M - Příprava na pololetní písemku č. 1 Určeno jako studijní materiál pro třídu 2K. VARIACE 1 Tento dokument byl kompletně vytvořen, sestaven a vytištěn v programu dosystem - EduBase. Více informací o programu naleznete na www.dosli.cz.
± Číselné výrazy Číselné výrazy, výpočty s reálnými čísly Výraz je matematický zápis, ve kterém se vyskytují čísla (např. 2, 76, 896), proměnné (např. x, y, z), znaky početních operací (např. +, -, :), případně i pomocné znaky (např. závorky). Pokud se ve výrazu nevyskytují proměnné, ale pouze čísla, hovoříme o číselném výrazu. Pozn.: Úpravy číselných výrazů budeme provádět zpaměti, tedy bez použití kalkulačky Přehled základních operací s číselnými výrazy 1. Sčítání (odečítání) číselných výrazů členy při sčítání nazýváme sčítanci, výsledek pak součet; při odečítání nazýváme číslo, od něhož odečítáme, menšenec, číslo, které odečítáme, menšitel a výsledek rozdíl při sčítání využíváme vhodně komutativnost, případně asociativnost jedná-li se o složitější čísla, postupujeme odzadu, podobně jako při sčítání (odečítání) písemném - pozor na odpovídající si řády! zlomky sčítáme (odečítáme) tak, že je nejprve převedeme na společného jmenovatele 2. Násobení číselných výrazů členy, které mezi sebou násobíme, nazýváme činitelé, výsledek pak jejich součin opět výhodně využíváme komutativnost nebo asociativnost složitější čísla si vynásobíme formou pomocného výpočtu pod sebe, případně můžeme využít některých dalších pomůcek (např. máme-li číslo vynásobit 25, je vhodné ho vynásobit stem a následně vydělit čtyřmi) násobíme-li desetinná čísla, má výsledek tolik desetinných míst, kolik jich měly všechny činitelé dohromady násobíme-li mezi sebou zlomky, pak součin jejich čitatelů lomíme součinem jejich jmenovatelů Pozn.: U zlomku horní číslo nazýváme čitatel, spodní jmenovatel 3. Dělení číselných výrazů číslo, které dělíme, nazýváme dělenec, číslo, kterým dělíme, nazýváme dělitel a výsledek podíl opět můžeme používat různé triky - např. chceme-li číslo dělit 25, pak ho vydělíme stem a následně vynásobíme čtyřmi dělíme-li mezi sebou desetinná čísla, postupujeme nejprve tak, že výpočet rozšíříme tak, aby v děliteli vymizelo desetinné číslo dělení často vyjadřujeme zlomkem Pozn.: Zlomky můžeme rozšiřovat (tj. můžeme násobit jejich čitatele i jmenovatele stejným číslem různým od nuly), dále je můžeme též krátit (tj. dělit jejich čitatele i jmenovatele stejným číslem různým od nuly). Při rozšiřování nebo krácení zlomků se nemění jejich hodnota. Zlomek je v základním tvaru, pokud už honelze dále krátit. dělíme-li mezi sebou dva zlomky, násobíme první zlomek (v nezměněné podobě) převrácenou hodnotou druhého zlomku Pozn.: Převrácenou hodnotu zlomku dostaneme tak, že jeho čitatele nahradíme jmenovatelem a naopak. Pokud u zlomku změníme jen znaménko, dostáváme zlomek opačný. Při této činnosti je jedno, zda napíšeme znaménko do čitatele, do jmenovatele nebo před zlomek. 4. Umocňování číselných výrazů umocňujeme-li desetinné číslo, pak výsledek má tolik desetinných míst, kolik je součin desetinných míst u původního čísla a exponentu mocniny umocňujeme-li číslo, které končí jednou nebo více nulami, pak umocníme tu část čísla, která vznikne po pomyslném odstranění nul a připíšeme tolik nul, kolik je součin jejich původního počtu a čísla v exponentu umocňujeme-li zlomek, pak umocňujeme jeho čitatele i jmenovatele druhé mocniny čísel do 20 musíme znát zpaměti 1 2 1 11 2 121 2 2 4 12 2 144 3 2 9 13 2 169 1 z 18
4 2 16 14 2 196 5 2 25 15 2 225 6 2 36 16 2 256 7 2 49 17 2 289 8 2 64 18 2 324 9 2 81 19 2 361 10 2 100 20 2 400 stejně tak musíme znát zpaměti třetí mocniny čísel do 10 1 3 1 2 3 8 3 3 27 4 3 64 5 3 125 6 3 216 7 3 343 8 3 512 9 3 729 10 3 1000 5. Odmocňování číselných výrazů provádíme-li zpaměti (nebo pomocí tabulek) druhou odmocninu desetinného čísla, musíme nejprve číslo upravit tak, aby obsahovalo sudý počet desetinných míst a zároveň toto číslo zapsané bez ohledu na desetinnou čárku bylo v rozmezí od jedné do tisíce. To provedeme tak, že buď přidáme nulu na konec čísla, případně provedeme zaokrouhlení. U výsledku pak přibude polovina desetinných míst z jejich původního počtu. provádíme-li zpaměti (nebo pomocí tabulek) třetí odmocninu desetinného čísla, postupujeme úplně stejně, jen číslo v prvním kroku upravíme tak, aby počet desetinných míst byl násobkem tří. U výsledku pak přibude třetina desetinných míst z jejich původního počtu. jedná-li se o čísla naopak příliš velká (končí jednou nebo více nulami), provedeme zaokrouhlení tak, aby počet nul byl sudé číslo (pro druhou odmocninu) a číslo odpovídající násobku tří (pro třetí odmocninu) a zbytek čísla (po pomyslném oddělení nul) byl z rozmezí od jedné do tisíce. Po odmocnění posuneme desetinnou čárku o tolik míst doprava, kolik je polovina z celkového počtu nul (pro druhou odmocninu) nebo třetina z celkového počtu nul (pro třetí odmocninu) Pokud se v číselném výrazu vyskytují závorky, řešíme je na prvním místě s tím, že v první fázi odstraňujeme závorky kulaté, dále hranaté a nakonec teprve závorky složené. Ukázkové příklady: Příklad 1: Řešení: Příklad 2: Vypočtěte: 2 z 18
Řešení: Příklad 3: Vypočtěte: Řešení: Pozn.: Sejdou-li se při úpravě číselného výrazu, pak postupujeme tak, že dvě shodná znaménka nahradíme znaménkem plus a dvě opačná znaménka nahradíme znaménkem minus. 3 z 18
± Výpočty s reálnými čísly 1. Vypočti 1896 2. Vypočti 1916 3 3. Vypočti 1897-0,16 4. Vypočti 1902 5. Vypočti 1895 6. Vypočti: 1907-11,8 4 z 18
7. Vypočti 1892 100 000 8. Vypočti 1925 9. Zjednoduš: 1887 10. Vypočti 1905 18,1 11. Vypočti 1893 5 z 18
12. Vypočti 1928 13. Vypočti 1913 14. Vypočti 1903 2 15. Vypočti a výsledek zaokrouhli na dvě desetinná místa 1922-8,43 16. Vypočtěte a zaokrouhlete na desítky 1914 20 17. 1885 240 6 z 18
18. Vypočti 1906 4 19. Vypočti 1924 20. Vypočti 1926 21. Vypočti 1910 216 22. Vypočti 1904 7 z 18
23. Vypočti 1911 834 24. Vypočti 1891 0,23 25. Vypočti 1919 26. Vypočti číslo b a zapiš jeho převrácenou hodnotu 1888 27. Vypočti 1908 28. Vypočti 1909 50 8 z 18
29. Vypočti 1901 30. Vypočtěte 1915 3 31. Vypočti 1921 32. Vypočti 1898 33. Vypočti 1918-1 9 z 18
34. Vypočti 1912 206 35. Zjednoduš zlomek a potom jej převeď na desetinné číslo zaokrouhlené na tisíciny. 1886-0,182 36. Vypočti 1894 37. Vypočti bez zaokrouhlování 1889 38. Vypočtěte bez použití kalkulátoru: é æ ö ù - 2 - - 2 1 1 14 2 ( 3) + 6,4 : ( - 0,8) - ê : ç - - (1,8-2,9) ú ë 4 è 2 ø û -7,1 410 10 z 18
39. Vypočti 1923 40. Vypočti 1929 41. Vypočti 1890 42. Vypočti 1927-5 43. Vypočtěte: 15,1 - (-2) 14 3 + 6,3: (-0,7) -[(2,5-3,7) : 4 625 + 15,1] 406 11 z 18
44. Vypočti 1920 45. Vypočti 1899 46. Vypočti 1900 47. Vypočti 1917 262 ± Algebraické výrazy Algebraické výrazy Výrazem budeme rozumět každý zápis, který je správně formulován podle úmluv o zápise čísel, proměnných, výsledků operací. Výraz s proměnnou obsahuje zpravidla čísla, znaky početních operací, proměnné a pomocné znaky (např. závorky). Přehled důležitých vzorců: (A + B) 2 = A 2 + 2AB + B 2 (A - B) 2 = A 2-2AB + B 2 (A - B).(A + B) = A 2 - B 2 (A + B) 3 = A 3 + 3A 2 B + 3AB 2 + B 3 (A - B) 3 = A 3-3A 2 B + 3AB 2 - B 3 A 3 - B 3 = (A - B).(A 2 + AB + B 2 ) A 3 + B 3 = (A + B).(A 2 - AB + B 2 ) 12 z 18
Zjednodušování algebraických výrazů budeme říkat, že výrazy upravujeme. Přehled základních operací s celistvými algebraickými výrazy: 1. Sčítání a odečítání výrazů Sčítat nebo odečítat můžeme výrazy, které mají stejný základ a stejný exponent. Příklady: 2x 2 + 7x 2... lze sečíst 2x 2 + 3x... nelze sečíst 2x 2 + 3y 2... nelze sečíst 2. Násobení výrazů a) jednočlen jednočlenem Pozn.: členy výrazu nám oddělují pouze znaménka + nebo - 3x 2 y 5 z 4... jednočlen 3x 2 y 4-7x 2 y 3 dvojčlen Při násobení jednočlenu jednočlenem postupujeme tak, že nejprve učíme znaménko výsledku, pak vynásobíme koeficienty a dále vynásobíme proměnné postupně podle abecedy. Využíváme při tom pravidla, že při součinu mocnin o stejném základu opíšeme základ a exponenty sečteme. Příklad: 3x 2 y 6. (-6x 5 y 2 ) = -18x 7 y 8 Pozn.: Můžeme využívat i pravidla, že součin mocnin se stejným exponentem se rovná mocnině součinu. Příklad: x 3. y 3 = (xy) 3 Platí to samozřejmě i obráceně. b) dvojčlen jednočlenem Roznásobíme jednočlenem každý člen v závorce. Příklad: (2x 4-3y 5 ).(-2x) = -4x 5 + 6xy 5 Při tomto výpočtu je úplně jedno, jestli je v zadání nejprve jednočlen a pak závorka nebo obráceně. c) dvojčlen dvojčlenem Roznásobíme každý člen jedné závorky každým členem druhé závorky. Na pořadí provedených operací nezáleží. Vzniklý výraz zjednoduššíme. Příklad: (2x - 5). (3x 2-1) = 6x 3-2x - 15x 2 + 5 = 6x 3-15x 2-2x + 5 Stejným způsobem postupujeme, pokud násobíme obecně mnohočlen mnohočlenem. 3. Dělení výrazů V tomto případě se nám dostane do dělitele (jmenovatele) výraz s proměnnou. Těmito výpočty se zabývá kapitola Úpravy lomených výrazů. 4. Umocňování výrazů Využíváme následující pravidla: - mocnina mocniny se vypočte tak, že základ opíšeme a exponenty mezi sebou vynásobíme 13 z 18
Příklad: (x 3 ) 5 = x 15 - pokud omocňujeme dvojčlen, postupujeme podle vzorců - viz začátek kapitoly 5. Rozklady výrazů na součin Využíváme následujících operací (v uvedeném pořadí) a) snažíme se ze všech členů vytknout co největší výraz b) použijeme některý ze známých vzorců c) použijeme postupné vytýkání V tomto případě musí být výslednou početní operací součin. ± Úpravy celistvých algebraických výrazů 1. Zjednoduš: 2245 (2/3 - z) 2 4/9-4/3z + z 2 2. Upravte daný výraz 3x 2 y - {xyz - (2yz - x 2 z) - 4x 2 z + [3x 2 y - (4xyz - 5x 2 z)]}. Výsledek ověřte dosazením pro x = 1, y = -1, z = 0 3xyz - 2x 2 z + 2yz 3. Zjednoduš: (3/7u 3-3u 2 ). (3u 2 + 3/7u 3 ) 9/49u 6-9u 4 4. Rozložte v součin výraz: 9s 2 v 2-4r 2 v 2-9u 2 s 2 + 4u 2 r 2. Správnost ověřte dosazením u=-1, v=2, s=1, r=0 (v - u). (v + u). (3s - 2r). (3s + 2r) 5. Doplňte chybějící údaje tak, aby platila rovnost (... + 3y) 2 = 4x 2 +... +... 12xy 6. Vypočtěte: (4a 2 b + 5a 3 b 2 ) 2 = 16a 4 b 2 + 40a 5 b 3 + 25a 6 b 4 2070 2238 2066 2052 2049 7. Vypočtěte rozdíl výrazů x + 2 a x - 1 3 8. Zjednodušte výraz 2x - [5x - 2(x - 4) + 1] - 3(x + 1) a správnost výpočtu ověřte dosazením za x = -3-4(x + 3) 9. Zjednoduš: 2059 2048 2240 (u 2 + 10) 2 u 4 + 20u 2 + 100 14 z 18
10. Rozložte na součin: 4x 2 (y 2 z 2 ) + 25v 2 (z 2 y 2 ) (y - z). (y + z). (2x - 5v). (2x + 5v) 11. Vypočítejte: (3 - x) 2-3(x 2-3) + (-2x) 2 2.(x 2-3x + 9) 12. Zjednodušte výraz: (2h - 5s)(2h + 5s) - (2h + 5s) 2-10s.(5s + 2h) 13. Výraz - (-2x + 1) 2 se po úpravě rovná čemu? -4x 2 + 4x - 1 14. Vypočtěte a) rozdíl b) součin výrazů x+2 a x-1 Rozdíl 3, součin x 2 + x - 2 15. Upravte: (1,2x 2-0,3y) 2 1,44x 4-0,72x 2 y + 0,09y 2 16. Výraz (3k - 2) 2-4k(2k - 1) + 8k - 6 zjednodušte a správnost výpočtu ověřte dosazením k = 3 k 2-2 17. Rozložte na součin: a 2 + 2ab + b 2 c 2 (a + b + c). (a + b - c) 18. Zjednoduš: (0,1a 3-5a 2 ). (5a 2 + 0,1a 3 ) 0,01a 6-25a 4 19. Umocněte: (10-2a) 2 100-40a + 4a 2 20. Rozlož na součin: 16r 2 s 2-16rs 2 + 4s 2 21. Zjednoduš: (4rs - 2s) 2 = 4s 2. (2r - 1) 2 2050 2071 2055 2073 2054 2062 2065 2076 2237 2056 2250 2243 (x 2 - x 3 ) 2 x 4-2x 5 + x 6 22. Rozlož na součin: 9x 2 + 6xy 2 + y 4 (3x + y 2 ) 2 2249 15 z 18
23. Rozložte na součin výrazy: a) 2x 2-4xy + 2y 2 b) 5t - 2tm - 10m + 25 24. Rozlož na součin: a) 2. (x - y) 2 b) (t + 5). (5-2m) 2072 2247 a 4 - b 6 (a 2 - b 3 ). (a 2 + b 3 ) 25. Rozložte na součin: (2m - 1).5x 8.(2m - 1) (2m - 1). (5x - 8) 26. Doplňte: (? - 3) 2 = 16x 2 -? +? První? = 4x; druhý? = 24x; třetí? = 9 2058 2068 27. Zjednoduš: (a 2 b - 10). (a 2 b + 10) a 4 b 2-100 28. Zjednoduš: (4x 2 + 3y 3 ). (4x 2-3y 3 ) 16x 4-9y 6 29. Zjednoduš: 2235 2236 2241 (c + 1,2) 2 c 2 + 2,4c + 1,44 30. Zjednoduš: 2239 (2x - 3) 2 4x 2-12x + 9 31. Upravte: a 2. 3b 2ȧb.2b2 a 3. 4b 4 24a 6 b 9 32. Výraz 4k 2 - (2k + 1) 2-4k + 8 zjednodušte a správnost výpočtu ověřte dosazením za k = 3-8k + 7 33. Rozložte na součin: 4 x 2 34. Zjednoduš: (0,1rs - 10r 2 ) 2 (2 - x). (2 + x) 0,01r 2 s 2-2r 3 s + 100r 4 35. Rozložte na součin výraz: 18xy 2-21x 2 y 3xy.(6y - 7x) 2064 2053 2057 2244 2051 16 z 18
36. Rozlož na součin: 0,04a 2-1,2a 3 + 9a 4 (0,2a - 3a 2 ) 2 37. Vypočtěte součin výrazů x + 2 a x - 1 x 2 + x - 2 38. Rozlož na součin: 2252 2060 2248 49 - c 4 (7 - c 2 ). (7 + c 2 ) 39. Výraz K = 16a 2 a 4 x 2 rozložte na součin aspoň tří činitelů K = a 2.(4 - ax).(4+ax) 40. Upravte: (2x - 0,2y). (2x + 0,2y) 4x 2-0,04 y 2 2075 2063 41. Upravte: (2x - 5) 2 - (2x - 3).(5x + 2) -6x 2-9x + 31 42. Zjednodušte a ověřte dosazením za x = -2 8x - [2x 6.(x - 1) 2 + 2] - (3x 2-5x).2 4.(x + 1) 43. Upravte: [(a 2 b 3 ) 3 ] 2 a 12 b 18 44. Rozlož na součin: 1/9u 4 + 2u 2 v + 9v 2 (1/3u 2 + 3v) 2 45. Rozlož na součin: 1/4x 2-1/36y 4 (1/2x - 1/6y 2 ). (1/2x + 1/6y 2 ) 46. Rozložte na součin: x 2-2xy + y 2 - x + y (x - y). (x - y - 1) 47. Zjednoduš: (c 3-1/3). (c 3 + 1/3) c 6-1/9 48. Rozlož na součin: 0,25a 8 - b 6 (0,5a 4 - b 3 ). (0,5a 4 + b 3 ) 2069 2074 2061 2254 2253 2067 2234 2251 17 z 18
49. Zjednoduš: (2m - n). (2m + n) 4m 2 - n 2 50. Zjednoduš: (3a + 2b 2 ) 2 51. (5v 4 + 2/5uv) 2 9a 2 + 12ab 2 + 4b 4 52. Zjednoduš: (x 2-3). (x 2 + 3) x 4-9 25v 8 + 4uv 5 + 4/25u 2 v 2 53. Zjednoduš: (0,8 - y). (0,8 + y) 0,64 - y 2 2232 2242 2246 2231 2233 18 z 18
Obsah Číselné výrazy 1 Výpočty s reálnými čísly 4 Algebraické výrazy 12 Úpravy celistvých algebraických výrazů 14 2.12.2007 10:45:49 Vytištěno v programu dosystem - EduBase (www.dosli.cz)