Lorenzův atraktor Jméno a příjmení: Osobní číslo: A08N0203P Obor: MA E-mail: pmartine@students.zcu.cz Datum odevzdání: 12.2.2009 Strana 1 (celkem 25)
Obsah Lorenzův atraktor...1 Úvod...3 Dynamický systém...3 Lineární systém...3 Stavový prostor...3 Atraktor dynamického systému...4 Chaos...4 Model konvektivního proudění atmosféry...8 Numerické experimenty v programu Mathematica...12 Stacionární body...16 Přesnost při výpočtu v programu Mathematica...22 Závěr...26 Zdroje...27 Strana 2 (celkem 25)
Úvod Dynamický systém Dynamický systém sestává ze stavového prostoru, jehož souřadnice popisují stav systému v daném čase a z dynamických podmínek, které popisují změnu tohoto systému v čase. Stav systému je potom popsán vektorem, který celý leží ve stavovém prostoru. Dynamické podmínky jsou většinou zadány soustavou diferenciálních rovnic, které popisují změnu stavového vektoru v čase. Změna stavu dynamického systému se děje provedením těchto diferenciálních rovnic a nahrazením starého stavového vektoru vektorem novým. Dynamický systém může být deterministický nebo stochastický (náhodný). Deterministický dynamický systém lze poměrně přesně popsat, zatímco u systému stochastického jsme odkázáni pouze na statistické vlastnosti takového systému (například střední hodnota, disperze, směrodatná odchylka, centrální moment a jiné). Lineární systém Lineární systém je takový systém, v němž lze uplatnit princip superpozice. Superpozice využíváme při řešení velkého množství problémů, například při řešení průtoku elektrického proudu v elektronických obvodech nebo ve fyzice při skládání působení sil na hmotný bod. Obecně platí, že je-li systém lineární a lze využít superpozice, je řešení takového systému často velmi jednoduché a jednoznačné. Chování takových systémů lze předpovědět i do budoucnosti. Při práci se systémy, které nejsou lineární, častou používáme postupu zvaného linearizace. Nelineární závislost se nahradí závislostí lineární. Stavový prostor Stavový prostor určuje, jakých hodnot může nabývat stavový vektor dynamického systému. Stavový vektor je tvořen množinou proměnných, které mohou nabývat hodnot z určitého intervalu. Interval všech těchto hodnot potom určuje celý stavový prostor. Stavový prostor může být několika typů: konečný spočitatelný nekonečný Strana 3 (celkem 25)
Atraktor dynamického systému Atraktor (anglicky attractor) dynamického systému je stav, do kterého systém směřuje. Je to tedy množina, ve které je stavový vektor, když je systém v nekonečném čase. Atraktory rozdělujeme do několika tříd: atraktorem jsou pevné body atraktorem jsou periodické body atraktorem jsou kvaziperiodické body atraktor je chaotický podivný atraktor Jsou-li atraktorem dynamického systému pevné body, jde o nejjednodušší případ. Systém se tedy v nekonečném čase ustálil v nějakém stabilním stavu a v podstatě už nejde o dynamický systém. Příkladem může být kyvadlo, které se vlivem odporu vzduchu a odporu ložisek zastaví v nejnižším bodě své dráhy. Jsou-li atraktorem periodické (resp. kvaziperiodické) body, jde také o jednoduchý případ. Systém se ustálil tak, že osciluje mezi několika stavy. Příkladem je těleso, které se na své cestě vesmírem dostane do blízkosti velmi hmotného tělesa. Po určitém čase se pohyb tohoto tělesa ustálí na eliptické dráze. Je-li atraktor chaotický, znamená to, že výsledný atraktor nelze v podstatě nijak dopředu předpovědět. To je způsobeno tím, že je systém velmi citlivý na počáteční podmínky. Chaotičnost v tomto případě neznamená náhodnost, protože se bavíme o deterministických systémech. Příkladem může být koule postavená na vrcholku jehlanu. Jakýkoliv vnější podnět způsobí, že koule tento stav opustí a dostane se do některého atraktoru (místo pod jehlanem). Tento atraktor nelze předpovědět, protože nemůžeme bez zásahu do měření zjistit počáteční podmínky. V kvantové fyzice existuje takzvaný princip neurčitosti, který má obdobný význam pro kvantové jevy. Podivný atraktor (anglicky strange attractor) je nejzajímavějším případem atraktoru. Tento typ atraktoru vzniká, je-li systém popsán minimálně třemi diferenciálními rovnicemi. Takový systém může mít velmi komplikovaný atraktor, který sice bude chaotický, ale přesto bude vykazovat určité pravidelnosti. Termín podivný atraktor není ještě přesně matematicky definován, ale považujeme za něj takový atraktor, který vykazuje stejné vlastnosti, jaké mají fraktály (podivný atraktor je tedy fraktálem). Chaos Chaos je z časového hlediska budoucí stav deterministického dynamického systému, který není předpovídatelný v důsledku velké citlivosti na počáteční podmínky. Chaos může nastat v systému, který má více než dvě stavové proměnné, tedy například v trojrozměrném prostoru. Pro diskrétní procesy existuje i jednorozměrný chaos. Jako příklad můžeme uvést takzvanou Logistickou mapu, která je definována předpisem: Tato funkce je pro r > 4 chaotická. f(x) = r*x(1-x) Strana 4 (celkem 25)
Obr. 1: Celkový pohled na Mandelbrotovu množinu Obr. 2: Detail z Mandelbrotovy množiny Strana 5 (celkem 25)
Obr. 3: Dynamický systém - Eulerova substituce Obr. 4: Dynamický systém - simulace difúze Strana 6 (celkem 25)
Obr. 5: Dynamický systém - simulace difúze Strana 7 (celkem 25)
Model konvektivního proudění atmosféry Proudící tekutina je poměrně složitý spojitý dynamický systém, s velkou variabilitou okrajových podmínek, lze jej charakterizovat velmi vysokým počtem stupňů volnosti. Studium vlastností takového systému je obecně technicky velmi obtížné. Proto budeme demonstrovat chaotické chování dynamických systémů na případě daleko jednoduššího systému s nízkým počtem stupňů volnosti. Základní mechanismus vzniku chaosu je společný všem dynamickým systémům bez ohledu na jejich složitost. Jako příklad jsme zvolili Lorenzův systém, který vlastně odstartoval éru systematického studia chaosu. I když by se na první pohled mohlo zdát, že x, y, z jsou prostorové souřadnice, ale není tomu tak. Jejich fyzikální význam je poněkud abstraktní. Proměnná x představuje rychlost rotace pohybu částice, kladná hodnota je ve směru hodinových ručiček. Proměnná y je rozdíl teplot stoupající a klesající tekutiny. Proměnná z charakterizuje odchylku svislého profilu teploty od lineárního průběhu. Parametr r je Rayleigho číslo (v normovaném tvaru), sigma Prandtlovo číslo a parametr b představuje štíhlost válce tekutiny při konvekci, tedy poměr jeho délky a průměru. Tento matematický model zachycuje základní vlastnosti konvektivního proudění atmosféry, která je zahřívána povrchem ze spodu a ochlazována svrchu. Vzniká tak rotační pohyb částic vzduchu, kdy ohřátá částice stoupá, tím se ochlazuje a začne klesat, aby se opět zahřála a stoupala. Tento jev je známý jako Rayleigh-Bénárdova nestabilita. Okrajové podmínky jsou poněkud idealizovány: proudění v horní oblasti je považováno bez smykového napětí místo realističtější podmínky stejných rychlostí, v příčném směru je uvažována periodická okrajová podmínka místo omezení stěnami a celý případ je modelován jako rovinný místo prostorového. Lorenzovy rovnice mají následující vlastnosti: Jsou autonomní, to znamená, že jejich pravá strana explicitně neobsahuje čas, koeficienty jsou konstantní; Obsahují pouze první časové derivace. Důsledkem tohoto spolu s uvážením autonomie systému je zřejmé, že jeho vývoj závisí pouze na okamžitých vlastnostech proměnných (x, y, z) a nikoli na jejich historii; rovnice jsou nelineární, viz členy xz a xy ve druhé a třetí rovnici; řešení soustavy rovnic je omezené v prostoru proměnných. Strana 8 (celkem 25)
Atraktor příslušející Lorenzovu systému je prvním z tzv. "podivných atraktorů" charakterizujících chaotické chování dynamického systému a má některé vskutku podivné vlastnosti: je tvořen spojitou křivkou v prostoru, která obecně začíná v jistém počátečním bodě, může však mít nekonečně velkou délku. Přitom vyplňuje jistý přesně vymezený podprostor ve fázovém prostoru, ze kterého nikdy nevybíhá; nikdy neprotíná sám sebe, nekříží se ani se neopakuje; má vlastnost fraktálů, tj. jeho struktura se opakuje na různých měřítkách; jeho průběh v prostoru je náhodný, chaotický, nepředpověditelný. Ukazuje se, že kritická hodnota parametru r při výše uvedených hodnotách parametrů s a b je rovna asi 24,74, pro hodnoty nižší směřuje vývoj systému do jediného bodu ve fázovém prostoru, pro hodnoty vyšší dostáváme nekonečný pohyb s prvky chaosu. Obr. 7: Rozložení teploty pro nízké r (nižší než kritická hodnota) Obr. 6: Rozložení teploty pro vysoké r (vyšší než kritická hodnota) Strana 9 (celkem 25)
Obr. 8: Schéma Lorenzova systému Reygleigh-Bénárdova buňka Strana 10 (celkem 25)
Obr. 9: Grafické znázornění proudění pro různé r (vyšší než kritická hodnota) Strana 11 (celkem 25)
Numerické experimenty v programu Mathematica Při numerických experimentech jsme vycházeli z následujícího tvaru Lorenzových rovnic. dx = b x t y t z t dt dy = s y t s z t dt dz = y t x t r y t z t dt Při zkoumání tohoto modelu se nejčastěji používá následujících hodnot pro parametry b = 8/3, s = 10, r = 28. 20 yhtl 10 10 20 30 40 50 xhtl -10 Obr. 10: Fázový diagram - {x, y} pro y 0 = [0,3,10] Strana 12 (celkem 25)
zhtl 30 20 10-10 10 20 30 40 50 xhtl -20 Obr. 11: Fázový diagram - {x, z} pro y 0 = [0,3,10] zhtl 30 20 10-10 10 20 yhtl -10-20 Obr. 12: Fázový diagram - {y, z} pro y 0 = [0,3,10] Strana 13 (celkem 25)
8xHtL, yhtl, zhtl< 40 30 20 10 10 20 30 40 50 60 70 t -10-20 Obr. 13: Všechny složky řešení pro y 0 = [0,3,10] Strana 14 (celkem 25)
Stacionární body a) S 1 = [0, 0, 0] det( I J(S 1 )) = - (b + ) * (s r * s + + s * + 2 ) 1 = -b, 2,3 = ½ (-1 s (1 2s + 4r * s + s 2 ) ½ ). 2 = -½((1 + s) - ((1 + s) 2 + 4s * (r - 1)) ½ ) > 0 => S 1 je nestabilní. b) Z druhé rovnice vyplývá, že z = y. Nyní třetí rovnici vydělíme y (pro y = 0 bychom dostaly S 1 ) a vyjde nám že x = r - 1. Po dosazení za x do první rovnice nám vyjde, že y = z = n => S 2,3 = [r 1, n, n], kde n = [b(r-1)] ½. det( I J(S 2 )) = 3 + (b + s + 1) * 2 + (b + b * s + n 2 ) * + 2n 2 * s Nyní dosadíme za b, r, s a vyjdou nám komplexně sdružené kořeny s kladnou reálnou částí => S 2,3 je nestabilní. Strana 15 (celkem 25)
Pro počáteční hodnotu rovnu jednomu ze stacionárních bodů S 2,3 je výsledkem opět tento bod. Pro obvyklou volbu b, r, s je y 0 = [27, 6 * 2 ½, 6 * 2 ½ ]. a) Vychýlení počáteční hodnoty y 0 pro x o 5 * 10-5 Výsledné řešení se pro nízká t příliš neliší od konstantního: yhtl 8.488 8.487 8.486 8.485 8.484 8.483 26.994 26.996 26.998 27.002 27.004 27.006 Obr. 14: Fázový diagram {x, y} xhtl zhtl 26.994 26.996 26.998 27.002 27.004 27.006 xhtl 8.488 8.486 8.484 8.482 Obr. 15: Fázový diagram - {x, z} Strana 16 (celkem 25)
zhtl 8.483 8.484 8.485 8.486 8.487 8.488 yhtl 8.488 8.486 8.484 8.482 Obr. 16: Fázový diagram - {y, z} 8yHtL - zhtl< 0.003 0.002 0.001 10 20 30 40 50 60 70 t -0.001-0.002-0.003 Obr. 17: Rozdíl složek řešení {y, z} Strana 17 (celkem 25)
b) Chování systému pro r = 24, y 0 a t (0, 200). yhtl 9 8 7 22 24 26 Obr. 18: Fázový diagram {x, y} xhtl zhtl 10 9 8 7 6 22 24 26 Obr. 19: Fázový diagram {x, z} xhtl Strana 18 (celkem 25)
zhtl 10 9 8 7 6 7 8 9 Obr. 20: Fázový diagram - {y, z} yhtl 8yHtL -zhtl< 2 1 50 100 150 200 t -1 Strana 19 (celkem 25)
Přesnost při výpočtu v programu Mathematica Pro výpočet relativní chyby jsem využil vzorce: e r (t) = Max [x ok (t) x n (t), y ok (t) y n (t), z ok (t) z n (t)] * (Max [x ok (t), y ok (t), z ok (t)] ) -1 x ok x složka řešení, které bylo numericky spočítáno na min 100 platných cifer x n x složka řešení, které bylo spočtená danou metodou (y 0 = [0,3,10]). t {1, 2,, 20} Relativní c hyba 3.5 10 6 3 10 6 2.5 10 6 2 10 6 1.5 10 6 1 10 6 5 10 7 NDSolve funkce programu Mathematica pro řešení dif. rovnic. V tomto případě bez jakýchkoliv nastavení. 5 10 15 20 Čas Pro klasický NDSolve Relativní c hyba 8 10 8 6 10 8 4 10 8 Parametr WorkingPrecision -> 32 znamená, že v průběhu výpočtu bude program pracovat s čísly o 32 číslicích. Dále již jen 32. 2 10 8 NDSolve s WorkingPrecision -> 32 5 10 15 20 Čas Strana 20 (celkem 25)
Relativní c hyba 0.001 0.0008 0.0006 0.0004 0.0002 Mé nastavení 5 10 15 20 NDSolve[LorenzEquations, {x,y,z},{t,0,20}, WorkingPrecision->32,Metod-> StiffnessSwitching ]. Pro vyplněný parametr metod počítá mathematica pouze pomocí této (těchto) numerických metod. Dále vždy uvádím jen jméno použité metody (v anglickém originálu, jméno je shodné s probíranými metodami). Čas Relativní c hyba 8 10 8 6 10 8 4 10 8 2 10 8 Adams + 32 5 10 15 20 Čas Relativní c hyba 3.5 10 6 3 10 6 2.5 10 6 2 10 6 1.5 10 6 1 10 6 5 10 7 Adams 5 10 15 20 Čas Strana 21 (celkem 25)
Relativní c hyba 0.000025 0.00002 0.000015 0.00001 5 10 6 BDF 5 10 15 20 Čas Relativní c hyba 8 10 8 6 10 8 4 10 8 2 10 8 BDF + 32 5 10 15 20 Čas Relativní c hyba 8 10 8 6 10 8 4 10 8 2 10 8 ExplicitRungeKutta + 32 5 10 15 20 Čas Strana 22 (celkem 25)
Relativní c hyba 4 10 6 3 10 6 2 10 6 1 10 6 ExplicitRungeKutta 5 10 15 20 Čas Relativní c hyba 8 10 7 6 10 7 4 10 7 2 10 7 ImplicitRungeKutta 5 10 15 20 Čas Relativní c hyba 7 10 7 6 10 7 5 10 7 4 10 7 3 10 7 2 10 7 1 10 7 5 10 15 20 Čas ImplicitRungeKutta + 32 Strana 23 (celkem 25)
Závěr V této práci jsme popsali Lorenzův systém, který popisuje cirkulaci tepla v zemské atmosféře. A i když jde o model značně zjednodušující skutečnost, podařilo se nám ilustrovat jeho chování pro různé volby parametru r a různé počáteční podmínky. Pokud bychom chtěli předpovídat počasí na základě tohoto jednoduchého modelu, museli bychom se vypořádat s jeho nepříjemným chaotickým chování pro r vetší než je jeho kritická hodnota. Přestože Lorenz formuloval tento model už v roce 1963 a dnešní meteorologie již jistě používá mnohem sofistikovanější modely, zcela určitě budou vykazovat podobné chování jako rovnice námi zkoumané. Proto věřím, že po shlédnutí příští relace o počasí se spokojíte s přáním slunce v duši a nevydá se všanc stochastickému fenoménu jakým je počasí. Strana 24 (celkem 25)
Zdroje 1., seminární práce ze SNM1 2. Ing. Václav Uruba, Csc, Náhoda v exaktní vědě, http://www.essentia.cz/ 3. Pavel Tišnovský, Fraktály, http://www.vood.mysteria.cz/fraktaly Strana 25 (celkem 25)