. VEKTOROVÁ ALGEBRA A ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ Dovednosti:. Chápat pojmy orientovaná úsečka a vektor a geometrický význam součtu, rozdílu a reálného násobku orientovaných úseček a vektorů.. Porozumět zavedení kartézské soustavy souřadnic na přímce, v rovině, v prostoru. Ovládat vzájemné přiřazování bodů a jejich souřadnic v rovině a v prostoru.umět určit souřadnice vektoru ze souřadnic bodů jeho umístění. Umět sčítat, odčítat a násobit reálným číslem vektory určené souřadnicemi. Umět určit velikost vektoru a vzdálenost dvou bodů, souřadnice středu úsečky a těžiště trojúhelníku, rozhodnout o kolineárnosti bodů, rovnoběžnosti vektorů a lineární závislosti vektorů, jsou-li dány příslušné souřadnice. 3. Umět určit skalární součin dvou nenulových vektorů geometricky. v u. v.cosα u. v = u v + u v. Umět ho aplikovat při [ u = ] i algebraicky [ ] určování velikosti úhlu dvou vektorů, odchylky dvou přímek a při rozhodování o jejich případné kolmosti. 4. Znát geometrický význam definice vektorového součinu; umět určit jeho souřadnice. Umět určit obsah trojúhelníku. 5. Umět rozhodnout o vzájemné poloze přímek v rovině a umět to dokázat výpočtem. 6. Umět vypočítat vzdálenost bodu od přímky a vzdálenost dvou rovnoběžek. Úlohy: Vektorová algebra. Na ose y určete bod A tak, aby měl od bodu B[-6;-5 ] vzdálenost d = 0. A [0;3], A [0;-3]. V rovině jsou dány body K[`3], L[`-4], M[-`-3]. Dokažte, že trojúhelník KLM je pravoúhlý. Vypočtěte jeho obsah. [ ano, je pravoúhlý, S = 7,5]
3. Určete vektor u tak, aby měl velikost 0 a přitom byl kolmý k danému vektoru v =(-;). 4 5; 5 nebo u = 4 5; 5 ] [u = ( ) ( ) 4. Je dán trojúhelník ABC o vrcholech A[;0], B[;-6], C[5;-3]. Vypočtěte délku těžnice t a. Vypočtěte velikost úhlu β. [ t a = 4,94; β = 53 8 ] 5. Zjistěte, zda body A[3;7], B[0;-], C[5;] leží na jedné přímce. [ne] 6. Jsou dány vektory a = (3;5), b = (6;). Najděte vektor c kolmý k vektoru b, pro který platí a.c = 4. [c = ; ] 3 Analytická geometrie. a) Zapište parametrické vyjádření přímky a, která prochází body A [0;-5] B [3;-3 ] [ a: x = 3 t y = -5 + t ; t R ] b) Zapište parametrické vyjádření přímky b, která je dána bodem B [3; -7 ] a směrovým vektorem B b ( - ; 5 ) [ b: x = 3 t y = -7 + 5t ; t R ]. Zjistěte, zda body M [-4; 7 ] A [ ;8 ] leží na přímce AB ;A [;5] B [ -; 6 ] [ M AB, N AB ] 3. Určete.souřadnici bodu C tak, aby ležel na přímce AB, A[ 3; -], B[ ; 3], jestliže a) C [ ; y ] [ y = 3 ] b) C [,5; y ] [ y = 0 ] 4. Jsou dány body A[ ; -3] B [-; - ].Napište: a) parametrické vyjádření úsečky AB [ AB: x = -3t y = -3+ t; t 0; ] b) parametrické vyjádření polopřímky AB [ α AB; x = -3 t y = -3+ t; t 0; )] c) param. vyjádření polopřímky opačné k α AB [opačná k AB: x = -3 t y = -3+ t; t (- ; 0 ]
d) param.vyjádření polopřímky BA [ α BA: x = -+3 t y = -- t; t 0; ) ] 5. Jsou dány body A [-5; -6 ], B [;], C [3; 4 ]. a) Napište param. vyjádření přímky AC, b) napište param. vyjádření těžnice t a ABC, c) napište param. vyjádření výšky v c ABC (přímky, na které leží výška v c ). [ AC: x = -5+8 t y = -6+0 t; t R ] [ t a : x = -5+ s y = -6+9 s; s 0; ] [ v c : x = 3-8 r y = 4+6 r; r R ] 6. Napište parametrické vyjádření osy úsečky KL, K[+3; -3]; L[-; -] [ o: x = + t y = -,5 + 4 t; t R ] 7. a) Napište parametrické vyjádření přímky m, která prochází bodem M[; -,3] a je rovnoběžná s přímkou q, danou bodem Q [-3; 0 ] a bodem R [ 3; -4 ]. [m: x = +6 t y = -,3-4 t ] b) Napište param. vyjádření přímky k, která je kolmá na přímku m z předchozí úlohy a prochází bodem K [-; 0 ] [ k: x = -+4 t y = 6 t; t R ] 8. Napište obecnou rovnici přímky, která je určena a) bodem A [-3; ] a normálovým vektorem n ρ ( ; ) b) bodem A [ 3;- ] a směrovým vektorem s ρ (3; - ) c) body A [; ], B [-; 4 ] d) parametrickým vyjádřením:x = - t y = -3 + t; t R e) směrnicovým tvarem rovnice: y = -5x + 3 [ x + y + 4 = 0 ] [ x + 3y 7 = 0] [ x + y = 0 ] [ x + y = 0 ] [ 5x + y 3 = 0 ] 3
9. Je dán ABC: A [6; ] B [-; 4] C [-; 0]. Určete obecné rovnice přímek,které obsahují: a) stranu AB [c: x + 4y 4 = 0 ] b) těžnici t a [t a : y = 0 ] c) těžnici t b [t b : 3x + 4y 0 = 0 ] 0. K dané přímce napište obecnou rovnici přímky r, která je rovnoběžná s přímkou p a prochází bodem A a) p: 3x y + = 0; A [3;- ] [ r : 3x y 0 = 0 ] b) p: x = + t y = t t R; A [3; 4 ] [ r : x + y = 0 ]. Napište obecnou rovnici tečny kružnice v době dotyku T [6; ], jestliže střed je S[3;-4] [ t: x + y 0 = 0 ]. Určete vzájemnou polohu přímek A jsou-li různoběžné, určete souřadnice jejich průsečíku : a) a: x y + 3 = 0 b: x + y 6 = 0 různoběžné, P [; 5 ] b) a: x 3y = 0 b: -x + 6y + 5 = 0 rovnoběžné, a b c) a: 3x y + = 0 b: x = - - t y = 4 + t, t R různoběžné, P [; ] d) a: x + y 5 = 0 b: x = t y = + t, t R a = b e) a: x = - t b: x = 3 s y = 3, t R y = + s, s R různoběžné, P [; 3 ] 3. Sestavte rovnici přímky m (obecnou rovnici), která prochází bodem A [;-3 ] a průsečíkem přímek a: x + 7y 8 = 0 b: x + y = 0 [m: x + y + = 0 ] 4. Průsečíkem přímek k, l veďte přímku p tak, aby byla rovnoběžná s přímkou r : k: x 3y 9 = 0 l: 4x y + 8 = 0 r: x + 3y 8 = 0 Zapište obecnou rovnici přímky p. [p: 5. Určete odchylku přímek p, q : a) p: x y + = 0 q: 3x + y = 0 [ α = 45 ] b) p: x y + = 0 q: y = ⅔x + [ α = 9 ] c) p: x y + 3 = 0 q = AB: A [0; -], B [4; ] [α = 0 ] d) p: x = 3t q: x = 3 s y = + t, t R y = 3s, s R [α = 90 ] 4
6. Mezi všemi přímkami 5x + y + c = 0 najděte tu, jejíž vzdálenost od počátku soustavy souřadnic je 3. [ řešení: p : 5x + y + 39 = 0 p : 5x + y - 39 = 0 ] 7. Určete vzdálenost bodu M od přímky p, je-li : a) M [; -] p: 3x + 4y = 0 [ d = ] b) M [-4; -3] p = AB, A [; ] 6 5 B [; 3] [ d = ] 5 c) M [; 4 ] p: x = 6 + 3t y = -8 4t; t R [ d = 4] 8. Určete směrnici přímky p: x + 3y 5 = 0 [ k = - 3 ] 9. Určete směrnici přímky AB: A [; 3 ] B [-; ] [ k = 3 ] 0. a) Napište směrnicový tvar rovnice přímky a, která prochází bodem A [4; 3 ] a je kolmá k přímce p: y = x + [ a: y = - x + 5 ] b) Napište směrnicový tvar rovnice přímky b, která prochází bodem B [-; 6 ] a je rovnoběžná s přímkou p: y = 3x + 5 [ b: y = 3x + 9 ]. Určete vzájemnou polohu přímek, jsou-li různoběžné, vypočtěte odchylku : a) p: 3x y + 6 = 0 q: x = + t y = t t R [ α = 63 6 ] b) p: x y + 3 = 0 q: x + y 6 = 0 [ α = 7 34 ] c) p: x + y = 0 q : x + y 4 = 0 [ p = q] d) p: x = - t q : 3x y + = 0 [ α = 78 4 ] y = 4 + t t R e) p: x = t q: x = 3 s y = 3 + t t R y = s s R [ rovnoběžné ] f) p: x = - t q: x = 3 s s R [ α = 6 34 ] 5
. Určete vzájemnou polohu přímek, jsou-li rovnoběžné. Vypočtěte jejich vzdálenost : a) a: x = 3 t b: x 6y + 5 = 0 y = t t R [ v = 0,474 j ] b) a: x = t b: x = - - s y = + t t R y = 4 + s s R [ a = b ] c) a: x + y 7 = 0 b: x = 3 s y = s s R [ v =,79 j ] d) a: y = - x + 5 b : y = - x [ v =,68 j ] e) a: x + y + 6 = 0 b : x + y 4 = 0 [ v = 5 j ] f) a: x = + 3 t b: y = 3 4 x [ v = 0,8 j ] 3. Určete na ose y bod Y, který má od přímky p : y = -x + 4 vzdálenost 5. [ Y [0; -6] ; Y [0; 4 ] 4. Na přímce p : x + 3y = 0 určete bod M tak, aby jeho vzdálenost od přímky q : 5x + y 4 = 0 byla 3. [ M [ 35;- ] ; M [ -43; 5 ] ] 5. Určete hodnotu parametru c R tak, aby vzdálenost počátku soustavy souřadnic od přímky p : x y + c = 0 byla 4. [ c = ± 4 5 ] 6. Vypočtěte délky výšek v ABC : a) A [ 5; ] B [ ; 5 ] [ v a = v c = 5 j; v b = 5 j ] 7. Vypočtěte odchylku přímky p : 8 x 5y + 0 = 0 od osy x. [ α = 8 04 ] 8. Je dán ABC, A [ -; 4 ], B [ ; - ], C [ 5; - ]. Vypočítejte odchylku osy úsečky AB od souřadnicové osy x. [ α = 6 34 ] 9. Průsečíkem přímek p: 3x + y = 0, q: x y 6 = 0 veďte rovnoběžku s přímkou r: x y + 4 = 0. Určete její obecnou rovnici. [ x y 8 =0 ] 6
30. Určete hodnotu parametru m R tak, aby přímka mx + y + m = 0 procházela průsečíkem přímek p: x + y + 6 = 0, q: x y + 8 = 0. [ m = -3 ] 7