Lekce Itervalový odhad Itervalový odhad je jedou ze stadardích statistických techik Cílem je sestrojit iterval (kofidečí iterval, iterval spolehlivosti, který s vysokou a avíc předem daou pravděpodobostí pokryje ezámý parametr rozděleí pravděpodobosti áhodé veličiy Při kostrukci kofidečích itervalů využíváme vedle dříve zavedeého ormovaého ormálího rozděleí především rozděleí z předešlé lekce: Studetovo, Peasoovo a Fisherovo Sedecorovo Pro jediý parametr kostruujeme kofidečí itervaly a podkladě jediého výběru Pro rozdíl ebo podíl dvou parametrů vycházíme z dvojice áhodých výběrů Vypovídací hodota kofidečího itervalu je epřímo úměrá jeho šířce Výzamý vliv a šířku kofidečího itervalu má rozsah výběru Proto se zabýváme i možostí předběžého staoveí takového rozsahu výběru, aby přípustá chyba odhadu epřesáhla požadovaou hodotu dolí odhad; horí odhad; iterval spolehlivosti; kofidečí iterval; levostraý iterval; miimálí rozsah výběru; oboustraý iterval; pravostraý iterval; přípustá chyba; riziko odhadu; směrodatá chyba; spolehlivost odhadu Pricip itervalového odhadu D, pro kterou P [ D Θ] Statistiku, kde číslo je blízké ule, azveme dolím odhadem parametru Θ a iterval D ;+ azveme levostraým itervalem pro odhad parametru Θ Statistiku H, pro kterou P [ Θ ] odhadem parametru Θ a iterval ( ; H azveme pravostraým itervalem pro odhad parametru Θ Dvojici statistik H, kde číslo je blízké ule, azveme horím D, H pro které P D Θ H, kde číslo je blízké ule, azveme oboustraým odhadem parametru Θ a iterval ; H D azveme oboustraým itervalem pro odhad parametru Θ Výše uvedeé itervaly se azývají také itervaly spolehlivosti ebo kofidečí itervaly Předem zvoleé číslo, blízké jedé, se azývá spolehlivostí odhadu, zatímco je riziko odhadu Spolehlivost odhadu se často volí apř a úrovi 0,95 ebo 0,99 (hovoří se také o 95% ebo 99% spolehlivosti Výše uvedeé vzorce vypovídají o tom, že očekáváme, že ezámý parametr Θ bude kofidečím itervalem pokryt s vysokou (a předem zvoleou pravděpodobostí blízkou jedé, zatímco jeho epokrytí (kdy itervalový odhad selže je možé s pravděpodobostí, blízkou ule (selháí odhadu je jevem prakticky emožým Zvolíme-li apř pravděpodobost 0, 0 jako pravděpodobost prakticky emožého jevu, počítáme s tím, že sestrojíme-li jede kofidečí iterval, bude hodota ezámého parametru itervalem pokryta Vyjádřete se k situaci, kdy je formou opakovaých pokusů sestrojeo ěkolik stovek kofidečích itervalů! 5
Nadále budeme kostruovat pouze oboustraé kofidečí itervaly K jedostraému itervalu přejdeme vyecháím jedé z obou hraic kofidečího itervalu, přičemž ovšem zaměíme pravděpodobosti a za, Kofidečí itervaly (jede výběr Kofidečí iterval pro parametr µ při zámém ebo velkém rozsahu výběru Při staoveí tohoto kofidečího itervalu stačí použít Pu X µ u, jehož sadou úpravou ( u u získáme PX u µ X + u Tohoto tvaru kofidečího itervalu lze využít eje pro zámé, ale i v případě tzv velkého výběru, je-li > 30 V tom případě bez dalších úprav použijeme bodového odhadu S est Všiměte si, prosím, jak se měí zápis kofidečího itervalu v okamžiku, kdy místo áhodých veliči začeme pracovat s jejich kokrétími hodotami realizacemi z určitého áhodého výběru Obecě můžeme pro realizaci itervalu psát x u µ x + u (srovej- te s předchozím tvarem Kofidečí iterval pro parametr µ při ezámém a malém rozsahu výběru V případě malého výběru ( < 30 při ezámém použijeme estimátor S est čímž získáme S S P X t µ X + t V kofidečím itervalu jsou použity kvatily Studetova rozděleí s stupi volosti Příklad Pro 5 áhodě vybraých žárovek jsme při kotrole životosti zjistili x 0, s 47 (v hodiách Se spolehlivostí 99 % určíme oboustraý kofidečí iterval pro středí hodotu životosti celé výrobí série 5 Nejprve určíme výběrovou směrodatou odchylku s s 47 46 4 a vyhledáme 46 46 t 0,995[ 4], 797 Takže 0,797 µ 0 +,797, z čehož 783 µ 60 5 5 S vysokou spolehlivostí tedy můžeme tvrdit, že středí hodota životosti žárovky této výrobí série se achází v tomto rozmezí Pozor teto iterval evypovídá ic o idividuálí životosti jedotlivých žárovek, která se jistě pohybuje v podstatě širším rozmezí a avíc, evíme ic o jejím rozděleí pravděpodoboti! Doplňme ještě teto příklad o to, co zameá (ve světle tohoto výsledku tvrzeí výrobce, který garatuje pro celou sérii středí hodotu životosti 400 hodi? Vzhledem k tomu, že kofidečí iterval hodotu 400 epokrývá, je toto tvrzeí s velkou pravděpodobostí esprávé (skutečá životost je zřejmě ižší 6
Sestrojte za stejých podmíek jako v příkladu 90% a 95% koferečí iterval Vyjádřete se ke vztahu mezi rizikem a vypovídací hodotou kofidečího itervalu Kofidečí itervaly pro parametry, ( S S použitím rozděleí [ ] je ( S P Pozor tetokrát elze kalkulovat se symetrií, protože oba kvatily jsou růzá kladá čísla! Hraice kofidečího itervalu pro směrodatou odchylku získáme odmocěím hraic kofidečího itervalu pro rozptyl Příklad Vypočteme 95% kofidečí iterval pro směrodatou odchylku ze zadáí příkladu o životosti žárovek 0, 05 0, 975 Najdeme [ 4],40, [ 4] 39, 364 4 46 4 46 z čehož 33 593 Můžeme tedy tvrdit, že směrodatá odchylka 39,364,40 životosti výrobí série žárovek se prakticky jistě achází ve vypočteém rozmezí Staoveí miimálího rozsahu výběru při odhadu µ, Vypovídací schopost kofidečího itervalu je epřímo úměrá jeho šířce Veličiou, která v podstaté míře ovlivňuje šířku dosud probraých kofidečích itervalů (a eje jejich, je rozsah výběru Oba kofidečí itervaly pro středí hodotu mají aalogickou kostrukci, kterou můžeme vyjádřit jako P [ T Θ T + ] Přitom (je-li použit kvatil veličiy U u D( T Za- ( tímco D T jsme azvali směrodatou chybou, pak po jejím vyásobeí příslušým kvatilem získaou veličiu (velká delta azveme přípustou chybou Přípustá chyba představuje při daé spolehlivosti právě poloviu šířky kofidečího itervalu Vyjádříme-li ze vztahu u, u získáme, což je miimálí rozsah výběru, který zabezpečí, aby polovičí šířka kofidečího itervalu (přípustá chyba epřekročila zadaou hodotu Prakticky se vypočteé zao- krouhluje a ejbližší celé číslo směrem ahoru Očekáváme-li, že rozsah výběru vyjde větší ež 30, můžeme hodotu ezámého parametru sado ahradit výběrovým rozptylem V ávazosti a určete, jaký miimálí rozsah výběru vyžaduje (a 95% kofidečí iterval s přípustou chybou epřevyšující ± 00, (b 99% kofidečí iterval s přípustou chybou epřevyšující ± 50 ( Kofidečí iterval pro rozptyl je svojí stavbou odlišý Místo absolutího pojetí šířky itervalu [ ] H ( H D se využívá její relativí pojetí a κ Úloha se řeší tak, že hledáme D [ ] 7
oba kvatily pro takový počet stupňů volosti, pro který jejich podíl epřesáhe zadaou hodotu κ (kappa V ávazosti a určete relativí šířku 95% kofidečího itervalu pro směrodatou odchylku pro 30 ( Kofidečí iterval pro parametr θ V souvislosti s bodovým odhadem parametru θ jsme uvedli podmíku ormálí aproximace, kdy p ( p > 9 Při splěí tohoto předpokladu má výběrová relativí četost p ormálí rozděleí θ ( θ p θ s E( p θ, D ( p Veličia U má rozděleí N [ 0; ] Bodovým odhadem θ ( θ p ( p rozptylu veličiy p je výběrový rozptyl (předpokládejme, že rozsah výběru bude vždy dostatečě velké číslo Oboustraý kofidečí iterval pro parametr θ je p( p p( p P p u θ p + u I pro teto kofidečí iterval je adekvátí obecá kostrukce zmíěá v souvislosti s miimálím rozsahem výběru Aalogicky jako u parametru µ můžeme ozačit u u p( p, z čehož p( p Příklad 3 Z počtu 6 áhodě vybraých peumatik mělo ve sledovaém období defekt 7 kusů Se spolehlivostí 0,05 odhaděte parametr θ, kterým je pravděpodobost výskytu defektu 7 0,4( 0,4 0,4( 0,4 p 0,4 a 0,4,96 θ 0,4 +,96, z čehož 0,4 θ 0, 86, takže defektem bude s vysokou pravděpodobostí postižeo 4, až 8,6 % 6 6 6 peumatik Mimochodem a tomto příkladě se můžeme poučit o obecém pravidle, že při zjišťováí slovích odpovědí (apř ao/e jako v tomto případě je ve srováí se zjišťováím číselých hodot (měřeím utý podstatě větší rozsah výběru, ež bychom zřejmě čekali To, co ušetříme a zjišťováí jedoho údaje, ztratíme a tom, že údajů je potřeba daleko více Zkrátka ic a světě eí zadarmo V ávazosti a 3 určete kolik peumatik by bylo třeba zařadit do sledováí, aby s rizikem 0,05 byl parametr θ odhadut s přípustou chybou ± 0, 05 ( 3 3 Kofidečí itervaly (dva výběry Kofidečí iterval pro rozdíl dvou středích hodot S využitím pozatků o rozděleí rozdílu dvou výběrových průměrů můžeme pro kofidečí iterval při zámých, vyvodit 8
P( X X u + µ µ ( X X + u +, zatímco při ezámých, použijeme bodové odhady (výběrové rozptyly S,S Tuto operaci lze provést bez jakýchkoli důsledků, je jsou-li rozsahy výběrů, dostatečě velké Všiměme si, že i teto kofidečí iterval vyhovuje obecé formuli, kterou jsme uvedli v souvislosti se staoveím miimálího rozsahu výběru při odhadu µ Příklad 4 Pokusíme se odpovědět a otázku, zda dvě plicí liky s deklarovaou přesostí vyjádřeou směrodatými odchylkami jsou astavey a stejou hmotost plěí O stejém astaveí liek vypovídá ulová hodota rozdílu parametrů µ µ K dispozici máme 5, aplěých obalů s průměrou hmotostí x 50, x 498 Spolehlivost odhadu volíme 0,99 3,576 + µ µ 3 +,576 +, z čehož,47 µ µ 4, 53 Vzhledem 5 5 k tomu, že kofidečí iterval eobsahuje ulu, můžeme s velkou pravděpodobostí tvrdit, že liky ejsou astavey a stejou hmotost Kofidečí iterval pro podíl dvou rozptylů S využitím pozatků o rozděleí podílu dvou rozptylů můžeme pro kofidečí iterval pro podíl S dvou rozptylů vyvodit S P, kde F jsou kvatily Fisherova Sedecorova rozděleí pro ; stupňů volosti Teto iterval je asymetrický (vzhledem k asy- S F S F metrii Fisherova Sedecorova rozděleí a jeho kostrukce esplňuje obecou formuli z odstavce o staoveí miimálího rozsahu výběru K usaděí tabelace hodot kvatilů využíváme Fp[ ν ; ν ] F ν ; ν p [ ] Příklad 5 V ávazosti a příklad 4 vyřešíme problém, zda obě plicí liky mají skutečě stejou přesost plěí Zjištěé hodoty výběrových směrodatých odchylek jsou s,3; s, 5 Přesost plěí obou liek bude stejá, pokud kofidečí iterval pro odhadu zvolíme a úrovi 5 % Hodoty kvatilů F [ 4;0],408; F [ 4;0] 0,975 0,05 F0,975 [ 0;4] bude obsahovat hodotu jeda Riziko 0,430 (a rozdíl od prvího z obou kvatilů byla hodota druhého určea jiým způsobem, ež z tabulek V tabulce 5e v příloze se přesvědčte to tom, že zatímco prví z obou kvatilů sado vyhledáme, tak vzhledem ke stručosti tabulek elze hodotu druhého z kvatilů z tabulky přesě určit,3,3 Staovíme, z čehož 0,976 5, 468 Vzhledem k tomu, že vypočteý iterval obsahuje jedičku, emůžeme tvrdit, že přesost plěí u obou liek se,5,408,5 0,430 liší 9
Kofidečí iterval pro rozdíl θ θ Zcela aalogicky jako pro rozdíl µ µ můžeme s využitím ormálího rozděleí sestrojit kofidečí iterval pro rozdíl θ θ Teto iterval je p( p p ( p P[( p p u + θ θ Rozhoděte, ( p p + u p( p p + ( p ] pro jaké výběrové relativí četosti bude za jiak stejých podmíek mít kofidečí iterval pro rozdíl θ θ ejmeší šířku Můžete vybrat: relativí četosti blízké 0,; 0,5; 0,8 Σ Dolí odhad parametru je z výběru určeou statistikou D, pod kterou hodota ezámého parametru eklese s vysokou a předem daou pravděpodobostí Horí odhad parametru je z výběru určeou statistikou H, kterou ezámý parametr epřekročí s vysokou a předem daou pravděpodobostí 3 Oboustraým odhadem parametru je dvojice z výběru určeých statistik D, H, z jejichž itervalu ezámý parametr evybočí s vysokou a předem daou pravděpodobostí 4 Pravděpodobosti v bodech až 3 azýváme spolehlivost odhadu Pravděpodobost opačého jevu (tj, že se itervalový odhad epodaří se azývá riziko odhadu 5 Sestrojeé itervaly se azývají itervaly spolehlivosti ebo kofidečí itervaly Některé kofidečí itervaly jsou symetrické, jié ikoli 6 U symetrických kofidečích itervalů jsou základími pojmy směrodatá chyba a přípustá chyba 7 Šířka kofidečího itervalu epřímo souvisí s jeho vypovídací hodotou Šířku kofidečího itervalu ovlivňuje kromě jiého rozsah výběru Existují postupy, jak staovit rozsah výběru tak, aby požadovaá šířka kofidečího itervalu ebyla překročea 8 Uvedli jsme kofidečí itervaly pro odhad jedoho parametru (jedovýběrové itervaly 9 Uvedli jsme také kofidečí itervaly pro rozdíl ebo podíl dvou parametrů (dvouvýběrové kofidečí itervaly ( (a předpokládáme výsledek > 30, proto využijeme, 96 u a staovíme 0,975 70, (b předpokládáme výsledek > 30, proto využijeme u, 576 a staovíme 54 0,995 0
( Relativí šířka kofidečího itervalu 0,975 0,05 [ 9] [ 9] 45,7 6,00,69 ( 3 59 Navrhěte vhodý tvar itervalového odhadu pro tyto případy: odhad středí hodoty proudu, při které vype jistič, odhad podílu vadých výrobků v dodávce (z pohledu odběratele, odhad středí hodoty pevosti výtahového laa Rozdělte všechy kofidečí itervaly z odst a 3 podle toho, zda jsou symetrické ebo esymetrické 3 Co mají společého výrazy jejich estimátory? θ ( θ a? Jakých statistik se týkají? Jaké jsou 4 Staovte, při jakém průměrém možství výrobku v obalu eklese středí hodota s pravděpodobostí 0,995 pod a obalu uvedeé možství 00 ml Další zadaé hodoty 40, s,5 ml Vzhledem k podmíkám úlohy můžete použít kvatil u 0, 005 ebo t 39 0,005 [ ] 5 Staovte, při jaké přesosti plěí postačí průměré možství výrobku x 0 při rozsahu výběru 5, aby s pravděpodobostí 0,995 eklesla středí hodota pod a obalu uvedeé možství 00 ml 6 Staovte, při jakém rozsahu výběru postačí průměré možství výrobku x 0, 5, aby při přesosti plěí vyjádřeé směrodatou odchylkou 3 ml středí hodota možství výrobku v obalu se spolehlivostí 0,995 přesáhla deklarovaé možství 00 ml 7 Určete při jakém rozsahu výběru epřekročí s pravděpodobostí 0,99 parametr hodotu,58ásobku výběrové směrodaté odchylky 8 Kolikaásobek výběrové směrodaté odchylky epřekročí s pravděpodobostí 0,99 parametr při rozsahu výběru 0? 9 Při jaké spolehlivosti odhadu epřekročí při rozsahu 0 výběrové směrodaté odchylky? parametr,58ásobek 0 Nakreslete graf, který by zachytil vztah mezi přípustou chybou (volte postupě 0,0; 0,0; 0,03; 0,04; 0,05; 0,0 a rozsahem výběru při odhadu parametru θ, je-li výběrová relativí četost rova 0,5 Předpokládejte oboustraý kofidečí iterval při % riziku V ávazosti a úlohu 0 odhaděte z grafu, jakou přípustou chybu očekáváme při Ověřte si přesou hodotu výpočtem 000