VŠ Technická univerzita Ostrava akulta strojní Katedra ružnosti a evnosti (9) Oakování základních znalostí z ružnosti a evnosti utor: Jaroslav Rojíček Verze: Ostrava 00
PP ouhrn Oakování základní ružnosti: V ředmětu Pružnost a evnost byly robrány základní ojmy (naětí deformace) zůsoby řešení úloh (metoda řezu) zatěžování atd Základní rovnice ro výočet najatosti a změny tvaru ro tah-tlak ohyb krut jsou zoakovány v Tab Normálová síla v řezu je značena N() ohybový moment v řezu M() krouticí moment v řezu () y u ohybu je vzdálenost od neutrální osy r u kroucení je vzdálenost od středu růřezu Tab Tah tlak Ohyb Kroucení (volné) =ab Δ y J r J P φ Vnitřní účinky (síly) N() M() () N()= i = M()= M i = - ()= i =- Naětí Charakteristiky růřezu Deformace Základní rovnice N ( ) Normálové naětí σ [MPa] d Plocha růřezu [m ] Poměrné rodloužení [] d d V diferenciální formě M ( ) y J Normálové naětí σ [MPa] J y d Osový kvadratický moment setrvačnosti lochy [m 4 ] Poměrné rodloužení [] ( ) r J mykové naětí τ [MPa] J P r d Polární kvadratický moment setrvačnosti lochy [m 4 ] R Zkos [rad] /5
PP ouhrn Deformace Rovnice ro výočet: E Prodloužení [mm] M ( ) v E J Průhyb [mm] v natočení [rad] G J P Zkroucení [rad] Hookův zákon Pro nekonstantní N() () E - Modul ružnosti v tahu Znaménko volíme dle znaménkové konvence E - Modul ružnosti v tahu G - Modul ružnosti ve smyku Deformace je osána oměrným rodloužením tato rovnice latí vždy V řadě říadů je možné rovnici zjednodušit do tvaru kde d je elementární část délky V říadě že ři změně olohy elementu d se nezmění tvar nosníku (růřez velikost ani tvar) zatížení nosníku ani materiál - nejsou funkcí olohy ak můžeme oužít zjednodušenou rovnici Řešené říklady na rocvičení Cv Př_ Obr Dáno: =0 mm =0 mm =00 mm = 000 N E=00000MPa Urči: (oak statiky a ružnosti ostu řešení) růhyb natočení rozložení naětí v nosníku reakce Při řešení říkladů v ružnosti a evnosti byl u staticky určitých úloh oužíván jednoduchý ostu: Uvolnění tělesa (těles základní ois úlohy) sestavení statických rovnic rovnováhy (výočet reakcí) určení řezů a rovnic oisujících hodnoty vnitřních sil a momentů (dle tyu úlohy) určení růběhů vnitřních sil a momentů (graficky) a jejich analýza (etrémy) určení charakteristik růřezů ( J J P ) výočet naětí (růběh hodnoty a olohy etrémů) výočet růhybové čáry osunutí nebo natočení (dle tyu úlohy) Tento ostu oužijeme i u našeho říkladu Podrobnější ois jednotlivých kroků vysvětlení a odvození rovnic lze nalézt v řednáškách ze tatiky a Pružnosti a evnosti říadně v iteratuře [] [9] a/ Uvolnění tělesa: Z úlohy vyjmeme jedno vybrané těleso s veškerým zatížením které na vybrané těleso ůsobí Veškeré vazby vybraného tělesa s ostatními tělesy rámem aod nahradíme reakcemi (vše řekreslíme do nového obrázku) U soustav těles tento ostu alikujeme na všechna tělesa kromě rámu V našem říadě takto získáme Obr (směry reakcí volíme) /5
PP ouhrn R X M R R Y Obr b/ tatické rovnice rovnováhy: Vyjadřují že očítané (uvolněné) těleso se neohybuje v žádném z možných směrů ohybu stuňů volnosti (u ohybujícího se tělesa sestavujeme ohybové rovnice viz [0] []) V rovině má jedno těleso tři stuně volnosti U tahu často uvažujeme ouze jeden stueň volnosti ohyb ve směru osy rutu z toho ak vylývá rodloužení nebo zkrácení (odobně u kroucení) ix 0 RX 0 RX 0 N iy 0 RY 0 RY 000 N Mi 0 M R 0 M R 00 N m c/ Určení řezů a rovnic oisujících hodnoty vnitřních sil a momentů: Každý řez je samostatný a dělí celé těleso na dvě oloviny U řezů zavádíme také znaménkovou konvenci Postu je naznačen v Tab Tab Těleso rozdělíme myšleným řezem Celé těleso R X evá část tělesa Znaménková konvence R X R Y R Y Příklad ohyb M R M( ) N( ) T( ) M R Řez tělesem T( ) N( ) Pravá část tělesa M( ) Zeleně jsou vnitřní účinky Modře jsou reakce Červeně jsou zatížení Znaménková konvence Rovnice rovnováhy latí ro Celé těleso evou část tělesa Pravou část tělesa i ro bod kde se obě části rozdělené myšleným řezem stýkají Pro osu Celé těleso R X 0 ix 0 evá část tělesa N ( ) 0 Pravá část tělesa N ( ) RX 0 N( ) RX 0 Místo řezu N( ) N( ) 0 N( ) N( ) 4/5
PP ouhrn Pro osu y iy 0 Pro moment M i 0 Mezi a latí vztah Celé těleso R Y 0 evá část tělesa T( ) 0 T( ) Pravá část tělesa T( ) RY 0 T( ) RY Místo řezu T( ) T( ) 0 T( ) T( ) Celé těleso M R 0 evá část tělesa M( ) 0 M( ) 0 M( Pravá část tělesa M( ) M R ) M( ) M( ) 0 M( ) M( Místo řezu ) ohybovat v oblasti: 0; 0; Proměnné oisující olohu řezu v tělese se mohou d/ Určení růběhů vnitřních sil a momentů: Rovnice uvedené v Tab řevedeme do grafické odoby V jednodušších říadech lze z růběhu určit i olohu a hodnoty etrému Obecně se etrémy hledají omocí derivace funkce Průběhy vnitřních sil a momentů ro očítaný říklad jsou uvedeny v Tab Hodnoty vnitřních účinků jsou shodné ať jdeme z kterékoliv strany Tab Příklad ohyb Celé těleso Mezi a latí vztah Proměnné oisující olohu řezu v tělese se mohou ohybovat v oblasti: 0; ( 0; ) R X R Y M R Pro osu růběhy Normálových sil 0 Ma evá část tělesa N ( ) 0 Pravá část tělesa N ( ) 0 N N Pro osu y růběhy Posouvajících sil (Tečných) T Ma evá část tělesa T ) ( Pravá část tělesa T ) ( T T Průběh ohybového momentu M Ma ( 0) kde evá část tělesa M ( ) Pravá část tělesa M ( ) Pomocí substituce získáme: M ( ) M M 5/5
PP ouhrn e/ Určení charakteristik růřezů: Charakteristiky růřezu rerezentují tvar lochy růřezu Pro ohyb jsou tři základní charakteristiky růřezu dva osové momenty setrvačnosti lochy J z J y (kvadratické) a deviační moment setrvačnosti lochy J zy (kvadratické) Osové momenty setrvačnosti (kvadratické) lochy vyjadřují odolnost vybraného růřezu ři ohybu okolo dané osy Deviační moment (kvadratický) setrvačnosti lochy vyjadřuje symetrii rozložení lochy vybraného růřezu okolo os z a y Deviační moment ři výočtu ohybu musí být nulový J zy =0 Postu ři výočtu momentů setrvačnosti složených loch je uveden v říkladu Cv Př_4 Momenty setrvačnosti lochy obdélníka k osám rocházejícím těžištěm jsou uvedeny v Tab 4 Tab 4 Osový moment setrvačnosti 4 =0 mm lochy k ose z J z 6667 mm =0 mm Osový moment setrvačnosti 4 lochy k ose y J y 667 mm z Deviační moment setrvačnosti 4 J zy 0 mm lochy y f/ Výočet naětí: Obecně je hodnota naětí funkcí olohy f y z V říadě ohybu je možné oužít vzorec uvedený v Tab Naětí je ke každému bodu dáno funkcí y z od je rerezentován krychličkou jejíž rozměry se limitně blíží nule (v rostoru d dy dz v rovině d dy) Hodnoty ohybového momentu v obecném místě nosníku jsou uvedeny v Tab a hodnoty osových momentů setrvačnosti lochy jsou uvedeny v Tab 4 Dosazením získáme obecný vzorec ro hodnotu naětí v obecném místě nosníku: M ( ) y z y y J z J z V našem říadě je najatost nezávislá na ose z Dosazením hodnoty maimálního ohybového momentu a maimální hodnoty y (vylývá z rozměrů růřezu) získáme hodnotu maimálního naětí Poloha maima vylývá z olohy maimálního momentu Kladná hodnota naětí rerezentuje tahovou najatost σ H záorná hodnota naětí tlakovou najatost σ D Výsledek s jednoduchým oisem najatosti je uveden v Tab 5 Tab 5 M Maimální moment je v místě = a má hodnotu M Ma =- M Ma =- y Tah 00 MPa σ H = 00 y=-/ - = y=/ σ D =-00 Tlak 00 MPa Nejvzdálenější body lochy růřezu od těžiště (osy z) mají hodnoty y=-/ a y=/ Nosník má ouze jeden růřez kterému odovídá moment setrvačnosti J Z Maimální naětí v horní části nosníku H : y 00 MPa J z Maimální naětí v dolní části nosníku D : y 00 MPa J z 6/5
PP ouhrn g/ Výočet růhybové čáry osunutí a natočení: Posledním krokem je výočet změny tvaru tělesa Průhybovou čáru vyočteme omocí nalytické metody osunutí a natočení určíme ve vybraném místě (bodu) omocí Castiglianových vět U analytické metody musíme oužívat znaménkovou konvenci Znaménka u základní rovnice můžete odvodit na základě jednoduchého říkladu viz Tab 6 U tohoto jednoduchého říkladu můžeme jednoduše odhadnout směr natočení a osunutí v koncovém bodě (od silou ) Z obrázku v Tab 6 je zřejmé že osuv musí vyjít ve směru zvolené znaménkové konvence kladný a natočení musí vyjít roti směru zvolené znaménkové konvence Dosazením do výsledných rovnic oisujících růhyb a natočení získáme ro natočení ( v ( ) )kladnou hodnotu a ro osunutí ( v ( ) ) záornou hodnotu Z toho lze usoudit že ro výočet natočení a růhybu ro zvolenou znaménkovou konvenci budeme M ( ) oužívat rovnici: v ( ) E J Tab 6 M ( ) M R nalytická metoda: v ( ) E J R X v ( ) C v( ) C C R Y E J 6 E J v( ) Pomocí okrajových odmínek vyřešíme konstanty C C Po dosazení a úravě získáme konstanty C C : Řešení je tedy: v ( ) E J E J v ( ) 0 v ( ) 0 (vetknutí) C E J v( ) 6 E J C E J E J E J Pomocí Castigliánových vět určíme natočení a osunutí ve vybraném bodu V místě kde očítáme osunutí musí ležet síla její směr musí být totožný se směrem očítaného osunutí V místě kde očítáme natočení musí ležet moment jeho směr odovídá směru očítaného natočení Hodnoty momentu a síly které jsou nutné ro výočet nejsou odstatné Proto v říadě že ve zkoumaném místě není žádná síla (moment) zavedeme sílu (moment) omocnou která má nulovou hodnotu likace Castiglianových vět je naznačena v Tab 7 Neboť v bodu není žádný moment řidáme ro výočet natočení do úlohy moment M =0 Nm Tento moment neovlivní výslednou hodnotu ale umožní oužít k výočtu Castiglianovy věty Podobně bychom ostuovali ři výočtu osuvu v místě kde není žádná síla v ožadovaném směru Tab 7 M Castiglianova metoda: R R X M ( ) v M ( ) d E J R Y v ( ) M ( ) M ( ) d E J M ( ) Výočet osunutí y : M ( ) M ( ) 0; 7/5
PP ouhrn R X M R M =0 v E J 0 ( ) ( ) d E J R Y φ Výočet natočení : d E J ( ) ( ) E J 0 M ( ) M M ( ) M 0; Porovnáme-li výsledky řešení u Castiglianovy metody (natočení a osunutí v bodě Tab 7) s výsledky řešení nalytickou metodou (do rovnic dosadíme natočení v ( 0) a osunutí v ( 0) ) dostaneme shodné výsledky Rovnice se liší ouze znaménkem neboť u nalytické metody se znaménka řídí znaménkovou konvencí a u Castiglianovy metody směrem síly (momentu) odle kterého derivujeme Řešené říklady na rocvičení Cv Př_ Dáno: =80 mm =50 mm =00 mm =400 mm = 000 N = 00 N E=00000MPa Urči: (Oak rinci suerozice) Reakce růběhy vnitřních sil naětí osunutí bodu Obr Princi suerozice latí (jednoduché často lineární rovnice) v oblasti latnosti Hookova zákona: ro reakce zatížení vnitřní účinky naětí deformace a osunutí aod Při řešení říkladů z ružnosti a evnosti můžeme často využít rinciu suerozice Eistuje řada (relativně) složitých úloh které můžeme rozložit na několik částí (úloh jednoduchých) ty samostatně vyřešit a výsledky dílčích řešení znovu sečíst Výsledkem ostuu je stejná hodnota (rovnice) jako v říadě římého řešení složité úlohy Princi suerozice obvykle nelatí u velkých deformací lastických deformací (zatížení nad mezí kluzu) creeu (tečení) v únavě aod (složité často nelineární rovnice) V tomto říkladu si řiomeneme výše uvedené vybrané říady alikace suerozice Tyto ostuy mohou být využity ři řešení rostorových tvarově složitých či staticky neurčitých úloh (otrubní sítě) u složených namáhání a telotních úloh a/ Reakce a zatížení: Celou úlohu rozdělíme na dvě z nichž každá bude obsahovat ouze jeden zátěžný stav (sílu) Výsledná reakce je dána součtem dílčích výsledků měry reakcí je vhodné volit stejně Postu a suerozice dílčích řešení je naznačena v Tab 8 8/5
PP ouhrn Tab 8 Celá úloha = Část Část chéma: uvolnění rozdělení R R R Reakce uerozice Kontrola R R 0 R R 0 R R R R R R R R 0 b/ Vnitřní účinky: tejně jako v ředchozím bodu můžeme určit také vnitřní síly Postu s využitím suerozice je ukázán v Tab 9 Tab 9 Celá úloha = Část Část chéma: rozdělení R 00 R -000 R 00 00 Rovnice N( ) N( ) N ( ) N ( ) 0 ( ( ) N ( ) N ( ) uerozice N ) N ( ) N ( ) N N ( ) N ( ) c/ Naětí: Znovu využijeme suerozici známe řešení jednotlivých částí rozložené úlohy Najatost řešíme vždy v bodu ro zobrazení najatosti oužíváme elementární krychli (v rovině obdélník) Kladné znaménko řiřadíme tahovému zatížení Postu je ukázán v Tab 0 9/5
PP ouhrn Tab 0 chéma: rozdělení Celá úloha = Část Část R σ( ) R σ ( ) R σ ( ) σ( ) σ ( ) σ ( ) Rovnice N( ) ( ) ( N( ) ) ( ) ( ) N ( ) N ( ) 0 N ( ) ( ) ( N ( ) ) uerozice ( ) ( ) ( N ( ) N ( ) ( ) ( ) ) ( N ( ) ) N ( ) d/ Deformace a osunutí: I zde využijeme suerozici a to ři řešení deformací u staticky určitých i staticky neurčitých úloh (římých lomených či křivých rutů) kde je větší množství zatížení či vazeb Postu je demonstrován v Tab (šrafovaná část není řešena) Tab Celá úloha = Část Část chéma: rozdělení Δ Δ Δ Δ Rovnice uerozice d d E ( ) E E ( ) E N( ) E E N( ) Z těchto ukázek je zřejmá široká oužitelnost rinciu suerozice v ružnosti a evnosti 0/5
PP ouhrn 4 Řešené říklady na rocvičení Cv Př_ / Obr 4 / Při řešení říkladů z ružnosti a evnosti se často setkáváme s úlohami staticky neurčitými Řešení tohoto tyu úloh má jasný ostu: Uvolnění sestavení rovnic rovnováhy určení stuně statické neurčitosti nalezení odovídajícího očtu deformačních odmínek vyřešení osunů či natočení řešení soustavy rovnic stanovení reakcí vlastní řešení úlohy (naětí deformace atd) Hlavní a nejsložitější částí řešení je nalezení deformačních odmínek Často lze využít rovnice definující chování vazby odobnosti trojúhelníků nebo rozdělení tělesa a/ Uvolnění sestavení rovnic rovnováhy stueň statické neurčitosti: Postu je naznačen v následující Tab Tab Uvolnění / Rovnice rovnováhy 0 0 Dáno: =80 mm =00 mm = 000 Nmm E=00000MPa Urči: (Oak taticky neurčité úlohy) Reakce Získali jsme jednu rovnici rovnováhy a dvě neznámé - reakce Úloha je jednou staticky neurčitá - k řešení otřebujeme ještě jednu rovnici (deformační odmínku) Hledáme jednu rovnici-deformační odmínku b/ Deformační odmínky: K vytvoření deformační odmínky můžeme často využít vazeb mezi tělesy říadně těleso rozdělit na několik částí viz Tab Tab Varianta : V místě je vetknutí které v tomto říadě zachycuje úhel zkroucení Rovnice těchto vazeb můžeme oužít římo jako deformační odmínky / / / Varianta : Rozdělíme-li tyč myšleným řezem v místě momentu ak úhel zkroucení musí být v obou částech stejný (znaménko se řídí dle znaménkové dohody) aby ři oětovném sloučení nedošlo k nesojitosti Deformační odmínky: 0 0 / / Deformační odmínka: /5
PP ouhrn c/ Vyřešení osunů či natočení: V tomto kroku lze s výhodou oužít Castigliánových vět Postu u vybraných deformačních odmínek je naznačen v Tab 4 Tab 4 Varianta: chéma: Varianta : G J G J / / G J G J Hledáme natočení:? Varianta : G J G J Hledáme natočení:?? d/ Řešení soustavy rovnic stanovení reakcí: Nalezené funkce dosadíme zět do deformačních odmínek a úravou (řešením soustavy rovnic) získáme hodnoty reakcí Postu je naznačen v Tab 5 Tab 5 Varianta: Reakce: Varianta : 0 0 G J G J 0 / / Varianta : G J G J 0 5 Řešené říklady na rocvičení Cv Př_4 Mohrova kružnice Dáno: ( ) Obr 5 Urči: hlavní naětí úhel naětí na obecně skloněné rovině /5
PP ouhrn Mohrova kružnice je odvozena z rovnic rovnováhy v řezu elementu a oisuje najatost ve vybraném bodu ostu odvození je naznačen v Tab 6 Tab 6 chéma: Vysvětlení: Rovinu na které jsou naětí a nazveme rovinou Rovinu na které jsou naětí a nazveme rovinou y Dále rovedeme myšlený řez elementární krychle (obdélníku) rovinou viz Obr 6 Mezi rovinou a rovinou je úhel V rovině nám ak vznikne trojúhelník ohraničený rovinami y a Délka strany trojúhelníku v rovině je v rovině y v rovině je Trojúhelník je Obr 6 ravoúhlý Délku elementu v ose z oložíme rovnu Použitá znaménková konvence je naznačena modrou barvou V literatuře lze nalézt i odvození s jinou znaménkovou konvencí Použitá znaménková konvence nemá vliv na srávnost ale je nutné ji vždy uvést Z rovnic rovnováhy ve směru naětí určíme: Z rovnic rovnováhy ve směru naětí určíme: Rovnice uvedené v Tab 6 oisují Mohrovu kružnici V ružnosti a evnosti obvykle ostuujeme z oačné strany sestavíme kružnici a z ní ak můžeme odvodit všechny otřebné rovnice (i rovnice z Tab 6) říadně odměřením určit všechny otřebné hodnoty Každá strana - rovina v elementární krychli tedy síše naětí straně říslušná je v kružnici zobrazena jako bod Při otáčení krychle se naětí osouvají o kružnici ačkoliv jsme ořád ve stejném bodu tělesa Mohrova kružnice tedy oisuje najatost v bodu nezávisle na natočení souřadného systému Na natočení souřadného systému závisí hodnoty normálových a smykových naětí tyto se ři natáčení souřadného systému mění Konkrétní najatost v bodu tedy můžeme osat různými hodnotami naětí odle natočení souřadného systému Mohrovu kružnici můžeme využít ro zjištění jednotlivých naětí v libovolně ootočené rovině Mohrovu kružnice sestrojíme na základě známých normálových a smykových naětí ve vybraném bodu (obvykle maimálně zatíženém) v libovolně natočeném souřadném systému (elementární krychli) Zadání by tedy mělo obsahovat: elementární krychli s říslušnými naětími říadně i znaménkovou konvenci U složitějších úloh i souřadný systém oisující olohu bodu (elementární krychle) vzhledem k nosníku nebo očítanému tělesu Dále musíme znát hodnoty normálových ( ) a smykových ( ) naětí ( - rovinná najatost) V Tab 7 jsou uvedeny některé říklady Nulové jsou obvykle také hodnoty které nejsou v zadání uvedeny trojaři obvykle ovažují tahové namáhání za kladné tedy normálové naětí které zůsobí v elementární krychli tah má kladný směr měr kladného smykového naětí se může v různých ublikacích lišit /5
PP ouhrn Tab 7 chéma: Hodnoty: Platí (zákon sdruženosti smykových naětí) (Vzhledem k tomu že smyková naětí jsou nulová jsou osová naětí také hlavní naětí) (atd) Při konstrukci Mohrovy kružnice vynášíme na osu normálová naětí σ na osy y smyková naětí τ Každá strana elementární krychle (nebo obdélníku ři rovinné najatosti) rerezentuje jeden bod kružnice Při konstrukci Mohrovy kružnice se řídíme znaménkovou konvencí Základní ostu ři sestrojení kružnice je uveden v Tab 8 4/5
PP ouhrn Tab 8 chéma: Postu: Zadání: Vybereme libovolnou stranu krychle (na které jsou naětí) naětí na vybrané rovině straně odovídají bodu v Mohrově kružnici o souřadnicích [ ] Normálové naětí je v kladném směru dle konvence smykové naětí je v záorném směru dle konvence Druhý bod kružnice získáme stejným ostuem z další roviny kolmé k ředchozí Znovu oužijeme znaménkovou konvenci a otočíme jí o v říslušném směru Druhý bod kružnice má souřadnice [ ] 0 Oba body sojíme římkou V růsečíku římky a osy normálových naětí je střed kružnice Kružnice rochází oběma body které rerezentují najatost v elementární krychli Mezi rovinami v elementární krychli je mezi body v Mohrově kružnici je dvojnásobek V Mohrově kružnici budeme tedy měřit vždy dvojnásobky úhlů oroti skutečnosti Tímto jsme zkonstruovali Mohrovu kružnici ro zadanou najatost Z Mohrovy kružnice můžeme snadno odvodit vzorce oisující kružnici analyticky: třed kružnice leží ve středu mezi body : Poloměr kružnice R určíme z ravoúhlého trojúhelníku určeného středem kružnice bodem na kružnici nař [ ] a bodem na ose normálových naětí: Mohrovu kružnici často oužíváme k určení hlavních naětí Hlavní naětí jsou taková normálová naětí jejichž smykové složky jsou nulové Hlavní naětí jsou tři a označují se sodními indey V rovině (rovinná najatost) jsou dvě hlavní naětí třetí hlavní naětí je nulové Pomocí olohy středu a oloměru kružnice určíme hodnoty hlavních naětí analyticky: 5/5
PP ouhrn Úhel mezi zadanou rovinou a rovinou ve které jsou hlavní naětí určíme znovu z ravoúhlého trojúhelníku Pravoúhlý trojúhelník je určen středem kružnice bodem na kružnici nař [ ] a bodem na ose normálových naětí: Úhel určíme z Mohrovy kružnice je to úhel mezi rovinou odovídající zadané najatosti a rovinou ve které leží hlavní naětí Postu v grafické formě je naznačen v Tab 9 Tab 9 chéma: Postu: Zadání: 0 [ ] [ ] Nejrve sestrojíme kružnici viz Tab 8 Hlavní naětí jsou v růsečíku kružnice s osou normálových naětí Po natočení stěny elementární krychle o úhel získáme rovinu na které jsou hlavní naětí Úhel odměříme z kružnice (nebo sočteme omocí výše uvedeného vzorce) Při určení naětí na obecně skloněné rovině ostuujeme odobným zůsobem jako v ředchozím říadu Úkolem je určit naětí na rovině ootočené vůči rovině odovídající zadané najatosti o úhel Úhel je zadán ředem Postu je naznačen v Tab 0 Při oužití výše osané znaménkové konvence směr natočení elementární krychle a bodu v Mohrově kružnici si odovídají V Mohrově kružnici jsou znovu dvojnásobky úhlů oroti skutečnému natočení V ružnosti budeme Mohrovu kružnici nejčastěji využívat ro určení hlavních naětí u hyotéz evnosti Mohrova kružnice se využívá často v eerimentální mechanice (nař v tenzometrii) lomové mechanice (směr šíření trhliny) atd 6/5
PP ouhrn Tab 0 chéma: Postu: [ ] 0 Nejrve sestrojíme kružnici viz Tab 8 Vyjdeme z roviny kterou chceme otočit Rovina je v kružnici určena souřadnicemi [ ] V elementární krychli rovinu otočíme o úhel v Mohrově kružnici o dvojnásobek úhlu V takto natočené rovině budou naětí [ ] která můžeme odměřit z kružnice (nebo oužít vzorce uvedené v Tab 6) 6 Řešené říklady na rocvičení Cv Př_5 b d a [ ] c Obr 6 Dáno: a=5 mm b=0 mm c=5 mm d=5 mm Urči: (Oak Momenty setrvačnosti lochy) Polohu a hodnotu hlavních centrálních momentů setrvačnosti lochy Celý ostu určení hlavních centrálních os a momentů setrvačnosti lochy lze rozdělit do několika bodů: Rozdělíme růřez na elementární lochy (je-li to nutné) určíme jejich těžiště a celkové těžiště růřezu (lochy) Momenty setrvačnosti elementárních loch jsme schoni sočíst římo z definice nař moment setrvačnosti lochy vzhledem k ose : J y d Momenty setrvačnosti loch základních i složených lze nalézt v tabulkách (normované rofily) nebo literatuře Zjistíme tedy osové momenty setrvačnosti a deviačních momenty elementárních loch k jejich těžišti Určíme momenty setrvačnosti složené lochy k osám rocházejícím celkovým těžištěm (teinerova věta) Určíme hlavní centrální momenty setrvačnosti a hlavních centrálních osy setrvačnosti složené lochy ložené lochy rozdělujeme tak aby rozdělené části byly symetrické odle stejných os Pokud to nelze (jako v našem říadě) je ostu delší 7/5
PP ouhrn a/ Rozdělení na elementární lochy určení jejich těžiště a celkového těžiště určení momentů setrvačnosti a deviačních momentů elementárních loch k jejich těžišti: loženou lochu se snažíme rozdělit na minimální očet elementárních loch loženou lochu lze rozdělit na elementární lochy mnoha zůsoby ale všechny zůsoby řešení (rozdělení) dávají jeden ve všech říadech stejný výsledek Momenty setrvačnosti obdélníka jsou v Tab 4 Postu je naznačen v Tab Tab ložená locha Varianta : vybereme Varianta : Varianta : T T - y y Těleso d b Poloha těžiště tělesa v souřadném systému -y: d b T T ; yt ; Momenty setrvačnosti lochy tělesa k osám rocházejícím těžištěm T a rovnoběžným s osami y: d b d b J J y Těleso Poloha těžiště tělesa v souřadném systému -y: y d a-d a d c T T ; yt d; c Momenty setrvačnosti lochy tělesa k osám rocházejícím těžištěm T a d c a d c a rovnoběžným s osami y: J J y Poloha těžiště složeného tělesa v souřadném systému y: T T yt yt T ; T yt ; kde a jsou obsahy těles a b/ Určení momentů setrvačnosti složené lochy k osám rocházejícím těžištěm (teinerova věta): teinerova věta slouží k výočtu hodnot momentů setrvačnosti lochy u osunutých os Postu je naznačen v Tab Těleso y T T T T y T Tab Momenty setrvačnosti lochy tělesa k osám rocházejícím těžištěm celkovým T a rovnoběžným s osami y: J J y y y T J T T y T T T T yt yt T J yt J yt J y 8/5
PP ouhrn y T T y T Těleso T T y T Momenty setrvačnosti lochy tělesa k osám rocházejícím těžištěm celkovým T a rovnoběžným s osami y: J J y y J T T y T T T T yt yt T J yt J yt J y Momenty setrvačnosti lochy složeného tělesa: J J T J T J y J yt J yt J y J yt J yt c/ určení hlavních centrálních momentů setrvačnosti a určení hlavních centrálních os setrvačnosti složené lochy: V říadě že celkový deviační moment setrvačnosti lochy je nulový ak osové momenty setrvačnosti lochy vyočtené v ředchozím bodu jsou hlavní centrální momenty setrvačnosti a osy rocházející celkovým těžištěm jsou hlavní centrální osy setrvačnosti V našem říkladu deviační moment lochy nevyjde nulový V rvním kroku určíme hodnoty hlavních centrálních momentů setrvačnosti loch ve druhém kroku olohu os Při řešení využijeme Mohrovy kružnice Osové momenty setrvačnosti loch jsou vždy větší než nula Postu je naznačen v Tab Tab Z ředchozích kroků výočtu jsme získali hodnoty Mohrova kružnice: centrálních momentů setrvačnosti lochy: J J J y Určíme vzdálenost středu kružnice od očátku a velikost oloměru kružnice: J J O y J J y R J y Hodnoty hlavních centrálních momentů setrvačnosti lochy (J y =0) odovídají růsečíku kružnice a osy osových momentů setrvačnosti lochy: J O R J O R hodnotu úhlu určíme z ravoúhlého trojúhelníka: J y tg J J y y Polohu os určíme na základě jednoduché úvahy Momenty setrvačnosti loch jsou charakteristiky růřezu ro ohyb Mají li dvě různé lochy růřezu stejné hodnoty hlavních centrálních momentů setrvačnosti budou se z hlediska ohybu chovat stejně Maimální a minimální moment setrvačnosti můžeme určit z Mohrovy kružnice úhel φ je mezi J y a J ( J MIN J ) nebo mezi J a J ( J MX J ) Následující Tab 4 ukazuje ostu určení olohy hlavních centrálních os setrvačnosti Místo skutečného tvaru růřezu zvolíme náhradní lochy vhodného tvaru které mají stejné charakteristiky růřezu U této náhradní lochy známe olohu těžiště y i velikost lochy a můžeme využít zjednodušeného vzorce J y t yt a snadno sočíst znaménko říslušné tvaru lochy U vhodně zvolené náhradní lochy takto určíme také olohu (směr natočení) hlavních centrálních os setrvačnosti J y 0 -J y J y J J y φ R t t J J J J y 9/5
PP ouhrn Tab 4 kutečná locha Náhradní locha Náhradní locha Platí: J y y d locha je vždy kladná 0 chematicky: J y y y Vyočteno: t t y - Deviační moment je dán součinem dvou kladných nebo dvou záorných hodnot (souřadnice těžiště) bude vždy kladný Osa vůči které je osový moment setrvačnosti maimální rochází II a IV kvadrantem Deviační moment je dán součinem kladné a záorné hodnoty (souřadnice těžiště) bude vždy záorný Osa vůči které je osový moment setrvačnosti maimální rochází I a III kvadrantem J Platí je-li J 0 Platí je-li J 0 y y - φ J MX J MIN φ J MX - φ y - y φ J MIN 7 Řešené říklady na rocvičení Cv Př_6 ložené namáhání ØD Obr 7 Dáno: =500 mm D=0 mm ( J P ) =000 N =00 Nmm E=00000MPa (G) σ D =50 MPa Urči: Maimální redukované naětí v hřídeli vrtule Ostatní vlivy (nař vlastní tíha) jsou zanedbány Úlohy ve kterých se vyskytuje více než jeden zůsob zatěžování (tah-tlak ohyb krut aod) budeme nazývat úlohy na složené namáhání Tyto úlohy budeme řešit rozložením na základní zatěžovací zůsoby suerozicí Je nutné tedy vždy zvážit zda lze rinciu suerozice oužít Princi suerozice byl vysvětlen na říkladu (str8-0) Princiu suerozice tedy můžeme využít k rozkladu zátěžných stavů (nař sil a momentů) nebo deformací Princiu suerozice nelze oužít v říadech s velkými deformacemi (latí ředoklady oužité ři odvození základních rovnic) či trvalými deformacemi (lastická oblast cree-tečení) (relaace únava) aod Použití suerozice: nař úlohu obsahující osovou sílu (tah-tlak) a krouticí momenty (krut) rozložíme na dvě úlohy tah a krut které samostatně vyřešíme Výsledy řešení nakonec sloučíme do jednoho výsledku (využitím elementární krychle) Postu ři řešení lze rozdělit do následujících kroků: rozdělení úlohy na základní zatěžovací zůsoby a řešení těchto rozdělených úloh sloučení výsledků řešení (elementární krychle) hledání etrémů aod nalezení hlavních naětí (určení směrů hlavních naětí je-li to nutné) Mohrova kružnice alikace vybrané hyotézy evnosti 0/5
PP ouhrn evnostní kontrola návrh rozměrů zatížení atd (vyhodnocení) První čtyři kroky oisují obecný ostu Může se stát že některý z bodů vyadne nebo jej není nutné u dané úlohy uvažovat Poslední krok se týká konkrétní řešené úlohy - úravy či vyjádření z rovnic aod Uvedený ostu se týká výočtu najatosti těles ři výočtu změny tvaru (osunutí natočení rodloužení zkroucení atd) lze ostuovat obdobným zůsobem Jednotlivé kroky jsou vysvětleny a ukázány v následujícím říkladu Další základní říady ro složené namáhání (tah-ohyb ohyb krut atd) jsou řešeny stejným zůsobem (viz cvičení říadně vyzkoušejte) a/ Rozdělení úlohy na základní zatěžovací zůsoby a řešení těchto rozdělených úloh Prvním krokem je rozdělení úlohy Úlohu rozdělíme na dvě části tah-tlak a kroucení U obou dílčích částí sestavíme všechny ožadované rovnice (nebo vyočteme hodnoty) Postu je naznačen v Tab 5 Tab 5 Celá úloha Část Část chéma: Část - kroucení φ Část tah-tlak Δl Vnitřní účinky: Naětí v řezu: ( ) N( ) ( ) ( ) r r J J Maimální naětí: D (etrém) MX J Elementární krychle v místě etrému: N( ) ( ) MX b/ loučení výsledků řešení (elementární krychle) hledání etrémů Vycházíme z najatosti v bodě (elementární krychle viz Tab ) Odovídající naětí sečteme a vyhodnotíme etrémy U složeného namáhání je často nutné vyhodnocovat více bodů ve kterých se vyskytují etrémy Postu je naznačen v Tab 6 Tab 6 Maimální smykové naětí MX je kdekoliv na ovrchu hřídele (Krut) Maimální normálové naětí MX je kdekoliv v hřídeli (Tah) c/ Nalezení hlavních naětí (určení směrů hlavních naětí je-li to nutné) Mohrova kružnice Tento bod závisí také na zvolené hyotéze evnosti (viz následující krok) Nejrve sestrojíme Mohrovu kružnici ro výslednou najatost Z výsledné kružnice ak určíme hodnoty hlavních naětí (ro kontrolu graficky i očetně) Postu je naznačen v Tab 7 /5
PP ouhrn Tab 7 Graficky Početně τ τ σ τ R σ 0 σ σ σ -τ 0 R R 0 R 0 d/ likace vybrané hyotézy evnosti: Dle zvolené hyotézy evnosti sočteme redukované naětí Rovnice ro výočet redukovaného naětí u tří vybraných hyotéz jsou uvedeny v Tab 8 Rankinova hyotéza redukované naětí odovídá maimálnímu hlavnímu naětí (v absolutní hodnotě) Rankinovu hyotézu oužíváme jsou-li všechny hlavní naětí větší (nebo rovny) než nula nebo menší (nebo rovny) než nula V našem říadě bychom neměli oužít Rankinovu hyotézu neboť jedno hlavní naětí je větší než nula a druhé je menší než nula viz Mohrovu kružnici Guestova hyotéza redukované smykové naětí odovídá maimálnímu smykovému naětí (v tomto říadě vždy musíme uvažovat rostorovou najatost hlavní naětí tři kružnice a oloměr největší kružnice odovídá maimálnímu smykovému naětí) Redukované naětí ak odovídá růměru největší kružnice Guestovu kružnici oužíváme okud je jedno hlavní naětí kladné a druhé záorné (třetí rovno nule nebo mezi rvním a druhým) hlavní naětí se liší ve znaménku HMH hyotéza je energetická (změna tvaru) hyotéza Používá se ro tvárné materiály Tab 8 Hyotéza ( ) Redukované naětí Rankin (ro 0 0 nebo 0 0) red Guest (ro 0 0 nebo 0 0) red HMH red e/ Pevnostní kontrola návrh rozměrů zatížení atd (vyhodnocení) V tomto kroku orovnáme výsledné redukované naětí s naětím dovoleným Z výsledné nerovnice ak zjistíme zda kontrolovaná konstrukce vyhoví ožadavkům na ni kladeným (což v tomto říadě rerezentuje dovolené naětí) říadně navrhneme rozměry či zatížení (o dosazení všech říslušných rovnic) Jednotlivé varianty jsou naznačeny v Tab 9 Tab 9 Cíl výočtu Pevnostní kontrola Platí li D red - konstrukce vyhoví Návrh růměru hřídele Návrh osové síly Návrh krouticího momentu D red D red D red d /5
PP ouhrn 8 Řešené říklady na rocvičení Cv Př_7 - Klika ØD a Obr 8 a/ Rozdělení úlohy na základní zatěžovací zůsoby a řešení těchto rozdělených úloh íla zůsobí v jedné části kliky ouze ohyb ve druhé části zůsobí ohyb a krut V Tab 0 je ukázán zůsob rozdělení na jednotlivé úseky a dále na základní zůsoby zatěžování Tab 0 Celé těleso = Část (ohyb) Část (ohyb krut) a M R Dáno: =50 mm =00 mm D=0 mm (J J P ) a=5 mm =000 N E=00000 MPa (G=80000 MPa) σ D =50 MPa Urči: Maimální redukované naětí (HMH) Ostatní vlivy (nař vlastní tíha) jsou zanedbány R M R R Část Část M R R M R R Ohyb: / Řez: M( ) 0 - /Etrém: Mma M( ) 4 M ( ) a / Najatost: ( ) y y J J J a -/ Etrém: ma J / Reakce: M R R Ohyb: R / M( ) 0 -/ Mma M( ) M R 4 M ( ) D / ( ) y y J J J 64 D -/ ma J Krut: / ( ) M R 0 -/ ma ( ) M R M ( ) M R / ( ) r r J J -/ ma P M J P R D P J P 4 D /5
PP ouhrn b/ loučení výsledků řešení (elementární krychle) hledání etrémů Vycházíme z najatosti v bodě Odovídající naětí sečteme a vyhodnotíme etrémy vždy samostatně v části a části V části se vyskytuje ouze jednoosá najatost a ouze ohyb body c/ a d/ můžeme shrnout do rovnice red ma Pro část je ostu naznačen v Tab (ostu je rakticky shodný s ředchozím říkladem) Tab Maimální smykové naětí MX je kdekoliv na ovrchu hřídele (Krut) Maimální normálové naětí MX je v a/ horní (o dosazení znamének Tah) a ve sodní (o dosazení znamének Tlak) části hřídele b/ c/ Nalezení hlavních naětí (určení směrů hlavních naětí je-li to nutné) Mohrova kružnice Tento bod závisí také na zvolené hyotéze evnosti (viz následující krok) Pro část tento bod nemá smysl (jednoosá najatost) ro část ostu odovídá ředchozímu říkladu d/ likace vybrané hyotézy evnosti: Dle zvolené hyotézy evnosti sočteme redukované naětí Rovnice ro výočet redukovaného naětí u tří vybraných hyotéz jsou uvedeny v Tab (ostu je rakticky shodný s ředchozím říkladem) Tab Hyotéza ( ) Redukované naětí Rankin (ro 0 0 nebo 0 0) red Guest (ro 0 0 nebo 0 0) red HMH red e/ Pevnostní kontrola návrh rozměrů zatížení atd (vyhodnocení) V tomto kroku orovnáme výsledné redukované naětí s naětím dovoleným Z výsledné nerovnice ak zjistíme zda kontrolovaná konstrukce vyhoví ožadavkům na ni kladeným (což v tomto říadě rerezentuje dovolené naětí) říadně navrhneme rozměry či zatížení (o dosazení všech říslušných rovnic) Jednotlivé varianty jsou naznačeny v Tab (ostu je znovu shodný s ředchozím říkladem) Tab Cíl výočtu Pevnostní kontrola Platí li D red - konstrukce vyhoví Návrh růměru hřídele Návrh osové síly Návrh krouticího momentu D red D red D red d 9 iteratura Odvození a říklady na rocvičení lze nalézt ve většině skrit či učebnic ružnosti a evnosti statiky atd Naříklad: [] enert J Pružnost a evnost VŠ-TU Ostrava 4/5
PP ouhrn [] Krčál O bírka říkladů z ružnosti a evnosti VŠ-TU Ostrava [] Krčál O dámková bírka říkladů z ružnosti a evnosti VŠ-TU Ostrava [4] Trebuňa Jurica Šimčák Pružnosť a evnosť I II [5] Šmiřák Pružnost a lasticita I [6] Miroljubov I N a kol Řešení úloh z ružnosti a evnosti NT 976 [7] Pěšina E Reif P Valenta bírka říkladů z ružnosti a evnosti NT 964 [8] Juliš Teřík lavík tatika NT 987 [9] Ondrouch Šnuárková Příručka statiky s říklady 986 [0] Horyl tatika a dynamika 988 [] Medvec tradiot J Záhorec O Caban Mechanika III - Dynamika TU v ratislave 996 5/5