15. T e s t o v á n í h y p o t é z

15. T e s t o v á n í h y p o t é z Na základě hodnot náhodného výběru činíme rozhodnutí o platnosti hypotézy o hodnotách parametrů rozdělení nebo o jeho vlastnostech. Rozeznáváme dva základní typy testů: Parametrické testy jsou testy o hodnotách parametrů rozdělení ze kterého je proveden náhodný výběr. Neparametrické testy jsou testy o typu rozdělení shodě rozdělení symetrii rozdělení. Testování provádíme na základě funkce náhodného výběru statistiky jejíž rozdělení je známé a rozhodnutí činíme na základě hodnot této statistiky. Strategie testování. 1. Na základě hodnot náhodného výběru a charakteru úlohy zvolíme: nulovou hypotézu H 0 a alternativní hypotézu H 1 kterou příjímáme v případě odmítnutí nulové hypotézy.. Volíme testovací kritérium. Vybereme statistiku funkci náhodného výběru jejíž rozdělení známe. 3. Stanovíme hladinu významnosti testu jako hodnotu α číslo α je blízké nule. Obvykle z intervalu (0 01; 0 1). 4. Na základě hodnoty hladiny stanovíme kritický obor testu kdy v případě že zvolená statistika má hodnotu z kritického oboru odmítneme nulovou hypotézu H 0 a příjmeme alternativní hypotézu H 1. Chyby testu. Je-li T testovací statistika α je hladina významnosti testu a je kritický obor testu pak při rozhodovaní nastanou následující situace. S k u t e č n o s t H 0 H 1 H 0 T / T / správně chyba. druhu β H 1 T T chyba 1. druhu α správně Stanovení kritického oboru. Požadujeme aby chyba 1. druhu kdy odmítneme nulovou hypotézu H 0 ačkoliv platí byla menší než α. K tomu stačí aby byl kritický obor doplňkem k (1 α)100% intervalu spolehlivosti pro testovaný parametr rozdělení. Chybu. druhu můžeme pouze odhadnout. Je-li zvolené číslo α příliš malé může být chyba. druhu velká. Znázorníme si situaci na obrázku. Tady bude obrázek Testy o parametrech rozdělení. 15.1. Test o střední hodnotě jednovýběrový t-test. Předpokládáme X 1 X... X n je náhodný výběr z normálního rozdělení N(µ; σ ). Jako odhad střední hodnoty µ použijeme výběrový průměr X a jako odhad rozptylu σ použijeme výběrový rozptyl S. a) Testujeme nulovou hypotézu H 0 : µ = µ 0 proti alternativní hypotéze H 1 : µ µ 0. Za testovou statistiku volíme T = X µ 0 n S 89

o které je známo že má Studentovo t(n 1) rozdělení. Kritickým oborem je = {T ; T > t 1 α (n 1)} doplněk k (1 α)100% intervalu spolehlivosti pro parametr µ. Při této volbě je chyba 1. druhu menší než α. To znamená že ve 100α% případů odmítneme pravdivou skutečnost a příjmeme alternativní hypotézu ačkoliv neplatí. Situace je znázorněná na obrázku. 0 t 1 α (n 1) Obdobně provádíme test jednostranných hypotéz: b) H 0 : µ µ 0 H 1 : µ > µ 0 pak 0 = {T ; T > t 1 α (n)}; t 1 α (n 1) c) H 0 : µ µ 0 H 1 : µ < µ 0 pak = {T ; T < t α (n)}. t α (n 1) 0 Kritické hodnoty testu. Krajní body intervalů které tvoří kritické obory se nazývají kritické hodnoty testu. Označují se symbolem t α ačkoliv jsou to 1 α kvantily. Při práci s tabulkami je třeba dávat pozor jak je přesně kritická hodnota definována. V záhlaví tabulky je toto vždy uvedeno. Poznamenejme že pro rozsahy výběru n 30 můžeme nahradit kvantily či kritické hodnoty Studentova t rozdělení hodnotami z normovaného normálního rozdělení. 15.. Test o rozptylu normálního rozdělení. Pro náhodný výběr X 1 X... X n je náhodný výběr z normálního rozdělení N(µ; σ ) hledáme hodnotu rozptylu σ. Jako jeho odhad použijeme výběrový rozptyl S. a) Testujeme nulovou hypotézu H 0 : σ = σ0 proti alternativní hypotéze H 1 : σ σ0. Za testovou statistiku volíme (n 1)S V = σ0 o které je známo že má χ (n 1) rozdělení. Kritickým oborem je = {V ; V < χ α (n 1) nebo V > χ 1 α (n 1)} doplněk k (1 α)100% intervalu spolehlivosti pro parametr σ. Při této volbě je chyba 1. druhu menší než α. To znamená že ve 100α% případů odmítneme pravdivou skutečnost a příjmeme alternativní hypotézu ačkoliv neplatí. Situace je znázorněná na obrázku. 90

0 χ α (n 1) χ 1 α (n 1) 0 Obdobně provádíme test jednostranných hypotéz: b) H 0 : σ σ 0 H 1 : σ > σ 0 pak = {V ; V > χ 1 α(n 1)}; χ 1 α (n 1) c) H 0 : σ σ 0 H 1 : σ < σ 0 pak = {V ; V < χ α(n 1)}. 0 χ α(n 1) Kritické hodnoty testu. Krajní body intervalů které tvoří kritické obory se nazývají kritické hodnoty testu. Označují se symbolem χ α ačkoliv jsou to 1 α kvantily. Při práci s tabulkami je třeba dávat pozor jak je přesně kritická hodnota definována. V záhlaví tabulky je toto vždy uvedeno. 15.3. Test pro parametr δ exponenciálního rozdělení Exp(0; δ). Pro náhodný výběr X 1 X... X n z exponenciálního rozdělení Exp(0; δ) hledáme hodnotu parametru δ. Testujeme nulovou hypotézu H 0 : δ = δ 0 proti alternativě H 1 : δ δ 0. Za testovou statistiku volíme T = nx δ 0 která má rozdělení χ (n). Kritickým oborem je = {V ; V < χ α (n 1) nebo V > χ 1 α (n 1)} doplněk k (1 α)100% intervalu spolehlivosti pro parametr δ. 15.4. Test o rovnosti středních hodnot. Předpokládáme že X 1 X... X n je náhodný výběr z normálního rozdělení N(µ 1 ; σ1 ) a Y 1 Y... Y m je náhodný výběr z normálního rozdělení N(µ ; σ ). Jako odhady středních hodnot µ 1 a µ použijeme výběrové průměry X a Y a jako odhady rozptylů σ1 a σ použijeme výběrové rozptyly SX a S Y. Předpokládáme že jsou výběry nezávislé a že se rozptyly rovnají. Testujeme nulovou hypotézu H 0 : µ 1 µ = obvykle = 0 proti alternativní hypotéze H 1 : µ 1 µ. A) Dvouvýběrový t-test. Za testovou statistiku volíme X Y (µ 1 µ ) nm(n + m ) T = (n 1)SX + (m 1)S n + m Y 91

o které je známo že má Studentovo t(n + m ) rozdělení. Kritickým oborem je = {T ; T > t 1 α (n + m )} doplněk k (1 α)100% intervalu spolehlivosti pro parametr. Při této volbě je chyba 1. druhu menší než α. To znamená že ve 100α% případů odmítneme pravdivou skutečnost a příjmeme alternativní hypotézu ačkoliv neplatí. Porušení normality výběru se ve výsledcích testů výrazněji neprojeví. Shodu rozptylů před výpočtem ověříme testem pro jejich rovnost. Pokud nám test pro rovnost rozptylů dá negativní výsledek použijeme Cochranův-Coxův test nebo neparametrický dvouvýběrový Wilcoxonův test. B) Cochranův-Coxův test volíme v případě že není splněn předpoklad o rovnosti rozptylů. Za testovou statistiku volíme Kritickým oborem je T = X Y S = v X + v Y v X = S X S n v Y = S Y m. = {T ; T > t } t = v Xt n 1 (α) + v Y t m 1 (α) v X + v Y kde t k (α) je kritická hodnota jednovýběrového t testu. Tento test má ještě některé jiné varianty které pro menší rozsahy výběrů dávají poněkud jiné kritické obory. Uvedeme si na ukázku dvě z nich. C) Satterthwaite (1946). Kritickým oborem je = {T ; T > t f (α)} f = kde t k (α) je kritická hodnota jednovýběrového t testu. D) Welch (1947). Kritickým oborem je = {T ; T > t h (α)} h = kde t k (α) je kritická hodnota jednovýběrového t testu. S 4 v X n 1 + v Y m 1 S 4 v X n + v Y m 15.5. Test o rovnosti rozptylů F-test. Předpokládáme že X 1 X... X n je náhodný výběr z normálního rozdělení N(µ 1 ; σ1 ) a Y 1 Y... Y m je náhodný výběr z normálního rozdělení N(µ ; σ ). Jako odhady středních hodnot µ 1 a µ použijeme výběrové průměry X a Y a jako odhady rozptylů σ1 a σ použijeme výběrové rozptyly SX a S Y. Předpokládáme že jsou náhodné výběry nezávislé. Testujeme nulovou hypotézu H 0 : σ1 = σ proti alternativní hypotéze H 1 : σ1 σ. 9

Jako výběr X i označíme ten pro který je SX > S Y. Za testovou statistiku volíme F = S X SY o které je známo že má F n 1m 1 rozdělení. Kritickým oborem je = {F ; F > F n 1m 1 (α) } kde F n 1m 1 (α) je kritická hodnota z tabulek. Poznamenejme že při této volbě označení výběrů vyjde vždy hodnota testovací statistiky větší než jedna. Kritický obor je tedy volen tak že tento poměr nesmí přesáhnout kritickou hodnotu. Pro obecnou situaci by měl kritický obor ještě část hodnot blízkých nule. To ve zvolené variantě testu ale nemůže nastat. Testy ve statistických softwarových produktech předpokládají volbu této varianty a testují pouze překročení horní kritické hodnoty. Při této volbě je chyba 1. druhu menší než α. To znamená že ve 100α% případů odmítneme pravdivou skutečnost a příjmeme alternativní hypotézu ačkoliv neplatí. Neparametrické testy V neparametrických testech má hypotéza charakter tvzení o vlastnostech rozdělení které nejsou odvozeny od hodnot parametrů. Uvedeme některé z nich. 15.6. Znaménkový test je testem o mediánu rozdělení. Používáme jej jako velice jednoduchou variantu testu na symetrii rozdělení kdy by se měl medián rovnat střední hodnotě. Předpokládáme že X 1 X... X n je náhodný výběr ze spojitého rozdělení jehož medián je x 05 = x. Testujeme nulovou hypotézu H 0 : x = x 0 proti alternativě H 1 : x x 0. Označme si Y i = X i x 0. Pokud je nulová hypotéza platná pak by měl být počet kladných a záporných hodnot souboru Y i stejný. Označíme-li Y počet kladných hodnot v souboru Y i je pak Y realizací náhodné veličiny která má binomické rozdělení Bi(n 1 ). Ta nabývá hodnot z množiny {0 1... n} a hodnoty blízké nule a n se vyskytují s velmi malou pravděpodobností. Kritický obor testu je = {Y ; Y k 1 nebo Y k } kde hodnoty k 1 a k nalezneme v tabulkách. Pro zvolenou hladinu testu je nalezneme tak že je k 1 největší z hodnot a k je nejmenší z hodnot pro které platí P (Y k 1 ) α P (Y k ) α jestliže má Y zmiňované binomické rozdělení Bi(n 1 ). Pokud má výběr větší rozsah n > 36 můžeme nahradit binomické rozdělení Bi(n 1 ) normálním rozdělením N( n n 4 ) která mají shodné střední hodnoty n a rozptyly n 4. Potom má náhodná veličina U = Y n n = Y n n normované normální rozdělení N(0; 1). Kritický obor je roven = {U; U u(α) } 93

kde u(α) je kritická hodnota pro normální rozdělení kterou nalezneme z tabulek. Poznamenejme že je tato kritická hodnota u(α) = u 1 α rovna 1 α kvantil normovaného normálního rozdělení. Snadno odvodíme i jednostranné varianty testu. Test má poměrně malou sílu a k věrohodnotnějšímu výsledku je potřeba poměrně velký rozsah náhodného výběru. 15.7. Jednovýběrový Wilcoxonův test je testem symetrie rozdělení. Testujeme symetrii rozdělení vzhledem k hodnotě x 0 tedy skutečnost že pro hustotu či pravděpodobnostní funkci platí f(x x 0 ) = f(x + x 0 ). Nulovou hypotézu zapisujeme ve tvaru podmínky pro medián x 05 = x : H 0 : x = x 0 proti alternativě H 1 : x x 0. Pro náhodný výběr X 1 X... X n utvoříme soubor Y i = X i x 0 ve kterém vypustíme případné nulové hodnoty. Hodnoty Y i uspořádáme podle velikosti a označíme R i + jejich pořadí. Nyní je S + = R i + S = R i +. Y i >0 Y i <0 Poznamenejme že S + + S = 1 n(n + 1). Pokud je rozdělení symetrické budou se vyskytovat kladné a záporné hodnoty souměrně kolem hodnoty x 0 tedy součty pořadí kladných a záporných hodnot se od sebe budou málo lišit. Kritický obor testu je stanoven jako : min(s + S ) < w(α) kde w(α) je kritická hodnota testu kterou nalezneme v tabulkách. Je-li splněna podmínka pro kritický obor zamítneme nulovou hypotézu že rozdělení je symetrické. Poznamenejme že pro náhodné veličiny S + a S je E(S + ) = E(S ) = 1 4 n(n + 1) a D(S+ ) = D(S ) = 1 n(n + 1)(n + 1). 4 Pro větší hodnoty rozsahu výběru nahradíme rozdělení rozdělením normálním tedy skutečností že má náhodná veličina U = S + 1 4n(n + 1) 1 4n(n + 1)(n + 1) normované normální rozdělení N(0; 1). Kritický obor testu je pak = {U; U > u(α) } kde u α je kritická hodnota testu pro normální rozdělení která je rovna u(α) = u 1 α kvantilu normovaného normálního rozdělení. 15.7. Dvouvýběrový Wilcoxonův test slouží k porovnání výběrů kdy testujeme hypotézu že jsou oba výběry ze stejného rozdělení. Předpokládáme že náhodný výběr {X 1 X... X n } je výběrem z rozdělení s distribuční funkcí F a náhodný výběr {Y 1 Y... Y m } je výběrem z rozdělení s distribuční funkcí G. Testujeme hypotézu H 0 : F = G proti alternativě H 1 : F G. Test je založen na skutečnosti že pokud jsou obě rozdělení stejná pak se v obou výběrech budou vyskytovat hodnoty shodné velikosti ve stejném počtu. 94

Algoritmus testu: 1. Vytvoříme sdružený soubor {Z 1 Z... Z n+m } = {X 1 X... X n } {Y 1 Y... Y m }.. Stanovíme pořadí prvků souboru který uspořádáme podle velikosti přičemž prvkům které mají stejnou velikost přiřadíme průměr jejich pořadí. Označme T 1 je součet pořadí prvků z prvního souboru; T je součet pořadí prvků z druhého souboru. Poznamenejme že T 1 + T = 1 (n + m)(n + m + 1). 3. Položme U 1 = nm + 1 n(n + 1) T 1 a U = nm + 1 m(m + 1) T. (U 1 + U = nm.) Testovací kritérium: Kritický obor : min{u 1 U } w(α) kde kritickou hodnotu w(α) testu nalezneme v tabulkách. Poznámka: Pořadí souborů volíme tak aby n m tabulky bývají pro rozsahy m 0 5 n 30. Pro větší rozsahy výběrů využíváme skutečnosti že za platnosti hypotézy H 0 je E(U 1 ) = E(U ) = 1 nm a D(U 1) = D(U ) = 1 nm(n + m + 1). 1 Rozdělení obou veličin můžeme pak považovat za normální a tedy náhodná veličina U = U 1 1 nm 1 1nm(n + m)(n + m + 1) má normované normální rozdělení N(); 1). Kritický obor testu je = {U; U > u(α)} kde u(α) je kritická hodnota pro normální rozdělení tedy u 1 α kvantil normálního rozdělení. Poznámka. Test je citlivý na posun tedy na situaci kdy je F (x) = G(x ). Pro situace kdy se soubory liší spíše rozptylem či tvarem je doporučen Kolmogorovův-Smirnovův test. 15.8. Kolmogorovův-Smirnovův test. Nejprve popíšeme empirickou distribuční funkci která se v testu používá. Je-li {X 1 X... X n } náhodný výběr z rozdělení které má distribuční funkci F pak empirickou distribuční funkcí nazýváme funkci F n která je definována předpisem: F n (x) = 1 n 0 x < Xi ξ i (x) kde ξ i (x) = n 1 x X i. Potom je lim F n(x) = F (x) x R. n Poznámka. Empirická distribuční funkce je po úsecích konstantní a má skoky velikosti 1 v bodech x = X i 1 i n. Znázorníme si průběh empirické distribuční funkce pro náhodný výběr pro který platí: X 1 < X < X 3 = X 4 < X 5. 95

1 4 5 1 5 5 y F 5 (x) X 1 X X 3 = X 4 X5 x Obr. 1.1. Předpokládáme že náhodný výběr {X 1 X... X n } je výběrem z rozdělení s distribuční funkcí F a náhodný výběr {Y 1 Y... Y m } je výběrem z rozdělení s distribuční funkcí G. Testujeme hypotézu H 0 : F = G proti alternativě H 1 : F G. Test je založen na skutečnosti že pokud jsou obě rozdělení stejná pak se v obou výběrech budou vyskytovat hodnoty shodné velikosti ve stejném počtu. Algoritmus testu: 1. Vypočteme empirické distribuční funkce F n a G m.. Určíme maximální rozdíl těchto funkcí D nm = sup{ F n (x) G m (x) ; x R}. Platí-li hypotéza H 0 je lim D nm = 0. nm 3. Určíme testovací statistiku MDnm M = nm n + m která má rozdělení určené distribuční funkcí K(λ) kde K(λ) = 1 ( 1) k+1 e k λ k=1 tj. 4. Kritický obor testu je ( ) lim P MDnm < λ = K(λ) λ > 0. nm : MDnm λ α D nm λ α M kde kritickou hodnotu testu D nm = λα M nalezneme v tabulkách pro hodnoty n 0 4 m 0 n + m 8. Pro větší rozsahy výběrů použijeme aproximace a kritickou hodnotu λ α určíme z podmínky: P ( D nm < K(λ). = 1 e λ λ ) α = K(λ) = 1 α 1 α = 1 e λ α λ α = 1 M ln α. 96

Pro kritický obor dostaneme : D nm D nm = 1 M ln α. 15.9. Test shody pro binomické rozdělení. Máme dány hodnoty nezávislých náhodných veličin X Bi(n p 1 ) a Y Bi(m p ). Testujeme nulovou hypotézu proti alternativě H 0 : p 1 = p H 1 : p 1 p. Algoritmus testu. 1. Vypočteme hodnoty x = X n a y = Y m které jsou odhady parametrů p 1 x a p y.. Má-li výběr dostatečně velký rozsah pak mají náhodné veličiny x a y po řadě normální rozdělení ( x N p 1 ; p ) 1(1 p 1 ) n a ( y N p ; p (1 p ) m 3. Protože jsou náhodné veličiny x a y nezávislé má náhodná veličina U = (x y) (p 1 p ) p1 (1 p 1 ) n + p (1 p ) m normované normální rozdělení N(0; 1). 4. Pokud platí nulová hypotéza H 0 je p 1 p = 0 a jestliže použijeme aproximací p 1 = x p = y má náhodná veličina ). U a = x(1 x) n x y + y(1 y) m normované normální rozdělení N(0; 1). 5. Kritický obor testu je pak = {U a ; U a u( α )} kde kritická hodnota u( α ) je rovna 1 α kvantilu normálního rozdělení N(0; 1). Alternativní varianta testu je založena na skutečnosti že společnou hodnotu p 1 = p odhadujeme pomocí hodnoty z = X+Y. Potom má náhodná veličina normované normální rozdělení N(0; 1). Kritický obor testu je pak n+m = nx+my n+m x y U b = ( ) z(1 z) 1 n + 1 m = {U b ; U b u( α )}. 97

Protože je pro n = m hodnota U b U a dává tato varianta častěji jako výsledk testu přijetí nulové hypotézy H 0. 15.10. Multinomické rozdělení. Uvažujme náhodné jevy A i 1 i k které jsou po dvou disjunktní P (A i ) = p i A 1 A... A k = U tedy p 1 + p +... + p k = 1. Jestliže opakujeme n krát pokus který jako výsledek dává posloupnost jevů A i nebo A i a uvažujeme kolikrát se ma i tém místě objeví jev A i pak mluvíme omultinomickém rozdělení s parametry n a p 1 p... p k. Jestliže označíme jako náhodný vektor (X 1 X... X k ) výsledek pokusu pak pro sdruženou pravděpodobnostní funkci p dostaneme p(i 1 i... i k ) = P (X 1 = i 1 X = i... X k = i k ) = n! i 1!.i!... i k! pi 1 1 p i... p i k k kde 0 i j 1 j k i 1 + i +... i k = n. Marginální rozdělení každé z veličin X j je binomické rozdělení Bi(n p j ) a E(X j ) = np j D(X j ) = np j (1 p j ) 1 j k. Dále je koeficient korelace cov(x i X j ) = np i p j i j 1 i j k. Takové rozdělení dostaneme jestliže pro náhodný výběr provedeme diskretizaci jeho hodnot pomocí zvolené škály. Nechť je X 1 X... X n náhodný výběr z rozdělení s danou distribuční funkcí. Rozdělíme interval ve kterém se může daná náhodná veličina vyskytovat na systém k disjunktních intervalů tvaru (a 0 a 1 (a 1 a... (a k 1 a k ). Dále označme p i = P (a i 1 < X a i ) 1 i k pravděpodobnost výskytu náhodné veličiny X v i tém intervalu škály. Potom je np i teoretická četnost výskytu hodnot náhodného výběru v i tém intervalu škály. Jestliže si označíme n i 1 i k empirickou četnost výskytu t.j. počet hodnot X j z náhodného výběru které leží v i tém intervalu škály pak platí tvrzení. Věta: Náhodná veličina ( ) χ = k (n i np i ) np i má přibližně rozdělení χ (k 1). Poznámka: Hodnota χ je vlastně vážený součet čtverců odchylek empirické a teoretické četnosti kdy ja každá odchylka vážena proti své teoretické hodnotě. Tato hodnota má být co nejmenší. Uvedeme vzorec který se někdy lépe hodí k výpočtu hodnoty χ. Je totiž χ = k (n i np i ) np i = k n i n inp i + (np i ) np i = k n k k k i n i + np i = np i n i np i n. 15.11. Test dobré shody test χ (chí kvadrát). Testujeme že daný náhodný výběr je výběrem ze známého rozdělení. Pokud jsou parametry rozdělení (hustoty či pravděpodobnostní funkce) známy počítáme uvedené veličiny z rozdělení které je určeno jejich hodotami. Pokud tyto parametry neznáme použijeme pro ně odhady získané některou s metod hledání bodových odhadů (metoda maximální věrohodnosti či metoda momentů). Máme dán náhodný výběr X 1 X... X n z rozdělení se známým typem distribuční funkce (hustoty). Testujeme nulovou hypotézu 98

H 0 : náhodný výběr je výběrem s daným rozdělením proti alternativě H 1 : náhodný výběr je výběrem z jiného rozdělení. Algoritmus testu. 1. Definiční obor náhodné veličiny X rozdělíme pomocí dělících bodů na škálu k intervalů tvaru ( a 1 (a 1 a... (a k a k 1 (a k 1 a k = ).. Vypočteme teoretické četnosti a ověříme podmínku použitelnosti testu: p i = P (a i 1 < X a i ) 1 i k np i 5 1 i k nebo np i 5q kde q je podíl tříd pro které je np i < 5 v případech kdy k 3. 3. Určíme empirické četnosti n i jako počty hodnot X j z náhodného výběru které leží v intervalu (a i 1 a i 1 i k a vypočteme hodnotu statistiky χ = k (n i np i ) np i. 4. Pro zvolenou hladinu významnosti testu stanovíme kritický obor testu = {χ ; χ χ k 1(α)} kde χ k 1 (α) je kritická hodnota testu která je rovna 1 α kvantilu rozdělení χ (k 1). 5. Je-li hodnota χ zamítneme nulovou hypotézu H 0 ve prospěch alternativní hypotézy H 1. V opačném případě kdy je χ < χ k 1 (α) nulovou hypotézu H 0 přijmeme. Poznámka: Pokud použijeme místo skutečných hodnot parametrů rozdělení jejich odhadů pak místo k 1 stupňů volnosti rozdělení χ volíme rozdělení s k m 1 stupni volnosti kde m je počet parametrů rozdělení. Poznámka: Metoda minimálního χ se používá k zpřesnění výsledku v případě kdy parametry roazdělení odhadujeme. Její princip je založen na tom že hledáme hodnoty neznámých parametrů tak aby hodnota náhodné veličiny χ ze vzorce ( ) byla minimální. Řešení této úlohy je poměrně komplikované zájemce odkazujeme na podrobnější literaturu ze statistiky. 99