Statstka verze. Obsah Obsah.... Výzam ojmu STATISTIKA.... Kombatorka... 4 3. Statstcká jedotka, soubor, zak, data a ukazatele... 5 4. Úvod do ravděodobost... 7 5. Objektví, subjektví, odmíěá ravděodobost a ezávslé jevy... 9 6. Úlá ravděodobost... 7. Tříděí číselých zaků... 3 8. Klasfkace charakterstk odle jejch výzamu, kotgečí tabulka... 5 9. Náhodé velčy... 7. Metody statstcké dukce.... Statstcké srováváí ekoomckých jevů.... Idexy... 6 Tyto odklady slouží ouze ro říravu ke zkoušce z ředmětu STATISTIKA. Katoly se shodují s jedotlvým okruhy otázek. Některé otázky chybějí ebo se s jým řekrývají. Veškerý zde uvedeý text je řevzat z ředášek a cvčeí a eí urče ro komerčí účely. - - Jří Stta 4
Statstka verze.. Výzam ojmu STATISTIKA Výzam ojmu statstka raktcká čost - statstka admstratvy o statstka evdece (sběr údajů, evdece, sumarzace) o sttuce, která tuto evdec rovádí (ČSÚ, msterstva) o souhr údajů o ějaké skutečost (statstka ezaměstaost aj.) vědí dsclía teore statstky - Posá statstka - Matematcká statstka (cílem je výsledky zobect, oužívá očtu ravděodobostí) - Teore výběrových zjšťováí - Alkovaé vědy - Vědy se slým statstckým základem (socologe, sychologe aj.). Statstka. je ástrojem ozáí. Iformace, které oskytuje ám umoží vytvořt s obraz o skutečost. Pozáí oděcuje ozáí říč, které vedou k určté úrově sledovaého jevu.. je ástrojem rozhodováí. Pozáí je ředokladem k vytvářeí závěrů a řjímáí rozhodutí. Statstka zameá. údaje, data. čost sočívající v získáváí statstckých dat 3. věda zkoumající statstcké zákotost jevů Název je odvoze z latského STATUS STÁT. Původě se ozačovala věda zabývající se očtem obyvatel, kolk se rodalo > os státu (hosodářství, oltka a zeměsý stav státu). - Starověk: císař Augus, Vlém dobyvatel - Thomas Cromwel zazameáváí o arozeí a úmrtí v církevích matrkách - Sr Wllam Petty sojl hosodářské vědy a matematku. Zakladatel vědecké statstky v 6. století. Matematc Pascard, Lalas, Plaso, Gaus (gausovy křvky), Adolf Phejackues Quetelet belgča, výzkumy a ldech, sojeí statstckých souhrů, tříděí, orováváí o určtých hromadých jevech. Co je tycké ro statstku - zkoumá hromadé jevy (jev, který se vyskytuje mohokrát) - zabývá se romělvým (varablím) vlastostm - racuje s čísly a vyjadřuje se omocí čísel (zajímá se o kvattatví stráku realty) - oužívá výočetí techku k vytvářeí a srávě databází k rováděí hromadého zracováí a aalýzy. - - Jří Stta 4
Statstka verze. Co umí a eumí statstka UMÍ o Řeší růzé úlohy růzého stuě složtost, očíaje zjšťováím (očet domácostí v ČR) řes os struktury (věk aj.), shrováí dílčích ukazatelů v čase a rostoru (výočet růměrých ukazatelů ceové hlady aj.) srováváí takto agregovaých ukazatelů v čase a rostoru, ředvídáí dalšího vývoje, a měřeí závslost. NEUMÍ o Selhává okud emá adekvátí číselé údaje. Chybí-l ředstava o velkost chyb měřeí a vlvu určtých dorovodých čtelů. Nemá-l k dsozc dostatečě velký soubor říkladů a dostatečou varabltu. Etay statstcké čost. Zjšťováí shromažďuje a zazameává a kotroluje údaje. Zracováí usořádáí, shrováí, sumarzace a seskueí 3. Aalýza výočet charakterstk (rozětí), měřeí závslost, srováváí a měřeí dyamky. 4. Prezetace výsledků tabulkové, grafcké a sloví vyjádřeí výsledků ředcházejících eta. Rámcové formace o statstckém zjšťováí Klasfkace:. odle zdroje a. rmárí (základí) b. sekudárí (uraveé). odle reálost a. skutečé b. smulovaé 3. odle erdocty zjšťováí a. růběžé b. erodcké c. jedorázové 4. odle časového hledska a. okamžkové b. tervalové (větší rozsah) Základy metody zjšťováí ) Podle úlost zjšťováí dělíme a úlé a eúlé. Výběrové jsou rerezetatví a ostatí jsou ererezetatví. Solehlvou metodou je ravděodobostí výběr (áhodý výběr). ) Podle stuě kotroly odmíek ř zjšťováí dělíme a rosté ozorováí a a řízeý exermet. V oblast socálě ekoomckých jevů je metoda ozorováí rosté ozorováí. - 3 - Jří Stta 4
Statstka verze.. Kombatorka Kombace bez oakováí - Nezáleží a ořadí rvků. - Kombace k-té třídy z rvků je k rvková odmoža rvkové možy. Platí zde eusořádaý výběr. - Ozačujeme j:! C k ( ) k k!( k)! Varace bez oakováí - Záleží a ořadí rvků, usořádaý výběr - Varace k-té třídy z rvků je usořádaá k-tá odmoža rvkové možy - Ozačujeme j:! V k ( ) ( k)! Permutace bez oakováí - Permutace rvků bez oakováí je každé usořádáí -rvkové možy - Počet ermutací: )! Kombace s oakováím - Kombace k-té třídy z rvků s oakováím je k-rvková skua rvků vybraých z -rvkové základí možy tak, že se kterýkolv rvek může ve skuě lbovolěkrát oakovat. - Jde o eusořádaý výběr + k! - Počet kombací s oakováím začíme: C k ( ) k k!( k)! Varace s oakováím - Varace k-té třídy z rvků s oakováím je usořádaá skua k rvků vybraých ze základí možy tak, že kterýkolv rvek se může ve skuě lbovolěkrát oakovat. - Záleží a ořadí rvků k - Začíme: V ( ) k Permutace s oakováím - k k ; k ; k 3 k rvků s oakováím je každé usořádáí skuy k rvků v íž je všech rvků základí možy k! - Začíme: P k, k... k( k) k! k!... k! - 4 - Jří Stta 4
Statstka verze. 3. Statstcká jedotka, soubor, zak, data a ukazatele Statstcká jedotka - ostel statstcké formace, elemetárí rvek hromadého jevu - reálě exstují objekty hmoté ovahy: o ldé, jako jedc v růzých rolích (zákazíc, volč aj.) o orgasmy a jejch skuy (zvířata, rostly aj.) o ežvé řírodí ředměty o hmoté výsledky ldské čost - rávě, oltcky č jak smluvě vymezeé část solečeského rostoru (ekoomcké subjekty, hosodářské odvětví, státy, kraje) - ehmoté výsledky ldské čost (sortoví č umělecké výkoy) - žvelé a jé událost (ožáry, arozeí, smrt, toráda, úrazy aod.) - eoakovatelé vzorky ze sojtého rostředí (vzorky atmosféry, vody aj.) Příbuzé jevy zravodajské jedotky statstcké jedotky, které mají ze zákoa zravodajskou ovost vůč orgáům státí statstcké služby výběrové jedotky ř výběrovém zůsobu zjšťováí mohou být vybíráy buď statstcké jedotky ebo jejch řesě defovaé skuy -> výběrové jedotky. Statstcký soubor - moža statstckých jedotek, které solečě tvoří určtý jev (domácost ČR, obce jedoho kraje aj.) - dva atrbuty statstckého souboru: o kvalta: (obsah, detfkace, vymezeí) -> CO? KDE? KDY?. Exlctí vymezeí (sezam jedotek) a mlctí vymezeí (vlastost jedotek). o kvatta: (očet, možství, rozsah) -> KOLIK? Rozsah statstckého souboru - v osé statstce začíme bez další secfkace - v duktví statstce rozdělujeme základí ( N ) a výběrový ( ) soubor Statstcký zak Zaky zkoumaé vlastost statstckých jedotek Klasfkace statstckého zaku (základí klasfkace): zaky detfkačí o z věcého, časového a rostorového hledska. Idetfkují statstckou jedotku, rozhodují o zařazeí č ezařazeí do souboru. Nejsou ředmětem aalýzy (jedotky se v ch shodují). zaky varablí o rozhodují o zůsobu a výsledku zracováí a aalýzy. Klasfkace varablích zaků: - 5 - Jří Stta 4
Statstka verze. zaky číselé: zaky měřtelé (kardálí) hmotost, očet obyvatel; tervalové, oměrové zaky ořadové (ordálí) školská klasfkace, datum zaky sloví (omálí kvaltatví) zaky alteratví (dvojé, bárí, dchotomcké ař. kuřák, ekuřák, sloví rozhodutí) zaky možé (více kategorálí ař. rodý stav) Měřtelé zaky dále klasfkujeme a: sojté (reálá čísla) ař. časové údaje, rozměry, říjmy, výdaje aj. dskrétí (esojté, zolovaé hodoty) často celočíselé, ezáoré (očet dětí, racovíků ve frmě aod.) Symbolka a termologe číselý zak velká ísmea z koce abecedy (X, Y, Z) hodoty zaku ísmea malá (x, y. z). sloví zak velká ísmea ze začátku abecedy (A, B, C) obměy zaku ísmea malá (a, b, c) Statstcké údaje data - hodoty číselého zaku X, které tvoří statstcký soubor o rozsahu ozačíme jako x, x x x. Stručě x,,. - obměy slovího zaku A, které tvoří statstcký soubor o rozsahu ozačíme jako a, a a.a, stručě a,,. Statstcké ukazatele - charakterstky - statstcký údaj charakterzuje každou statstckou jedotku zvlášť - statstcká charakterstka charakterzuje určtou vlastost statstckého souboru jako celku - ař. tyto údaje 3,7,7,7,,,4,, o číslo je v tomto souboru urostřed -> MEDIÁN o číslo 7 je ejčastěj oakující se hodota -> MODÁLNÍ o číslo je artmetckým růměrem - a všechy tyto charakterstky, každá svým zůsobem vyovídají o úrov statstckého souboru - ro stejé údaje latí: o číslo 7 je rozětím hodot zaku o číslo 3,56 je roztylem o číslo 5,6 je směrodatou odchylkou o číslo 5, % je varačím koefcetem o a všechy tyto charakterstky (každá svým zůsobem) vyovídají o roměé varabltě tohoto datového souboru. - 6 - Jří Stta 4
Statstka verze. 4. Úvod do ravděodobost Nechť je defová komlex odmíek, za kterých je sledovaá možost astoueí ějakého jevu (řeměa vody v áru ř daé telotě a tlaku). a) jev, který za těchto odmíek emůže kdy astat azveme jevem NEMOŽNÝM (začíme jej / ) b) jev, který za těchto odmíek utě musí astat se azývá jev JISTÝ (začíme V ) c) jev, který ř strktím dodržeí odmíek může, ale emusí astat říadě astává s růstou teztou, azveme jako jev NÁHODNÝ (ozačujeme velkým ísmey abecedy A, B, C) - Náhodý jev emusí být urče komlexem odmíek, ale o tom jestl jev astae ebo e, rozhoduje áhoda. Každý takový děj azýváme áhodý exermet (ař. házeí kostkou). - Skočí-l áhodý exermet astoueím ějakého áhodého jevu A, říkáme, že astal řízvý říad ro jev A. V oačém říadě astal eřízvý říad ro jev A. - Můžeme mít jev: o ELEMENTÁRNÍ o SLOŽENÝ - Jev A budeme azývat elemetárím, jestlže ro ěj eexstují jevy B, C růzé od A, takové, že A B U C (B sjedoceí C) - Elemetárí jev je ejjedodušší výsledek áhodého okusu, který elze rozložt. Elemetárím jevem ř házeím kostkou je jev ade-l číslo 3. - Složeý jev může být, okud ade sudé číslo ř hodu kostkou. Složeý jev je moža všech elemetárích jevů, které mohou astat jako výsledek daého áhodého okusu. Lbovolý áhodý jev je otom odmožou rostoru lbovolých elemetárích jevů a začíme ho U. Vztahy mez jevy PRŮNIK JEVŮ A,B: - dva jevy A, B se částečě řekrývají - ař. A:,3,4 B: ade sudé číslo > A B,4 SJEDNOCENÍ JEVŮ A,B: - jestlže astae jev A eb jev B - ař. A:,3,4 B: sudé číslo > AUB,3,4,6 - dsjuktí jevy jsou takové, které emají solu žádý solečý výsledek. A B Ø ROVNOST JEVŮ A,B: PODMNOŽINA: - jede jev je obsaže v jevu druhém. Jev A je odjevem jevu B - začíme: A B - ař. A: B: sudá čísla > A B - 7 - Jří Stta 4
Statstka verze. OPAČNÝ JEV - je tzv. dolňkovým jevem a je to jev, který astae, když eastae jev A - začíme A ROZDÍL JEVŮ - rozdílem jevů A a B je jev, který astae rávě tehdy, astae-l jev A a eastae jev B - začíme A B Pravděodobost Jestlže je okus oakovatelý eomezeě mohokrát, hovoříme o Objektví ravděodobost, okud se odmíky měí ř každém okusu, hovoříme o subjektví ravděodobost. Objektví ravděodobost je založea a četost výskytu sledovaého jevu. Zdá se rozumé ovažovat toto číslo za objektví míru oakováí a azvat jej ravděodobostí. Pravděodobost jevu A je číslo A) řřazeé jevu A, které má tu vlastost, že relatví četost jevu A se s rostoucím očtem realzací okusů blíží k číslu A). Hodota ravděodobost je v tervalu <;>. m A) ( A) m očet okusů řízvých ro jev A očet všech možostí, které se mohou vyskytout A B) A) + B) A B) P A A... A ) A ) A )... A ). ředokládáme že jevy jsou ezávslé ( - 8 - Jří Stta 4
Statstka verze. 5. Objektví, subjektví, odmíěá ravděodobost a ezávslé jevy Objektví ravděodobost Je založea a četost výskytu sledovaého jevu. Pravděodobost jevu A je tedy v tomto říadě A) řřazeé jevu A, která má tu vlastost, že relatví četost jevu A se s rostoucím očtem realzací okusí blíží číslu A). Subjektví ravděodobost Je ravděodobost, kterou řřazujeme výsledku okusu, jež eí za stejých odmíek oakovatelý (HDP v ČR v letoším roce je okus sledovatelý je jedou) Pro oba tyy ravděodobostí latí stejé zákoa a ravdla jmž se yí budeme zabývat. Platí 3 axomy: AXIOM.: - Pravděodobost áhodého jevu je ezáoré číslo ejvýše rové jedé. - A) AXIOM.: - je-l A, A, A 3 koečý ebo sočetý dsjuktí systém áhodých jevů, ak ravděodobost je sjedoceí A. A je rova součtu ravděodobostí. - A A Ø ro všecha j > U A ) P ( A ) AXIOM 3.: - ravděodobost jevu jstého S je rová jedé - S) Bezrostředě z těchto tří axomů vylývají další VLASTNOSTI ravděodobost: z axomu 3 dostáváme ro jev A a jeho dolěk P ( A A) A) + A) S) Podmíěá ravděodobost Často se setkáme s odmíkou ravděodobostí > jedá se o ravděodobost jevu, že astal určtý jev jý (-krát realzujeme ějaký áhodý okus a uvažujeme dvě možy A a B v říslušém rostoru elemetárích jevů, tj. dva jevy souvsejí s tímto okusem. Vybereme z oslouostí realzací okusy je ty realzace, ř kterých astal jev B. ak ás zajímá kolkrát za takové odmíky astal jev A.). Vztahy ro výočet odmíěé ravděodobost A B) B / A) kde A) A) B A) A/ B) kde B) B) - 9 - Jří Stta 4
Statstka verze. Bayesova věta B / A) A) A/ B) B) Nezávslé jevy Jevy A a B azýváme ezávslé avzájem, jestlže latí: P ( B A) A) B) Jevy A a B jsou tedy ezávslé, jestlže ravděodobost růku těchto dvou jevů je rova souču ravděodobostí jedotlvých jevů Příkladem ezávslých jevů je házeí kostkou. Jestlže v rvím hodu hodíme jedčku, jak to eovlví ravděodobost, že jedčka ade také ve druhém hodu. A B) B / A) B) Začeí ravděodobost bodový graf sloucový graf čárový graf Berulho vzorec Uvažujeme okus, jehož výsledkem může být jev A s ravděodobostí B a oakujeme-l teto okus -krát, řčemž výsledky jsou a sobě ezávslé a jev A astal k- krát, ak ravděodobost vyočítáme omocí berulho vzorce. k k A) ( ) k ravděodobost, že astae jev A k ravděodobost, že jev A astal k-krát vyčísluje všechy možost jak se v okusech může jev A objěvt rávě k-krát k - - Jří Stta 4
Statstka verze. 6. Úlá ravděodobost Úlá ravděodobost jevu A. Pravděodobost jevu A bez ohledu a jev B, tj. výsledek jevu B ezáme ebo euvažujeme jej. P ( A) A/ B) B) + A/ B) B) A B) A B) Příklad: U kokursu a místo obchodího zástuce frmy má vysokoškolák 6% šac a řjetí, středoškolák %. Mez zájemc o místo je 4 % vysokoškoláků a 6 % středoškoláků. Jakou šac má áhodě vybraý zájemce, okud ezáme jeho vzděláí? Jev B vysokoškolák (VŠ),4 Jev A byl řjat Jev B středoškolák (SŠ), A) A/VŠ) * VŠ) + A/SŠ) * SŠ) A),6 *,4 +, *,6,36 Náhodě vybraý zájemce má 36% šac a řjetí. Pokračováí: Uchazeč byl řjat. S jakou ravděodobostí měl vysokoškolské vzděláí? VŠ A) A/ VŠ) VŠ),6,4 P ( VŠ / A),66 A) A),36 Uchazeč o místo byl odmítut. S jakou ravděodobostí to byl středoškolák? SŠ A) A / SŠ) SŠ),8,6 P ( SŠ / A),75 A) A),64 Rozhodovací strom - - Jří Stta 4
Statstka verze. Rozhodovací strom obráceý Oakovaé okusy Nezávslé oakovaé okusy: Nechť oslouost astoueí jevu A v jedém okuse je rova A) a sledujeme ravděodobost jeho astoueí ostuě ve dvou, třech atd. ezávslých oakovaých okusech. Jsou-l výskyty jevu A skutečě ezávslé,můžeme ař. ro dva okusy, které mohou kočt možým čtyřm výsledky AA, A A, A A, A A, určt ravděodobost jedotlvých výsledků jako, (-), (-)*, (-). Nebudeme-l rozlšovat ořadí, v jakém jevy astaly, můžeme místo rostředích dvou výrazů asat (-). Podobě ro tř a více okusů. Uskutečíme-l okusů a táme se jaká je ravděodobost, že jev A astal rávě x-krát bez ohledu a ořadí, můžeme tuto ravděodobost vyjádřt jako: Beroullův bomcký vzorec x x, x A) ( ) x - - Jří Stta 4
Statstka verze. 7. Tříděí číselých zaků Číselý zak obecě vykazuje ěkolk málo (obecě k) hodot. Třídíme odle každé hodoty zaku. Hodoty zaku v tabulce uvedeme ve vzestuém ořadí. Ke každé hodotě určíme očet výskytů v souboru > četost. Příklad: P.č. x 4 3 3 3 5 Součet x Tříděí číselých zaků Skuové tříděí Sojtý číselý zak vykazuje velké možství vzájemě od sebe růzých hodot. Třídíme v rámc uměle vytvořeých sku (tříd, tervalů). Zásady: - třídy s kostatí šířkou - očet tříd koresoduje s rozsahem souboru a je v rozsahu rozmezí od 6 do 5 - šířku, hrace a středy tříd volíme s ohledem a maxmálí řehledost - esoré vymezeí hrac tříd - rví a osledí třída mohou být otevřeé, jejch šířka se ovažuje za h. Co se rozumí od ojmem esoré vymezeí - celočíselý zak do 99 do do - 99 - - - - - Druhy četost absolutí četost očet hodot ve třídě latí: relatví četost odíl hodot ve třídě a rozsahu souboru k evhodé h elze jedozačě určt střed tervalu k. Platí součtová četost - k ; k. Alteratvě oět v % (absolutí ebo j relatví). Počet / odíl hodot od očátku o daou třídu včetě. j Příklad: Pořadové Vymezeí Střed tříd Absolutí Relatví Součtová číslo tervalu x četost četost absolutí k relatví k do ) 7,5,5 5, < až 5),5 3,4 44 55, 3 <5 až 3) 7,5,5 64 8, 4 <3 až 35) 3,5 8, 7 9, 5 <35 až 4) 37,5 6,8 78 98, 6 <4 a více 4,5, 8, Celkem X X 8 X X - 3 - Jří Stta 4
Statstka verze. Grafy skuového rozděleí četostí hstogram absolutí četostí sojcový graf součtové relatví četost v % Růzé tyy rozděleí četost (tycké tvary) - symetrcké modálí - levostraé esouměré - extrémě ravostraé - rovoměré - tvar U - dvouvrcholové Kvatly Kvatl x ( rocetí kvatl) je taková hodota zaku, ro kterou latí, že ejméě - rocet rvků má hodotu meší ebo rovou x a - rvků je větších ebo rovo x. k (očet ozorováí ~ ) * (úroveň kvatlu ~ ) / Kvartly jsou -kvatly ro 5, 5, 75 (x 5, x 5, x 75 ). Dolí kvartl x 5 Medá x 5 ozačujeme Př lchém rozsahu souboru je medá jedoduše vždy hodota kokrétí rostředí číslo statstcké jedotky souboru (musí to být usořádaý soubor odle velkost). Př sudém rozsahu souboru však medá leží mez dvěma rostředím statstckým jedotkam, roto z těchto dvou jedotek staovíme růměr a te ozačíme jako medá. Výočet kvatlů z hodot eusořádaých do tabulky rozděleí četostí je velm jedoduchý. Poěkud složtější je ouze výočet kvatlů z tervalového rozděleí, kde k odhadu oužjeme ásledující vzorec. z x h + a, kde 5 z +, z ořadové číslo jedotky, jejíž hodota je hledaý kvatl očet ozorováí (součet všech hodot) relatví četost žších hodot kumulatví četost rvků ležících řed kvatlovým tervalem četost tervalu, v ěmž leží hledaý kvatl h délka kvatlového tervalu a hodota, která tvoří dolí hrace kvatlového tervalu Modus Modus zaku x začíme x se stříškou. Je to hodota zaku x s ejvětší absolutí četostí. Jsou-l takové hodoty se stejou ejvětší četostí dvě (tř, ) hovoříme o rozložeí dat a b- (tr-, ) modálím. - 4 - Jří Stta 4
Statstka verze. 8. Klasfkace charakterstk odle jejch výzamu, kotgečí tabulka Charakterstka: - olohy - varablty - škmost - ščatost Míra úrově (olohy) - Patří se růměry (artmetcký, geometrcký, harmocký atd.) x x + x +... + x - Artmetcký růměr: x - Jsou-l zjštěé hodoty usořádaé do tabulky rozděleí četost, oužíváme ro výočet vážeý artmetcký růměr. - Vážeý artmetcký růměr: x x + x - Do míry olohy atří také kvatly a modus. +... + x k k k + +... + k k x Míra varablty - míru absolutí varablty (romělvost) očítáme zde varačí rozětí R X max - X m σ - míra relatví varablty (romělvost): očítáme varačí koefcet V x (sgma x > směrodatá odchylka) ( x x) - roztyl: σ ebo také σ x x - směrodatá odchylka: σ σ Směrodatá odchylka - je druhou odmocou roztylu a vychází z ůvodích měrých jedotkách zaků - σ σ - velkost je ovlvěa eje varabltou, kterou měří, ale úroví zkoumaého kvattatvího zaku - je absolutí mírou varace - 5 - Jří Stta 4
Statstka verze. Varačí koefcet - je relatví mírou varace - očítá se jako odíl směrodaté odchylky a růměru. Tím se získá bezrozměré číslo. Pro raktcké účely se očítá ásobek tohoto čísla a výsledek je udává v rocetech σ - V x x - varačím koefcetem lze orovávat eje varabltu stejých zaků se stejým měrým jedotkam růzých souborů lšících se svou absolutí úroví, ale růzých zaků s odlšým měrým jedotkam. Škmost - charakterstka škmost je defováa jako 3 ( x x) α 3 σ - z kladé (záoré) odoty těchto měr se ak usuzuje většou a kladě (záorě) zeškmeé rozděleí a zároveň a větší kocetrac malých (velkých) hodot ve srováí s kocetrací velkých (malých) hodot. Ščatost 4 ( x x) - charakterstka ščatost je defováa jako β 4 σ 3 Dvoustuňové tříděí - zkoumáme výskyt a hodost dvou statstckých zaků ocházejících ze stejého základího X souboru (výška váha, cea rodaé možství aj.) - ro dvoustuňové tříděí se zavádí kotgečí tabulka zaků x a y. Kotgečí tabulka ro x a y x y y y Celkem x x Celkem očet rvků s vlastostm x a y očet rvků s vlastostm x očet rvků v souboru očet rvků s vlastostm y ; ; 3 margálí četost rozděleí zaku y - 6 - Jří Stta 4
Statstka verze. 9. Náhodé velčy Náhodá roměá je zobrazeí, které každému elemetárímu jevu ze základího rostoru elemetárích jevů řřadí číslo reálé. Obor hodot áhodé roměé je moža všech R čísel, kterých může áhodá roměá abývat. Příklad: Náhodá roměá X bude očet teček a horí straě hrací kostky. Obor hodot je D (,,3,4,5,6). Podle oboru hodot rozlšujeme dva tyy áhodých roměých: ) dskrétí áhodé roměé defčí obor je sočetá moža (koečá ebo ekoečá oslouost, ebo moža zolovaých bodů) začíme j DNP ) sojtá áhodá roměá začíme SNP, defčí obor je esočetá moža (ohračeý ebo eohračeý terval) Příklad: a) očet automoblů vyrobeých za jedu racoví směu > DNP b) žvotost PC v kokrétí učebě > SNP Záko rozděleí (rozložeí) ravděodobost áhodé velčy Je to ravdlo, které každé číselé hodotě DNP ebo každému tervalu hodot SNP řřazuje ravděodobost, že áhodá velča abude této hodoty ebo hodoty z tohoto tervalu. K osu rozložeí se oužívá dstrbučí a frekvečí fukce. Dstrbučí fukce F (x) áhodé velčy X je reálá fukce, která každému reálému číslu X od ( ; ) řřazuje ravděodobost toho, že áhodá roměá X abývá hodot meších ež x (malé x; hodota) F(x) X < x); x R. Vlastost dstrbučí fukce (latí ro všechy dstrbučí fukce) ) Fukce je eklesající a možě R ) F (x) je zleva sojtá v každém bodě 3) Lmta lm f ( x ) x& 4) Lmta lm f ( x ) x& + 5) f( x) 6) F ( b) F( a) a x < b) Frekvečí fukce Defuje se růzě ro růzé tyy roměé. Pravděodobostí fukce (x). U sojté j ozačujeme fukce hustoty a začíme f (x). Pravděodobostí fukce (x) je reálá fukce, která každému reálému číslu X určí ravděodobost toho, že DNP X abývá této hodoty. Zasujeme j (x) Xx). - 7 - Jří Stta 4
Statstka verze. Vlastost: ) (x) ) + x x xx x x x x ) (x ) (x ) (x ) Zázorňujeme grafcky, exstují 4 možost: ) bodový dagram ) úsečkový dagram 3) olygo 4) hstogram - V osu rozložeí DNP můžeme oužít dstrbučí fukc F(x) hodotu F(x) určíme jako souček ravděodobostí fukce x ro x < X ( x ) x<x - Graf F(x) je stuňovtý, schodovtý Sojtá áhodá roměá SNP má esočetě moho hodot tvořící terval. Nemá výzam osovat rozděleí omocí ravděodobostí. Oět oužjeme dstrbučí fukc. Na rozdíl od DNP je tato fukce sojtá v obou krajích bodech. Fukce hustoty SNP f(x) je dáa jako Vlastost fukce: ) f ( x) + ) f ( x) dx Vztahy: - f(x) F (x) - F ( x) f ( t) dt x x f ( x) : lm h + X < x + h) ; x R h Tyy rozložeí áhodých roměých ) Rovoměré rozložeí NP: toto rozložeí má DNP x jejíž všechy možé hodoty x se vyskytuje se stejou ravděodobostí. Závsí a arametru (očet realzací). Ozačuje se R(). Pravděodobostí fukce f x ) ; D { x,..., x } ař. ( házeí hrací kostkou aj.) ) Bomcké rozložeí: toto rozložeí má DNP x, která vyjadřuje očet výskytů jevu a v Beroulho oslouost ezávslých okusů. Závsí a dvou arametrech: - 8 - Jří Stta 4
Statstka verze. očet okusů; je ravděodobost sledovaého jevu a v jedom okusu. Začíme B (;). Pravděodobostí fukce f x x ( x ) ( ) ; x ; ;...; x Possoovo rozložeí Toto rozložeí má DNP x, která vyjadřuje očet výskytů sledovaých jevů v určtém časovém tervalu ebo určté oblast (říklad: očet zákazíků za de, očet chyb v jedom daňovém řzáí). Závsí a jedom arametru λ (lambda) (růměrý očet výskytů sledovaého jevu v daém tervalu). x λ λ Začíme: Po( λ ) ( x) e ; λ >; x,,, x! + Nechť v Beroulho oslouost kde a ravděodobost výskytu v jedom okusu se blíží ule, ak bomcké rozložeí lze aroxmovat (řblížt) osoově rozděleí: B ( ; ) ~ Po( λ) kde λ Tyy rozložeí ravděodobostí SNP ) Rovoměré rozložeí: toto rozložeí má SNP x jejíž realzace vylňují terval koečé délky a mají stejou možost výskytu (doba čekáí a uskutečěí oakujícího se jevu v časových tervalech). Závsí a dvou arametrech a (dolí mez tervalu možých hodot) a b (horí mez tervalu možých hodot). Začíme j: R(a;b). Fukce hustoty otom ásledově: x a; b f (x) b a x a; b ) Normovaé ormálí rozděleí: toto rozložeí je secálím říkladem obecého ormálího rozložeí, ro µ a δ. Ozačujeme Z. fukce hustoty začíme ϕ a dstrbučí fukc začíme Φ. Začíme N(;). Fukce hustoty z ϕ ( z) e ; z (, ) Graf ϕ (z) se azývá Gausova křvka. π t Dstrbučí fukce: Φ( z) e dt; z (, ) π - 9 - Jří Stta 4
Statstka verze.. Metody statstcké dukce - Umožňuje vyslovovat závěry o rozložeí a vlastostech souborů o ěmž emáme úlou formac. Místo toho, abychom racoval s celým souborem, vybereme z ěj oměrě malou část (výběr). - Základí soubor ozačujeme ZS a je to soubor, o ěmž emáme úlou formac, rotože je: o Neukočeý (soubor ekoečé řady okusů) o Koečý, ale velkého rozsahu o Koečý, ale je emožé ebo esmyslé jej celý rozkoumat (zjšťováí kvalty skladovaých kozerv) - Sledujeme rozsah a začíme ho N. Základí soubor ovažujeme za osaý, záme-l jeho frekvečí fukc áhodé roměé X. Máme-l X, která má ormálí rozložeí, ovažujeme ZS za ormálě rozložeý. - Charakterstky se azývají arametry ZS a jsou to kostaty a ozačujeme je kokrétě jako µ,δ atd. - Náhodý výběr je odmožou ZS a rozsah výběru začíme. - Můžeme rozlšovat: o Výběr s vraceím rvek se může oakovat o Výběr bez vraceí rvek maxmálě jedou - Náhodý výběr rozsahu je takový výběr, který oskytuje každému rvku ZS stejou a ezávslou šac být vybrá. Kokrétí výběr se rovádí: o Losováím o Použtím geerátoru áhodých čísel o Systematckým výběrem (u setřízeého ZS se vybere rvek k ) o Stratfkovaým výběrem, který se oužívá tam, kde je základí soubor vtřě rozděle do sku v chž je roztyl sledovaého zaku meší ež v celém ZS (ředvolebí růzkum) Výběrová statstka - Protože ze ZS můžeme rovést více výběrů, tak ro každý výběr můžeme vyočítat základí charakterstky (středí hodota, roztyl). - Pro růzé kokrétí výběry můžeme dostat odlšé výsledky. Obecě lze říct, že charakterstky áhodého výběru jsou áhodou roměou, které abývají svých hodot v závslost a kokrétím áhodém výběru ze ZS. Hodoty začíme x.x ze ZS. Náhodé roměé X.X. - Protože je výběrová statstka áhodou roměou, musí mít své rozložeí ravděodobostí (výběrové rozložeí) Výběrová středí hodota: Je áhodá roměá X S x ( X X ) X x - - Jří Stta 4
Statstka verze. Věty o áhodých výběrech a statstkách ) Cetrálí lmtí věta: Jsou-l čleé áhodé výběry X.X vybráy z velkého ebo ekoečého ZS s rozložeím jehož středí hodota je µ a koečý roztyl je δ ak výběrové rozložeí výběrové středí hodoty X koverguje k ormálímu δ rozložeí se středí hodotou µ a směrodatou odchylkou. ) Věta o jedom výběru: jsou-l X.X, které tvoří čleý áhodý výběr ze základího souboru se ormálí rozložeím N( µ ; δ ) a je-l X X a S x ( X X ) ak áhodá roměá může být: x X µ I. T má Studetovo rozložeí T s (-) stu volost. S X µ II. U má základí rozložeí N(,) δ S III. χ má Pearsoovo rozložeí χ s( ) stueň volost µ Nechť X až X jsou ezávslé áhodé roměé z ch každá se řídí rozložeím N(;), otom áhodá roměá χ X +... + X X má Pearsoovo rozložeí s µ stu volost. Začíme ho χ ( ) a čteme chý kvadrát volost. Fukce hustoty: + x x e x > f (X ) x Studetovo rozložeí se vztahuje a roměé. Nechť X a X jsou ezávslé roměé a echť X se řídí rozložeím N(,) a X rozložeí χ ( ) otom áhodá roměá X T má studetovo rozložeí s stu volost. Začíme t () a fukce hustoty je X dáa f ( x) x + π + - - Jří Stta 4
Statstka verze.. Statstcké srováváí ekoomckých jevů Ukazatel je secfckou statstckou velčou osující určtou ekoomckou skutečost. Každý ukazatel má tedy svůj věcý obsah a zároveň svoj formálě logckou kostrukc, která ho řadí mez statstcké velčy. Statstcký ukazatel je statstckou velčou a ředokládá se, že daý statstcký soubor je obecě, rostorově a časově vymeze (ař. ukazatel odracovaá doba -> teto ukazatel je vymeze jako úhr doby odracovaé racovíky odku v měsíc). Jestlže řesě defujeme rostor a čas (březe 4 odk A) dostaeme kokrétí hodotu ukazatele -> údaj. Ukazatel je tedy roměá velča a hodota ukazatele je hodotou této roměé velčy, která vzká kokrétím vymezeím v čase a rostoru. Děleí ukazatele: ) Prmárí a sekudárí (druhoté): Prmárí ukazatelé jsou římo zjšťovaé eodvozeé. Nař. odracovaá doba, očet racovíků k určtému datu atd. Jedá se o ukazatele, kde lze římo určt ty charakterstky statstcké jedotky statstckého zaku. Sekudárí ukazatelé mohou vzkat třem zůsoby: a. Jako fukce (rozdíl ebo odíl) růzých rmárích ukazatelů (ař. zsk, doba obratu zásob) b. Jako fukce růzých hodot téhož rmárího ukazatele (časový růměr, ukazatel struktury, hrubý obrat) c. Jako fukce dvou rmárích ukazatelů, kde asoň u jedoho racujeme s více hodotam (sojeí ředcházejících dvou kroků) (roduktvta ráce a racovíka, zskovost rodukce) Idexy, absolutí rozdíly a další míry rozdílost jsou ástroj srováváí a ástroj aalýzy výsledků srováí. Ukazatelé samy o sobě vyovídají o ějaké skutečost, ale ehodotí j, zatímco dexy a absolutí řírůstky měří rozdílost dvou hodot téhož ukazatele. Další čleěí je a absolutí a relatví. o Absolutí ukazatelé vyjadřují velkost absolutího jevu bez vztahu k dalšímu jevu. Patří sem všechy rmárí ukazatelé vzkající úhrem, ale ěkteré ukazatele sekudárí (časové růměry a rozdílové ukazatelé ař. zsk). o Relatví ukazatelé vyjadřují velkost jedoho jevu vzhledem k jému jevu. Relatví ukazatelé jsou vždy sekudárí, eboť vzkají jako odíl absolutích (rmárích sekudárích) ukazatelů. Toto čleěí je vyčerávající. Další dvojce děleí je a Extezví a Iteztí ukazatele. Nejsou už vyčerávající. o Extezví ukazatelé jsou ukazatelé možství a atří do skuy absolutích ukazatelů. o Iteztí ukazatelé jsou ukazatelé úrově, eokrývají však celou skuu relatvích ukazatelů, ale ouze je ty, které vyjadřují teztu určtého jevu. Toto čleěí je důležté ředevším ř rác s dexy. Okamžkové a tervalové ukazatele. Toto čleěí defuje vlastost ukazatele a ředurčuje zůsob jeho shrováí v čase. Jedá se ouze u absolutích ukazatelů. - - Jří Stta 4
Statstka verze. Tycké vlastost ukazatelů Patří sem stejorodost, orovatelost a shrovatelost. Stejorodost statstckých ukazatelů je dáa ovahou statstckých jedotek. Krtérum je ak statstcký zak, který a daých jedotkách sledujeme. Stejorodost statstckých ukazatelů je relatví. Absolutí ukazatel je stejorodý tehdy, jestlže má věcý smysl shrovat jeho dílčí hodoty součtem. Relatví je stejorodý je tehdy, když jsou stejorodé oba absolutí ukazatelé z chž se skládá. Pokud toto elatí je ukazatel estejorodý. Srovatelost statstckých ukazatelů je vlastost, která má vazbu a tvorbu relatvích ukazatelů. Za srovatelé ovažujeme takové ukazatele, jejíchž srováím resektve srováím hodot, získáme smyslulou velču (roduktvta ráce). Za esrovatelé ovažujeme takové, jejchž srováí emá smysl z hledska srováí rozdílého druhového, časového ebo rostorového rozděleí. Shrovatelost vyjadřuje schoost ukazatele určt jeho celkovou hodotu a základě jeho dílčích hodot. Z tohoto hledska je dělíme a římo shrovatelé, eřímo shrovatelé a eshrovatelé ukazatele. Přímo shrovatelé jsou takové, které můžeme dílčí hodoty římo shrout. Neřímo shrovatelé jsou takové, u kterých musíme zát dílčí hodoty tohoto ukazatele, ale dílčí hodoty jého ukazatele (tycké ro všechy relatví ukazatele). Neshrovatelé elze určt a ř dílčích zalostech jých ukazatelů. Idexy a absolutí rozdíly V rax eracujeme s určtým zolovaým hodotam ukazatele, ale sažíme se zajstt určtou změu orot téže skutečost v mulém období č v jém území č orgazačí jedotce. Zajímá ás o kolk je hodota daého ukazatele v daé stuac vyšší ebo žší ež hodota ukazatele v jé stuac. Chceme-l vědět kolkrát ebo o kolk % je jeda hodota vyšší ebo žší ež hodota já, budeme obě hodoty srovávat odílem. Pokud o kolk jedotek je jeda vyšší ebo žší ež druhá, srováváme rozdílem. Podílem dvou hodot téhož ukazatele získáme INDEX, obě tyto míry rozdílost jsou rovoceé a vzájemě se dolňují. Idex: je bezrozmezé číslo (odíl dvou hodot) udávající kolkrát je hodota čtatele vyšší ebo žší ež jmeovatel. Absolutí řírůstek udává o kolk měrých jedotek je hodota mešece vyšší ebo žší ež hodota meštele. Časový dex je, budeme-l srovávat zsk odku ve dvou letech. Budeme-l srovávat zsk odku α se zskem odku β v určtém roce, sestrojíme rostorový dex. Budeme-l orovávat zsk ř výrobě výrobku x a y v odku α v roce, získáme druhový dex. - 3 - Jří Stta 4
Statstka verze. Děleí dexů možství o souhré o dvduálí jedoduché složeé úrově o souhré o dvduálí jedoduché složeé Prví čleěí a dexy možství a úrově je čleěím a dexy extezvích a teztích ukazatelů a vychází z tyu ukazatele. Ve druhém stu dělíme dexy a dvduálí a souhré. Krtérem je stejorodost č estejorodost ukazatele. Idvduálí dexy jsou dexy stejorodých (extezvích teztích). Idexy stejorodých ukazatelů dále čleíme a jedoduché a složeé dexy. Jedoduché dexy jsou takové, ve kterých erovádíme shrováí. Složeé dexy jsou dexy stejorodého teztího ebo extezvího ukazatele, kde shrujeme dílčí hodoty sledovaého ukazatele. Obecě jsou defováy tř ukazatelé. Dva extezví ozačey a Q a jede Q teztí ozačeý, ro který latí. Toto ozačeí vychází ze vztahu mez ceou, hodotou a možstvím. Jedoduché dvduálí dexy Jedoduché dexy jsou velčam, které srovávají dvě hodoty téhož ukazatele. Budeme-l srovávat hodotu teztího ukazatele v stuac (v časovém období -> ) a v stuac (v časovém azýváí jako základí období) dostaeme I. Aalogcky Q otom I Q a I. Z těchto vztahů vylývá I Q I I. Odovídající řírůstky Q ; Q Q Q a. Idvduálí jedoduché dexy se často vyskytují sdružeé do delších časových řad (období 5 až let). V takovém říadě mohou být dexy očítáy ke stejému dexu (ejstarší hodota) ebo k romělvému základu a to tak bezrostředě ředcházejícímu časovému údaj. Pokud budeme srovávat ke stejému základu > bazcké dexy, okud srováváme za sebou jdoucí hodoty > řetězové dexy. Gausovo rozložeí Toto rozložeí je ejdůležtějším rozložeím SNP. Řídí jím áhodá roměá, která je výsledkem ůsobeí moha vzájemě ezávslých jevů. Používá se k aroxmac jých, často složtějších áhodých roměých a má klíčovou rol ř alkac moha statstckých metod. - 4 - Jří Stta 4
Statstka verze. Obecé rozložeí závsí a dvou arametrech. Na µ a δ. Středí hodota a roztyl osují střed a áhodý roztyl bodu kolem ěho. N( µ ; δ ) x µ Fukce hodoty: δ f ( x) e ; x ( ; ) δ π Graf f(x) je Gausova křvka - křvka má zvoovtý tvar a je souměrá odle křvky x µ - středí hodota rozhoduje o vrcholu křvky a δ o roztýleí křvky - souřadce vrcholu µ ; δ π - dstrbučí fukce x F( x) e δ π x µ δ dx - 5 - Jří Stta 4
Statstka verze. - 6 - Jří Stta 4. Idexy Vztahy mez řetězovým a bazckým dexy Postuým ásobeím řetězových dexů získáme řadu bazckých dexů. Souč řady řetězových dexů bazcký dex Postuým děleím bazckých dexů získáme řadu řetězových dexů. Podíl dvou za sebou ásledujících bazckých dexů řetězový dex. Kruhová zkouška řetězové dexy lze jakoby uzavřít souč řetězových dexů vyděleý osledím bazckým musí dát, okud evyjde, ak jsme ěkde udělal chybu Růměé temo růstu ročí tema růstu měříme omocí řetězových dexů růměré temo růstu určíme geometrckým růměrem ročích tem růstu Složeé dvduálí dexy jsou to dexy stejorodého, extezvího ebo teztího ukazatele, které oužíváme za stuace, kdy hodoty daého ukazatele jsou čleěy a dílčí hodoty a v rámc výočtu dexů rovádíme shrováí Q Q Q I ) ( Q I ) ( 3... : k k k k /... 3 3...
Statstka verze. - 7 - Jří Stta 4 Idex romělvého složeí teztí ukazatel, který shruje růměr Q Q I I I Idex stálého složeí dex s váhou I SS () dex s váhou I SS () Idex agregátí (souhrý) růzorodé velčy a jedom místě estejorodé velčy (růzorodé) elze růměrkovat, lze je agregovat (shrovat) ty agregace vyjádříme Q Q z toho vytvoříme dex dex hodotový H I H Q ostuým rozkladem hodotového dexu můžeme získat dvě varaty dexů ebo dex hodotový jsme rozložl a dex objemový a dex ceový. Q Q : :
Statstka verze. - 8 - Jří Stta 4 Ceové dexy Ceové dexy mají své ázvy: o Paascheho I aa c o Laseyresův I la c Fsherův dex Hodoty Laseyresova a Paascheho SCI dávají ř srováí stejých souborů více č méě odlšé výsledky. I. Fsher avrhl komromsí řešeí ve formě geometrckého růměru těchto dvou dexů ) ( ) ( ) ( I I I aa la F