Tabuka III Mechanické vastnosti některých křehkých konstrukčních materiáů Pevnost v tahu Pevnost v taku Pevnost v ohybu Materiá σ pt/mpa σ pd /MPa σ po/mpa Šedá itina 4 4 1 10 500 80 Šedá itina 4 4 4 40 950 430 Beton (1,3 až 3,5) 5až35 1,3 až 3,5 Ciha (0, až 4) 7,4 až 30 0, až 4 Žua 3 10 až 60 bsah MECHANIKA PRUŽNÉH TĚLEA tudijní tet pro řešitee a ostatní zájemce o fyziku Bohumi Vybíra Předmuva 3 1 ZÁKLADNÍ PZNATKY PRUŽNTI TĚLE 4 1.1 Pevné pružné těeso........................ 4 1. Napětí a deformace......................... 5 TAHVÁ A TLAKVÁ DERMACE 10.1 Tahová deformace tyče, Hookův zákon.............. 10. Taková deformace tyče...................... 11.3 Deformační energie při tahu.................... 11.4 Eperimentání zkoumání materiáu tahem a takem...... 1.5 Míra bezpečnosti a dovoené napětí................ 14 Příkad 1 návrh prutové soustavy................ 16.6 ožitější úohy vedoucí na tah nebo tak............. 17 Příkad rotující tyč....................... 19 Příkad 3 rotující prstenec.................... 0.7 Úohy ke kapitoe......................... 3 MYKVÁ DERMACE A TRZE 6 3.1 Hookův zákon pro deformaci smykem.............. 6 3. Deformační energie při smyku................... 8 3.3 Dovoené napětí při smyku..................... 8 3.4 Torze rotačního váce........................ 8 3.5 Deformační energie při torzi.................... 33 Příkad 4 hnací hříde...................... 33 Příkad 5 torzní osciátor.................... 34 Příkad 6 tuhost šroubovité pružiny.............. 36 3.6 Úohy ke kapitoe 3......................... 37 64
Literatura [1] Brdička, M. amek, L. opko, B.: Mechanika kontinua. Academia, Praha, 000. [] Horák, Z. Krupka,. Šindeář, V: Technická fyzika. NTL, Praha, 1960 a 1961. [3] Hösch, C.: Pružnost a pevnost ve strojnictví. Praha, NTL/ALA, 1971. [4] Kříž,R. Vávra,P.:trojírenská příručka, 3. svazek. Praha, cientia, 1993. [5] zabó, I.: Mechanika tuhých těes a kapain. Praha, NTL, 1967. [6] Vybíra, B.: Zákady teoretické mechaniky,. dí. Hradec Kráové, Gaudeamus, 199. [7] Vybíra, B.: Pružnost a pevnost I. Vyškov: Vysoká vojenská škoa pozemního vojska, 1974. Košice: Vysoká vojenská etecká škoa, 1977. Martin: Vysoká vojenská veitesko-technická škoa, 1978. [8] Vybíra, B.: Pružnost a pevnost II. Vyškov: Vysoká vojenská škoa pozemního vojska, 1975. Košice: Vysoká vojenská etecká škoa, 1977. Martin: Vysoká vojenská veitesko-technická škoa, 1978. [9] Vybíra, B.: Zpracování dat fyzikáních měření. Knihovnička č. 5, Hradec Kráové, MAY, 00. [10] Vybíra, B.: tatika tuhého těesa. Knihovnička č. 6, Hradec Kráové, MAY, 1996. [11] Vybíra, B.: etrvačníky a jejich apikace. Knihovnička č. 34, Hradec Kráové, MAY, 1998. [1] Jarešová,M. Vof,I.:kaáry, vektory... Knihovnička č. 73, Hradec Kráové, MAY, 006. [13] Jarešová,M. Vof,I Vybíra,B.:Kapitoy z matematiky pro řešitee fyzikání oympiády. Knihovnička č. 73, Hradec Kráové, MAY, 006. Předmuva Předožený studijní tet se zabývá mechanikou pevného deformovateného těesa oborem, který studuje mechanická napětí a deformace vyvoané působením vnějších si. Jde tedy o otázky související s pružností a pevností reáného těesa a proto se tento obor v apikované technické formě nazývá pružnost a pevnost, i když ani toto označení pně nevystihuje obsah tohoto technického předmětu. Zabývá se jevy, které vysvětují pevnost např. ptačího křída, kymácejícího se stéba trávy ve větru anebo rotující neutronové hvězdy. Konstruktérovi poskytuje metody potřebné pro návrh různých staveb a strojů. Jejich nedostatečné respektování vede ke katastrofám, se kterými se stáe setkáváme (zřícené budovy, mosty, havarovaná etada atd.). tázkami pružnosti a pevnosti se zabývay nejvýznamnější osobnosti fyziky, jakými byi G. Gaiei, Jacob Bernoui, E. Mariotte, R. Hooke, L. Euer, Ch. A. Couomb, A. L. Cauchy, G.G. tokes, G. Green, J. C. Mawe aj. ouběžně s rozvojem tohoto oboru se rozvíjey i významné matematické obory, jako teorie diferenciáních rovnic a tenzorový počet. I přes uvedený význam je tento obor mechaniky jen okrajovou součástí současné středoškoské fyziky. Nicméně ve vysokoškoské fyzice má pevné místo v teoretické mechanice jako mechanika pružného kontinua. Zde jde o náročnou partii vyžadující dobrou znaost vyšší matematiky, zejména tenzorového počtu. Pro budoucí techniky na středních a vysokých škoách je pružnost a pevnost obávaným profiujícím předmětem. Inženýr dokáže metodou konečných prvků (numerická diferenční metoda řešení diferenciáních rovnic, které popisují napětí a deformace) provést pevnostní výpočet těesa (součástky, konstrukce) ibovoného tvaru. Předožená pubikace může poskytnout jen stručný fyzikání úvod do mechaniky deformovatených těes. mezuje se jen na pružné deformace těes jednoduchého tvaru. Popisuje zákadní deformace: tah, tak, smyk, torzi a ohyb. Při fyzikáním popisu vystačíme se zákady diferenciáního a integráního počtu. tručný fyzikání výkad je iustrován 10 řešenými příkady a čtenáři je předoženo 6 úoh s řešením uvedeným v závěru pubikace. Při řešení příkadů a úoh se čtenář setká s matematikou, která se běžně na střední škoe neprobírá. Vhodné dopnění matematiky pro fyziku ze najít v souboru pubikací Kapitoy z matematiky pro řešitee fyzikání oympiády [13]. 6 3
0. Pooměr křivosti neutrání vrstvy je ϱ = D/. Z toho pyne ohybový moment M = E ϱ J z anapětí: σ = M r = Er = 467 MPa. J z D 1. R = Eh σ e =45mm.. Maimání ohybový moment je v místě kadky: M ma = a ( a), 3 k( a)a d 3 =39,3 mm, voíme d =40mm. pσ kt 3. Probém převedeme na řešení krakorce pode obr. 47. Do výrazu (67) dosadíme za hodnotu /, za hodnotu /adostaneme Y ma = 3 48EJ z. zotropních átek se nazývají eastické koeficienty a jejich počet závisí na sožitosti krystau (u nejsožitějšího krystau trojkonné soustavy je jich 1). 1. Napětí a deformace Nechť na pružné těeso působí soustava vnějších si 1... i... n (obr. 1), přičemž jejich výsednice je nuová: n i=1 i = 0, tj. těeso je ve statické rovnováze. Mezi vnější síy patří: 1. objemové síy rozožené v ceém těese, tedy především tíhová sía a setrvačné síy vznikají v neinerciání soustavě spojené s těesem, např. sía odstředivá,. pošné síy, působící na povrch těesa především takové síy vyvoané takem kapain a pynů, 3. vazbové síy (reakce) síy a případně momenty si, kterými působí na pružné těeso okoní těesa v místech vazeb (např. ožiska, podpěry, vetknutí). Určují se z podmínek statické rovnováhy těesa (viz např. [10]). Y ma / 3 3 br. 47 K výpočtu průhybu nosníku na dvou podporách Y ma 1 1 1 ϱ 1 ϱ 4. δ = δn + δm, δ n...náhodná chyba, δ m...chyba měřida, = (999,9 ± 0,6) mm, b=(19,90 ± 0,09) mm, h=(5,99 ± 0,013) mm, Y =(5,408 ± 0,007) mm, Využijeme závěr řešení úohy 3, přičemž J z = bh 3 /1: Y = 3 48E bh3 1 = 3 4Ebh 3, E = 3 4Y bh 3 =,118 1011 Pa, ( s E = E 3 s ) ( ) sy + + Y E =(,1 ± 0,0) Pa. ( ) ( sb + 3 s ) h =0,018 10 11 Pa, b h k n 1 1 br. 1 oustava vnějších si a vnitřních si Působení vnějších si uvnitř těesa zprostředkovávají vnitřní síy. Jsou to síy, které působí jako reakce proti tendenci vnějších si porušit prvek pružného těesa, měnit jeho tvar, odděit jednu jeho část od druhé. Určují se metodou k ϱ n 60 5
Z rovnováhy si (obr. 46c) pro maé úhy pyne mg =α( + 0 ). 0 dtud dosazením za α aδ/ dostaneme mg = E ( 0 + ). Řešení vede na obtížně řešitenou rovnici třetího stupně pro 0. Budeme-i předpokádat 0, můžeme v závorce zanedbat a síu 0 snadno určit: 0 = 1 3 E(mg) = 499 N. (Výsedek spňuje předpokad 0.) b) σ c = 0 + 0 mg = 168 MPa, c) δ α = E = 3 =98,4 mm. E a) b) α δ α +Δ +Δ mg c) + 0 α α + 0 + 0 mg br. 46 vise zatížený drát a síy v něm působící mg + 0 11. a) rekvence zákadního tónu struny je vyjádřena vztahem f 1 = v = 1 σ ϱ. Úpravou dostaneme σ =4 f1 ϱ = 976 MPa. b) Při napínání struny dojde k jejímu prodoužení pode Hookova zákona σ = εe = Δ E. Zahřátím se struna déky prodouží o Δ t = αδt a o tuto hodnotu se tedy zmenší deformace tahem. Napětí struny se zmenší na σ = Δ Δ t E = σ EαΔt = 976 MPa 33 MPa = 946 MPa a frekvence struny pokesne na f 1 = 1 σ = 433 Hz. ϱ 1. Hava závěsu je namáhána v poše 1 = phd na smyk. Pevnostní podmínka τ = phd τ d = σ kt k 3. oučasně je čep na poše = pd namáhán na 4 Vektor napětí c má dvě významné sožky. ožka napětí ve směru normáy n k rovině myšeného řezu se nazývá normáové napětí, v technické prai se značí σ. Je-i směr tohoto napětí souhasný se směrem vnější normáy, hovoříme o tahovém napětí (tento případ je znázorněn na obr. ). Je-i směr napětí opačný než vnější normáa, hovoříme o takovém napětí. Druhá významná sožkou vektoru napětí c eží v tečné rovině myšeného řezu (tedy přímo v rovině řezu, který je rovinný). Nazývá se tečné napětí a v technické prai se značí τ. Protože toto napětí vyvoává smykovou deformaci, nazývá se rovněž smykové napětí. Rozkad vektoru napětí c v určitém bodě rovinného řezu zatíženého těesa do sožek můžeme vyjádřit těmito skaárními výrazy: σ = Δ n im Δ 0 Δ = d n d = d d cos α = σ c cos α, () Δ t τ = im Δ 0 Δ = d t d = d d sin α = σ c sin α, (3) kde Δ n,δ t jsou veikosti průmětu síy Δ do n a t. Úheα v těchto výrazech je odchyka síy Δ od směru vnější normáy n a eží v intervau 0, p. Z výrazu () tedy vypývá σ > 0 pro tahové napětí, kdy α 0, p/) a σ < 0pro takové napětí, kdy α (p/, p. Tečné (smykové) napětí je τ > 0, neboť vzniká pro α (0, p). Cekové napětí (1) je závisé na dvou vektorových veičinách na vektoru Δ vnitřních si v místě eementu pochy Δ a na směru vnější normáy pochy myšeného řezu v místě, v němž eement Δ eží. Napětí c je tedy veičina, která je charakterizována dvěma směry, což se v jeho sožkách obecně vyjadřuje připojením dvou indeů. Takové veičiny se vyskytují jak ve fyzice, tak v geometrii, nazývají se tenzory a zabývá se jimi matematická discipína tenzorový počet. ) ) V daném případě jde o tenzor druhého řádu. V trojrozměrném prostoru má 3 =9 kartézských sožek, které ze uspořádat do matice ( σ, σ y, σ z ) σ y, σ yy, σ yz. σ z, σ zy, σ zz Tři sožky v havní diagonáe matice mají dva stejné indey a popisují normáová napětí ve směru přísušných os, y, z. Šest zbývajících sožek popisuje tečná napětí v rovinách yz, z a y. Jsou v indeech symetrické (např. σ y = σ y) a tedy nezávisé jsou jen tři. V mechanice tuhého těesa se setkáváme s podobným tenzorem tenzorem setrvačnosti (viz např. [11]). Vektory ze považovat za tenzory prvního řádu (v trojrozměrném prostoru mají 3 1 = 3 sožky) a skaáry za tenzory nutého řádu (3 0 = 1 sožka). vektorech a tenzorech ve fyzice systematicky pojednává [1]. 58 7
5 ŘEŠENÍ ÚLH 1. Pevnostní podmínka mg pd σ kt k d = mgk =1,5 mm pσ kt. a) rekvence zákadního tónu f = 1 ϱ = 1 σ ϱ σ =4 f ϱ = 1 40 MPa, napínající sía =4pr f ϱ =69,7 N. b) Δ = σ E = 4 E 3 f ϱ =,0 mm. 3. Užitím Pythagorovy věty a po zanedbání ε oproti ε dostaneme vztah δ = = ε/. Z Hookova zákona pak pyne σ p = δ E =58,5 MPa, σ c = σ + σ p = 1 480 MPa. 4. a) σ = =9,55 MPa, pr b) σ = σ + Eα(t t ) = 133 MPa, = pr σ = 418 N. 5. σ = 4 4 = 177 MPa, E = pd pd Δ =,05 1011 Pa, μ = Δd dδ =0,8. 6. t min = k =7,96 mm. Voíme t =8,0 mm. pdσ pd 7. a) Na eement dξ ve vzdáenosti ξ od konce působí sía ξ = μgξ, která způsobí jeho prodoužení. Cekové prodoužení dostaneme integrací Δ 0 = μg ξ dξ = μg E E 0 b) Prodoužení ana a největší napětí bude Δ = mg E +Δ 0 = 1 109 mm, = 440 mm. σ ma = g (m + μ) = 136 MPa. Vede ineárního přetvoření vzniká úhové přetvoření, které se v našem případě projeví změnou úhu α na α. Zvoíme-i bodya, B, C tak, že α = p/, nazývá se přísušná změna úhu zkos γ = p/ α. (5) becně síy a momenty si způsobují sožité deformace těes. Ve zváštních případech dochází k zákadním deformacím těes, jak je vyznačeno na obr. 4. Jsou to: 1. tah (tahová deformace) a tak (taková deformace) projevuje se u namáhání an, prutů v příhradových konstrukcích, soupů, řetězů,. smyk (smyková deformace) projevuje se u namáhání šroubů, nýtů, svárů, čepů, 3. torze (krut) projevuje se u namáhání hřídeů, pružin, torzních váken, 4. ohyb projevuje se u namáhání všech druhů nosníků, např. hřídeů, překadů, mostovek, bakonových nosníků (krakorců). a) b) c) d) e) br. 4 Zákadní druhy deformací: a) tah, b) tak, c) smyk, d) torze, e) ohyb 56 9
Na závěr je třeba poznamenat, že zde uvedené úvahy a výpočty patí pouze pro obast patnosti Hookova zákona, pro níž bya odvozena rovnice (68). Je to obast pružného vzpěru. Poté náseduje obast pružně-pastického vzpěru. Kontroa nosníku namáhaného na tak a vzpěr je předepsána normou. Rozhodující veičinou pro nutnost kontroy na vzpěr je hodnota štíhosti nosníku definované výrazem λ = r /Jz. Je-i λ 10, je nutná kontroa na vzpěr. Podrobnosti ze naézt v odborné iteratuře (např. [3], [8]). 4.8 Úohy ke kapitoe 4 19. Geometrické charakteristiky dutých profiů a) Vypočtěte kvadratické momenty (poární a osový) a průřezové moduy v krutu a ohybu průřezu ve tvaru mezikruží. b) Vypočtěte kvadratické osové momenty a průřezové moduy dutého obdéníka. Rozměry průřezů jsou vyznačeny na obr. 44. by v tyči vzniko při ε = 1 (tj. Δ = ), když bychom přijai patnost zákona (8) bez omezení. Ve skutečnosti u většiny technických materiáů vzniká již při ε<0,01 pastická deformace. Výjimku tvoří jen pryž. V tab. I v příoze jsou uvedeny hodnoty Youngova moduu pro běžné technické materiáy. Protože /Δ = E/, nazývá se veičina E/ tuhost tyče v tahu jako sía, která by způsobia prodoužení tyče o jednotkovou déku. prodoužením tyče se současně zmenšují její příčné rozměry. Např. šířka tyče b se zmenší na b Δb (obr. 5b). Reativnízúženípříčnýchrozměrů η = Δb/b je přímo úměrné reativnímu prodoužení ε pode vztahu η = Δb b = με = μ σ E, (9) kde konstantaúměrnostiμ senazývápoissonovo číso. U běžných technických materiáů je μ (0,5 0,5) viz tab. I.. Taková deformace tyče d 1 z h h 1 b 1 z Poznatky, které jsme uvedi pro pružnou tahovou deformaci, patí do jisté míry i pro takovou deformaci, přičemž σ<0 ε<0 (záporné reativní prodoužení = zkrácení), η<0 (záporné reativní zúžení = rozšíření). U takové deformace však přistupují i otázky stabiity a tak reativně štíhé přímé tyče namáhané na tak je nutné kontroovat na vzpěr (viz č. 4.7). d y br. 44 K výpočtu geometrických charakteristik 0. Navíjení drátu ceový drát o průměru d =,00 mm se navíjí na buben o průměru D = = 900 mm. Vypočtěte největší napětí, které přitom v drátu vzniká. 1. ceové svinovací pásmo Na jaký nejmenší pooměr ze svinout oceové měřicí pásmo, které má toušťku h =0,15 mm, nemá-i docházet k jeho trvaé deformaci? Mez pružnosti použité ocei σ e = 350 MPa, E =,1 10 11 Pa.. sa vodicí kadky Vypočtěte průměr d osy vodicí kadky pode obr. 45, je-i dáno: a = 00 mm, = 500 mm, = 3 500 N, oce 11 370 (σ kt = 00 MPa), míra bezpečnosti k =,0. b y.3 Deformační energie při tahu Protože se tyč nachází ve statické rovnováze, projeví se práce vykonaná vnějšími siami při její deformaci přírůstkem její potenciání energie; v tomto případě deformační energie při tahu. Vypočtěme tedy deformační práci ze stavu bez deformace ( = 0) do stavu s deformací =Δ (obr. 6). V obecné pooze (při protažení ) má vnější sia veikost = E/ a při protažení o déku d vykoná eementární práci dw = d = E d. Ceková deformační práce při protažení o Δ je W = E Δ 0 d = E [ ] Δ 0 = E (Δ) = 1 Δ = E. (10) 54 11
kde jsme zavedi konstantu p vztahem Y p = EJ z. (69) Y br. 4 K výpočtu Euerovy kritické síy Vztah (68) je diferenciání rovnice. řádu s konstantním koeficientem p, která má obecné řešení C Y = A sin p + B cos p, (70) jak se můžeme přesvědčit dosazením funkce (70) a její druhé derivace do (68). Integrační konstanty A, B určíme z okrajových podmínek úohy: průhyb Y musí spňovat v bodech =0 a = podmínky Y (0) = 0, Y () =0. Dosadíme-i první podmínku do obecného řešení, dostaneme B = 0. Z druhé podmínky a z (70) pak vypývá podmínka A sin p = 0. Pomineme-i triviání řešení A =0, které nemá pro nás význam, dostaneme podmínku sin p = 0, kterájespněna pro p = kp, kde k =0, 1,,... (71) První z hodnot k, tj. k = 0 odpovídá nezatížené tyči a nemá opět fyzikání význam. Partikuární integrá rovnice (68), který vyhovuje našim podmínkám, má tedy tvar Y = A sin kp, kde k =1,,... (7) Nejmenší síu, při níž nastává rovnováha deformované tyče, dostaneme z (71) pro k = 1. přihédnutím k označení (69) je kr = p EJ z. (73) Toto je Euerův výraz pro kritickou síu při jejím dosažení ztrácí tyč stabiitu. Konstanta A v (7) má význam maimáního průhybu prutu. br. 7 Zkušební tyč pro statickou zkoušku tahem Graf závisosti veikosti zatěžující síy na prodoužení Δ, resp. závisosti napětí σ na reativním prodoužení ε se nazývá pracovní diagram, jehož příkad je na obr. 8. σ σ pt σ kt σ e σ u α K 0 K E U σ P X 0 Pracovní diagram má někoik význačných bodů: X X ε br. 8 Pracovní diagram pro houževnatou oce. Napětí σ je definováno podíem zatěžující síy a pošného obsahu původního (nedeformovaného) průřezu; jde o smuvní napětí, skutečné napětí σ je větší, protože se pocha průřezu deformací zmenšuje. Poznámka: Pro napětí v pracovním diagramu se nově pode ČN přijaa tato označení: σ k = R e, σ pt = R m σ u napětí na mezi úměrnosti (U mez úměrnosti) vymezuje obast (přibižné) inearity, tedy obast, v níž je spněn Hookův zákon σ = Eε. Je zřejmé, že směrnice úsečky U (tg α) je rovna Yougovu moduu E. σ e napětí na mezi úměrnosti (E mez pružnosti) vymezuje bod, při jehož překročení vznikají trvaé deformace. (Norma vymezuje, že trvaé prodouženímusíbýtvětšínež0,005 %.) σ k napětí na mezi kuzu (K mez kuzu) je napětí, při němž se částečně poruší strukturání vazba v krystaické mřížce. Vzniká výrazná pastická deformace (materiá teče ). Tento bod se nevyskytuje u křehkých materiáů. σ pt napětí na mezi pevnosti v tahu, (P mezpevnosti),přijehož dosažení dojde k trvaému porušení materiáu (bod P ). Materiá dáe teče a přetržení nastane v bodě X při menším smuvním napětí. (kutečné napětí je větší bod X.) Bod X 0 popisuje déku přetržené tyče. Při statické zkoušce na tak se použije zkušební těísko tvaru kryche nebo nízkého váce. Jde-i o houževnatý materiá (většina oceí), chová se do meze 5 13
Dvojí integrací dostaneme dy EJ z ( d = ) + C 1, EJ z Y = ) ( 3 + C 1 + C. 3 K výpočtu konstant C 1, C si uvědomíme, že v místě vetknutí ( =0)je dy/d = ϕ =0 a Y = 0. Tak z první rovnice vychází C 1 = 0 a ze druhé rovnice C = 0. hybová čára krakorce je pak popsána vztahem Y = ) ( 3. (66) EJ z 3 Největší průhyb bude zřejmě pro = : Y C Y ma = Y Yma 3 3EJ z. (67) br. 41 K ohybové čáře krakorce Posouzení vivu posouvající síy na ohyb krakorce ze provést jen přibižně. V případě našeho nosníku je posouvající sía podé nosníku konstantní: Q = (viz obr. 35B), což usnadňuje naši úvahu. Probém je v tom, že tečné napětí podé výšky průřezu není konstantní, protože na okrajích je nuové a maima dosahuje u neutrání pochy, kde je naopak nuové normáové napětí. Posouzení provedeme zjednodušeně pro krakorec obdéníkového průřezu o výšce h a šířce b, (J z = bh 3 /1). třední hodnota tečného napětí je τ stř = /(bh). Toto napětí pode Hookova zákona pro smyk vyvoá zkos γ = Y s = τ stř G = bhg. dtud průhyb způsobený střední hodnotou tečného napětí je Y s = bhg.jeho veikost porovnáme s průhybem (67) způsobeným normáovým napětím: Y s = Y ma bhg 3EJ z 3 = h 4 E G h 3, když jsme uvážii, že mezi moduy pružnosti je přibižný vztah E : G 8:3. Zvoíme-i např. /h = 0, dostaneme Y s /Y ma =1/600, tedy méně než 0, %. Viv posouvající síy je tedy pro běžné výpočty průhybu zanedbatený. zvaný míra bezpečnosti, pomocí něhož se počítá dovoené napětí σ dt pro namáhání tahem pode vztahu σ dt = σ kt k, (14) kde σ kt je napětí na mezi kuzu určené statickou zkouškou. Z materiáů, které nemají mez kuzu, se dovoené napětí určí z napětí na mezi pevnosti pode vztahu σ dt = σ pt k, (15) kde k >k. Voba míry bezpečnosti k, k je především otázkou empirie získané provozem a zkušenosti konstruktéra. Při jeho vobě rozhodují současně otázky spoehivosti a ekonomiky, které jsou vzájemně protichůdné. Často přistupují i otázky hmotnosti ceého zařízení, např. u etade. Materiá k, k ce k =1, ce kaená k =,5 4 Šedá itina k =4 5 Hiník itý k =8 10 Dřevo k =6 1 Beton k =4 8 Tab. IV Míra bezpečnosti Pevnostní podmínka, kterou je vázán konstruktér při návrhu, určuje, že pro vypočtené napětí musí patit σ σ dt k nebo σ σ pt k. (16) Zaokrouhení vypočteného rozměru součásti, které nakonec konstruktér provede, je dáno např. ceým čísem, které vypývá z normované řady pro řešený případ (např. normované řady šroubů, nýtů, ožisek). Zváštní pozornost je třeba věnovat cykicky namáhaným součástkám, u kterých může při provozu dojít k únavovým omům. Je to dáno např. jejich kmitáním (u opatek turbín, anebo istů vrtue), nebo rotací (u hřídeů, čepů ko automobiů) a jejichž om může způsobit katastrofu. Zde je proto nutné statickou zkoušku dopnit zkouškou meze únavy při střídavém tahu taku anebo 50 15
4.5 Příčný ohyb Nyní se obrátíme poznámkou k obecnějšímu případu ohybu. U dosud probíraného prostého ohybu jsme počítai jen s účinkem ohybového momentu M = konst. V obecnějším případě tzv. příčného ohybu je M konst. a v průřezech působí ještě posouvající sía Q. Ta vyvoává tečná napětí, což má za násedek, že v důsedku zkosu nejsou příčné průřezy po deformaci přesně komé k podéným váknům, jak předpokáda obr. 38 a výpočty z něj pynoucí. dchyky však nejsou podstatné, a proto je možno při výpočtech napětí vycházet ze vztahu (57). Je však nutné najít nebezpečný průřez, v němž ohybový moment dosahuje maima. V důsedku M konst., již také křivost nosníku (53) není konstantní a mění se se změnou ohybového momentu M = M(). To ovivňuje tvar ohybové čáry, jak bud řešeno v násedujícím čánku. 4.6 hybová čára nosníku při příčném ohybu hybovou čarou při příčném ohybu bude rovinná křivka, protože příčný ohyb je rovinná úoha. Deformaci nosníku budeme pode dohody v č. 4.1 popisovat ve vztažné soustavě Y. Při deformaci se těžiště příčného průřezu o souřadnici posune z poohy C 0 do C (obr. 40a). Posunutí C 0 C se nazývá průhyb (kadný směrem doů). Eement CD ohybové čáry můžeme nahradit oboukem o pooměru ϱ. Pak ds = ϱ dϕ. Pro maé průhyby můžeme psát ds d a pro orientovaný úhe ϕ, který je při maých průhybech maý, patí (obr. 40b): ϕ tg ϕ = dy d. (63) Pak 1 ϱ = dϕ d = d ( dy ) = d Y d d d. (64) Na průhyb Y nosníku má viv jeho napjatost, která je u příčného ohybu popsána normáovým napětím σ (to je vyvoáno ohybovým momentem) a tečným napětím τ (to vzniká působením posouvající síy Q). Jak si ukážeme na příkadu 9, je viv tečného napětí prakticky zanedbatený (menší než 1 %). Lze tedy počítat jen s vivem normáového napětí a k výpočtu použít vztah (53) odvozený pro prostý ohyb (s M =konst.),kdevpřípaděpříčnéhoohybuje M = M() daná funkce. Dosazením (53) do (64) dostaneme d EJ Y z = M(). (65) d 1 α 1 α Řešení Z podmínky statické rovnováhy pyne Pevnostní podmínka (16): dtud d 1 = = br. 11 Prutová soustava cosα = 3. σ = 1 = pd cos α σ dt = σ kt k. (17) k pσ kt cos α =8,6 10 3 m. Voíme d = 10 mm. Ze vztahu (17) pak dostaneme skutečné napětí v tyči σ =73,5 MPa< 100 MPa..6 ožitější úohy vedoucí na tah nebo tak K nejvýznamnějším úohám, které vedou k Hookovu zákonu pro tah/tak patří namáhání v ohybu. Tento případ je tak významný a sožitý, že mu věnujeme samostatnou kapitou 4. K úohám na tah/tak vede i řada staticky neurčitých úoh,tj.úoh,kdy k určení si a momentů si nestačí podmínky statické rovnováhy = 0, M = 0 a k řešení musí přistoupit ještě deformační rovnice, vyjadřující pode dané situace deformační podmínku soustavy, její rozměrovou kompatibiitu. Těchto rovnic je někdy nutno sestavit více; pak hovoříme o tom, koikrát je soustava staticky neurčitá. Důežitým případem je tepené pnutí. Uvažujme jedenkrát staticky neurčitou soustavu, kterou je tyč vožená při tepotě t 1 do nehybných opor (např. mezi čeisti svěráku) bez předpětí (obr. 1). Po zahřátí z tepoty t 1 na t se 48 17
Maimání hodnota tohoto napětí je pro y = y ma,tedy σ ma = M y ma. J z Tento výraz se píše ve zjednodušeném tvaru, který je významný pro pevnostní výpočty: σ ma = M, (55) W z kde W z = J z = 1 y ma y ma je průřezový modu v ohybu kosez. Jeho jednotkou je m 3. Při návrhu nosníku musí být spněna podmínka y d (56) σ ma = M ma σ d, (57) W z kde jsme o ohybového momentu připojii ještě inde ma, což má význam pro obecnější případ příčného ohybu (viz č. 4.5). Příkad 8 Průřezové charakteristiky obdéníka a kruhu Vypočtěte centrání kvadratický moment a průřezový modu obdéníka a kruhu vzhedem k ose souměrnosti. Řešení Centrání charakteristiky jsou vztaženy k osám, které procházejí těžištěm průřezu. a) bdéník (obr. 39) J z = y d = b J y = z d = h h/ h/ b/ b/ y dy = bh3 1, (58) y dy = hb3 1, a) b) Příkad rotující tyč c) 1 a a a R 1 Δ 1 Δ 0 Δ Δ 10 Δ δ 10 R 0 10 br. 13 taticky neurčitá prutová soustava Uvažujte pružnou tyč o déce, hustotě ϱ a konstantním obsahu příčného průřezu, která rotuje konstantní úhovou rychosti ω koem osy komé k podéné ose tyče (obr. 14). Vypočtěte a) napětí σ v obecně vedeném komém řezu X tyče, b) prodoužení Δ úseku tyče o déce a prodoužení Δ ceé tyče. Při řešení pro jednoduchost předpokádejte, že změna rozměrů tyče je maá, což dobře spňují technické materiáy s výjimkou pryže. Řešení a) Ve vzdáenosti od konce tyče provedeme myšený řez X (obr. 14). Vnitřní síy v tomto řezu musí být v rovnováze s výsednicí odstředivých si myšené odděené části. Na eement dξ působí eement odstředivé síy o veikosti d = ϱω ( ξ)dξ. W z = J z h = bh 6, W y = J y b = hb 6. (59) 46 19
Rovnice (45) až (47) vyjadřují, jak se uskutečňuje přenos vnitřních si uvnitř nosníku, avšak nepostačují k naezení funkce σ = σ(y, z). Z toho vypývá, že rozožení napětí v v průřezu je staticky neurčité. K určení napětí v průřezu musíme vyjít z rozboru deformace nosníku. Vyjdeme z předpokadu, že příčné řezy, které byy rovinné před deformací, zůstanou rovinnými i po deformaci. Tato hypotéza umožnia Jakobu Bernouiovi r. 1774 podat první správné řešení ohybu. právněnost tohoto předpokadu bya dostatečně prokázána tím, že výsedky teorie ohybu, které z něho pynou, souhasí s eperimenty. právnost předpokadu můžeme názorně ukázat na gumovém modeu nosníku s vyznačenou sítí pode obr. 37. ϱ Řešení a) Úoha vede na prostý tah. Z prstence vyjmeme eement (obr. 15), na který působí eementární odstředivá sía o veikosti ( d o = ω r + h ) dm ω r ϱbh dα. Aby myšeně vyjmutý eement by v rovnováze, musí účinek odstředivé síy d o vyrovnávat dvě vnitřní obvodové síy, stejné veikosti pode obr. 15b. Protože tyto tři síy jsou v rovnováze, je siový trojúheník uzavřený (obr. 15c). Pro veikost eementární síy d o musí tedy současně patit d o = dα. +M M dϕ Porovnáním obou výrazů pro d o dostaneme veikost vnitřní síy a tahové napětí, které sía v prstenci vyvoá: ϱ = ω r ϱbh, σ = bh = ω r ϱ. (19) br. 37 Deformační hypotéza pro prostý ohyb br. 38 Deformovaný eement nosníku při prostém ohybu B A d 1 A 1 y B 1 y σ<0 tak σ>0 tah Uvedenou hypotézu budeme nyní apikovat na náš nosník. Uvažujme dva soumezné původně rovnoběžné řezy 1, pode obr. 36a, které se po deformaci nosníku vzájemně natočí o úhe dϕ (obr. 38). Roviny proožené deformovanými průřezy se protnou v přímce ose ϱ, která je komá k nákresně. Na této ose eží středy křivosti deformovaných podéných váken eementu nosníku. Je zřejmé, že spodní vákna se produžují, horní zkracují. Déka jistého vákna A 1 A, o jehož pooze zatím nic nevíme, se nemění. Pocha, v níž eží tato vákna, se nazývá neutrání pocha. Pooměr křivosti vákna A 1 A označíme ϱ. Pro déku tohoto vákna při uvažovaných maých deformacích můžeme psát A 1 A = ϱdϕ =d. Vákno B 1 B,kteréjevevzdáenosti y od neutrání pochy, má po deformaci déku B 1 B =(ϱ + y)dϕ. Jeho b a) b) c) h r ω dα dα d o d o br. 15 K výpočtu napětí v rotujícím prstenci dα = = b) Působením odstředivých si se obvod prstence zvětší, přičemž pode Hookova zákona pro jeho reativní prodoužení patí ε = p(r +Δr) pr pr = Δr r dtud dostaneme zvětšení pooměru prstence Δr = ω ϱ E r3. = σ E = ω ϱ E r. 44 1
Příkad 7 posouvající sía a ohybový moment Vyšetřete průběh posouvající síy a ohybového momentu u čtyř typických nosníků z obr. 35 a určete jejich nebezpečný průřez. Nosník na obr. 35C je zatížen spojitým břemenem o dékové hustotě tíhové síy q = konst. Řešení A) a) b) c) C) a) R A Q M R b) c) R Q M R A 1 > R B a 1 a M ma / 1 q M ma C R B R R B) a) M R b) R Q c) M M ma R a R R b) Q c) M br. 35 Posouvající sía a ohybový moment: A) nosník s osaměými siami, B) krakorec s osaměou siou, C) nosník se spojitým zatížením, D) nosník s částí s konstantním ohybovým momentem D) a) R A C B R a. Ladění housové struny Uvažujme oceovou housovou e-strunu o déce = 35 mm (úsek od kobyky na konec hmatníku) a průměru r =0,50 mm, která má být naaděna na tón e 1 o frekvenci f = 654 Hz. Je dán tepotní součinite dékové roztažnosti α =1,5 10 5 K 1, E =,05 10 11 Pa, ϱ =7,86 10 3 kg m 3.Jeznámvztah mezi rychostí zvuku ve struně c a napínající siou: c ϱ =. Vypočtěte a) veikost napínající síy a napětí σ ve struně, b) prodoužení struny při adění z nenapjatého stavu. 3. Vychýení housové struny trunu z úohy v jejím středu příčně vychýíme o δ = 4 mm. Jaké bude přídavné napětí σ p a jaké cekové napětí σ c = σ + σ p,kdeσ je napětí struny po jejím naadění? 4. ceový drát při změně tepoty Mezi dvěma pevnými body, např. mezi dvěma domy, by za tepoty t =35 C napnut oceový drát o průměru r =,00 mm siou o veikosti =30,0 N. Vypočtěte a) napětí σ vdrátu, b) napětí σ a veikost napínající síy, kesne-i tepota na t = 5 C. Tepotní součinite dékové roztažnosti α =1,5 10 5 K 1, E =,05 10 11 Pa. 5. Tahová zkouška Při tahové zkoušce oceové tyče o průměru d =0,0 mmadéce = 00 mm byo při zatížení =5,55 10 4 N změřeno prodoužení Δ =0,17 mm a příčné zúžení Δd =4,9 10 3 mm. Tyto hodnoty byy určeny za stavu pod mezí pružnosti. Určete napětí, Youngův modu a Poissonovo číso zkoumané ocei. 6. Podpěrný soup Ve stavební konstrukci je třeba navrhnout reativně krátký soup z šedé itiny, jehož průřez má tvar mezikruží o vnějším průměru d = 100 mm. Na soup připadá tíhová sía veikosti,5 10 5 N. Vypočtěte minimání toušťku stěny soupu, jestiže σ pd = 500 MPa. Vote k =5,0. 7. Důní ano Důní ano o déce = 1 000 m, pošném obsahu příčného řezu všech drátů = 500 mm, dékové hustotě μ =3,95 kg m 1 a Youngově moduu E = 4 3
4 ELEMENTÁRNÍ TERIE HYBU 4.1 Nosník zatížený vnějšími siami Nosník je důežitý konstrukční eement přímého tvaru, který u strojních a stavebních konstrukcí souží k zachycení vnějšího, převážně příčného, siového zatížení. My si jej znázorníme jako tyč spojenou s pravotočivou soustavou souřadnic pode obr. 3, přičemž se přidržíme historicky vžité úmuvy v teorii ohybu, pokud jde o kadné orientace. Protože většina vnějších si jsou tíhové síy směřující doů, bereme tento směr jako kadný. U rovinných úoh, které budeme řešit a znázorňovat rovinnými náčrty, budou mít momenty si v kadném směru směr kadné pooosy z. Budeme je znázorňovat oboučky, orientované ve směru rotace, kterou by přísušný moment vyvoa. Tedy kadný moment M vyvoá rotaci ve směru pohybu hodinových ručiček (obr. 3). Deformace, která se u nosníku nazývá průhyb, má souřadnici Y. z +M + + a) síu 0, o kterou vzroste napínající sía v drátu, b) cekové napětí σ c vdrátu, c) déku, o kterou se posune střed drátu po zavěšení závaží. Návod: Řešení úkou a) vede na rovnici třetího stupně, kterou však ze zjednodušit předpokadem, že 0. 11. Rozadění piana a) ceová struna piana naaděná na zákadní tón a 1 o frekvenci f = 440 Hz má déku 40 cm. Určete normáové napětí struny. Víme, že fázová rychost příčného vnění na struně je určena vztahem σ v = ϱ, kde σ je normáové napětí struny a ϱ = 7 900 kg m 3 je hustota materiáu, ze kterého je struna vyrobena. b) truny piana jsou napnuty na masivním itinovém rámu. Přeneseme-i piano ze studeného prostředí do vyhřáté místnosti, dojde k jeho rozadění, protože tenké struny se ryche zahřejí na tepotu místnosti, zatímco rám se bude ohřívatjen zvona. Jak se změní frekvence zákadního tónu struny z úohy a), zvýší-i se její tepota o 10 K a tepota rámu se nezmění? Tepotní součinite dékové roztažnosti ocei α = 1,5 10 5 K 1, Youngův modu pružnosti E =, 10 11 Pa. y, Y br. 3 Nosník voba souřadnic Budeme pracovat se staticky určitými nosníky. Mezi ně patří nosník na obr. 33a uožený na jedné rovné koubové podpoře (A) a jedné posuvné koubové podpoře (B); na obr. 33b je nosník s jedním dokonae vetknutým koncem (C). Při řešení statické rovnováhy odstraníme vazby, tj. podpory A, B resp. vetknutí C a nahradíme je vazbovými siami reakcemi a případně reakčním momentem, jak je na obr. 33b vyznačeno čárkovaně. a) b) A R Ay R A M R B B M R R y R C M br. 33 taticky určité nosníky; v podporách A, B, C jsou čárkovaně vyznačeny reakce a reakční moment 40 5
frekvenci otáčení n = 500 min 1. Pevnost navržené ocei je σ pt = 330 MPa. Předpokádejte, že oce je houževnatá a tedy pro pevnost ve smyku patí τ p = = σ pt / 3. 14. Hříde Hříde přenáší výkon P = 0 kw při frekvenci otáčení n = 1 00 min 1. Navrhněte jeho průměr při τ d =40MPa. 15. etrvačník etrvačník o momentu setrvačnosti J = 150 kg m je pevně spojen s hřídeem, na jehož konci A je brzda (obr. 8). Při jaké největší frekvenci otáčení ze konec hřídee A zastavit, aniž by došo k překročení dovoeného namáhání hřídee? Je dáno: pooměr hřídee r =5,0 mm, jeho déka =1,80 m, G =8,0 10 10 Pa a dovoené tečné napětí τ d =80MPa. A r br. 8 etrvačník na hřídei r br. 9 Torzní tyč k pérování 16. Torzní pérování V tanku je každé z deseti pojezdových ko odpruženo samostatnou torzní tyčí (obr. 9). dpružená hmotnost je m = 8,0 t; předpokádejte, že na každé pojezdové koo připadá stejný dí této hmotnosti. Rozměry tyčí jsou: = 1,80 m, r =56,0 mm, R = 50 mm, G =8,0 10 10 Pa. Vypočtěte a) úhe zkroucení ϕ torzní tyče po jejím statickém zatížení vastní tíhou odpružené hmotnosti, b) maimání tečné napětí v tyči při jejím zatížení. 17. Torzní dynamometr K měření výkonu ze užít torzní dynamometr, jehož zákadem je torzní tyč (obr. 30). Určete výkon spaovacího motoru na brzdě, jestiže se měrná torzní tyč o průměru d =18mm adéce = 600 mm zkroutia o ϕ =6 30 při frekvenci otáčení f =53,3 s 1. Vypočtěte napětí v tyči. G =7,95 10 10 Pa. R ϕ takže nezávisé jsou jen dvě konstanty. Eperimentáně se snadněji určují E a G. Poissonovo číso se vypočte z (3). Mechanika pružného kontinua rovněž ukazuje (viz např. [3], [7]), že napjatost vznikající v určitém eementu těesa namáhaného prostým smykem je dvojosá (rovinná). Jestiže při jednoosé napjatosti by stav popsán jedním (havním) napětím σ, pak u dvojosé napjatosti jsou tato napětí dvě (σ 1, σ ). Užitím podmínky statické rovnováhy pro eement těesa ve tvaru kryche o stěnách pošného obsahu určíme vztah mezi σ 1, σ a tečným napětím τ působícím ve stěnách tohoto eementu (obr. 19a). a) b) τ d) σ τ σ 1 σ 1 τ τ τ σ 1 γ τ τ σ c) 4 3 1 br. 19 Napjatost při smyku e) τ σ 5 Krychi nejprve rozděíme myšeným úhopříčným řezem o pošném obsahu, jehož normáa má směr havního napětí σ 1 (obr. 19b). Aby vnitřní síy o veikostech 1 = σ 1, 3 = 4 = τ působící ve stěnách této půkryche byy v rovnováze, musí tvořit uzavřený pravoúhý siový trojúheník (obr. 19c). Musí tedy patit 1 = 3 + 4, neboi (σ 1 ) =(τ), resp. σ1 = τ. Rovnice má dva kořeny stejné veikosti a opačného znaménka, z nichž fyzikání význam má kořen σ 1 = τ, neboť σ 1 > 0 je tahové napětí. Provedeme nyní myšený úhopříčný řez eementární kryche rovinou komou k rovině v předcházejícím případě (obr. 19d). Na stěnách působí vnitřní síy o veikostech = σ 1, 5 = 6 = τ. Pro statickou rovnováhu musí anaogicky patit = 5 + 6 ; po dosazení dostaneme σ = τ. yzikání význam má kořen σ = τ, neboť napětí σ < 0 je takové. hrnuto: prostý smyk představuje dvojosou napjatost charakterizovanou havními napětími σ 1 = τ, σ = τ. 6 38 7
c) V soustavě na obr. c) je k t = pgr4 ( 3 + 3 ) = 9 pgr 4, 4 ω = 3 pgr 4 J = 3 ω 0 = 3 4 ω 1. Příkad 6 tuhost šroubovité pružiny Uvažujme šroubovitou vácovou tažnou pružinu (obr. 5). Pružina má střední pooměr vinutí R, pooměr drátu r a počet závitů n. Předpokádejme, že pružina je hustě vinutá a že její deformace je maá. Proto můžeme stoupání šroubovice, která je osovou křivkou svinutého drátu, zanedbat. Vypočtěte tuhost pružiny. Řešení Pružinu zatíženou siou rozděíme myšeným řezem na dvě části (obr. 5). V místě řezu musíme připojit vnitřní síy, abychom obnovii rovnováhu. To provedeme tak, že síu přeneseme do osy drátu jako síu =. Tím musíme připojit siovou dvojici, omomentu M k = R, který zkrucuje drát. ía namáhá drát na prostý smyk. Jak si ukážeme na závěr, její viv je zanedbatený. Podstatný je viv torze drátu pružiny, který jednoduše vypočteme užitím deformační energie při zkrucování závitů pružiny. Užijeme vztah (40), do něhož dosadíme M k = R, =prn (déka nedeformovaného drátu pružiny). Deformační energie pružiny se rovná práci napínající síy, která se ineárně zvětšuje a produžuje pružinu do konečné hodnoty Δy. Musítedy patit (srovnej s výpočtem pode (10)): U = R 3 n Gr 4 = 1 Δy. Pro prodoužení pružiny vivem torze patí Δy = 4R3 n Gr 4. M k R r br. 5 Šroubovitá pružina r. 1776. Práce obsahuje všechny zákadní případy deformace těes včetně eementární teorie ohybu nosníku. Couomb využi svých poznatků o torzi k sestrojení prvních torzních vah r. 1784, které mu umožniy r. 1785 objevit zákon o siovém působení eektrických nábojů, dnes známý jako Couombův zákon. Při krutu (torzi) váce s kruhovým průřezem na jednom konci upevněném a na druhém konci namáhaném vnější siovou dvojicí dochází ke vzájemnému stáčení průřezů komých k podéné ose váce. Eperimentáně ze ověřit, že u rotačního váce zůstávají kruhové průřezy i po deformaci rovinné a radiání úsečky přímé. Průřezy se tedy otáčejí koem osy váce, aniž se deformují. Cekové otočení horního kruhového průřezu váce oproti spodnímu vetknutému průřezu označíme ϕ. Nazývá se úhe zkroucení. Moment dvojice vnějších si se nazývá kroutící moment; jeho veikost označíme M k. Je zřejmé, že při krutu váce vzniká smykové napětí τ. Nyní si odvodíme vztahy mezi veičinami M k, τ, ϕ. U pravoúhého eementu vymezeného na povrchu váce dvěma soumeznými površkami a dvěma soumeznými kružnicemi (obr. 0a) se po deformaci krutem změní jen úhy, déky jeho stran zůstanou prakticky nezměněny. Eement je namáhán prostým smykem. a) b) dy y r M k ϕ γ dr r dy r dϕ γ M k br. 0 K popisu deformace při torzi Pro výpočet napětí vytkneme z váce o déce eementární trubici o výšce dy, pooměru r atoušťcedr pode obr. 0b. Z této trubice vyjmeme hranoek, který se při deformaci zkosí. Pro jeho zkos zřejmě patí γ = r dϕ dy = r ϑ, (7) dα τ τ τ τ 36 9
Řešení Pro daný výkon bude mít kroutící moment největší veikost při největším převodovém stupni z 1, tj. při frekvenci otáčení n 1 = n 0 /z 1. Tomu bude odpovídat maimání kroutící moment M k = P = 30P = 30Pz 1 = 557 N m. ω 1 pn 1 pn 0 Pevnostní podmínka je τ ma = M k W k = 16M k pd 3 τ d ; odtud průměr hřídee d 3 16M k pτ d =34,3 mm; voíme d =35mm. Kontroa tuhosti se provede výpočtem největšího zkrutu s využitím (34) a (35): ϑ = ϕ = M k GJ p = 3M k pgd 4 =4,73 10 rad m 1 =,71 /m. Tento zkrut (předpokádá se, že v provozu bude mezní) je ještě vyhovující. Výhodnější konstrukčním řešením by by dutý hříde, který by sice mě větší průměr (např. 4 mm), avšak by by ehčí a tužší. Příkad 5 torzní osciátor Vypočtěte úhové frekvence ω 0, ω 1, ω vastních kmitů torzních osciátorů pode obr. 4, které sestávají z těesa o momentu setrvačnosti J atorznítyčeopooměru r, aktivní déce a moduu pružnosti ve smyku G. V případě a) je těeso na voném konci tyče, v případech b), c) jsou oba konce tyče upevněny a těeso je buď uprostřed tyče nebo v jedné třetině její déky. Úhové frekvence ω 1, ω vyjádřete pomocí úhové frekvence ω 0. Řešení a) točíme-i těeso okoo osy tyče o úhe ϕ, bude proti výchyce působit moment síy M k = k t ϕ, kde torzní tuhost k t určíme použitím vztahu (35): k t = M k ϕ = pgr4. (41) kde d = r je průměr kruhu. Často se můžeme setkat s krutem trubky, která má průřez tvaru mezikruží. Pak se změní jen meze na r 1, r adostaneme J p = p ( r 4 r1) 4 p ( = d 4 3 d 4 ) 1. (33) Pro úhe zkroucení ϕ váce na jeho voném konci dostaneme z (30) výraz ϕ = M k. (34) GJ p přihédnutím k (3) bude pro úhe zkroucení rotačního váce patit ϕ = M k Gpr 4. (35) Je zřejmé, že tento úhe je vemi citivý na veikost pooměru r. Je-i vemi maý (řádově 10 5 m), dosáhneme vekých úhů ϕ pro maé M k, což se využívá např. pro měření gravitačních si na torzních vahách (viz úohu 17). Je-i naopak reativně veký (řádově 10 m), projevuje se výrazně větší tuhost, což se využívá např. pro odpružení automobiů a tanků (viz úohu 15). Vraťme se nyní k výpočtu tečného napětí. Dosadíme-i z výrazu (30) do (9), dostaneme τ = M k r. (36) J p Maimání veikost tečného napětí bude na obvodu průřezu (r ma = r): τ ma = M k r = M k, kde W J p W k = J p k r je průřezový modu v krutu 5 ). Pro kruhový průřez o pooměru r = d/ je (37) W k = pr3 = pd3 16. (38) Napětí ve váci namáhaném na krut nesmí překročit největší dovoené napětí ve smyku τ d, tj. při torzi musí být spněna pevnostní podmínka τ ma = M k W k τ d. (39) 5 ) Tato veičina zjednodušuje výpočet smykového napětí při krutu u sožitějších profiů; podobně je tomu i u ohybu (č. 4.3). 34 31
Dovoené napětí ve smyku byo zmíněno v č. 3.3. Závisí především na tom, zda použitý materiá je houževnatý (viz výraz (5)) nebo křehký (viz výraz (6)). tom, jaký druh napětí rozhoduje o porušení krouceného váce se můžeme přesvědčit jednoduchými eperimenty. Křehký materiá (např. itina) se při kroucení poruší přetržením v šikmých řezech, v nichž působí největší tahové napětí (obr. 3a). itině víme, že má pevnost v tahu asi čtyřikrát menší než v taku. charakteru omu křehkého materiáu při kroucení se můžeme snadno přesvědčit např. kroucením sané tyčinky nebo škoní křídy. a) b) c) 3.5 Deformační energie při torzi Výpočet provedeme dvojím způsobem. Nejprve vyjdeme z deformační práce kroutícího momentu s využitím výsedku (30). Pro eement této práce patí dw =du = M k dϕ = GJ p ϕ dϕ. Cekovou deformační energii dostaneme integrací pro úhe zkroucení od 0 do ϕ. využitím vztahu (35) po integraci dostaneme U = GJ p ϕ 0 ϕ dϕ = GJ p ϕ = M k = M k GJ p pgr 4. (40) Protože u torze jde o sožený smyk, můžeme ke stejnému výsedku dospět využitím hustoty deformační energie (4). Uvažujme eement zkroucené tyče, který má podstavu d a výšku dy (viz obr. 0), tedy objem dv =d dy.vněm je tedy obsažena deformační energie, pro kterou vzhedem k (36) dostaneme br. 3 Porušení váce při torzi materiáu a) křehkého, b) houževnatého, c) dřeva (převzato z [7]) U houževnatých materiáů je rozhodující největší tečné napětí. Proto se vzorek z tvárného materiáu namáhaný krutem usmýkne v rovině komé k ose tyče (obr. 3b). Přesvědčíme se o tom eperimentem při kroucení např. měděného nebo žeezného drátu anebo jednoduše na rohíku ve druhém dni po jeho upečení. Dřevo je materiá anizotropní. Jeho pevnost ve směru váken je mnohem větší než napříč a pevnost ve smyku podé váken je maá. Proto při kroucení vznikají trhiny (obr. 3c). U některých krutem namáhaných součástí je z funkčních důvodů nutné dát přednost deformační podmínce, tj.zkrut ϑ nesmí překročit určitou dovoenou hodnotu ϑ d,tj.musípatit ϑ = ϕ = M k GJ p ϑ d. Např. u hřídeů, u nichž nemá vzniknout torzní kmitání rotujících hmot, se připouští ϑ (0,5 0,75) /m. du = u s dv = τ d dy = M k G GJp r d dy. Nyní provedeme integraci přes ceý objem, tedy pro y od 0 do a přes ceý pošný obsah příčného řezu. Deformační energie je U = M k GJp r d dz = M k, GJ p 0 neboť výraz v hranaté závorce je poární moment setrvačnosti průřezu J p. Příkad 4 hnací hříde Vypočtěte průměr spojovacího koubového hřídee mezi převodovkou a rozvodovkou na zadní nápravě automobiu. Motor má největší výkon P = 65,0kW při frekvenci otáčení n 0 = 4 00 min 1. Největší převod v převodovce (při 1. převodovém stupni) je z 1 = 3,77. Dovoené napětí vote τ d = 70 MPa. Proveďte kontrou tuhosti hřídee. G =8,0 10 10 Pa. 3 33
kde ϑ = dϕ dy = ϕ (8) je poměrné zkroucení neboi zkrut váce. Je to úhe zkroucení připadající na jednotkovou déku váce (tyče). Po dosazení (7) do Hookova zákona () dostaneme τ = Gϕ r. (9) Tečné napětí pode (9) je úměrné vzdáenosti r eementu od osy váce. Eement ežící v ose váce není tedy namáhán, kdežto eement ežící u povrchu váce je namáhán nejvíce (obr. 1). Vnější kroutící moment M k musí být v rovnováze s cekovým momentem vnitřních tečných si v rovině řezu: M k = r τ d = Gϕ r d = Gϕ J p, (30) kde J p je poární kvadratický moment pochy průřezu k ose váce: τ ma τ τ d r r dr dα α br. 1 Napětí při torzi J p = r d. (31) y r dr br. K výpočtu poárního kvadratického momentu kruhu Poární kvadratický moment je jednou z důežitých geometrických charakteristik (s dašími se setkáme u ohybu v násedující kapitoe). Nyní vypočítáme poární kvadratický moment kruhu o pooměru r kbodu (obr. ). Z kruhu si vytkneme eement pochy ve tvaru mezikruží o obsahu d =pr dr adostaneme r J p =p 0 r 3 dr = pr4 = pd4 3, (3) 30 r a) b) c) ω 0 r J ω 1 r br. 4 Torzní osciátory s různou poohou kmitajícího těesa Pohybová rovnice vychýeného těesa je J d ϕ dt = M k,neboi d ϕ dt + k t J ϕ =0. Jak se můžeme přesvědčit zpětným dosazením, rovnici vyhovuje funkce ϕ = ϕ m sin ω 0 t,kdeϕ m je úhová ampituda a ω 0 hedaná úhová frekvence. d Porovnáním rovnic pro ni a její druhou derivaci ϕ dt = ω0 ϕ m sin ω 0 t dostaneme k t ω 0 = J = pgr 4 J. (4) b) oustavy na obr. b), c) jsou sožené mají dvě paraeně řazené torzní pružiny (obecně o tuhostech k t1, k t ). točíme-i těeso o úhe ϕ, bude na ně působitvratnýmomentsíy M k = (k t1 + k t )ϕ = k t ϕ, kde J ω k t = k t1 + k t (43) je výsedná tuhost soustavy. Při výpočtu úhové frekvence tedy obecně píšeme k t ω = J = k t1 + k t. J V případě pode obr. b) je k t1 = k t = pgr4 a úhová frekvence je pgr 4 ω 1 = =ω J 0. 35 r 3 3 J
3. Deformační energie při smyku Anaogicky výpočtu deformační energie při tahu (č..3, výraz(10)) určíme deformační energii při smyku: U = W = 1 Δs = a G = τ G a, kde jsme využii vztahu (0), přičemž a = V je objem kvádru. Pro hustotu deformační energie při smyku dostaneme který je zcea anaogický vztahu (1). 3.3 Dovoené napětí při smyku u s = U V = τ G = γτ = γ G, (4) Při namáhání ve smyku jde o zváštní případ dvojosé napjatosti, kdežto pevnostní zkouška se provádí pro jednoosou napjatost. Eistuje někoik pevnostních hypotéz (viz např. [3], [4], [7]), které (s omezenou spoehivostí v závisosti na tom, zda jde o materiá houževnatý či křehký) stanoví jisté jednoosé napětí k posouzení víceosé napjatosti. My se zde na vemi omezené poše tetu nemůžeme tímto probémem podrobněji zabývat; jen uvedeme tyto typické případy pevnostních podmínek: Pro houževnaté (tvárné) materiáy musí pode hypotézy deformační energie změny tvaru pro skutečné tečné napětí patit τ τ d = σ dt 3 0,57σ dt, (5) Prodoužení pružiny vivem smyku označíme Δy s. Vypočteme je užitím Hookova zákona pro smyk γ = τ G, kde γ = Δy s = Δy s prn a τ = = pr. Dosazením dostaneme Δy s = Rn Gr, neboi Δy s Δy = r R 1. Viv smyku je tedy zanedbatený. Bude-i např. r = 1,0 mm, R = 10 mm dostaneme že prodoužení vivem smyku činí jen 0,5 % prodoužení vivem torze. Tuhost pružiny můžeme určit z výrazu k = Δy = Gr4 4R 3 n (= konst.). (44) Na úoze je zajímavé to, že pružina jako ceek je namáhána na tah, kdežto vastní drát na krut a nepatrně i na smyk. Pro tuhost tačné pružiny patí stejný výraz (44). 3.6 Úohy ke kapitoe 3 1. Závěs Navrhněte rozměry h a d závěsu pode obr. 6. Závěs je zatížen siou o veikosti =,0 10 4 N a má být vyroben z ocei 11 500 (σ kt = 60 MPa, τ d = = σ kt /(k 3)). Míru bezpečnosti vote k =,0. h kde σ dt je dovoené napětí (14) pro jednoosou napjatost. Pro křehké materiáy (např. pro itinu) musí pode hypotézy maimáního normáového napětí patit τ τ d = σ dt, (6) kde σ dt je dáno vztahem (15). 3.4 Torze rotačního váce Teorii krutu rotačního váce vypracova Ch.A.Couomb(1736-1806) a uved ji v první souborné práci o mechanice pružných těes, která bya pubikována br. 6 K návrhu závěsu d R br. 7 pojka s pojistným koíkem 13. pojka Vypočtěte průměr d pojistného koíku na pooměru R = 40 mm spojky (obr. 7), který se má přestřihnout při překročení největšího výkonu P ma =8,0 kwpři d 8 37
3 MYKVÁ DERMACE A TRZE 3.1 Hookův zákon pro deformaci smykem Nechťnakvádrorozměrecha, b, c působí ve stěně bc ve směru hrany b sía. Protiehá stěna bc nechť je upevněna (obr. 18). Pak nastane zkosení hranou, přičemž posunutí horní stěny označíme Δs. Toto posunutí je přímo úměrné působící síe, déce hrany a a nepřímo úměrné pošnému obsahu = bc: Δs = a (0) G Zde G je modu pružnosti ve smyku. Vztah (0) je anaogický vztahu (7) pro výpočet prodoužení při tahu a nazývá se Hookův zákon pro smyk. Δs C C 18. Torzní váhy Pro ověření Newtonova gravitačního zákona a k určení gravitační konstanty sestroji H. Cavendish r. 1798 torzní váhy, jejichž schéma je na obr. 31. Použi oověné koue o hmotnosti m 1 = 158 kg a oověné kuičky o hmotnosti m = =0,730 kg uchycené na ehkém vahade s roztečí L = 180 mm. Vahado byo zavěšeno na oceovém drátě s otočným závěsem. Déka drátu = 1600 mm průměr r = 0,15 mm. Cavendish změři na těchto vahách gravitační konstantu s obdivuhodnou přesností 1 %: κ =6,67 10 11 m 3 kg s. Při měření nastavi koue ke kuičkám do vzdáenosti R = 10 mm (pooha I). Zrcátkovou metodou zjisti úhovou poohu vahada. Pak přemísti koue do poohy II tak, aby vzdáenost mezi kouemi a kuičkami bya stejná jako v pooze I. Vypočtěte úhovou změnu Δϕ vahada mezi oběma poohami kouí. Modu pružnosti drátu ve smyku G =8,0 10 10 Pa. (Poznámka některé zde uvedené rozměry jsou rekonstruovány z vyobrazení přístroje.) a A b γ B c br. 18 Kvádr deformovaný smykem Vztah (0) dáe upravíme. Z obr. 18 je zřejmé, že pro maé deformace můžeme psát Δs =tgγ γ, (1) a kde γ je zkos. Tuto veičinu jsme zavedi v čánku 1. jako úhové přetvoření v případě pode obr. 18 vyjadřuje úhe, o který při deformaci vzroste úhe p/ mezi úsečkami BA, BC. Dáe je zřejmé, že ve výrazu (0) je / = τ tečné napětí. Pak můžeme Hookův zákon pro smyk psát v jednoduchém tvaru τ = Gγ, () který je anaogický vztahu σ = Eε (Hookův zákon pro tah/tak). Ke dvěma materiáovým konstantám E, μ, které pružnou átku charakterizují při tahové/takové deformaci, přistupuje u smykové deformace konstanta G modu pružnosti ve smyku. Mechanika pružného kontinua (viz např. [1], [3], [7]) ukazuje, že mezi těmito konstantami eistuje jednoznačný vztah G = E (1 + μ), (3) motor brzda d br. 30 Torzní dynamometr II R m I m 1, r m 1 I L Z m br. 31 Cavendishovy torzní gravitační váhy II 6 39
=8,80 10 10 Pa 4 ) je svise zavěšeno. Vypočtěte a) prodoužení Δ 0 v důsedku vastní tíhy ana, b) prodoužení Δ a největší napětí v aně po zavěšení těžní kece o hmotnosti m = 3 000 kg. 8. Naisovaný kroužek Navrhněte stavěcí kroužek, který po naisování na hříde o pooměru r = =5,0 mm má zachytit osovou síu o veikosti a = 000 N. Kroužek o šířce b =6,00 mm bude vyroben z ocei 1 050 (σ pt = 650 MPa), míru bezpečnosti vote k =3,0, koeficient tření ve stykové poše f =0,10. Vypočtěte toušťku h kroužku, potřebný minimání přesah pooměru Δr min a ohřátí kroužku pro snadnou montáž na hříde o tepotě 5 C. tepotní součinite dékové roztažnosti α =1,6 10 5 K 1, E =,0 10 11 Pa. 9. Padající závaží (princip bucharu) Vypočtěte pooměr svisé oceové tyče o déce =,00 m (obr. 17) namáhané rázem závaží o hmotnosti m =0,0 kg při pádu z výšky h =1,60 m na zarážku. Vote σ d = 00 MPa. Porovnejte napětí při tomto dynamickém účinku závaží s jeho statickým účinkem (a pochopíte princip kadiva resp. bucharu při kování). E =,0 10 11 Pa. r h br. 17 Padající závaží 10. Drát jako staticky neurčitá soustava Na oceový drát vodorovně napnutý mezi pevnými body vzdáenými = = 5,00 m siou = 30,0 N zavěsíme do jeho středu závaží o hmotnosti m =4,00 kg. Je dán pooměr drátu r =1,00 mm, E =,05 10 11 Pa. Vypočtěte 4 ) Hodnota Youngova moduu je výrazně menší než u oceové tyče, protože ano je speteno z vekého množství jednotivých drátů. 4. Vnitřní statické účinky u nosníků Působením vnějších si a momentů si vznikají uvnitř nosníku vnitřní síy. Vztáhneme-i je na jednotkovou pochu, hovoříme o napětí. K jeho určení musíme v přísušném průřezu znát výsednou vnitřní síu a výsedný moment vnitřních si. K tomu se opět využije metoda myšeného řezu, kterou vysvětíme na jednoduchém příkadu nosníku v obr. 34. Předpokádáme, že k dané vnější síe jsmezpodmínek statické rovnováhy určii reakce R A, R B. Nosník myšeným řezem rozděíme na dvě části. Abychom obnovii rovnováhu v evé části, musíme zde připojit síu Q, tzv.posouvající siu a moment síy M, tzv.ohybový moment. Protože myšeně odděená evá část musí být v rovnováze, určíme posouvající síu Q tak, že do řezu přeneseme všechny vnější síy ( p ) působící zprava od něj a sečteme je: a) b) c) R A Q M d) Q = p R A R A a M ma Q D D M R B br. 34 Vnitřní síy u nosníku (síy jsou rovnoběžné, proto jejich souřadnice sčítáme skaárně). Podobně ohybová moment určíme sečtením momentů přenášených si a vožených momentů, které působí zprava M = M p. V příkadu z obr. 34 pro obecně umístěný bod D patí pro a<< Q= R B < 0, M = R B ( ) < 0, pro 0 <<a Q= R B + >0, M = R B ( )+ (a ) < 0. Závisost Q a M na vidíme na obr. 34c,d. Je zřejmé, že ohybový moment má maimum v místě, kde posouvající sía mění znaménko. (Tento poznatek patí obecně a uvádí se jako chwederova věta.) Průřez, kde M = M ma, se nazývá nebezpečný průřez; je rozhodující pro návrh ceého (prizmatického) nosníku. RB 4 41