SB = SC, tzn.: kružnice k prochází i body B,C. Diskuse Pro každou polohu bodů A, B, C existuje právě jeden bod S, který je středem kružnice opsané (respektive vepsané) kružnice. Úloha má vždy právě jedno řešení. Další úlohy: 4/11
5/11
Konstrukční úlohy řešené užitím zobrazení a) Užitím středové souměrnosti 6/11
b) Užití osové souměrnosti 7/11
c) Užití otočení 8/11
d) Užití posunutí 9/11
e) Užití podobnosti a stejnolehlosti 10/11
Konstrukční úlohy řešené užitím výpočtu Zpracováno z předmětu didaktika matematiky a literatury: Přehled středoškolské matematiky; Josef Polák Matematika pro gymnázia, Planimetrie; Eva Pomykalová 11/11