Mechania hmotných soustav Hmotná soustava (HS) je supina objetů, o teých je vhodné uvažovat jao o celu Pvy HS se pohybují účinem sil N a) vnitřních: Σ ( F + F + L+ F ) 0 i 1 i1 b) vnějších: síly od objetů, teé do HS nepatří i V něteých případech s výhodou epezentujeme HS pomocí hmotného středu soustavy HS ozdělíme na elementy s hmotnostmi m a polohovými vetoy v souř soust Oxyz Hmotný střed HS je bod o hmotnosti m a polohovým vetoem 1 c m m in m V případě spojitého ozložení hmoty de ρ je hustota tělesa 1 1 c dm m m m V ρ dv, HS soustavy je bod, teý se pohybuje ta, jao by v něm byla soustředěna vešeá hmota soustavy a působily v něm všechny vnější síly působící na soustavu
Vlastnosti hmotného středu HS Jeho pohyb závisí jen na vnějších silách Jeho poloha nezávisí na volbě souř soustavy Oxyz Pomocí něj se lehce vyjádří napřílad hybnost HS, otáčivý moment tíhových sil na HS, potenciální enegie HS v tíhovém poli Kineticá enegie HS Kineticá enegie HS v dané souř soustavě je ovna součtu ineticých enegií jejích částí v téže souř soustavě 1 1 1 m1v1 + mv + L + mn vn Po spojité ozložení hmoty v HS: 1 ( x, y, z) v ( x, y z) ρ, dv, de V ρ ( x, y, z) je hustota tělesa v bodě x, y, z ; dv je objem elementu tělesa v místě x y, z v x, y, z je jeho ychlost Opět platí:, ; ( ) W, de je ineticá enegie HS v pohybovém stavu, je ineticá enegie HS v pohybovém stavu, W je páce všech sil (vnějších i vnitřních), teé na HS působí při přechodu z pohybového stavu do pohybového stavu Potenciální enegie HS a) v poli vnějších onzevativních sil: Je ovna součtu potenciálních enegií jednotlivých částí HS + + L+ potes potes1 potes potesn
Opět platí: potes W, potes es de potes je potenciální enegie HS v polohovém stavu, potes je potenciální enegie HS v polohovém stavu, Wes je páce vnějších sil, teé na HS působí při přechodu z polohového stavu do polohového stavu b) v poli vnitřních onzevativních sil (vnitřní pot enegie): Po onzevativní vnitřní síly platí: Jestliže se dějem s HS její onfiguace nezměnila, vyonaly tyto síly během děje nulovou páci HS má v poli vnitřních onzevativních sil potenciální enegii potis Analogicy jao u exteních sil platí: W potis potis is Celová potenciální enegie pot HS pot je součet všech potenciálních enegií v polích vnějších i vnitřních onzevativních sil Přejde-li HS z polohového stavu do polohového stavu, vyonají vnější i vnitřní onzevativní síly páci W pot pot Pozn: Vnitřní síly mohou být i neonzevativní (např vnitřní tření mezi jednotlivými částmi HS) Mechanicá enegie m HS + m pot
Stejným způsobem jao u HB lze uázat: m m W j, de W je páce neonzevativních sil působících na HS při přechodu j Záon zachování mechanicé enegie po HS Opět Je-li 0 W, je onst j m m1
Kineticá enegie otujícího tuhého tělesa Tuhé těleso (abstace) těleso, v němž jsou vzájemné vzdálenosti jeho elementů stálé (je speciálním případem HS) Řešme otaci taového tělesa olem osy Rozdělme těleso na velmi malé elementy (HB) m - hmotnost tého elementu, - vzdálenost tého elementu od osy otace Kineticá enegie otujícího tuhého tělesa: de veličinu m v m 1 1 1 ω ω, m nazveme momentem setvačnosti tělesa dané ose otace Po spojité ozložení hmoty
de ( P) V ( P) ρ( P) dv ρ je hustota tělesa v bodě P tělesa, V je objem tělesa Moment setvačnosti dané ose je aditivní Těleso sestávající z částí, teé mají dané ose momenty setvačnosti, má téže ose moment setvačnosti j Při výpočtu momentu setvačnosti tuhého tělesa dané ose otace se často používá Steineova věta: md, de j p q + p je moment setvačnosti tělesa zadané přímce p, je moment setvačnosti tělesa přímce q jdoucí hmotným q středem tělesa a ovnoběžné s přímou p, m je hmotnost tělesa, d je vzdálenost příme p, q j,
Kineticá enegie tuhého tělesa v těžišťové soustavě Nechť se tuhé těleso pohybuje v souřadné soustavě S obecným pohybem Těžišťová soustava S C soustava, teá má počáte v hmotném středu (těžišti) C tělesa a vůči soustavě S oná posuvný pohyb ychlostí v c Lze uázat, že ychlosti elementů tuhého tělesa v S C jsou taové, jao dyby se elementy otáčely olem jisté (v čase poměnné) osy p pocházející hmotným středem C v c Kineticou enegii tuhého tělesa v soustavě S lze pa vyjádřit ve tvau: 1 + 1 mvc, pω
de m je hmotnost tělesa, je moment setvačnosti tělesa p přímce p a ω je oamžitá úhlová ychlost otace olem p Kineticá enegie tuhého tělesa onajícího obecný pohyb je ovna součtu ineticých enegií postupného a otačního pohybu
Pohybové ovnice HS (nejen tuhé těleso) Tanslační pohyb HS Je to pohyb, při teém se oientace tělesa vůči dané souřadné soustavě nemění Definice hybnosti HS p p lze zaeslit amoliv Nejčastěji se eslí do hmotného středu HS p Pvní pohybová ovnice HS (ovnice po tanslační pohyb HS) Platí jen v ineciální souřadné soustavě!!! dp dt F e F ev ( ) Vnitřní síly nemají na pohyb HS vliv! Splňují totiž pincip ace a eace, tj F 0 i (1)
Pozn: Rovnice (1) plyne z pohybové ovnice po HB (sečtením poh ovnic po všechny HB dostaneme (1)) Pvní impulsová věta Platí jen v ineciální souřadné soustavě!!! de p p je hybnost HS v pohybovém stavu v čase p je hybnost HS v pohybovém stavu v čase t t F evdt t, t p t t F ev dt, t, t, je tzv impuls výslednice vnějších sil v časovém intevalu Záon zachování hybnosti Je-li F e 0 p onst
Rotační pohyb tuhého tělesa olem pevné osy Definice: Moment hybnosti HB vzhledem dané ose de hmotnost b mv, je polohový veto elementu tuhého tělesa, teý má v m a ychlost Definice: Moment hybnosti tuhého tělesa vzhledem dané ose b b Platí: Důaz: b ω π b mv sin m ω ω m b ω o o ω
Definice: Moment síly vzhledem dané ose a) působící na -tý element:, de M F F je v ovině olmé na osu ležící složa síly M umísťujeme do středu tajetoie -tého elementu b) Působící na tuhé těleso: M M Duhá pohybová ovnice po otační pohyb tuhého tělesa olem pevné osy nebo dω dt o M e db dt M e neboli o M ε Důaz lze povést výpočtem, přičemž se bee v úvahu, že M 0, M 0 Fi Fovnoběžné e Duhá impulsová věta b b t t M e dt Záon zachování momentu hybnosti Je-li M e 0, je b onst