11. VEKTOROVÁ ALGEBRA A ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ. u. v = u v + u v. Umět ho aplikovat při

Podobné dokumenty
11. VEKTOROVÁ ALGEBRA A ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ

A[a 1 ; a 2 ; a 3 ] souřadnice bodu A v kartézské soustavě souřadnic O xyz

2. ANALYTICKÁ GEOMETRIE V PROSTORU Vektory Úlohy k samostatnému řešení... 21

3) Vypočtěte souřadnice průsečíku dané přímky p : x = t, y = 9 + 3t, z = 1 + t, t R s rovinou ρ : 3x + 5y z 2 = 0.

Urci parametricke vyjadreni primky zadane body A[2;1] B[3;3] Urci, zda bod P [-3;5] lezi na primce AB, kde A[1;1] B[5;-3]

ICT podporuje moderní způsoby výuky CZ.1.07/1.5.00/ Matematika analytická geometrie. Mgr. Pavel Liška

Rovnice přímky. s = AB = B A. X A = t s tj. X = A + t s, kde t R. t je parametr. x = a 1 + ts 1 y = a 2 + ts 2 z = a 3 + ts 3. t R

Rovnice přímky v prostoru

s p nazýváme směrový vektor přímky p, t je parametr bodu

1.1 Napište středovou rovnici kružnice, která má střed v počátku soustavy souřadnic a prochází bodem

Analytická geometrie (AG)

Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora. Průřezová témata Poznámky. Téma Školní výstupy Učivo (pojmy) volné rovnoběžné promítání průmětna

1. Přímka a její části

VZÁJEMNÁ POLOHA DVOU PŘÍMEK V ROVINĚ

Digitální učební materiál

Analytická geometrie lineárních útvarů

PLANIMETRIE úvodní pojmy

Příklady k analytické geometrii kružnice a vzájemná poloha kružnice a přímky

X = A + tu. Obr x = a 1 + tu 1 y = a 2 + tu 2, t R, y = kx + q, k, q R (6.1)

Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora

PŘÍMKA A JEJÍ VYJÁDŘENÍ V ANALYTICKÉ GEOMETRII

Analytická geometrie. přímka vzájemná poloha přímek rovina vzájemná poloha rovin. Název: XI 3 21:42 (1 z 37)

1. Parametrické vyjádření přímky Přímku v prostoru můžeme vyjádřit jen parametricky, protože obecná rovnice přímky v prostoru neexistuje.

Odvození středové rovnice kružnice se středem S [m; n] a o poloměru r. Bod X ležící na kružnici má souřadnice [x; y].

ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ

ANALYTICKÁ GEOMETRIE INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky

Kolmost rovin a přímek

ANALYTICKÁ GEOMETRIE INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

6. ANALYTICKÁ GEOMETRIE

Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/ Matematika pro všechny. Univerzita Palackého v Olomouci

10. Analytická geometrie kuželoseček 1 bod

Eukleidovský prostor a KSS Eukleidovský prostor je bodový prostor, ve kterém je definována vzdálenost dvou bodů (metrika)

Vzorce počítačové grafiky

KONSTRUKTIVNÍ GEOMETRIE

Rozpis výstupů zima 2008 Geometrie

VZOROVÝ TEST PRO 3. ROČNÍK (3. A, 5. C)

M - Příprava na 1. čtvrtletku pro třídu 4ODK

je pravoúhlý BNa ose y najděte bod, který je vzdálený od bodu A = [ 4;

Shodná zobrazení v rovině

14. přednáška. Přímka

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT)

1 Analytická geometrie

M - Příprava na 12. zápočtový test

ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ

ANALYTICKÁ GEOMETRIE V ROVINĚ

( ) ( ) 6. Algebraické nerovnice s jednou neznámou ( ) ( ) ( ) ( 2. e) = ( )

Užití stejnolehlosti v konstrukčních úlohách

Patří mezi tzv. homotetie, tj. afinní zobrazení, která mají všechny směry samodružné.

MATEMATIKA Tematické okruhy ke státní maturitní zkoušce Obor: mechanik elektronik

Lingebraické kapitolky - Analytická geometrie

Maturitní nácvik 2008/09

0 x 12. x 12. strana Mongeovo promítání - polohové úlohy.

2. Zapište daná racionální čísla ve tvaru zlomku a zlomek uveďte v základním tvaru. 4. Upravte a stanovte podmínky, za kterých má daný výraz smysl:

3.2. ANALYTICKÁ GEOMETRIE ROVINY

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ vyšší úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT)

Pracovní listy MONGEOVO PROMÍTÁNÍ

DERIVACE. ln 7. Urči, kdy funkce roste a klesá a dále kdy je konkávní a

SEZNAM ANOTACÍ. CZ.1.07/1.5.00/ III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT VY_32_INOVACE_MA4 Analytická geometrie

Matematika I, část I. Rovnici (1) nazýváme vektorovou rovnicí roviny ABC. Rovina ABC prochází bodem A a říkáme, že má zaměření u, v. X=A+r.u+s.

6 Skalární součin. u v = (u 1 v 1 ) 2 +(u 2 v 2 ) 2 +(u 3 v 3 ) 2

Mgr. Tomáš Kotler. I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 7 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17

Kapitola 5. Seznámíme se ze základními vlastnostmi elipsy, hyperboly a paraboly, které

Požadavky na konkrétní dovednosti a znalosti z jednotlivých tematických celků

Systematizace a prohloubení učiva matematiky. Učebna s dataprojektorem, PC, grafický program, tabulkový procesor. Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora

Analytická geometrie přímky, roviny (opakování středoškolské látky) = 0. Napište obecnou rovnici. 8. Jsou dány body A [ 2,3,

19 Eukleidovský bodový prostor

P L A N I M E T R I E

3. ÚVOD DO ANALYTICKÉ GEOMETRIE 3.1. ANALYTICKÁ GEOMETRIE PŘÍMKY

Analytická geometrie. c ÚM FSI VUT v Brně

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY

7.5.3 Hledání kružnic II

7 Analytická geometrie v rovině

2. Vyšetřete všechny možné případy vzájemné polohy tří různých přímek ležících v jedné rovině.

Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora

Konstrukční úlohy. Růžena Blažková, Irena Budínová. Milé studentky, milí studenti,

Maturitní otázky z předmětu MATEMATIKA

AB = 3 CB B A = 3 (B C) C = 1 (4B A) C = 4; k ]

Maturitní zkouška z matematiky (v profilové části) Informace o zkoušce, hodnocení zkoušky, povolené pomůcky a požadavky

Gymnázium Česká a Olympijských nadějí, České Budějovice, Česká 64, 37021

VZOROVÉ PŘÍKLADY Z MATEMATIKY A DOPORUČENÁ LITERATURA pro přípravu k přijímací zkoušce studijnímu oboru Nanotechnologie na VŠB TU Ostrava

Úlohy k přednášce NMAG 101 a 120: Lineární algebra a geometrie 1 a 2,

Maturitní okruhy z matematiky - školní rok 2007/2008

Test Zkušební přijímací zkoušky

11 Vzdálenost podprostorů

Modelové úlohy přijímacího testu z matematiky

Parametrická rovnice přímky v rovině

Matematika I 12a Euklidovská geometrie

= prostorová geometrie, geometrie v prostoru část M zkoumající vlastnosti prostor. útvarů vychází z tzv. axiómů, využívá věty

Matematika 1 MA1. 1 Analytická geometrie v prostoru - základní pojmy. 4 Vzdálenosti. 12. přednáška ( ) Matematika 1 1 / 32

KRUŽNICE, KRUH, KULOVÁ PLOCHA, KOULE

Modelové úlohy přijímacího testu z matematiky

Geometrie v R n. student. Poznamenejme, že vlastně počítáme délku úsečky, která oba body spojuje. (b d)2 + (c a) 2

Geometrie v R n. z balíku student. Poznamenejme, že vlastně počítáme délku úsečky, která oba body spojuje. (b d)2 + (c a) 2

A STEJNOLEHLOST,, EUKLIDOVYE VĚTY 2.

1. LINEÁRNÍ ALGEBRA Vektory Operace s vektory... 8 Úlohy k samostatnému řešení... 8

VIDEOSBÍRKA DERIVACE

M - Analytická geometrie pro třídu 4ODK

9. Je-li cos 2x = 0,5, x 0, π, pak tgx = a) 3. b) 1. c) neexistuje d) a) x ( 4, 4) b) x = 4 c) x R d) x < 4. e) 3 3 b

- shodnost trojúhelníků. Věta SSS: Věta SUS: Věta USU:

Transkript:

. VEKTOROVÁ ALGEBRA A ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ Dovednosti:. Chápat pojmy orientovaná úsečka a vektor a geometrický význam součtu, rozdílu a reálného násobku orientovaných úseček a vektorů.. Porozumět zavedení kartézské soustavy souřadnic na přímce, v rovině, v prostoru. Ovládat vzájemné přiřazování bodů a jejich souřadnic v rovině a v prostoru.umět určit souřadnice vektoru ze souřadnic bodů jeho umístění. Umět sčítat, odčítat a násobit reálným číslem vektory určené souřadnicemi. Umět určit velikost vektoru a vzdálenost dvou bodů, souřadnice středu úsečky a těžiště trojúhelníku, rozhodnout o kolineárnosti bodů, rovnoběžnosti vektorů a lineární závislosti vektorů, jsou-li dány příslušné souřadnice. 3. Umět určit skalární součin dvou nenulových vektorů geometricky. v u. v.cosα u. v = u v + u v. Umět ho aplikovat při [ u = ] i algebraicky [ ] určování velikosti úhlu dvou vektorů, odchylky dvou přímek a při rozhodování o jejich případné kolmosti. 4. Znát geometrický význam definice vektorového součinu; umět určit jeho souřadnice. Umět určit obsah trojúhelníku. 5. Umět rozhodnout o vzájemné poloze přímek v rovině a umět to dokázat výpočtem. 6. Umět vypočítat vzdálenost bodu od přímky a vzdálenost dvou rovnoběžek. Úlohy: Vektorová algebra. Na ose y určete bod A tak, aby měl od bodu B[-6;-5 ] vzdálenost d = 0. A [0;3], A [0;-3]. V rovině jsou dány body K[`3], L[`-4], M[-`-3]. Dokažte, že trojúhelník KLM je pravoúhlý. Vypočtěte jeho obsah. [ ano, je pravoúhlý, S = 7,5]

3. Určete vektor u tak, aby měl velikost 0 a přitom byl kolmý k danému vektoru v =(-;). 4 5; 5 nebo u = 4 5; 5 ] [u = ( ) ( ) 4. Je dán trojúhelník ABC o vrcholech A[;0], B[;-6], C[5;-3]. Vypočtěte délku těžnice t a. Vypočtěte velikost úhlu β. [ t a = 4,94; β = 53 8 ] 5. Zjistěte, zda body A[3;7], B[0;-], C[5;] leží na jedné přímce. [ne] 6. Jsou dány vektory a = (3;5), b = (6;). Najděte vektor c kolmý k vektoru b, pro který platí a.c = 4. [c = ; ] 3 Analytická geometrie. a) Zapište parametrické vyjádření přímky a, která prochází body A [0;-5] B [3;-3 ] [ a: x = 3 t y = -5 + t ; t R ] b) Zapište parametrické vyjádření přímky b, která je dána bodem B [3; -7 ] a směrovým vektorem B b ( - ; 5 ) [ b: x = 3 t y = -7 + 5t ; t R ]. Zjistěte, zda body M [-4; 7 ] A [ ;8 ] leží na přímce AB ;A [;5] B [ -; 6 ] [ M AB, N AB ] 3. Určete.souřadnici bodu C tak, aby ležel na přímce AB, A[ 3; -], B[ ; 3], jestliže a) C [ ; y ] [ y = 3 ] b) C [,5; y ] [ y = 0 ] 4. Jsou dány body A[ ; -3] B [-; - ].Napište: a) parametrické vyjádření úsečky AB [ AB: x = -3t y = -3+ t; t 0; ] b) parametrické vyjádření polopřímky AB [ α AB; x = -3 t y = -3+ t; t 0; )] c) param. vyjádření polopřímky opačné k α AB [opačná k AB: x = -3 t y = -3+ t; t (- ; 0 ]

d) param.vyjádření polopřímky BA [ α BA: x = -+3 t y = -- t; t 0; ) ] 5. Jsou dány body A [-5; -6 ], B [;], C [3; 4 ]. a) Napište param. vyjádření přímky AC, b) napište param. vyjádření těžnice t a ABC, c) napište param. vyjádření výšky v c ABC (přímky, na které leží výška v c ). [ AC: x = -5+8 t y = -6+0 t; t R ] [ t a : x = -5+ s y = -6+9 s; s 0; ] [ v c : x = 3-8 r y = 4+6 r; r R ] 6. Napište parametrické vyjádření osy úsečky KL, K[+3; -3]; L[-; -] [ o: x = + t y = -,5 + 4 t; t R ] 7. a) Napište parametrické vyjádření přímky m, která prochází bodem M[; -,3] a je rovnoběžná s přímkou q, danou bodem Q [-3; 0 ] a bodem R [ 3; -4 ]. [m: x = +6 t y = -,3-4 t ] b) Napište param. vyjádření přímky k, která je kolmá na přímku m z předchozí úlohy a prochází bodem K [-; 0 ] [ k: x = -+4 t y = 6 t; t R ] 8. Napište obecnou rovnici přímky, která je určena a) bodem A [-3; ] a normálovým vektorem n ρ ( ; ) b) bodem A [ 3;- ] a směrovým vektorem s ρ (3; - ) c) body A [; ], B [-; 4 ] d) parametrickým vyjádřením:x = - t y = -3 + t; t R e) směrnicovým tvarem rovnice: y = -5x + 3 [ x + y + 4 = 0 ] [ x + 3y 7 = 0] [ x + y = 0 ] [ x + y = 0 ] [ 5x + y 3 = 0 ] 3

9. Je dán ABC: A [6; ] B [-; 4] C [-; 0]. Určete obecné rovnice přímek,které obsahují: a) stranu AB [c: x + 4y 4 = 0 ] b) těžnici t a [t a : y = 0 ] c) těžnici t b [t b : 3x + 4y 0 = 0 ] 0. K dané přímce napište obecnou rovnici přímky r, která je rovnoběžná s přímkou p a prochází bodem A a) p: 3x y + = 0; A [3;- ] [ r : 3x y 0 = 0 ] b) p: x = + t y = t t R; A [3; 4 ] [ r : x + y = 0 ]. Napište obecnou rovnici tečny kružnice v době dotyku T [6; ], jestliže střed je S[3;-4] [ t: x + y 0 = 0 ]. Určete vzájemnou polohu přímek A jsou-li různoběžné, určete souřadnice jejich průsečíku : a) a: x y + 3 = 0 b: x + y 6 = 0 různoběžné, P [; 5 ] b) a: x 3y = 0 b: -x + 6y + 5 = 0 rovnoběžné, a b c) a: 3x y + = 0 b: x = - - t y = 4 + t, t R různoběžné, P [; ] d) a: x + y 5 = 0 b: x = t y = + t, t R a = b e) a: x = - t b: x = 3 s y = 3, t R y = + s, s R různoběžné, P [; 3 ] 3. Sestavte rovnici přímky m (obecnou rovnici), která prochází bodem A [;-3 ] a průsečíkem přímek a: x + 7y 8 = 0 b: x + y = 0 [m: x + y + = 0 ] 4. Průsečíkem přímek k, l veďte přímku p tak, aby byla rovnoběžná s přímkou r : k: x 3y 9 = 0 l: 4x y + 8 = 0 r: x + 3y 8 = 0 Zapište obecnou rovnici přímky p. [p: 5. Určete odchylku přímek p, q : a) p: x y + = 0 q: 3x + y = 0 [ α = 45 ] b) p: x y + = 0 q: y = ⅔x + [ α = 9 ] c) p: x y + 3 = 0 q = AB: A [0; -], B [4; ] [α = 0 ] d) p: x = 3t q: x = 3 s y = + t, t R y = 3s, s R [α = 90 ] 4

6. Mezi všemi přímkami 5x + y + c = 0 najděte tu, jejíž vzdálenost od počátku soustavy souřadnic je 3. [ řešení: p : 5x + y + 39 = 0 p : 5x + y - 39 = 0 ] 7. Určete vzdálenost bodu M od přímky p, je-li : a) M [; -] p: 3x + 4y = 0 [ d = ] b) M [-4; -3] p = AB, A [; ] 6 5 B [; 3] [ d = ] 5 c) M [; 4 ] p: x = 6 + 3t y = -8 4t; t R [ d = 4] 8. Určete směrnici přímky p: x + 3y 5 = 0 [ k = - 3 ] 9. Určete směrnici přímky AB: A [; 3 ] B [-; ] [ k = 3 ] 0. a) Napište směrnicový tvar rovnice přímky a, která prochází bodem A [4; 3 ] a je kolmá k přímce p: y = x + [ a: y = - x + 5 ] b) Napište směrnicový tvar rovnice přímky b, která prochází bodem B [-; 6 ] a je rovnoběžná s přímkou p: y = 3x + 5 [ b: y = 3x + 9 ]. Určete vzájemnou polohu přímek, jsou-li různoběžné, vypočtěte odchylku : a) p: 3x y + 6 = 0 q: x = + t y = t t R [ α = 63 6 ] b) p: x y + 3 = 0 q: x + y 6 = 0 [ α = 7 34 ] c) p: x + y = 0 q : x + y 4 = 0 [ p = q] d) p: x = - t q : 3x y + = 0 [ α = 78 4 ] y = 4 + t t R e) p: x = t q: x = 3 s y = 3 + t t R y = s s R [ rovnoběžné ] f) p: x = - t q: x = 3 s s R [ α = 6 34 ] 5

. Určete vzájemnou polohu přímek, jsou-li rovnoběžné. Vypočtěte jejich vzdálenost : a) a: x = 3 t b: x 6y + 5 = 0 y = t t R [ v = 0,474 j ] b) a: x = t b: x = - - s y = + t t R y = 4 + s s R [ a = b ] c) a: x + y 7 = 0 b: x = 3 s y = s s R [ v =,79 j ] d) a: y = - x + 5 b : y = - x [ v =,68 j ] e) a: x + y + 6 = 0 b : x + y 4 = 0 [ v = 5 j ] f) a: x = + 3 t b: y = 3 4 x [ v = 0,8 j ] 3. Určete na ose y bod Y, který má od přímky p : y = -x + 4 vzdálenost 5. [ Y [0; -6] ; Y [0; 4 ] 4. Na přímce p : x + 3y = 0 určete bod M tak, aby jeho vzdálenost od přímky q : 5x + y 4 = 0 byla 3. [ M [ 35;- ] ; M [ -43; 5 ] ] 5. Určete hodnotu parametru c R tak, aby vzdálenost počátku soustavy souřadnic od přímky p : x y + c = 0 byla 4. [ c = ± 4 5 ] 6. Vypočtěte délky výšek v ABC : a) A [ 5; ] B [ ; 5 ] [ v a = v c = 5 j; v b = 5 j ] 7. Vypočtěte odchylku přímky p : 8 x 5y + 0 = 0 od osy x. [ α = 8 04 ] 8. Je dán ABC, A [ -; 4 ], B [ ; - ], C [ 5; - ]. Vypočítejte odchylku osy úsečky AB od souřadnicové osy x. [ α = 6 34 ] 9. Průsečíkem přímek p: 3x + y = 0, q: x y 6 = 0 veďte rovnoběžku s přímkou r: x y + 4 = 0. Určete její obecnou rovnici. [ x y 8 =0 ] 6

30. Určete hodnotu parametru m R tak, aby přímka mx + y + m = 0 procházela průsečíkem přímek p: x + y + 6 = 0, q: x y + 8 = 0. [ m = -3 ] 7