Sestavení pohybové rovnosti jednoduchého mechanismu pomocí Lagrangeových rovností druhého druhu Václav Čibera 12. února 2009 1 Motivace Na obrázku 1 máme znázorněný mechanický systém, který může představovat například součástku nějakého stroje. Abychom stroj mohli lépe ovládat, předpovídat jeho chování, sestrojit ho atp..., potřebujeme znát, jak se tento mechanický systém - součástka chová v každém okamžiku při změnách polohy a rychlosti jednotlivých součástí. Obrázek 1: Obrázek popisovaného mechanismu Pro náš konkrétní příklad předpokládáme následující možné chování mechanického systému: 1
prezentace KMA/MM-Matematické modelování 2 Tyč a kotouč jsou spolu v trvalém kontaktu, v místě jejich dotyku se tyč pohybuje bez tření. Tyč může konat pouze otáčivý pohyb podle osy otáčení umístěné v jednom z jejich konců, otáčení uvažujeme bez tření. Kotouč se po rovině pohybuje bez prokluzu, kotouč se pohybuje pouze v takovém intervalu, aby z něj tyč nespadla a aby ji nepřevalil. viz obrázky 2 a 3. Obrázek 2: Maximální možný posun kotouče doleva Obrázek 3: Maximální možný posun kotouče doprava, tyč nespadne
prezentace KMA/MM-Matematické modelování 3 2 Matematický model Řešení našeho problému docílíme tak, že sestrojíme pohybovou rovnost systému, ze které si můžeme posléze dopočítat potřebná data a celkově analyzovat chování uváděného mechanického systému - součástky. Jedním z nejpoužívanějších a nejefiktivnějších nástrojů pro sestrojení pohybové rovnosti mechanického systému jsou Lagrangeovy rovnosti II. druhu. (Lagrangeovy rovnice II. druhu) 1 2.1 Lagrangeovy rovnosti II. druhu Cesta odvození Lagrangeových rovnic II. druhu je velice zdlouhavá. Proto zde akorát uvedu, že jsou odvozeny pomocí D Alembertova principu, Lagrangeových rovností I. druhu a Centrální Lagrangeovy rovnosti. Konkrétní tvar Lagrangeových rovností II. druhu:, kde L je tzv. Lagrangeova funkce ve tvaru: d dt ( L q ) L k q = 0 (1) k L = E k E p (2), kde E k je kinetická energie mechanismu, v tomto případě součet energií získané vlivem rotačních a posuvných pohybů jednotlivých součástí mechanismu. E p je potenciální energie, v tomto případě součet potenciálních energií jednotlivých součástí mechanismu. Symbol q k zde neznačí mocninu q, ale naznačuje, že se jedná zobecněné souřadnice. Lagrangeovy rovnosti II. druhu ve tvaru (1) jsou obecně soustavou k diferenciálních rovností, kde k je počet proměných(souřadnic). Z uvedených rovností (1) a (2) vyplývá, že potřebujeme: a) Sestrojit Lagrangeovu funkci (2), tj. určit E k a E p. b) Umístit mechanismus do nějakého souřadnicového systému, ve kterém budeme schopni pro jednotlivé komponenty mechanismu zavést souřadnice. 1 zmiňuji zde slovo rovnice schválně, protože v literatuře převládá název Lagrangeovy rovnice
prezentace KMA/MM-Matematické modelování 4 2.2 Zachycení mechanismu do souřadnic, popis systému Abychom mohli mechanismus analyzovat za pomocí matematiky,musíme mechanický systém vhodně zachytit do nějakého souřadnicového systému. Zvolení souřadnicového systému víceméně záleží na řešiteli a závisí na vhodnosti pro konkrétní příklad. Pro zachycení tohoto modelu jsem zvolil kartézský systém. Zachycení modelu do souřadnicového systému je zobrazeno na obrázku 4. Obrázek 4: Obrázek popisovaného mechanismu m 1... hmotnost kotouče R... poloměr kotouče ϕ 1... úhel pootočení kotouče x 1... x-sová souřadnice středu kotouče [x 1, R]... souřadnice středu kotouče, střed je zároveň těžistě kotouče l... délka tyče ϕ 2... úhel pootočení tyče m 2... hmotnost tyče T [x T ; y T ]... souřadnice těžistě tyče,je uprostřed tyče
prezentace KMA/MM-Matematické modelování 5 2.3 Sestrojení Lagrangeovy funkce L = E k E p (2) K sestrojení Lagrangeovy funkce potřebujeme znát kinetickou energii E k a potenciánlní energii E p jednotlivých komponent mechanismu. Vyjádření pro kinetickou energii získáme ze skutečnosti, že E k = pohybová energie tělesa + rotační energie tělesa. E k = 1 2 m x 2 + 1 2 I ϕ 2 (3), kde I je moment setrvačnosti. Momenty setvačnoti pro běžné tvary těles jsou lehce k nalezní v literatuře. Moment setrvačnosti kotouče : I 1 = 1 2 m 1R 2 (4) Moment setrvačnosti tyče, jejíž osa otáčení prochází jedním z konců tyče: I 2 = 1 3 m 2l 2 (5) Pro náš případ bude mít celková kinetická energie všech součástí následující tvar: E k = pohybová energie kotouče + rotační energie kotouče + rotační energie tyče = E k = 1 2 m 1x 2 1 + 1 2 I 1ϕ 2 1 + 1 2 I 2ϕ 2 2 (6) Po dosazení (4) a (5) dostaneme vztah: E k = 1 2 m 1 x 2 1 + 1 4 m 1R 2 ϕ 2 1 + 1 6 m 2l 2 ϕ 2 2 (7) Vyjádření potenciální energie E p je v našem případě jednoduché. Jediné těleso, které mění v našem mechanismu potenciální energii je je tyč. Těžiště tyče se může podle zadání pohybovat pouze v intervalu < 1 2 R, l > na ose 2 y, kde krajní hodnoty intervalu představují nulovou resp. maximální hladinu potenciální energie. Lagrangeova funkce má tedy tvar: E p = m 2 g l 2 sinϕ 2 m 2 g 1 2 R (8) L = E k E p = 1 2 m 1 x 2 1 + 1 4 m 1R 2 ϕ 2 1 + 1 6 m 2l 2 ϕ 2 2 m 2g l 2 sinϕ 2 +m 2 g 1 2 R (9)
prezentace KMA/MM-Matematické modelování 6 2.4 Vazby, systém s jedním stupněm volnosti Jak již bylo výše uvedeno výraz (1) představuje soustavu k diferenciálních rovností. V našem případě si můžeme situaci zjednodušit a získat pouze jednu rovnici. Uvažovaný mechanický systém je systém s jedním stupněm volnosti. Jednoduše řečeno: pokud hnu s jakoukoli součástí systému, hnu i s ostatními součástmi systému, nebo ještě jinak : pokud změním jednu souřadnici v systému, změní se mi i v jisté závislosti ostatní souřadnice v sytému. Jako výchozí souřadnici si zvolíme například souřadnici ϕ 1, pomocí této souřadnice si vyjádříme všechny ostatní souřadnice ve vztahu (9), tj. x 1, ϕ 2. Zároveň si určíme i jejich derivace podle času. Je zřejmé, že platí: x 1 = Rϕ 1 (10) x 1 = Rϕ 1 (11) Vazbu mezi ϕ 1 a ϕ 2 určíme z geometrických vztahů zobrazených na obr. 5. Obrázek 5: Odvození vazby mezi ϕ 1 a ϕ 2 Z obr. 5 se dá vyčíst, že:
prezentace KMA/MM-Matematické modelování 7 tg ϕ 2 2 = R R + Rϕ 1 (12) R ϕ 2 = 2 arctan( ) (13) R + Rϕ 1 ϕ 2 = 2R 2 2R 2 + 2R 2 ϕ 1 + ϕ 2 1. ϕ 1 (14) 2.5 Sestavení pohybové rovnosti pomocí Lagrangeových rovností II. druhu V předešlé části jsme si všechny souřadnice vyjádřily pomocí jediné souřadnice ϕ 1. Lagrangeovu funkci ve tvaru (9) nyní po dozasezení vztahů (11) a (14) můžeme vyjádřit ve tvaru : L = 1 2 m 1R 2 ϕ 2 1 + 1 4 m 1R 2 ϕ 2 1 + 1 6 m 2l 2 ( Po zjednodušení: 2R 2 2R 2 + 2R 2 ϕ 1 + ϕ 2 1 ) 2. ϕ 2 1 m 2 g l R sin[2 arctan( )] + m 2 g 1 2 R + Rϕ 1 2 R (15) L = [ 3 4 m 1R 2 + 1 6 m 2l 2 2R 2 ( ) 2 ]. ϕ 2 2R 2 + 2R 2 ϕ 1 + ϕ 2 1 m 2g[ l R sin{2 arctan( )} 1 1 2 R + Rϕ 1 2 R] (16) Nyní už potřebujeme pouze vyjádřit d dt ( L q ) a L z rovnosti (1), tj. z k q k d rovnosti dt ( L q ) L = 0, kde k q k q k = q 1 = ϕ 1 = ϕ 1 (t) Raději zopakujme, že se nejedná o mocniny q, ale o označení souřadnice. L = [ 3 ϕ 1 2 m 1R 2 1 3 m 2l 2 2R 2 ( ) 2 ]. ϕ 2R 2 + 2R 2 ϕ 1 + ϕ 2 1 (17) 1 d dt ( L ) = [ 3 ϕ 1 2 m 1R 2 1 3 m 2l 2 2R 2 ( ) 2 ]. ϕ 2R 2 + 2R 2 ϕ 1 + ϕ 2 1 +[ 8 m 2 l 2 R 4 (2R 2 + 2ϕ 1 ) ]. 1 3 (2R 2 + 2R 2 ϕ 1 + ϕ 2 1 )3 (18) ϕ 2 1 L = 4 ϕ 1 3 m 2l 2 R 4 (2R 2 + 2ϕ 1 ) (2R 2 + 2R 2 ϕ 1 + ϕ +m 2g l 2 1 )3 2 2R 2 cos{2 arctan( R R+Rϕ 1 )} 2R 2 + 2R 2 ϕ 1 + ϕ 2 1 (19)
prezentace KMA/MM-Matematické modelování 8 Nyní už máme vše připraveno. Stačí pouze dosadit výrazy (18) a (19) do výchozí rovnosti (1): [ 3 2 m 1R 2 1 3 m 2l 2 2R 2 ( ) 2 ]. ϕ 2R 2 + 2R 2 ϕ 1 + ϕ 2 1 +[ 8 m 2 l 2 R 4 (2R 2 + 2ϕ 1 ) ]. ϕ 2 1 3 (2R 2 + 2R 2 ϕ 1 + ϕ 2 1 + 1 )3 + 4 3 m 2l 2 R 4 (2R 2 + 2ϕ 1 ) (2R 2 + 2R 2 ϕ 1 + ϕ 2 1 )3 m 2g l 2 2R 2 cos{2 arctan( R R+Rϕ 1 )} 2R 2 + 2R 2 ϕ 1 + ϕ 2 1 = 0 (20) Nebo v přehlednější formě: a(ϕ 1 ). ϕ 1 + b(ϕ 1 ). ϕ 2 1 + c(ϕ 1) = 0 (21) Rovnost (20), resp. (21) ještě můžeme doplnit okrajovými podmínkami pro ϕ 1, které by závisely na zvolení hodnot l, R. 2.6 Závěr Sestavili jsme pohybovou rovnost (20), kterou vyřešíme v matlabu, nebo odneseme na KMA. Ze sestavené rovnosti je vidět, že i zdánlivě jednoduchý mechanismus popisuje poměrně složitá diferenciální rovnice II. řádu. Řešením dosažené rovnosti je fce ϕ 1 (t), která popisuje polohu tělesa v daném prostředí. Parametr t může představovat čas. 2.7 Použitá literatura Teoretická mechanika; Rosenberg, Josef; Plzeň 2003 Děkuji za pozornost