Katedra obecné elektrotechnky Fakulta elektrotechnky a nformatky, VŠB - T Ostrava 3. EEKTKÉ OBVODY STŘÍDAVÉHO POD rčeno pro posluchače všech bakalářských studjních programů FS 3.. Úvod 3.. Základní pojmy z teore střídavého proudu 3.3. Symbolcko - komplexní metoda, fázory 3.4. Výkon střídavého proudu 3.5. Pasvní dvojpóly v obvodu střídavého proudu 3.6. Sérové a paralelní řazení pasvních prvků 3.7. ezonance 3.8. Kompenzace účníku 3.9. Neharmoncké průběhy ng. Václav Kolář Prosnec 998 (říjen 3) pravl: ng. Vítězslav Stýskala, Ph.D. - září 5
3. Úvod Doposud jsme se zabýval konstantním obvodovým velčnam, tedy velčnam na čase nezávslým. Ovšem kromě těchto velčn se lze velm často v prax setkat s velčnam, které se s časem mění. Těmto velčnám říkáme velčny střídavé a obvody, kde se tyto velčny vyskytují se označují jako obvody střídavé. 3. Základní pojmy z teore střídavého proudu Výklad základních pojmů, který v této část bude proveden pro střídavý proud se vztahuje na jakoukolv střídavou velčnu (tedy např. na napětí). Střídavý elektrcký proud se může měnt v elektrckém obvodu v pravdelných nebo nepravdelných časových ntervalech v rytmu změn polarty napájecího zdroje. Důležté jsou zejména perodcké střídavé proudy harmonckého (snusového) průběhu, kterým se budeme dále zabývat. Jejch časový průběh se opakuje v pravdelných ntervalech - perodách (cyklech, kmtech) - obr.3.. Délka perody se nazývá doba kmtu T, její velkost je dána kmtočtem sítě f (rovnce 3.). T = (s; Hz s - ) (3.) f Jednotkou kmtočtu je hertz (Hz), který má rozměr (s - ). Jedna peroda proudu se také nazývá vlna střídavého proudu. Pro perodcký proud platí vztah 3.. (t) = (t + T) = (t + k T ) (3.) Kde (t) = je okamžtá hodnota střídavého proudu, značí se vždy a u ostatních velčn, malým písmenem. Nejvyšší okamžtá hodnota, které proud (a ostatní velčny) dosahuje se nazývá maxmální nebo vrcholová hodnota - ampltuda, značí se velkým písmenem s ndexem m, nebo někdy max, např. m, max. Pro okamžtou hodnotu snusového proudu platí vztah 3.3. Velčna ω je nazývána úhlovým kmtočtem (frekvencí), platí pro n vztah 3.4. Obecně ale harmoncký průběh nemusí začínat vždy z nulové hodnoty. Je to dáno volbou počátku časové osy, která může být zcela lbovolná. Průběh má potom počáteční fázový úhel α, který může být jak kladný tak záporný. Zjednodušeně řečeno, harmoncký průběh je jakákol posunutá snusovka, a snusové průběhy jsou podmnožnou harmonckých průběhů (začínajích z nuly). Pro harmoncký proud s počátečním fázovým úhlem ψ, platí vztah 3.5 a jeho průběh je zobrazen na obr. 3.. (t) = m. sn(ωt) (3.3) π ω = π f = (3.4) T (t) = m sn(ω t + ψ) (3.5)
m ωt ω.t π/ π π Obr. 3. Střídavý proud snusového průběhu dle vztahu 3.3 ψ ω t m ψ +ω t ωt Obr. 3. Harmoncký proud s počátečním úhlem ψ dle vztahu 3.5. Dva harmoncké průběhy téhož kmtočtu,mohou být vůč sobě vzájemně posunuty o úhel ϕ, kterému říkáme fázový posuv. Přtom může jít o stejné, nebo různé velčny, například o proud a napětí. Pro fázový posuv platí vztah 3.6 a tato stuace je pak znázorněna na obr. 3.3. ϕ = ψ - ψ (3.6) Pokud se druhý průběh před prvním předbíhá, je úhel ϕ kladný, pokud se zpožďuje, je záporný. Pozor, v prax je často velm důležté dbát na znaménko fázového posuvu. Poněkud zvláštní význam má stuace, kdy například dva proudy mají nulový fázový posuv, říkáme, že jsou ve fáz a jestlže mají posuv π, říkáme, že jsou v protfáz. 3
ωt ψ ψ ϕ = ψ - ψ Obr. 3.3 Dva harmoncké proudy posunuté o úhel ϕ Mez základní pojmy ve střídavých obvodech patří střední hodnota a efektvní hodnota střídavého proudu. Střední hodnota odpovídá velkost stejnosměrného proudu, který přenese za jednotku času stejný náboj, jako daný střídavý proud. Je to vlastně výška obdélníku o stejné ploše, jako je plocha mez průběhem proudu a nulovou osou, jak je uvedeno na obrázku 3.4. Pro harmoncký proud j počítáme pro jednu půlperodu, protože obě půlperody jsou stejné, ale s opačným znaménkem a za celou perodu by byla střední hodnota nulová. (Pro jné průběhy kde není střední hodnota za celou perodu nulová, j počítáme za celou perodu a udává nám vlastně stejnosměrnou složku velčny.) Střední hodnota se obvykle značí velkým písmenem s ndexem av (average), např. av. Pro střední hodnotu harmonckého průběhu platí vztah 3.7. av T / = t dt = T ( ) π m (3.7) S =S (t) S T/ S π av m ωt Obr. 3.4 Střední hodnota střídavého proudu. Efektvní hodnota střídavého proudu charakterzuje výkon proudu. Značí se velkým písmenem bez ndexu, např., a je to nejběžněj udávaná hodnota (např. hodnota napětí v naší sít 3 V je právě efektvní hodnota tohoto napětí). ovněž většna běžných měřcích přístrojů měří (zobrazuje) efektvní hodnoty střídavého napětí, nebo proudů. Efektvní hodnota je velkost stejnosměrného proudu, který by př průchodu rezstorem vykonal za jednotku času stejnou prác, jako daný střídavý proud. Př odvození efektvní hodnoty se vychází z dříve uvedeného vztahu. p(t) = (t). Položíme-l do rovnost prác stejnosměrného proudu a střídavého proudu = (t) za jednu perodu, (za prác W dosazujeme ntegrál z výkonu) dostaneme vztah: T d t = T dt 4
jako řešením pro efektvní hodnotu je vztah 3.8. T = T d t (3.8) Jestlže za dosadíme rovnc harmonckého proudu vyjde nám jako výsledek vztah 3.9. = m (3.9) Poměr m / se nazývá vrcholový čntel k v, pro harmoncké průběhy má hodnotu právě. 3.3 Symbolcko - komplexní metoda, fázory Proto, abychom mohl matematcky řešt střídavé obvody, je výhodné vyjadřovat obvodové velčny, tedy proudy a napětí pomocí fázorů. Příklad uvedeme opět pro proud. Fázor je otáčející se úsečka (na pohled přpomíná vektor), umístěná do počátku kartézského souřadncového systému (nebo např. do komplexní Gaussovy rovny, vz. dále). Jeho velkost je rovna maxmální hodnotě proudu a otáčí se prot směru otáčení hodnových ručček úhlovou rychlostí ω, která je totožná s úhlovou rychlostí proudu. Přtom v čase nula je fázor pootočen o počáteční fázový úhel ψ. Průmět koncového bodu fázoru do svslé osy nám potom v každém okamžku udává okamžtou hodnotu proudu, jak ukazuje obrázek 3.5. Jedna vlna proudu vznkne otočením fázoru kolem dokola o π radánů (36 ). (Snusovka vlastně vznká časovým rozvojem otáčvého pohybu - vz. základy matematky). Takovýto otáčející se fázor označujeme podtrženým malým písmenem, např.. y ψ +ω t ω ω t ψ () (t) m m x ψ ω t ω t ψ +ω t Obr. 3.5 Konstrukce časového průběhu proudu pomocí fázoru Př kladném úhlu ψ je fázor na počátku otočen v kladném směru otáčení, př záporném ψ naopak. Otáčení fázoru ale uvažujeme pouze tehdy, hledáme-l okamžtou hodnotu velčny. Jnak vystačíme s fázory zastaveným v jejch počáteční poloze, protože harmoncká velčna je jednoznačně dána svou ampltudou a počátečním úhlem. Takovýto zastavený fázor už není funkcí času, proto ho značíme velkým písmenem! Př výpočtech většnou pracujeme s fázory, jejchž délka odpovídá efektvní hodnotě velčny (nkol maxmální) - je to praktčtější. Když s takovýto fázor nepoložíme do kartézských souřadnc, ale do Gaussovy komplexní rovny, představuje nám koncový bod fázoru komplexní číslo. Fázor je reprezentován komplexním číslem a tak s ním budeme také pracovat. To nám umožní provádět s ním poměrně snadno veškeré potřebné matematcké operace. 5
Způsobů označení fázoru, se kterým se můžete setkat v lteratuře je několk, buďto tučně, &, ),. My se přdržíme označení s podtržením. Dále exstuje několk způsobů jak fázor zapsat: Složkový tvar, známý z matematky = x + jy, kde x je reálná složka fázoru e{ }, y je magnární složka fázoru m{ } a j = je magnární jednotka. (V elektrotechnce používáme pro označení magnární jednotky j namísto v matematce obvyklého, které by se pletlo s okamžtou hodnotou proudu). Konkrétní příklad fázoru je na obr. 3.6 a jeho záps ve složkovém tvaru by byl = (43) A. (Komplexní číslo píšeme do závorky, protože jednotka patří k oběma jeho složkám.) Verzorový tvar, používá převážně v elektrotechnce, = ψ, kde je efektvní hodnota proudu a ψ je počáteční fázový Obr. 3.8 Příklad fázoru v úhel ve stupních, případně v radánech. Fázor z obrázku 3.6 by se komplexní Gaussově rovně v tomto případě zapsal = 5 A 36,9. (Jednotka se píše hned za absolutní hodnotu proudu (velčny), protože fázový úhel ψ už nemá rozměr proudu.) Třetím tvarem je exponencální (Eulerův) tvar, známý též z matematky =Ι. e jψ, kde e je základ přrozených logartmů. V exponencálním tvaru bychom měl zapsovat úhel v radánech, nkol ve stupních. Dále s zopakujeme základní matematcké operace s komplexním čísly. Tato látka by jž měla být studentům známá z matematky, proto se o ní zmíníme co nejstručněj. Př výpočtech budeme používat pouze složkový a verzorový tvar komplexních čísel. V prncpu všechny potřebné matematcké operace (sčítání, odčítání, násobení, dělení a vytvoření komplexně sdruženého čísla) lze provádět ve složkovém tvaru, ale někdy je výhodnější používat tvar verzorový. Proto s objasníme převod mez těmto tvary. Ze složkového tvaru na verzorový. = x + jy = ψ, kde absolutní hodnota proudu a počáteční fázový úhel ψ se spočítají podle vztahů 3.. = x + y y (3.) ψ = arctg x Pozor! jestlže je reálná složka fázoru x záporná, je nutné k výslednému úhlu přčíst 8, jestlže je reálná složka nulová, vztah sce nedokážeme vyčíslt, ale lmtním řešením bychom dostal ψ = +9 (y >) nebo - 9 (y <). Z verzorového tvaru na složkový. = ψ = x + jy. Složky x a y vypočítáme podle vztahů 3.. x = cos (ψ) y = sn (ψ) (3.) Nyní už k samotným matematckým operacím. Sčítání a odčítání. K těmto operacím používáme složkový tvar komplexního čísla, provádí se to tak, že sčítáme (odečítáme) zvlášť reálnou a zvlášť magnární složku. Například součet dvou proudů, které jsou: = x + j y ; = x + j y 3 = + = (x + x ) + j(y + y ) Násobení se provádí ve verzorovém tvaru, a to tak, že absolutní hodnoty dvou fázorů se vynásobí, a jejch fázové úhly se sečtou. Vynásobení předchozích fázorů by vypadalo: 6 m 3j j - -j 5 3 4 e ψ =36,9
= ψ ; = ψ. =. (ψ +ψ ) Dělení (podíl) se provádí opět ve verzorovém tvaru. Absolutní hodnoty fázorů se vydělí a fázové úhly se odečtou. Úhel děltele (jmenovatele) od úhlu dělence (čtatele). = ( ψ ψ ) Komplexně sdružené číslo k danému komplexnímu číslu, je číslo, u něhož je ve složkovém tvaru změněno znaménko u magnární část, nebo ve verzorovém tvaru znaménko u fázového úhlu. Komplexně sdružené číslo se značí ndexem *, např. * = x - jy = ψ Pomocí těchto operací můžeme provádět všechny základní výpočty používané př řešení střídavých obvodů analogcky, jako u stejnosměrných s tím rozdílem, že všechny velčny ( výsledky operací) budou fázory (komplexní čísla)! Protože nejběžnější hodnotou střídavých velčn, se kterou pracujeme, není maxmální hodnota, ale efektvní, v prax můžeme uvádět fázory v efektvních hodnotách. (Takový fázor už ale není možné použít k zjštění okamžté hodnoty velčny, musel bychom výsledek vynásobt vrcholovým čntelem )!!! Pozn: 7
3.4 Výkon střídavého proudu Střídavý proud mění perodcky svůj směr a velkost, podobně jako napětí. Proto se bude v čase perodcky měnt výkon v obvodě. Pro okamžtou hodnotu výkonu platí vztah.9., pro přpomenutí: p(t) = u(t) (t). - π - π ω t Grafcký průběh výkonu na obecné zátěž, kde napětí a proud mají vzájemný fázový posun ϕ je na obrázku 3.9. ϕ Jak je vdět, okamžtý výkon má také harmoncký průběh, ale s dvojnásobnou Obr. 3.9 Napětí, proud a výkon na obecné zátěž frekvencí než průběhy napětí a proudu. Kmtá kolem určté střední hodnoty lšící se od. To že výkon má v určtých okamžcích záporné znaménko, znamená, že v této chvíl zátěž vrací energ zpátky do zdroje. Dosadíme-l s do vztahu.9 za napětí a proud harmoncké průběhy, dostaneme vztah 3.. p ( t) = sn( ω t) sn( ω t + φ) = cosφ cos (ω t + φ) (3.) Abychom mohl výkon popsat konstantní hodnotou a ne časovým průběhem, zavádíme (podobně jako jsme pro proud a napětí zavedl efektvní hodnoty) tř druhy výkonu, čnný, jalový, a zdánlvý, které jž nejsou funkcem času. 3.4. Čnný výkon Je to střední hodnota z průběhu výkonu. Tento výkon se ve spotřebč přeměňuje na jný druh energe, koná užtečnou prác, odtud název čnný. Čnný výkon se označuje písmenem P a jeho jednotkou je watt (W). Vyjádříme-l s ze vztahu 3. střední hodnotu výkonu, dostaneme pro čnný výkon vztah: P = cos ϕ (3.3) Kde velčnu cos ϕ nazýváme účník a jde v elektrotechnce o poměrně důležtou velčnu. 3.4. Jalový výkon Z obrázku 3.9 je vdět, že část výkonu se v určtých okamžcích vrací do zdroje, tomuto výkonu přelévajícímu se mez zdrojem a spotřebčem říkáme jalový výkon. Označuje se Q, jné možné označení podle normy je P q a jeho jednotkou je var (ze slov voltampér reaktanční, protože jalový výkon se realzuje na reaktanc). Platí pro něj vztah: Q = sn ϕ (3.4) Tento výkon nekoná žádnou užtečnou prác, ale je nutný pro funkc spotřebčů (k vytvoření elektrckého nebo elektromagnetckého pole). 3.4.3 Zdánlvý výkon u Z,u,p Zdánlvý výkon určtým způsobem shrnuje čnný a jalový výkon. Značíme ho S jné možné označení je P S a jeho jednotkou je voltampér (V A). Pro zdánlvý výkon platí: S = (3.5) Tento výkon nám udává zatížení elektrckých zdrojů, např. transformátorů, bývá uveden na jejch výkonových štítcích. u + p + P 8
Dále s můžeme zavést ještě jeden pojem komplexní zdánlvý výkon, který vypočítáme ze vztahu: S = * = P + jq (3.6) Kde * je komplexně sdružená hodnota proudu. Jednotkou komplexního zdánlvého výkonu je opět voltampér (V A). Jak je vdět, z komplexního zdánlvého výkonu S můžeme potom rozdělením na reálnou a magnární část získat hodnoty čnného jalového výkonu. Čnný, jalový (nejsou fázory) a zdánlvý výkon tvoří strany pravoúhlého trojúhelník, přčemž čnný a jalový mají vzájemný fázový posun π/ a zdánlvý je jejch součtem. Tuto stuac znázorňuje fázorový dagram na obr. 3.. Pomůcky pro zapamatování: jq S ϕ P S Obr. 3. Fázorový dagram výkonů + nebo čnný jalový zdánlvý Q (+) jalový výkon (ndukční) do spotřebče P (-) čnný výkon do generátoru P (+) čnný výkon do spotřebče Kvadrant P Q φ. + + φ 9. - + 9 <φ 8. - - <φ -9 V. + - -9 <φ -8 Q (-) jalový výkon (kapactní) do spotřebče 9
3.5 Pasvní dvojpóly v obvodu střídavého proudu V této kaptole se budeme zabývat chováním deálních pasvních prvků (rezstoru, nduktoru a kapactoru) v obvodech harmonckého proudu. Pokud bychom chtěl uvažovat reálné prvky, musel bychom je nahradt takovouto kombnací několka deálních prvků (vz. kaptola 3.6). 3.5. ezstor Mez okamžtou hodnotou proudu a napětí na rezstoru platí vztah.8 u = (Ohmův zákon pro okamžté hodnoty). Znamená to, že velkost proudu je v každém okamžku přímo úměrná velkost napětí. Proto platí Ohmův zákon pro efektvní hodnoty proudu a napětí a také pro fázory proudu a napětí na rezstoru. Mez napětím a proudem není žádný fázový posuv, ϕ =, cos(ϕ) =, sn(ϕ) =, jak je také vdět na obrázku 3.. Proto ze vztahu 3.3 plyne, že čnný výkon na rezstoru je dán: P = = = (3.9) Kde a jsou efektvní hodnoty. Ze vztahu 3.4 je jasné, že se na rezstoru nerealzuje žádný jalový výkon, jen čnný. 3.5. nduktor = / (3.7) = / (3.8) u Pro okamžté hodnoty napětí a proudu na nduktoru platí vztah., když za proud dosadíme vztah pro harmoncký proud 3.5, vyjde nám pro napětí vztah 3.: u,,p + Obr. 3. Časový průběh napětí, proudu a výkonu na rezstoru a fázorový dagram p u π ω t d u = = dt d t m sn( ω + ψ ) dt = m ω cos( ω t + ψ ) = m X sn( ω t + ψ + π ) (3.) Kde X l je takzvaná ndukční reaktance, její jednotkou je Ohm (Ω) a je to konstanta úměrnost mez velkostí napětí a proudu na cívce. Převrácená hodnota reaktance se nazývá (ndukční) susceptance B = /X. X = ω (3.) Ze vztahu 3. je vdět, že napětí se předbíhá před proudem o π/ (9 ), ϕ = π/. Napíšeme-l Ohmův zákon pro nduktor v komplexním tvaru, vyjde nám: u,,p ϕ = π/ u + Obr. 3. Časový průběh napětí, proudu a výkonu na nduktoru a fázorový dagram u p π ω t = jx (3.) = j X Obdobně platí Ohmův zákon pro absolutní hodnoty proudu a napětí: = X (3.3)
Z tohoto vztahu lze samozřejmě vyjádřt proud a nduktvní reaktanc. Protože mez napětím a proudem na nduktoru je fázový posun ϕ = π/, realzuje se na nduktoru pouze jalový výkon. Jalovému výkonu na nduktoru přsuzujeme kladné znaménko (u kapactoru tomu bude naopak). Průběhy napětí a proudu na nduktoru a jejch fázorový dagram jsou na obr. 3.. Stručně řečeno, nduktor se chová vůč proudu jako setrvačný - akumulační člen, (akumuluje energ v podobě proudu), proto se průběh proudu opožďuje za průběhem napětí. 3.5.3 Kapactor Mez napětím a proudem na kapactoru platí vztah.5, když s z tohoto vztahu vyjádříme a dosadíme harmoncký průběh proudu, vyjde nám pro napětí řešení: m m u = d sn( )d [ cos( )] sn( π t = m ω t + ψ t = ω t + ψ = ω t + ψ ) (3.4) ω B Kde B je kapactní susceptance, jednotkou je semens [S], ale častěj se používá převrácená hodnota susceptance - kapactní reaktance X, její jednotkou je ohm (Ω). X = = (3.5) B ω Mez napětím a proudem je opět fázový posuv π/, ale v opačném směru než u nduktoru, napětí se zpožďuje za proudem, ϕ = π/. Časový průběh a fázorový dagram napětí a proudu na nduktoru nám ukazuje obrázek 3.3. Podobně jako u nduktoru můžeme pro kapactor napsat Ohmův zákon jak v komplexním tvaru pro fázory, tak pro absolutní hodnoty proudu a napětí: u,,p u = - jx (3.6) p = = X π Analogcky s nduktorem se také na kapactoru realzuje pouze jalový výkon, kterému ovšem přsuzujeme tentokrát záporné znaménko. To znamená, že jalový výkony kapactoru a nduktoru se mohou vzájemně odečítat. Toho se ve skutečnost také využívá (kompenzace účníku). u + ω t ϕ = -π/ Obr. 3. 3 Časový průběh napětí, proudu a výkonu na kapactoru a fázorový dagram 3.6 Sérové a paralelní řazení pasvních prvků V předchozí kaptole jsme s odvodl, jaké jsou vztahy mez napětím a proudem na deálních prvcích. V prax se ale v elektrckých obvodech setkáváme s různým sérovým a paralelním kombnacem těchto prvků a s reálným prvky. Tyto reálné prvky také nahrazujeme sérovou č paralelní kombnací několka deálních prvků.
Abychom mohl vyřešt poměr mez napětím a proudem u lbovolného obvodu, zavedeme s pojem mpedance a admtance. mpedance je poměr mez napětím a proudem, je to určtá analoge odporu, zahrnuje v sobě jak odpory, tak reaktance X. Protože napětí proud máme vyjádřeny jako komplexní číslo, musí být mpedance komplexním číslem. když mpedance z fyzkální podstaty není fázor (neotáčí se v čase), značíme j stejně jako fázory! Označení mpedance je Z, jednotkou je ohm (Ω). Někdy používáme pouze absolutní hodnotu mpedance, která se značí prostě Z, nebo Z. Převrácenou hodnotou mpedance je admtance, je to opět určtá analoge vodvost, označuje se Y a její jednotkou je semens [S]. Absolutní hodnota admtance se značí Y. 3.6. Y = (3.7) Z 3.6. Sérové řazení prvků Př sérovém řazení prvků prochází všem prvky stejný proud, a celkové napětí je rovno součtu napětí na jednotlvých prvcích. Na obrázku 3.4 máme sérové řazení rezstoru, kapactoru a ndukčnost. Fázorový dagram znázorňuje napětí a proudy v obvodě a pomocí grafckého součtu řeší výsledné napětí v obvodě. + ϕ + Napětí na jednotlvých prvcích budou: = ; = jx ; = - jx Výsledné napětí potom bude: = + jx - jx = = ( + j(x - X )) Obr. 3.4 Sérové řazení prvků,, a jejch fázorový dagram Jestlže je mpedance poměr napětí ku proudu, tak pro mpedanc sérového řazení,, potom platí vztah 3.8: Z = + j(x - X ) (3.8) Velkost - hodnota mpedance se určí: Z ( X X ) = Z = + (3.9) Kdyby v zapojení některý z prvků chyběl, tak by se ve vztahu pro mpedanc příslušný člen neobjevl. Kdyby byl v zapojení některý prvek vícekrát, ke každému prvku by příslušel jeden člen ve vztahu pro mpedanc.
3.6. 3.6.3 Paralelní řazení prvků Př paralelním spojení několka prvků je na všech stejné napětí, a výsledný proud je dán součtem dílčích proudů. V tomto případě bude výhodnější, vypočítáme l výslednou admtanc obvodu, a mpedanc pak získáme jako její převrácenou hodnotu. Na obrázku 3.5 máme paralelní kombnac,, a příslušný fázorový dagram. Jednotlvé dílčí proudy budou: = ; = ; = jx - jx Pro celkový proud tedy platí: + ϕ + = + + = jx - jx = + j X X Obr. 3.5 Paralelní řazení prvků,, a jejch fázorový dagram Z tohoto výrazu s můžeme vyjádřt admtanc paralelního obvodu jako: Y = + j X X = G + j( B B ) (3. 3) Kde G je vodvost rezstoru a B a B jsou susceptance nduktoru a kapactoru. 3.6.3 Sérově paralelní řazení prvků Máme-l v obvodě složtější séro - paralelní řazení prvků, postupujeme metodou postupného zjednodušování, analogcky jako u stejnosměrných obvodů (kaptola.3.), s tím rozdílem, že všechny velčny jsou fázory (komplexní čísla). Platí vztahy pro transfgurac hvězda - trojúhelník (.5 a.6), ovšem místo odporů musíme uvažovat mpedance a opět počítat v komplexním oboru. Jestlže máme v obvodě více zdrojů, můžeme použít metodu Krchoffových rovnc (kaptola.3.), nebo metodu smyčkových proudů (kaptola.3.3). Pro řešení těmto metodam musí mít všechny zdroje v obvodě stejnou frekvenc. Př řešení složtějších obvodů máme často za úkol slovně popsat výsledný charakter obvodu (zátěže) vůč zdroj. Tento charakter vychází z fázového posunu mez celkovým proudem a napětím. Přčemž jak jsme dříve uvedl, úhel se počítá od napětí k proudu. harakter obvodu také určuje znaménko jalového výkonu dodávaného do obvodu. Spokojíme-l se s hrubším odhadem, postačí nám tř typy charakterů odporový (ϕ = ), nduktvní (ϕ > ) a kapactní (ϕ < ). hceme-l být ale zcela přesní, musíme rozeznávat 5 druhů charakterů zátěže: Odporový - jestlže ϕ =, Q =. Tento stav může nastat ve dvou případech. Buďto když máme v obvodě pouze odpory, nebo když dojde ke vzájemnému vyrušení kapactních a nduktvních reaktancí. Tento stav nazýváme rezonance a je obsahem další kaptoly. Odporově nduktvní - jestlže < ϕ < π/, Q >. Obvod se chová jako spojení rezstoru a nduktoru (např. reálná cívka). 3
nduktvní ϕ = π/, Q >. Tento stav nastane, máme-l v obvodě deální nduktor, eventuelně deální kapactor, přčemž nduktvní složka převažuje. Odporově kapactní, jestlže -π/ < ϕ <, Q <. Obvod se navenek chová jako spojení rezstoru a kapactoru (např. reálný kondenzátor). Kapactní charakter - jestlže ϕ = -π/, Q <. Tento případ nastane, máme-l v obvodě deální kapactor. Může tam být spolu s ním deální nduktor, ale kapactní složka musí převažovat. Fázorové dagramy jednotlvých případů znázorňuje obrázek 3.6. ϕ = odporový charakter + ϕ + odporově-ndukční charakter ϕ ndukční charakter + ϕ + odporově-kapactní charakter ϕ kapactní charakter + Obr. 3.6 Fázorové dagramy jednotlvých druhů zátěže 3.7 ezonance každého střídavého obvodu, který obsahuje nduktory, kapactory a eventuelně rezstory (platí to pro reálné obvody s cívkam, kondenzátory a odporníky), může nastat př určté napájecím kmtočtu stav, př němž je fázový posun roven nule. Tedy celkové napětí a proud jsou ve fáz, obvod se chová jako by měl pouze odpor. Tento stav je důležtý v techncké prax, často ho využíváme př kompenzac účníku (bude popsáno dále), v osclátorech, ladcích obvodech. Jndy se mu ale snažíme zabránt, protože může být nebezpečný (vznká přepětí). Jak jsme jž ubylo uvedeno, rezonance může nastat v lbovolném obvodě, který obsahuje ndukčnost a kapacty, ale dále se omezíme pouze na sérové a paralelní - obvody. Přčemž budeme uvažovat nejdříve, že máme deální nduktor a pak reálnou cívku, která má odpor (kondenzátor můžeme většnou považovat za deální prvek). Př hledání rezonančního kmtočtu postupujeme tak, že s vyjádříme vztah pro mpedanc, nebo admtanc obvodu, a jejch magnární část položíme rovnu nule. Z tohoto vztahu potom vyřešíme vzorec pro rezonanční kmtočet f r. Je zcela jedno, použjeme-l pro odvození rezonančního kmtočtu f r (resp. rezonančního úhlového kmtočtu ω r ) mpedanc nebo admtanc, protože jestlže bude mít mpedance nulovou magnární část, bude j mít admtance. 4
3.7. Sérový rezonanční obvod Jak uvdíme, u tohoto obvodu nemá na rezonanční kmtočet vlv, zda-l je v obvodě zapojen deální nduktor, nebo reálná cívka. Odvození tedy provedeme pro obvod s reálnou cívkou. Jde přtom vlastně o sérový obvod --, tak jak nám ho znázorňuje obr. 3.7. elková mpedance obvodu je: Z = + j( X X ) = + j ω ω Z tohoto vztahu s snadno vyjádříme magnární část a tu položíme rovnu nule: reálná cívka + = ϕ = = Obr. 3.7 Sérový rezonanční obvod a jeho fázorový dagram + ω { Z } = ω = Tuto rovnc poměrně jednoduše vyřešíme, a jako řešení pro rezonanční úhlový frekvenc dostaneme vztah 3.3, který je známý např. z fyzky pod názvem Thomsonův vztah: ω f r r = = π (3.3) Dále odvodíme, jaký bude v obvodě př rezonanc proud, a jaké budou napěťové poměry. Je jasné, že proud bude dán pouze podílem napětí a odporu. = (3.3) Počítáme pouze s absolutním hodnotam, protože nás zajímá pouze velkost napětí a proudu, fázové posuvy jsou jasné z fázorového dagramu na obr. 3.4. Napětí na rezstoru se rovná napětí zdroje, a napětí na kondenzátoru bude shodné s napětím na nduktoru: X = = (3.33) Jelkož X a X bývá př rezonanc několkanásobně vyšší než hodnota, může být př rezonanc na kodenzátoru a na cívce několkanásobně vyšší napětí, než je napětí zdroje. Proto je potřeba nežádoucím sérového obvodu - zabránt (vyhnout se rezonanční frekvencím, nebo máme-l pevnou frekvenc navrhnou součástky tak, aby k rezonanc nedošlo), jelkož by mohly způsobt znčení zařízení přepětím. Př prác s rezonančním obvody je třeba dbát také zvýšené opatrnost, protože v obvodě napájeném napětím např. V se mohou lehce vyskytnout napětí několk set voltů, které může způsobt úraz. Tento rezonanční obvod ovšem také využíváme v elektronckých aplkacích, například v různých fltrech vyšších harmonckých, apod. Závslost absolutní hodnoty mpedance sérového -- obvodu na úhlovém kmtočtu s vyznačením bodu kde nastane rezonance, je na obr. 3.8. 5 Z Z r = odporově kapactní charakter ω r odporově ndukční charakter Obr. 3.8 Závslost mpedance sérového rezonančního obvodu na hodnotě ω ω
3.7. Paralelní rezonanční obvod tohoto obvodu jž bude záležet na tom, jestl budeme uvažovat deální nduktor, nebo reálnou cívku. Nejdříve s tedy provedeme analýzu - odvození pro deální prvky. deální paralelní rezonanční obvod (. r. o.) Tuto stuac znázorňuje obrázek 3.9. Budeme vycházet z admtance obvodu, protože ta se dá u paralelního obvodu snadněj vyjádřt. Je dána: Y = j( B B ) = j ω ω Admtance u. r. o. nemá reálnou část, takže j celou položíme rovnu nule: { Y } = ω = ω + = Vyřešením této rovnce dojdeme ke stejnému výsledku jako u sérového obvodu. ezo- = ϕ = nanční úhlový kmtočet, resp. rezonanční kmtočet pro. r. o. je: + ω r f r = = π (3.34) Jelkož admtance tohoto obvodu je př rezonanc nulová, mpedance se blíží nekonečnu. deální paralelní rezonanční obvod neodebírá ze zdroje žádný proud. Obr. 3.9 Paralelní rezonanční obvod a jeho fázorový dagram eálný paralelní rezonanční obvod (r. p. r. o.) tohoto obvodu uvažujeme reálnou cívku, která má kromě ndukčnost určtý odpor. V tomto případě, bude rezonanční frekvence závset na velkost odporu. Obvod s příslušným fázorovým dagramem je na obr. 3.. Pro admtanc tohoto obvodu platí vztah: Y = j ω + = + j ω = + ω + j ω ω + ω Z tohoto výrazu s opět vyjádříme magnární část a položíme j rovnu nule: ω ω = + ω Jako výsledek pro rezonanční frekvenc dostaneme: ω r f r = = π 6 (3.35) reálná cívka Obr. 3. Paralelní rezonanční obvod s reálnou cívkou a jeho fázorový dagram ϕ r +
Ze vztahu 3.35 vdět, že kdyby byl odpor cívky roven nule, dostal bychom opět Thomsonův vztah, jako jsme s ho odvodl pro předchozí případ s deální cívkou (nduktorem). Závslost absolutní hodnoty mpedance deálního skutečného paralelního obvodu - (--) je na obrázku 3.. Je na něm vdět, že rezonanční úhlový kmtočet je u obou obvodů různý a také to, že u. r. o. roste př rezonanc mpedance k nekonečnu. Paralelní rezonanční obvod má poměrně šroké uplatnění, používá se v ladcích obvodech přjímačů a hlavně pro kompenzac účníku. Z ndukční charakter Z ω r reál. ω r deál. deální paralelní rezonanční obvod kapactní charakter reálný paralelní rezonanční obvod Obr. 3. Závslost mpedance deálního a reálného paralelního rezonančního obvodu na ω ω 3.8. Kompenzace účníku Mnoho běžně používaných spotřebčů má nduktvně odporový charakter, například asynchronní motory, transformátory, svářečky, zářvková svítdla ap. Tyto spotřebče potřebují ke své čnnost jalový výkon nduktvního charakteru. Ten ale nekoná žádnou prác. Jalový výkon se pouze přelévá po vedení mez zdrojem a spotřebčem a způsobuje ztráty. Prncp kompenzace spočívá v tom, že potřebný nduktvní jalový výkon vyrobíme v kondenzátorech (nebo v synchronních kompenzátorech, což jsou synchronní motory pracující naprázdno v přebuzeném stavu) přímo u spotřebče a po vedení přvádíme buď pouze čnný výkon, nebo velkost jalového výkonu podstatně zmenšíme. To bude mít za následek zmenšení proudu protékajícího přívodním vedením a tím pádem menší ztráty, nebo př stejných ztrátách můžeme použít vedení s menším průřezem. V energetckých sítích bývá obvyklé, že se kompenzuje tak, aby cosϕ byl,95 nduktvního charakteru. Kompenzac provádíme nejčastěj jako trojfázovou, protože rozvod a většna spotřebčů v průmyslu bývají trojfázové. Př kompenzac pomocí kondenzátorů, zapojujeme tř kondenzátory do hvězdy, nebo častěj do trojúhelníka. Kompenzace může buďto regulovaná, nebo neregulovaná. egulace se provádí buďto nespojtě, tak že místo jednoho kondenzátoru je v každé fáz paralelní batere kondenzátorů a automatcký regulátor provádí jejch přpojování, nebo odpojování podle potřeby jalového výkonu v sít. egulace spojtá může být pomocí výkonových polovodčových prvků. Tento způsob je složtější. Podle umístění můžeme mít kompenzac ndvduální - každý spotřebč má své vlastní kompenzační kondenzátory. Výhodou je to, že tato kompenzace většnou nemusí být regulovaná a že kompenzace se provede co nejblíže spotřebč, takže po přívodním vedení se nemusí přelévat žádný jalový výkon. Nevýhodou je, že ke každému spotřebč potřebujeme kompenzační kondenzátory. Tato kompenzace se používá například v klasckých zářvkách, kde v každém svítdle bývá kompenzační kondenzátor. Skupnová - kompenzuje se najednou několk spotřebčů přpojených na jeden rozvaděč, např. spotřebče v jedné dílně. Zde ušetříme počet kompenzačních kondenzátorů, ale nevýhodou je, že kompenzace musí být regulovaná, protože spotřebče nepracují vždy současně a velkost odebíraného jalového výkonu se mění. entrální - kompenzace se provádí centrálně v rozvodně pro celý závod, výhody a nevýhody jsou obdobné jako u skupnové kompenzace. Jak se vypočítá velkost potřebné kondenzátorové batere s uvedeme na následujícím příkladě zářvkového svítdla. Schéma, náhradní schéma a fázorový dagram je na obr. 3.. 7
V V tlumvka kompenzační kondenzátor startér zářvková trubce ϕ ϕ k v + schéma zapojení zářvkového svítdla náhradní schéma fázorový dagram Obr. 3.. Schéma a fázorový dagram zářvkového svítdla s fltračním kondenzátorem V tomto případě se čnný výkon odebíraný ze spotřebčem před a po kompenzac nemění. Pro jalový výkon kompenzačního kondenzátoru lze odvodt vztah: Q = P (tg ϕ - tg ϕ k ), (3.35) kde: P je čnný výkon odebíraný spotřebčem, Q je jalový výkon kondenzátorové batere ϕ a ϕ k jsou fázové posuvy před a po kompenzac, (ϕ respektve cosnus ϕ většnou udává výrobce spotřebče- zařízení). Známe-l potřebný jalový výkon, příslušnou kapactu kondenzátoru vypočítáme jako kde: Q =, (3.36) ω ω je úhlový kmtočet napájecí sítě je napětí na které je kondenzátor přpojen. Pozn: V případě že by se jednalo o trojfázovou kompenzac, byla by kapacta jednoho kondenzátoru třetnová! Po kompenzac se sníží hodnota nejenom proudu v, ale hodnota fázového posuvu ϕ mez proudem a napětím a zvýší se tak hodnota cosϕ. Názorný příklad kompenzace: JAOVÝ VÝKON (po vedení ze zdroje JAOVÝ VÝKON ( z kompenzátoru v místě odběru ) Proud v ČNNÝ VÝKON ČNNÝ VÝKON E. ZDOJ E. MOTOY-Spotřebče E. ZDOJ E. MOTOY-Spotřebče KOMPENZÁTO Účník - cosϕ Stuace před kompenzací Stuace po kompenzac Závslost nárůstu proudu př poklesu účníku 8
3.9 Neharmoncké průběhy Zatím jsme se zabýval pouze obvody s harmonckým průběhy proudů a napětí (zpravdla. harmoncké). V prax se ale vyskytují proudy a napětí s průběhy neharmonckým, zvláště v obvodech, kde se používají polovodčové měnče, které s rozvojem výkonové elektronky nacházejí uplatnění stále častěj. Řešení takovýchto obvodů je podstatně složtější, proto s pouze nastíníme jeho prncp. Vycházíme z toho, že každý perodcký průběh s úhlovým kmtočtem ω lze rozložt na řadu ( spektrum) harmonckých průběhů, které nazýváme vyšší harmoncké složky. Jejch úhlové rychlost jsou násobkem základního úhlového kmtočtu ω. 5 Hz Požadovaný zátěžný proud Napájecí napětí. harmoncká Tvar proudu usměrňovačem př nabíjení kondenzátoru př napěťových špčkách Frekvenční spektrum harmonckých napětí a proudu Napětí a proud potom řešíme jako součet těchto harmonckých složek. Tomuto rozkladu se říká Fourerova řada a exstují matematcké postupy, podle kterých se provádí. My se jm nebudeme dále zabývat, uvedeme s pouze jako příklad rozklad napětí obdélníkového průběhu s kmtočtem 5 Hz (ω = 34 rad s - ) a ampltudou V na sedm harmonckých složek. Kdybychom požadoval vyšší přesnost, musel bychom počítat více harmonckých. u(t) =,73 sn(ω t) + 4,4 sn(3 ω t) +,55 sn(5 ω t) +,8 sn(7 ω t) první harmoncká třetí harmoncká pátá harmoncká sedmá harmoncká Pro toto obdélníkové napětí rozložené na 7 harmonckých platí: 9
5 u (V) původní průběh napětí 5-5 π náhrada průběhu sedm harmonckým π ω t (rad) Průběh neobsahuje druhou a čtvrtou harmonckou složku (žádné sudé), protože je symetrcký podle časové osy. - u (V) -5 5 Náhrada průběhu sedm harmonckým první harmoncká složka třetí harmoncká složka Původní průběh jeho náhradu pomocí pět harmonckých složek ukazuje obrázek 3.. 5-5 π π ω t (rad) - pátá harmoncká složka -5 sedmá harmoncká složka ozklad původního průběhu na jednotlvé harmoncké složky Obr. 3. Náhrada obdélníkového průběhu řadou vyšších harmonckých