Rovnice s parametrem (17. - 18. lekce) Sylva Potůčková, Dana Stesková, Lubomír Sedláček Gymnázium a Jazyková škola s právem státní jazykové zkoušky Zlín Zlín, 22. října 2011
Lineární rovnice s parametrem Příklad 1 Příklad 1 Řešte rovnici s neznámou x R a parametrem a R x (a 4) = a 2 16.
Lineární rovnice s parametrem Příklad 1 Příklad 1 Řešte rovnici s neznámou x R a parametrem a R x (a 4) = a 2 16. Řešení: 1 a 4 = 0
Lineární rovnice s parametrem Příklad 1 Příklad 1 Řešte rovnici s neznámou x R a parametrem a R x (a 4) = a 2 16. Řešení: 1 a 4 = 0 a = 4
Lineární rovnice s parametrem Příklad 1 Příklad 1 Řešte rovnici s neznámou x R a parametrem a R x (a 4) = a 2 16. Řešení: 1 a 4 = 0 a = 4 x (4 4) = 4 2 16
Lineární rovnice s parametrem Příklad 1 Příklad 1 Řešte rovnici s neznámou x R a parametrem a R x (a 4) = a 2 16. Řešení: 1 a 4 = 0 a = 4 x (4 4) = 4 2 16 x 0 = 16 16
Lineární rovnice s parametrem Příklad 1 Příklad 1 Řešte rovnici s neznámou x R a parametrem a R x (a 4) = a 2 16. Řešení: 1 a 4 = 0 a = 4 x (4 4) = 4 2 16 x 0 = 16 16 0 = 0
Lineární rovnice s parametrem Příklad 1 Příklad 1 Řešte rovnici s neznámou x R a parametrem a R x (a 4) = a 2 16. Řešení: 1 a 4 = 0 a = 4 x (4 4) = 4 2 16 x 0 = 16 16 0 = 0 x R
Lineární rovnice s parametrem Příklad 1 2 a 4 0
Lineární rovnice s parametrem Příklad 1 2 a 4 0 a 4
Lineární rovnice s parametrem Příklad 1 2 a 4 0 a 4 x (a 4) = a 2 16
Lineární rovnice s parametrem Příklad 1 2 a 4 0 a 4 x (a 4) = a 2 16 x = a2 16 a 4
Lineární rovnice s parametrem Příklad 1 2 a 4 0 a 4 x (a 4) = a 2 16 x = a2 16 a 4 (a 4)(a + 4) x = a 4
Lineární rovnice s parametrem Příklad 1 2 a 4 0 a 4 x (a 4) = a 2 16 x = a2 16 a 4 (a 4)(a + 4) x = a 4 x = a + 4
Lineární rovnice s parametrem Příklad 1 2 a 4 0 a 4 x (a 4) = a 2 16 x = a2 16 a 4 (a 4)(a + 4) x = a 4 x = a + 4 Závěr: a a {4} x x R a R {4} x {a + 4}
Lineární rovnice s parametrem Příklad 2 Příklad 2 Řešte rovnici s neznámou x R a parametrem a R x (2a + 1) = 5.
Lineární rovnice s parametrem Příklad 2 Příklad 2 Řešte rovnici s neznámou x R a parametrem a R x (2a + 1) = 5. Řešení: 1 2a + 1 = 0
Lineární rovnice s parametrem Příklad 2 Příklad 2 Řešte rovnici s neznámou x R a parametrem a R x (2a + 1) = 5. Řešení: 1 2a + 1 = 0 a = 1 2
Lineární rovnice s parametrem Příklad 2 Příklad 2 Řešte rovnici s neznámou x R a parametrem a R x (2a + 1) = 5. Řešení: 1 2a + 1 = 0 a = 1 2 x (2 ( 1 2 ) + 1 ) = 5
Lineární rovnice s parametrem Příklad 2 Příklad 2 Řešte rovnici s neznámou x R a parametrem a R x (2a + 1) = 5. Řešení: 1 2a + 1 = 0 a = 1 2 x (2 ( 1 2 ) + 1 ) = 5 x 0 = 5
Lineární rovnice s parametrem Příklad 2 Příklad 2 Řešte rovnici s neznámou x R a parametrem a R x (2a + 1) = 5. Řešení: 1 2a + 1 = 0 a = 1 2 x (2 ( 1 2 ) + 1 ) = 5 x 0 = 5 0 5
Lineární rovnice s parametrem Příklad 2 Příklad 2 Řešte rovnici s neznámou x R a parametrem a R x (2a + 1) = 5. Řešení: 1 2a + 1 = 0 a = 1 2 x (2 ( 1 2 ) + 1 ) = 5 x 0 = 5 0 5 x
Lineární rovnice s parametrem Příklad 2 2 2a + 1 0
Lineární rovnice s parametrem Příklad 2 2 2a + 1 0 a 1 2
Lineární rovnice s parametrem Příklad 2 2 2a + 1 0 a 1 2 x (2a + 1) = 5
Lineární rovnice s parametrem Příklad 2 2 2a + 1 0 a 1 2 x (2a + 1) = 5 x = 5 2a + 1
Lineární rovnice s parametrem Příklad 2 2 2a + 1 0 a 1 2 x (2a + 1) = 5 x = 5 2a + 1 Závěr: a a { 1 2 } a R { 1 2 } x x { } x 5 2a+1
Lineární rovnice s parametrem Příklad 3 Příklad 3 Řešte rovnici s neznámou x R a parametrem a R (3x + 5) (a + 4) = 2a + 8.
Lineární rovnice s parametrem Příklad 3 Příklad 3 Řešte rovnici s neznámou x R a parametrem a R (3x + 5) (a + 4) = 2a + 8. Řešení: 1 a + 4 = 0
Lineární rovnice s parametrem Příklad 3 Příklad 3 Řešte rovnici s neznámou x R a parametrem a R (3x + 5) (a + 4) = 2a + 8. Řešení: 1 a + 4 = 0 a = 4
Lineární rovnice s parametrem Příklad 3 Příklad 3 Řešte rovnici s neznámou x R a parametrem a R (3x + 5) (a + 4) = 2a + 8. Řešení: 1 a + 4 = 0 a = 4 (3x + 5) ( 4 + 4) = 2 ( 4) + 8
Lineární rovnice s parametrem Příklad 3 Příklad 3 Řešte rovnici s neznámou x R a parametrem a R (3x + 5) (a + 4) = 2a + 8. Řešení: 1 a + 4 = 0 a = 4 (3x + 5) ( 4 + 4) = 2 ( 4) + 8 (3x + 5) 0 = 8 + 8
Lineární rovnice s parametrem Příklad 3 Příklad 3 Řešte rovnici s neznámou x R a parametrem a R (3x + 5) (a + 4) = 2a + 8. Řešení: 1 a + 4 = 0 a = 4 (3x + 5) ( 4 + 4) = 2 ( 4) + 8 (3x + 5) 0 = 8 + 8 0 = 0
Lineární rovnice s parametrem Příklad 3 Příklad 3 Řešte rovnici s neznámou x R a parametrem a R (3x + 5) (a + 4) = 2a + 8. Řešení: 1 a + 4 = 0 a = 4 (3x + 5) ( 4 + 4) = 2 ( 4) + 8 (3x + 5) 0 = 8 + 8 0 = 0 x R
Lineární rovnice s parametrem Příklad 3 2 a + 4 0
Lineární rovnice s parametrem Příklad 3 2 a + 4 0 a 4
Lineární rovnice s parametrem Příklad 3 2 a + 4 0 a 4 (3x + 5) (a + 4) = 2a + 8
Lineární rovnice s parametrem Příklad 3 2 a + 4 0 a 4 (3x + 5) (a + 4) = 2a + 8 3x + 5 = 2a + 8 a + 4
Lineární rovnice s parametrem Příklad 3 2 a + 4 0 a 4 (3x + 5) (a + 4) = 2a + 8 3x + 5 = 2a + 8 a + 4 2(a + 4) 3x = a + 4 5
Lineární rovnice s parametrem Příklad 3 2 a + 4 0 a 4 (3x + 5) (a + 4) = 2a + 8 3x + 5 = 2a + 8 a + 4 2(a + 4) 3x = a + 4 5 x = 3 3
Lineární rovnice s parametrem Příklad 3 2 a + 4 0 a 4 (3x + 5) (a + 4) = 2a + 8 3x + 5 = 2a + 8 a + 4 2(a + 4) 3x = a + 4 5 x = 3 3 x = 1
Lineární rovnice s parametrem Příklad 3 2 a + 4 0 a 4 (3x + 5) (a + 4) = 2a + 8 3x + 5 = 2a + 8 a + 4 2(a + 4) 3x = a + 4 5 x = 3 3 x = 1 Závěr: a a { 4} a R { 4} x x R x { 1}
Lineární rovnice s parametrem Příklad 4 Příklad 4 Řešte rovnici s neznámou x R a parametrem a R x (a 1) + a (x + 4) = 2.
Lineární rovnice s parametrem Příklad 4 Příklad 4 Řešte rovnici s neznámou x R a parametrem a R x (a 1) + a (x + 4) = 2. Řešení: x a x + a x + 4a = 2
Lineární rovnice s parametrem Příklad 4 Příklad 4 Řešte rovnici s neznámou x R a parametrem a R x (a 1) + a (x + 4) = 2. Řešení: x a x + a x + 4a = 2 / 4a 2a x x = 2 4a
Lineární rovnice s parametrem Příklad 4 Příklad 4 Řešte rovnici s neznámou x R a parametrem a R x (a 1) + a (x + 4) = 2. Řešení: x a x + a x + 4a = 2 / 4a 2a x x = 2 4a x (2a 1) = 2 4a
Lineární rovnice s parametrem Příklad 4 Příklad 4 Řešte rovnici s neznámou x R a parametrem a R x (a 1) + a (x + 4) = 2. Řešení: x a x + a x + 4a = 2 / 4a 2a x x = 2 4a x (2a 1) = 2 4a 1 2a 1 = 0
Lineární rovnice s parametrem Příklad 4 Příklad 4 Řešte rovnici s neznámou x R a parametrem a R x (a 1) + a (x + 4) = 2. Řešení: x a x + a x + 4a = 2 / 4a 2a x x = 2 4a x (2a 1) = 2 4a 1 2a 1 = 0 a = 1 2
Lineární rovnice s parametrem Příklad 4 Příklad 4 Řešte rovnici s neznámou x R a parametrem a R x (a 1) + a (x + 4) = 2. Řešení: x a x + a x + 4a = 2 / 4a 1 2a 1 = 0 a = 1 2 x (2 1 2 1) = 2 4 1 2 2a x x = 2 4a x (2a 1) = 2 4a
Lineární rovnice s parametrem Příklad 4 Příklad 4 Řešte rovnici s neznámou x R a parametrem a R x (a 1) + a (x + 4) = 2. Řešení: x a x + a x + 4a = 2 / 4a 1 2a 1 = 0 a = 1 2 x (2 1 2 1) = 2 4 1 2 x 0 = 2 2 2a x x = 2 4a x (2a 1) = 2 4a
Lineární rovnice s parametrem Příklad 4 Příklad 4 Řešte rovnici s neznámou x R a parametrem a R x (a 1) + a (x + 4) = 2. Řešení: x a x + a x + 4a = 2 / 4a 1 2a 1 = 0 a = 1 2 x (2 1 2 1) = 2 4 1 2 x 0 = 2 2 0 = 0 2a x x = 2 4a x (2a 1) = 2 4a
Lineární rovnice s parametrem Příklad 4 Příklad 4 Řešte rovnici s neznámou x R a parametrem a R x (a 1) + a (x + 4) = 2. Řešení: x a x + a x + 4a = 2 / 4a 1 2a 1 = 0 a = 1 2 x (2 1 2 1) = 2 4 1 2 x 0 = 2 2 0 = 0 x R 2a x x = 2 4a x (2a 1) = 2 4a
Lineární rovnice s parametrem Příklad 4 2 2a 1 0
Lineární rovnice s parametrem Příklad 4 2 2a 1 0 a 1 2
Lineární rovnice s parametrem Příklad 4 2 2a 1 0 a 1 2 x (2a 1) = 2 4a
Lineární rovnice s parametrem Příklad 4 2 2a 1 0 a 1 2 x (2a 1) = 2 4a x = 2 4a 2a 1
Lineární rovnice s parametrem Příklad 4 2 2a 1 0 a 1 2 x (2a 1) = 2 4a x = 2 4a 2a 1 2 (2a 1) x = 2a 1
Lineární rovnice s parametrem Příklad 4 2 2a 1 0 a 1 2 x (2a 1) = 2 4a x = 2 4a 2a 1 2 (2a 1) x = 2a 1 x = 2
Lineární rovnice s parametrem Příklad 4 2 2a 1 0 a 1 2 x (2a 1) = 2 4a x = 2 4a 2a 1 2 (2a 1) x = 2a 1 x = 2 Závěr: a a { } 1 2 a R { 1 2 } x x R x { 2}
Příklad 5 Příklad 5 Řešte rovnici s neznámou x R a parametrem m R 2m 2 + x = m 1 x + 1 m.
Příklad 5 Příklad 5 Řešte rovnici s neznámou x R a parametrem m R 2m 2 + x = m 1 x + 1 m. Řešení: Podmínky:
Příklad 5 Příklad 5 Řešte rovnici s neznámou x R a parametrem m R 2m 2 + x = m 1 x + 1 m. Řešení: Podmínky: 2 + x 0 x + 1 m 0
Příklad 5 Příklad 5 Řešte rovnici s neznámou x R a parametrem m R 2m 2 + x = m 1 x + 1 m. Řešení: Podmínky: 2 + x 0 x + 1 m 0 x 2 x 1 + m
Příklad 5 Příklad 5 Řešte rovnici s neznámou x R a parametrem m R 2m 2 + x = m 1 x + 1 m. Řešení: Podmínky: 2 + x 0 x + 1 m 0 x 2 x 1 + m Upravíme 2m 2 + x = m 1 x + 1 m
Příklad 5 Příklad 5 Řešte rovnici s neznámou x R a parametrem m R 2m 2 + x = m 1 x + 1 m. Řešení: Podmínky: 2 + x 0 x + 1 m 0 Upravíme 2m 2 + x x 2 x 1 + m = m 1 x + 1 m 2m (x + 1 m) = (m 1) (2 + x) / (2 + x)(x + 1 m)
Příklad 5 Příklad 5 Řešte rovnici s neznámou x R a parametrem m R 2m 2 + x = m 1 x + 1 m. Řešení: Podmínky: 2 + x 0 x + 1 m 0 Upravíme 2m 2 + x x 2 x 1 + m = m 1 x + 1 m 2m (x + 1 m) = (m 1) (2 + x) 2mx + 2m 2m 2 = 2m 2 + mx x / (2 + x)(x + 1 m)
Příklad 5 Příklad 5 Řešte rovnici s neznámou x R a parametrem m R 2m 2 + x = m 1 x + 1 m. Řešení: Podmínky: 2 + x 0 x + 1 m 0 Upravíme 2m 2 + x x 2 x 1 + m = m 1 x + 1 m 2m (x + 1 m) = (m 1) (2 + x) 2mx + 2m 2m 2 = 2m 2 + mx x 2mx mx + x = 2m 2 2 / (2 + x)(x + 1 m)
Příklad 5 Příklad 5 Řešte rovnici s neznámou x R a parametrem m R 2m 2 + x = m 1 x + 1 m. Řešení: Podmínky: 2 + x 0 x + 1 m 0 Upravíme 2m 2 + x x 2 x 1 + m = m 1 x + 1 m 2m (x + 1 m) = (m 1) (2 + x) 2mx + 2m 2m 2 = 2m 2 + mx x 2mx mx + x = 2m 2 2 mx + x = 2m 2 2 / (2 + x)(x + 1 m)
Příklad 5 Příklad 5 Řešte rovnici s neznámou x R a parametrem m R 2m 2 + x = m 1 x + 1 m. Řešení: Podmínky: 2 + x 0 x + 1 m 0 Upravíme 2m 2 + x x 2 x 1 + m = m 1 x + 1 m 2m (x + 1 m) = (m 1) (2 + x) 2mx + 2m 2m 2 = 2m 2 + mx x 2mx mx + x = 2m 2 2 mx + x = 2m 2 2 x (m + 1) = 2m 2 2 / (2 + x)(x + 1 m)
Příklad 5 1 m + 1 = 0
Příklad 5 1 m + 1 = 0 m = 1
Příklad 5 1 m + 1 = 0 m = 1 x ( 1 + 1) = 2 ( 1) 2 2
Příklad 5 1 m + 1 = 0 m = 1 x ( 1 + 1) = 2 ( 1) 2 2 x 0 = 2 2
Příklad 5 1 m + 1 = 0 m = 1 x ( 1 + 1) = 2 ( 1) 2 2 x 0 = 2 2 0 = 0
Příklad 5 1 m + 1 = 0 m = 1 x ( 1 + 1) = 2 ( 1) 2 2 x 0 = 2 2 0 = 0 x R
Příklad 5 1 m + 1 = 0 m = 1 x ( 1 + 1) = 2 ( 1) 2 2 x 0 = 2 2 0 = 0 x R Podmínky: x 2 x 1 + m
Příklad 5 1 m + 1 = 0 m = 1 x ( 1 + 1) = 2 ( 1) 2 2 x 0 = 2 2 0 = 0 x R Podmínky: x 2 x 1 + m x 1 1
Příklad 5 1 m + 1 = 0 m = 1 x ( 1 + 1) = 2 ( 1) 2 2 x 0 = 2 2 0 = 0 x R Podmínky: x 2 x 1 + m x 1 1 x 2
Příklad 5 2 m + 1 0
Příklad 5 2 m + 1 0 m 1
Příklad 5 2 m + 1 0 m 1 x (m + 1) = 2m 2 2
Příklad 5 2 m + 1 0 m 1 x (m + 1) = 2m 2 2 x = 2m2 2 m + 1
Příklad 5 2 m + 1 0 m 1 x (m + 1) = 2m 2 2 x = 2m2 2 m + 1 2 (m + 1) (m 1) x = m + 1
Příklad 5 2 m + 1 0 m 1 x (m + 1) = 2m 2 2 x = 2m2 2 m + 1 2 (m + 1) (m 1) x = m + 1 x = 2m 2
Příklad 5 2 m + 1 0 m 1 x (m + 1) = 2m 2 2 x = 2m2 2 m + 1 2 (m + 1) (m 1) x = m + 1 x = 2m 2 Podmínky: x 2 x 1 + m
Příklad 5 2 m + 1 0 m 1 x (m + 1) = 2m 2 2 x = 2m2 2 m + 1 2 (m + 1) (m 1) x = m + 1 x = 2m 2 Podmínky: x 2 x 1 + m 2m 2 2 2m 2 1 + m
Příklad 5 2 m + 1 0 m 1 x (m + 1) = 2m 2 2 x = 2m2 2 m + 1 2 (m + 1) (m 1) x = m + 1 x = 2m 2 Podmínky: x 2 x 1 + m 2m 2 2 2m 2 1 + m m 0 m 1
Příklad 5 Závěr: m m { 1} m {0; 1} x x R { 2} x m R {0; ±1} x {2m 2}
Příklad 6 Příklad 6 Řešte rovnici s neznámou x R a parametrem m R 2x + m x + 1 3m x m = 2.
Příklad 6 Příklad 6 Řešte rovnici s neznámou x R a parametrem m R 2x + m x + 1 3m x m = 2. Řešení: Podmínky:
Příklad 6 Příklad 6 Řešte rovnici s neznámou x R a parametrem m R 2x + m x + 1 3m x m = 2. Řešení: Podmínky: x + 1 0 x m 0
Příklad 6 Příklad 6 Řešte rovnici s neznámou x R a parametrem m R 2x + m x + 1 3m x m = 2. Řešení: Podmínky: x + 1 0 x m 0 x 1 x m
Příklad 6 Příklad 6 Řešte rovnici s neznámou x R a parametrem m R 2x + m x + 1 3m x m = 2. Řešení: Podmínky: x + 1 0 x m 0 x 1 x m Upravíme 2x + m x + 1 3m x m = 2
Příklad 6 Příklad 6 Řešte rovnici s neznámou x R a parametrem m R 2x + m x + 1 3m x m = 2. Řešení: Podmínky: x + 1 0 x m 0 Upravíme x 1 x m 2x + m x + 1 3m x m = 2 / (x + 1)(x m) (2x + m) (x m) 3m (x + 1) = 2 (x + 1) (x m)
Příklad 6 Příklad 6 Řešte rovnici s neznámou x R a parametrem m R 2x + m x + 1 3m x m = 2. Řešení: Podmínky: x + 1 0 x m 0 Upravíme x 1 x m 2x + m x + 1 3m x m = 2 / (x + 1)(x m) (2x + m) (x m) 3m (x + 1) = 2 (x + 1) (x m) 2x 2 + mx m 2 2mx 3mx 3m = 2x 2 + 2x 2mx 2m
Příklad 6 Příklad 6 Řešte rovnici s neznámou x R a parametrem m R 2x + m x + 1 3m x m = 2. Řešení: Podmínky: x + 1 0 x m 0 Upravíme x 1 x m 2x + m x + 1 3m x m = 2 / (x + 1)(x m) (2x + m) (x m) 3m (x + 1) = 2 (x + 1) (x m) 2x 2 + mx m 2 2mx 3mx 3m = 2x 2 + 2x 2mx 2m 2mx m 2 3m = 2x 2m
Příklad 6 Příklad 6 Řešte rovnici s neznámou x R a parametrem m R 2x + m x + 1 3m x m = 2. Řešení: Podmínky: x + 1 0 x m 0 Upravíme x 1 x m 2x + m x + 1 3m x m = 2 / (x + 1)(x m) (2x + m) (x m) 3m (x + 1) = 2 (x + 1) (x m) 2x 2 + mx m 2 2mx 3mx 3m = 2x 2 + 2x 2mx 2m 2mx m 2 3m = 2x 2m 2mx 2x = m 2 + m
Příklad 6 Příklad 6 Řešte rovnici s neznámou x R a parametrem m R 2x + m x + 1 3m x m = 2. Řešení: Podmínky: x + 1 0 x m 0 Upravíme x 1 x m 2x + m x + 1 3m x m = 2 / (x + 1)(x m) (2x + m) (x m) 3m (x + 1) = 2 (x + 1) (x m) 2x 2 + mx m 2 2mx 3mx 3m = 2x 2 + 2x 2mx 2m 2mx m 2 3m = 2x 2m 2mx 2x = m 2 + m x ( 2m 2) = m 2 + m
Příklad 6 1 2m 2 = 0
Příklad 6 1 2m 2 = 0 2m = 2
Příklad 6 1 2m 2 = 0 2m = 2 m = 1
Příklad 6 1 2m 2 = 0 2m = 2 m = 1 x ( 2 ( 1) 2) = ( 1) 2 + ( 1)
Příklad 6 1 2m 2 = 0 2m = 2 m = 1 x ( 2 ( 1) 2) = ( 1) 2 + ( 1) x (2 2) = 1 1
Příklad 6 1 2m 2 = 0 2m = 2 m = 1 x ( 2 ( 1) 2) = ( 1) 2 + ( 1) x (2 2) = 1 1 0 = 0
Příklad 6 1 2m 2 = 0 2m = 2 m = 1 x ( 2 ( 1) 2) = ( 1) 2 + ( 1) x (2 2) = 1 1 0 = 0 x R
Příklad 6 1 2m 2 = 0 2m = 2 m = 1 x ( 2 ( 1) 2) = ( 1) 2 + ( 1) x (2 2) = 1 1 0 = 0 x R Podmínky: x 1 x m
Příklad 6 1 2m 2 = 0 2m = 2 m = 1 x ( 2 ( 1) 2) = ( 1) 2 + ( 1) x (2 2) = 1 1 0 = 0 x R Podmínky: x 1 x m x 1
Příklad 6 2 2m 2 0
Příklad 6 2 2m 2 0 m 1
Příklad 6 2 2m 2 0 m 1 x ( 2m 2) = m 2 + m
Příklad 6 2 2m 2 0 m 1 x ( 2m 2) = m 2 + m x = m2 + m 2m 2
Příklad 6 2 2m 2 0 m 1 x ( 2m 2) = m 2 + m x = m2 + m 2m 2 m (m + 1) x = 2 (m + 1)
Příklad 6 2 2m 2 0 m 1 x ( 2m 2) = m 2 + m x = m2 + m 2m 2 m (m + 1) x = 2 (m + 1) x = m 2
Příklad 6 2 2m 2 0 m 1 x ( 2m 2) = m 2 + m x = m2 + m 2m 2 m (m + 1) x = 2 (m + 1) x = m 2 Podmínky: x 1 x m
Příklad 6 2 2m 2 0 m 1 x ( 2m 2) = m 2 + m x = m2 + m 2m 2 m (m + 1) x = 2 (m + 1) x = m 2 Podmínky: x 1 x m m 2 1 m 2 m
Příklad 6 2 2m 2 0 m 1 x ( 2m 2) = m 2 + m x = m2 + m 2m 2 m (m + 1) x = 2 (m + 1) x = m 2 Podmínky: x 1 x m m 2 1 m 2 m m 2 m 2m
Příklad 6 2 2m 2 0 m 1 x ( 2m 2) = m 2 + m x = m2 + m 2m 2 m (m + 1) x = 2 (m + 1) x = m 2 Podmínky: x 1 x m m 2 1 m 2 m m 2 m 2m m 2 m 0
Příklad 6 Závěr: m m { 1} x x R { 1} m {0; 2} x m R { 1; 0; 2} x { } m 2
Příklad 7 Příklad 7 Určete všechny hodnoty parametru a R, pro které má rovnice aspoň jeden záporný kořen. x x a = a + 1
Příklad 7 Příklad 7 Určete všechny hodnoty parametru a R, pro které má rovnice aspoň jeden záporný kořen. x x a = a + 1 Řešení: Podmínka:
Příklad 7 Příklad 7 Určete všechny hodnoty parametru a R, pro které má rovnice aspoň jeden záporný kořen. x x a = a + 1 Řešení: Podmínka: x a 0
Příklad 7 Příklad 7 Určete všechny hodnoty parametru a R, pro které má rovnice aspoň jeden záporný kořen. x x a = a + 1 Řešení: Podmínka: x a 0 x a
Příklad 7 Příklad 7 Určete všechny hodnoty parametru a R, pro které má rovnice aspoň jeden záporný kořen. x x a = a + 1 Řešení: Podmínka: x a 0 x a Upravíme x x a = a + 1
Příklad 7 Příklad 7 Určete všechny hodnoty parametru a R, pro které má rovnice aspoň jeden záporný kořen. x x a = a + 1 Řešení: Podmínka: x a 0 x a Upravíme x x a = a + 1 / (x a) x = (x a) (a + 1)
Příklad 7 Příklad 7 Určete všechny hodnoty parametru a R, pro které má rovnice aspoň jeden záporný kořen. x x a = a + 1 Řešení: Podmínka: x a 0 x a Upravíme x x a = a + 1 / (x a) x = (x a) (a + 1) x = ax + x a 2 a
Příklad 7 Příklad 7 Určete všechny hodnoty parametru a R, pro které má rovnice aspoň jeden záporný kořen. x x a = a + 1 Řešení: Podmínka: x a 0 x a Upravíme x x a = a + 1 / (x a) x = (x a) (a + 1) x = ax + x a 2 a ax = a (a + 1)
Příklad 7 ax = a (a + 1) 1 a = 0
Příklad 7 ax = a (a + 1) 1 a = 0 0 x = 0
Příklad 7 ax = a (a + 1) 1 a = 0 0 x = 0 x R, x 0
Příklad 7 ax = a (a + 1) 1 a = 0 0 x = 0 x R, x 0 2 a 0
Příklad 7 ax = a (a + 1) 1 a = 0 0 x = 0 x R, x 0 2 a 0 x = a + 1 - právě jedno řešení
Příklad 7 ax = a (a + 1) 1 a = 0 0 x = 0 2 a 0 x R, x 0 x = a + 1 - právě jedno řešení Zkoumáme, pro které hodnoty parametru má daná rovnice aspoň jeden záporný kořen.
Příklad 7 ax = a (a + 1) 1 a = 0 0 x = 0 2 a 0 x R, x 0 x = a + 1 - právě jedno řešení Zkoumáme, pro které hodnoty parametru má daná rovnice aspoň jeden záporný kořen. a) Pro a = 0 jsou řešeními dané rovnice všechna x R {0}, tedy i všechna x R. To znamená, že pro a = 0 má daná rovnice aspoň jeden záporný kořen.
Příklad 7 ax = a (a + 1) 1 a = 0 0 x = 0 2 a 0 x R, x 0 x = a + 1 - právě jedno řešení Zkoumáme, pro které hodnoty parametru má daná rovnice aspoň jeden záporný kořen. a) Pro a = 0 jsou řešeními dané rovnice všechna x R {0}, tedy i všechna x R. To znamená, že pro a = 0 má daná rovnice aspoň jeden záporný kořen. b) Je-li a 0, je řešením x = a + 1. Tento kořen je záporný, právě když a + 1 < 0, tj. a < 1.
Příklad 7 ax = a (a + 1) 1 a = 0 0 x = 0 2 a 0 x R, x 0 x = a + 1 - právě jedno řešení Zkoumáme, pro které hodnoty parametru má daná rovnice aspoň jeden záporný kořen. a) Pro a = 0 jsou řešeními dané rovnice všechna x R {0}, tedy i všechna x R. To znamená, že pro a = 0 má daná rovnice aspoň jeden záporný kořen. b) Je-li a 0, je řešením x = a + 1. Tento kořen je záporný, právě když a + 1 < 0, tj. a < 1. Závěr: Daná rovnice má aspoň jeden záporný kořen pro a = 0 a pro všechna a < 1.
Cvičení Cvičení Řešte rovnice s neznámou x R: 1. a 2 x x + a = 1, a R, 2. xa 2 = a (1 + 3x) 3, a R, 3. 4. 2 + 2m x + m + x m = 1, m R, x + 1 ( ) (m + 1) x 6 = 3 1 m2 m, m R, x x 5. px 2 p 2 = 1 (4x + 1), p R {0}. p
Cvičení 1. a x 2. a x a {1} x R a {0} x a { 1} a R {±1} x { } x 1 a+1 a {3} x R a R {0; 3} x { } 1 a 3. m x 4. m x m { 1} x R {±1} m { 1} x m {1} x m {2} x R {0} m R {±1} x {m 2} m R { 1; 2} x { 3m 3} 5. p p = 2 p = 2 x x x R p R {0, ±2} x = 1 p(p+2).
Cvičení Cvičení 6. Určete všechny hodnoty parametru p R tak, aby řešením rovnice 2p (xp + 1) (p 2 + 1) x = 2 bylo kladné reálné číslo. 2x + a2 2x a2 7. Řešte v R rovnici + a + 3 a 3 = (a2 + 4)x a 2 s parametrem 9 a R {±3}. Potom určete všechny hodnoty parametru a, pro něž má daná rovnice aspoň jeden záporný kořen. 8. Rozhodněte, pro které hodnoty reálného parametru a má následující rovnice s neznámou x kladný kořen: a) 6a ax + 2x = 15, b) x 2 3 ax+1 2 = a 1 2.
Cvičení 6. p p ( ; 1) {1} x > 0 x 7. a a = 2 x x a R { 3; 2; 3} x = 6a2 (a 2) 2 a R { 3; 0; 2; 3} aspoň jeden záporný kořen [ 3(2a 5) 8. a) a 2 > 0 a ( ; 2) ( [ 5 2 ; )], b) 3a+4 2 3a > 0 a ( 4 3 ; 2 ) ] 3