VYSOKÁ ŠKOLA BÁŇSKÁ ECHNICKÁ UNIVERZIA V OSRAVĚ FAKULA HORNICKO - GEOLOGICKÁ INSIU EKONOMIKY A SYSÉMŮ ŘÍZENÍ eorie ytémů a řízení Prof.Ing.Aloi Burý,CSc. OSRAVA 2007
Předmluva Studijní materiály eorie ytémů a řízení jou určeny pro poluchače kombinovaného bakalářkého tudia v Motě, pro tudijní obor: Ekonomika, management a informační ytémy v oblati veřejné právy. Mohou z nich však čerpat i poluchači příbuzných tudijních oborů jak kombinovaného tudia, tak i tudia prezenčního v Motě a Otravě. Elektronická forma tudijních materiálů, zveřejněných protřednictvím internetu, zajišťuje větší dotupnot této základní literatury. Předmět eorie ytémů a řízení je předmětem teoretického základu tudijního oboru: Ekonomika, management a informační ytémy v oblati veřejné právy. Seznamuje e základy teorie ytémů a řízení, včetně základů ytémů automatizovaného řízení. Výklad teoretických paáží je doplněn obrázky, tabulkami a ilutrativními příklady, včetně jejich řešení. Otrava Poruba, 2007 autor. 2
. Charakteritika základních pojmů z teorie ytémů. Pro práci e ložitými a rozáhlými objekty, jako jou například řízení výrobních a technologických proceů, je nutný ytémový přítup. Například technologický proce exploatace uhlí na hlubinných nebo povrchových dolech, je charakterizován různorodotí pracovních činnotí, na něž půobí celá řada vlivů. Komplexně jde o mnoha rozměrný dynamický celek, který e neutále mění v čae a v protoru. Sytémový přítup počívá v tom, že jevy vykytující e při řešení vzniklých problémů, jou chápany komplexně, e všemi ouvilotmi ve vém dynamickém vývoji. V ouviloti e ytémovým přítupem je nejdůležitějším pojmem ytém. Stanoví- li e vztahy, mezi na ebe navzájem půobící objekty materiální, ale i nemateriální povahy, je na objektivní realitě vytvořen ytém. Sytém je definován jako účelově upořádaná množina prvků a množina vazeb mezi nimi, dynamickým chováním, které polečně určují vlatnoti celku. V rámci dekompozice ytému lze vyčlenit podytém. Podytém je podmnožina ytémových prvků a vazeb, která je z nějakého důvodu vyčleněna ze ytému a je chápana jako nový ytém nebo jako prvek. Prvek je čát ytému, který tvoří na dané rozlišovací úrovni dále nedělitelný celek, jehož trukturu nechceme, nebo již nemůžeme v rámci analýzy rozlišit. Rozlišovací úrovni e označuje tupeň podrobnoti zkoumání ytému. Změnou rozlišovací úrovně e může dřívější prvek ytému tát podytémem, popřípadě i ytémem a naopak. Dekompozicí ytému na jednodušší prvky, e zvyšuje rozlišovací úroveň.. Vazba ytému na okolí. Každý ytém exituje v nějakém okolí. Je tímto okolím obklopen. Při zkoumání je výhodné omezit e pouze na podtatné okolí, které má e ytémem přímý kontakt. Přitom je třeba i uvědomit, že v okolí ná nezajímají vztahy mezi jeho prvky. Pokud by tomu tak nebylo a vztahy mezi prvky tvořící okolí by ná zajímaly, tává e takové okolí dalším ytémem. Každý ytém je zaveden pouze na čáti reality. o znamená, že je v ní vlatně do určité míry izolován od jejich otatních objektů ( okolí ). Pokud neexitují vazby mezi prvky okolí a ytému, pak takový ytém e nazývá abolutně uzavřený ( izolovaný ). Je to zvláštní případ, který ve kutečnoti neexituje. Sytémy otevřené jou takové, u nichž e uvažují všechny možné interakce okolím. Je to druhý mezní případ. Nejčatějším druhem ytémů jou ytémy relativně uzavřené, které mají některé, podtatné vazby okolím. Přičemž jou přeně vymezeny cety jimiž půobí okolí na ytém ( vtupy ), a naopak jak ytém půobí na okolí ( výtupy ). Prvky ytému, které pojují pomocí vazeb relativně uzavřený ytém okolím, e nazývají hraniční ( mezní ) prvky. U relativně izolovaného ytému je nutno znát, z jakého hledika je uzavřenot míněna. Může to být například vymezení z hledika výměny látkové, energetické, informační, řídicí, apod. 3
Sytém a okolí na ebe navzájem půobí. Jou ve vzájemné interakci. Přitom způob, jakým ytém na vé okolí půobí, je závilý jak na vlatnotech ytému či okolí, tak i na způobu jakým okolí půobí na ytém. Vazba ytému na okolí je způob pojení mezi prvky ytému, nebo mezi prvkem ytému a jeho okolím. Při zkoumání interakce ytému a okolí e definují pojmy: vtup ytému, výtup ytému. Vtupem ytému e rozumí vazba, jejímž protřednictvím půobí okolí ( podnětem ) na ytém. Podnět je tav vtupu ytému, který charakterizuje dané půobení okolí na ytém v určitém čaovém okamžiku. Výtupem ytému nazýváme vnější vazbu ytému, kterou ytém půobí na okolí. Odezva je tav výtupu ytému ( jeho reakce ) charakterizující dané půobení na okolí, vyvolané podnětem na vtupu ytému..2 Účelovot a cílovot ytému Není-li určen účel pro který e ytém zavádí, chybějí pak kritéria pro jeho vymezení. Již amotná definice ytému zdůrazňuje jeho účelovot. Použití ytému k jinému účelu, než pro který byl definován vede k hrubým omylům.účelové vymezení ytému je nutno po celou dobu práce ním mít na paměti a repektovat je. Účelovot je dána:. z jakého hledika je ytém zkoumán. 2. jaký je zvolen tupeň podrobnoti zkoumání. S otázkou cílů ytémů úzce ouvií volba vhodné rozlišovací úrovně. Zvýší li e, (podrobnější rozlišovací úroveň) pak prvky daného ytému e mohou tát amotnými ytémy, z důvodu větší diferenciace prvků a vazeb mezi nimi. Naopak při nížení rozlišovací úrovně e celý ytém může tát prvkem ytému definovaného na méně podrobnější rozlišovací úrovni. Při formulaci cílů ytému je důležité, kromě určení nejdůležitějších hlediek kriterii optimality tavu ytému i tanovení vhodných metod umožňujících jeho doažení..3 Struktura a chování ytému. Struktura a chování tvoří nedílnou jednotu ytému a je mezi nimi tento vztah: Určité truktuře ytému odpovídá určité chování, ale určitému chování odpovídá třída truktur, která je tímto chováním definována. Struktura ytému Struktura ytému S(A,R) je množina všech prvků ytému A (a 0, a,..., a n ) a množina vazeb R ( r... r ij...r nn ) mezi prvky. Prvek množiny a 0 je charakteritikou okolí a nepatří do ytému. Relace (vztahy) mezi jednotlivými prvky popiuje množina vazeb. Prvek množiny vazeb.. r ij... vyjadřuje vazbu mezi prvky ytému a i a a j. 4
Chování ytému je způob reakce ytému na podněty z okolí, repektive způob realizace cílů. Chování je určeno vztahy mezi vtupy a výtupy ytému: Y(t) [X(t), Q(t), ] kde: Y(t) je vektor odezvy (reakce) na vektor podnětů X(t), Q(t) je vektor tavových proměnných určující tav ytému, je operátor tranformace. Podle tvaru operátoru tranformace jou ytémy lineární a ytémy nelineární. Dále operátor tranformace může být determinitický nebo tochatický. Determinitický operátor odpovídá determinovanému chování ytému (determinitický ytém), kdy jou všechny kutečnoti známé a chování daného ytému vyplývá jednoznačně z jeho truktury. Determinitické chování ytému je jednoznačně dáno jeho trukturou a vlatnotmi,a dá e předpovědět budoucí tav ytému. Stochatický operátor odpovídá nahodilému chování ytému (je zde určitá míra neurčitoti). Nahodilé chování e pak vyjadřuje pouze tatiticky a to i tehdy, je-li známa truktura uvažovaného ytému. Operátor tranformace je pravděpodobnotní funkcí. Nutno poznamenat, že tochatické chování mnohých ytémů e začne jevit jako determinované, jetliže e při jejich zkoumání zvýší rozlišovací úroveň. Stochatický ytém odpovídá nahodilému chování ytému. Zde chování vyjadřujeme pouze určitou pravděpodobnotí pomocí tatitických funkcí..4 Podobnot ytémů Sytémy mohou být i podobné ve truktuře a v chování. Sytémy podobné ve truktuře mohou být: -homomorfní kde ke každému prvku jednoho ytému lze jednoznačně přiřadit prvek druhého ytému a oučaně každému vztahu mezi prvky jednoho ytému je jednoznačně přiřazen vztah mezi odpovídajícími prvky druhého ytému. -izomorfní - pokud výše uvedené platí i při vzájemné záměně ytémů. Sytémy jou i podobné v chování, jetliže tejné podněty vyvolají u obou ytémů tejné reakce. Jou-li dva ytémy podobné ve truktuře, jou i rovněž podobné i v chování, ale neplatí to naopak..5 Analýza a yntéza ytémů Při práci e ytémy e etkáváme problémem analýzy a yntézy ytémů. Analýza ytému je technickým typem jednoznačné úlohy, kdy na základě znaloti truktury ytému zjišťujeme jeho chování. 5
Syntéza ytému je technickým typem nejednoznačné úlohy, kdy na základě požadovaného chování e hledá (navrhuje) odpovídající truktura ytému, která by toto chování zajitila. Přičemž e berou v úvahu omezení při volbě prvků ytémů..6 Klaifikace ytémů Je známo velké množtví různých třídění ytémů dle rozmanitých hlediek. Mnohdy není možné vymezit jané a zřetelné hranice mezi jednotlivými druhy ytémů. Mezi základní třídění ytémů patří:. řídění podle vztahu k realitě na ytémy reálné a abtraktní. V reálných ytémech jou všechny jejich prvky povahy hmotné (reálné objekty). Sytémy abtraktní jou tvořeny prvky nehmotné povahy (abtraktní, pojmové kategorie). 2. Podle původu vzniku e dělí ytémy na přirozené a umělé. Sytémy umělé vznikly z vědomého podnětu lidí. 3. Podle vědních oborů lze ytémy rozdělit na: matematické, fyzikální, kybernetické, ekologické, ekonomické, ociální, biologické,aj. 4. Klaifikace ytémů dle jejich vzájemné podobnoti na: ytémy podobné i ve truktuře a ytémy i podobné v chování, viz. výše. 5. Dle chování ytémů v čae e ytémy dělí na tatické a dynamické. Statické ytémy jou takové, jejichž tav e v čae nemění, jejich tatické chování je vyjádřeno tatickou charakteritikou. Sytémy, jejichž tav je v čae proměnný e nazývají dynamické. Jejich dynamické chování je určeno dynamickými charakteritikami které vyjadřují dynamické vlatnoti daného ytému, t.j. jejich vliv na čaový průběh přenášených ignálů. Dynamické vlatnoti lineárních ytémů lze popat lineárními diferenciálními rovnicemi kontantními koeficienty a operátorovými přenoy. Dynamické vlatnoti nelineárních ytémů lze popat nelineárními diferenciálními rovnicemi. 6. Podle typu ytémových veličin e ytémy dělí na pojité a dikrétní.ve pojitých ytémech probíhá děj pojitě, oučaně ve všech prvcích. V důledku uvolnění vnitřní energie, nebo v důledku půobení vnějších podnětů, přechází pojitý ytém do nového rovnovážného tavu pojitě. V dikrétních ytémech dochází k dikretizaci buď čaové oy ( událotí ), nebo hodnot proměnných veličin, nebo obojí. Změny ytémových veličin e dějí v určitých dikrétních čaových okamžicích, a obvykle ne ve všech prvcích ytému oučaně. 7. Podle tvaru tatické charakteritiky klaifikujeme ytémy na : lineární a nelineární. V lineárních ytémech platí princip uperpozice V nelineárních ytémech princip uperpoice neplatí..7 Formy prezentace ytémů Sytémy lze popiovat, vyjadřovat, zapat buď verbálně pomocí eznamu prvků a vazeb mezi nimi, blokovými chématy a nebo použitím metod z teorie grafů a teorie matic. Na obr. je uveden ytém řízení přípravných prací prezentovaný blokovým chématem. V blokovém chématu jou zobrazeny jak funkční vazby (vzájemné fyzikální ouviloti omezení), tak i vazby informační a řídicí. Funkční vazby (materiálové, energetické) toky je nutno v ytému řízení repektovat. Vazby informační a řídicí je nutno v řídicím ytému zajitit. 6
Obr. Preentace ytému řízení blokovým chématem Informační vazby ytému na obr. jou tyto: IPO informace o průběhu pracovních operací v proceu ražení děl ISM informace o potřebě nutného materiálu pro pracovní činnoti IPP- informace o příčinách poruch a netechnologických protojů IPČ informace o potupu čelby přípravného díla ISE informace o potřebě energie (elektrické i vzduchové) IPP informace o průběhu plnění měnových předpokladů a technických režimů Řídicí vazby v ytému jou: SPP tanovení měnových předpokladů a technických režimů ŘOH řízení odtěžení uvolněné horniny v proceu razicích prací ŘSP řízení měnových potupů ŘSV řízení právné funkce větrání ŘDM řízení dodávky materiálů a důlní výtroje ŘDE řízení dodávky energie (elektrické a vzduchové) Funkční vazby ytému jou: ZDE zajištění dodávky energie (elektrické a vzduchové) ZDM zajištění dodávky potřebného materiálu a důlní výtroje ZKP zajištění dobrých klimatických podmínek (větrního proudu) UH tok uhlí a horniny z přípravného pracoviště VHP tato vazba repektuje vliv proměnlivých hornicko- geologických podmínek. 7
Prezentace ytému orientovaným grafem Grafem e rozumí jitý matematický útvar. Rozeznáváme grafy orientované a neorientované. Orientovaný graf je tvořen množinou uzlů polu množinou orientovaných hran mezi těmito uzly. Prezentace ytémů protřednictvím grafové truktury vychází z podobnoti mezi pojmem ytém a pojmem orientovaný graf. Uzly grafu jou přiřazeny jednotlivým prvkům ytému a hrany pak vazbám tohoto ytému. Uzel do něhož žádná hrana nevtupuje předtavuje vtup ytému a uzel z něhož žádná hrana nevytupuje předtavuje výtup ytému. Příklad prezentace ytému protřednictvím orientovaného grafu je na obr.2. Je zde prezentován ytém řízení přípravného pracoviště, který byl uveden v obr.. Obr.2 Preentace ytému orientovaným grafem Prezentace ytémů pomocí incidenčních matic Pro potřeby unadnění projektování ytémů použitím počítače, e ytémy prezentují ve formě incidenčních matic. Incidenční matice obdobně tak, jako orientované hrany popiují trukturu a vlivy vzájemného půobení jednotlivých prvků uvnitř ytému. Incidenční matice jou dvojího typu: uzlohranové incidenční matice a uzlové incidenční matice. Uzlohranová incidenční matice je reálná matice typu (m,n). Matice má m řádků, které odpovídají počtu uzlů v orientovaném grafu daného ytému a n loupců jejichž počet odpovídá počtu orientovaných hran v grafu. Prvek a ij uzlohranové incidenční matice má hodnotu rovnou, jetliže j tá hrana vytupuje z uzlu U i, a je roven -, jetliže j- tá hrana grafu vtupuje do uzlu U i. Jinak má hodnotu 8
rovnou 0. Počet hodnot repektive - v každém řádku incidenční matice udává vtupní, repektive výtupní tupeň přílušného uzlu v orientovaném grafu ytému. Každý loupec této matice má však právě jednu hodnotu a jednu hodnotu -, protože každá hrana inciduje e dvěma uzly. var uzlohranové incidenční matice je závilý na pořadí, v jakém jou očílovány jednotlivé uzly a hrany daného grafu. Změna očílování však způobí pouze permutaci řádků a loupců. Na základě tohoto faktu lze pak zjišťovat izomorfnot dvou grafů ytémů. Dva ytémy jou tejné jetliže jejich incidenční uzlohranové matice jou tejné, až na případnou permutaci řádků či loupců. Kontrukce uzlohranové incidenční matice nepředpokládá exitenci myček v orientovaném grafu. Příklad incidenční uzlohranové matice, korepondující orientovaným grafem na obr.2, je uveden v obr.3 2a 2b 2c 2d 2e 3e 3d 4 2 23 24 25 26 27 32 5 6 7 U - 0 0 0 0 0 0 - - - U 2 - - - - - 0 0 0-0 0 0 U 3 0 0 0 0 0 - - 0 0-0 0 0 0 0 0 0 U 4 0 0 0 0 0 0 0-0 0-0 0 0 0 0 0 0 U 5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0-0 0 0 0 0 U 6 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0-0 0 0 0 U 7 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0-0 0 0 Obr.3 Uzlohranová incidenční matice ytému řízení přípravného pracoviště. Uzlová incidenční matice Uzlová incidenční matice je reálná čtvercová matice řádů n, což odpovídá počtu uzlů v grafové truktuře daného ytému. Prvek v ij matice udává počet orientovaných pojení mezi uzly U i a U j. Je- li jedno pojení, má hodnotu, jou-li dvě pak má hodnotu 2, atd. Není-li žádné pojení mezi uzly pak má hodnotu 0. Přičemž za pojení mezi dvěma uzly e počítá orientovaná hrana vycházející z uvažovaného uzlu, ale ne do něj vtupující. ím je ice doti potlačena ubjektivita hran orientovaného grafu zato však, jak již bylo výše uvedeno není nutné vylučovat myčky. Uzlová incidenční matice ytému z obr.2 je na obr.4. Obr.4 Uzlová incidenční matice Ze truktury matice lze zjitit vtupní uzel v korepondujícím grafu dle toho, že daný loupec matice bude obahovat amé nuly, a výtupní uzel tak, že na odpovídajícím řádku budou amé nuly. 9
2. Kybernetický model řízení eoretickým základem pro ytémy řízení, včetně automatických či automatizovaných řídicí ytémů, je kybernetika. Kybernetika je vědní obor zabývající e obecnými zákonitotmi řízení v různých ytémech * ( technických, ekonomických, biologických, polečenkých, aj.). * pro práci e ložitými a rozáhlými objekty jako například: výroba, technologické procey, aj., je nutný ytémový přítup. Sytémový přítup počívá na základech dialektiky, to znamená, že jevy vykytující e při řešení daných problémů je třeba chápat komplexně e všemi ouvilotmi ve vém dynamickém vývoji. echnická kybernetika e zabývá problematikou řízení technických ytémů ( například řízení trojů, mechanizmů, komplexů, center, technologických proceů,výroby). Řízení obecně je cílevědomé půobení řídicího ubjektu na objekt řízení ( řízený objekt ) tak, aby byly plněny požadované cíle řízení, navzdory půobení poruchových vlivů, viz. obr. 5. Obr. 5 Blokové chéma principu řízení. Základním principem řízení je zpětná vazba, zajišťující informace o průběhu a výledku řízení. Jedním z útředních pojmů řízení je informace. Informace je jakékoliv dělení o tavu v jakém e nachází řízený objekt. Je-li řídicí ubjekt v obrázku 5 zcela nahrazen obecně řečeno automatem *, pak e takové řízení nazývá automatické řízení. * v oučané době je realizován řídicím počítačem či mikroproceorovým ytémem, umožňujícím řešit jak úlohy logického řízení, tak i automatické regulace 0
V ytémech automatického řízení (automatic control) je informace o tavu řízeného objektu zjišťována ( měřena, nímána ) zcela automaticky protřednictvím čidel a nímačů. ( Čidlo je základní oučátí nímače a je přímo ve tyku měřenou - nímanou veličinou). Informace od nímačů jou přiváděny protřednictvím elektrických ignálů*, na vtupy řídicích členů (logických obvodů - v případě řešení úloh logického typu, nebo regulátoru - v případě úlohy automatické regulace). * Signál je fyzikálním noitelem zprávy a muí ji jednoznačně charakterizovat ve mylu zachování jejího informačního obahu i přenoové rychloti. Dikrétní zprávy (informace) jou vyjadřovány dikrétními ignály. Spojité zprávy e vyjadřují ignály pojitými, nebo i ignály dikrétními za použití techniky kvantování ignálu. Jednotkou informace ( nejmenším množtvím informace) je bit. ( dvouhodnotová kódová abeceda ). Zcela plné automatické řízení výroby (technologického proceu) není možné z toho důvodu, že některé oblati výroby k tomu nejou způobilé (tam kde výrazně vytupuje lidký činitel). Například je to koordinace ubjektů ve výrobě, mezilidké problémy, odpovědnot za pracovní činnoti, příprava výroby, atd. (Zde nelze k zíkání informací použit automaticky pracující nímače, informující o tavu a průběhu vývoje). Informace zde pokytuje a zadává lidký činitel na terminálu, který je zařazen do ytémového zpracování informačních toků. Nicméně výhody automatizace (optimalizace výrobního proceu, aj.) e více uplatní tam, kde je naazována automatizace komplexně, t.j. jak automatické, tak i automatizované řízení výroby. V ytému automatizovaného řízení (automated control) výroby e lidký ubjekt podílí na řídicím proceu jak ve fází zíkávání a pokytování informací (řídicí pracovníci na různých tupních hierarchické řídicí a organizační truktury), tak i ve fází řídicí, rozhodovací (vrcholový management). K tomu jim louží technické protředky automatizace, jako například automatizované a automatické informační ytémy (běr, kódování, přeno a zpracování informací), počítačové ítě, databanky, aj. V řídicí fázi pak protředky algoritmizace rozhodovacích proceů, imulační a prognotické modely, metody optimalizace, aj. Sytémy takového řízení ložitých úloh, řešených komplexně, e nazývají automatizované řídicí ytémy ( Automated Control Sytem ). V ytémech automatizovaného řízení, informace o tavu řízeného objektu, průběhu a výledku řízení je i ve formě údajů, dat*, zpráv **, které jou vytvářeny protřednictvím počítačových terminálů, přenášeny přenoovými ytémy na dálku a vyhodnocovány pro účely řízení v řídicích centrech. * Data jou údaje obahující informaci, preentované ve formalizovaném tvaru, určené pro zpracování výpočetní technikou. **Zpráva je formalizovaný způob ( obahující data ), jakým je vyjádřena informace. Přeno zprávy od míta jejího vzniku k mítu jejího zpracování e ukutečňuje protřednictvím ignálu.
3. Základy řízení logického typu Automatické řízení logického typu je realizováno pomocí logických obvodů (logických ítí, logických ytémů), viz. obrázek 6. z x y LO u ŘO Obr.6 Blokové chéma obvodu řízení logického typu Do logických obvodů (LO) vtupují dvouhodnotové ignály y od nímačů, které informují o tavech řízeného objektu (ŘO). Logické obvody pak půobí na řízený objekt dvouhodnotovými řídícími (ovládacími) ignály u, které jej pře patřičné akční členy uvedou do požadovaného tavu. A to podle algoritmu, který je dán návrhem logického obvodu, a který repektuje vnější řídící povely x i poruchové vlivy z půobící na objekt řízení. Přičemž řídicí ytém (logický obvod) půobí na objekt řízení konečným počtem řídicích akcí (konečný automat). Logické obvody jou takové technické ytémy, které zpracovávají dvouhodnotové (binární) ignály, ať již je jejich fyzikální realizace z elektromechanických, elektronických, pneumatických nebo hydraulických obvodů. Pozn.: Logické obvody e široce používají při automatickém řízení logického typu, kontrole různých technologických proceů, při automatickém řízení dopravy, při řízení pojení a dálkovém přenou zpráv ve pojovací technice, při řízení práce čílicových počítačů a mikroproceorových ytémů, atd. 3. Formální logika Při návrhu logického obvodu, jenž by vytvářel binární výtupní (ovládací) ignály podle požadované zákonitoti (algoritmu), je nutno tuto zákonitot matematicky formulovat. K zíkání matematického popiu funkce logického obvodu e používá pravidel a zákonů formální logiky. Formální logika pracuje výroky. Základním pojmem pro logické vztahy je výrok. Výrokem e rozumí každá věta, o které můžeme rozhodnout, zda je pravdivá či nepravdivá. Příklad výroku: Výrobní troj pracuje (produkuje). oto je výrok, protože má myl e zeptat: Je pravda, že výrobní troj pracuje? A odpověď by byla (dle konkrétní ituace): Ano je to pravda (RUE). Nebo: není to pravda (FALSE). V tomto mylu výroky mají určitou hodnotu (RUE či FALSE) a jou noiteli elementární informace. 2
Matematicky můžeme výroky formulovat, přiřadíme li pravdivoti daného výroku pravdivotní hodnotu. Například bude li výrok pravdivý, bude jeho pravdivotní hodnota rovna, bude li nepravdivý bude jeho pravdivotní hodnota rovna 0. Vlatní lovní vyjádření výroku e pak nahradí vhodným ymbolem. Například pímenem z abecedy (a,b,c,d,e,f,...), nebo pímenem indexem ( x, x 2, x 3,..., y, y 2,..., u,u 2,...), apod. 3.2 Logické funkce Ze dvou nebo i více jednoduchých výroků lze jejich vhodným pojováním zíkat výroky nové, jejichž pravdivot či nepravdivot závií na způobu jejich pojení a na pravdivotních hodnotách jednoduchých výroků. Nejčatěji používaným názvem těchto ložených výroků je logická funkce. Přitom e přílušné jednoduché výroky označují jako logické proměnné, které mohou nabývat pravdivotních hodnot nebo 0 (logické jedničky nebo logické nuly). Základní logické funkce Nejjednodušší logickou funkcí je logická funkce negace. Vtupní logická proměnna je zde označena pímenem a (může nabývat hodnoty logické jedničky a nebo logické nuly). Výtupní logickou proměnnou je u (která nabývá také dvou hodnot logické nuly a jedničky a to inverzně). Její algebraický zápi je uveden ada). Definice pomocí kombinační tabulky je adb). Obecná obdélníková značka logického prvku, který realizuje logickou funkci negace je uvedena adc). Negace: a) u a b) c) a u 0 0 Další základní logické funkce jou tvořeny jakožto výledek kombinací dvou vtupních logických proměnných (zde označených pímeny a a b). Funkce logického oučtu je definována v kombinační tabulce adb), algebraický zápi této funkce je ada), obecná obdélníková značka prvku, který realizuje tuto funkci je adc). Logický oučet: a) u a + b b) c) b a u 0 0 0 0 0 3
Logický oučin: a) u a. b b) c) b a u 0 0 0 0 0 0 0 yto tři elementární logické funkce tvoří úplný oubor logických funkcí tak, jak jej tanovil irký matematik Henry Boole. Vlatnotí úplného ouboru logických funkcí je, že pomocí něj e dají vyjádřit všechny otatní logické funkce. Repektive dají e realizovat pomocí logických prvků: typu negace (NO), logického oučinu (AND) a logického oučtu (OR). akže realizace dalších jednoduchých logických funkcí pro dvě vtupní proměnné a jednu výtupní logickou proměnnou je právě pomocí těchto prvků a nejou vyráběny ani prezentovány odpovídající logické prvky. Výjimku tvoří Shefferova a Peirceova funkce, které amy o obě mají vlatnot úplného ouboru logických funkcí to znamená, že pomocí každé z těchto funkcí lze realizovat funkce otatní. Implikace: a) u a b b) b a u 0 0 0 0 0 Ekvivalence: a) u a b b) b a u 0 0 0 0 0 0 Nonekvivalence: a) u a b b) b a u 0 0 0 0 0 0 4
Inhibice: / a) u a b b) b a u 0 0 0 0 0 0 0 Zpětná implikace u, zpětná inhibice u 2, nulová funkce u 3, jednotková funkce u 4, aerce a u 5, aerce b u 6. b a u u 2 u 3 u 4 u 5 u 5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Shefferova funkce: a) u a. b b) c) b a u 0 0 0 0 0 Shefferova logická funkce je realizována logickým prvkem (hradlem) typu NAND, jehož obdélníková grafická značka je uvedena adc). Peirceova funkce: a) u a + b b) c) b a u 0 0 0 0 0 0 0 Peirceova funkce, je realizována logickým prvkem (hradlem) typu NOR, viz. adc). Jak již bylo výše uvedeno,shefferova a Peirceova funkce mají amy o obě vlatnot úplného ouboru logických funkcí a to znamená, že pomocí každé z těchto funkcí lze realizovat funkce otatní a to včetně funkcí negace, logického oučtu a logického oučinu, což je výhodou používáno při realizaci logických obvodů na úrovni L logiky (čílicových integrovaných obvodů). 5
3.3 Booleova algebra ato logická algebra e opírá o úplný oubor logických funkcí, tvořený třemi elementárními logickými funkcemi: logickým oučtem, logickým oučinem a negací. Priorita vazeb logických proměnných v logických rovnicích (funkcích) je tato:. negace 2. logický oučin 3. logický oučet. Axiomatická pravidla této logické algebry louží k minimalizaci, čili zjednodušování logických funkcí. zákon komutativní a + b b + a a. b b. a zákon aociativní a + (b + c) (a + b) + c a. (b. c) (a. b). c zákon ditributivní a + b. c (a + b). (a + c) a. (b + c) a. b + a. c zákon dvojí negace a a zákon vyloučeného třetího a + a a. a 0 zákon aborpce a + a a a. a a zákon agreivity hodnot 0 a a + a. 0 0 zákon neutrality hodnot 0 a a + 0 a a. a zákony de Morganovy a + b a. b a. b a + b odvozená pravidla aborpce a + a. b a. ( + b ) a a + a. b a.( + b) a Příklad Minimalizujte tuto logickou rovnici: u a. b. c + a. b. c + a. b. c + a. b. c Řešení: u a. b. c + a. b. c + a. b. c + a. b. c a. c.( b + b ) + a. c ( b + b ) a. (c + c ) a Příklad 2 Minimalizujte tuto logickou rovnici: u a. ( a+b).( a +b) Řešení: u a. ( a+b).( a +b) ( a + a.b). ( a + b) a.( + b). ( a + b) a. ( a + b) a. b 3.4 Úplná dijunktní a úplná konjunktní normální forma Úplná dijunktní normální forma (ÚDNF) vyjadřuje logickou funkci zadanou kombinační tabulkou, algebraickým výrazem (logickou rovnicí) ve tvaru logických oučtů mintermů. Přičemž každý minterm je tvořen logickým oučinem logických proměnných, repektive jejich negací. S tím, že je li v daná logická funkce v tabulce charakterizována n proměnnými, pak každý minterm muí obahovat n těchto logických proměnných. Obdobně úplná konjunktní normální forma (ÚKNF) je algebraickým vyjádřením logické funkce, zadané kombinační tabulkou, ve tvaru logických oučinů maxtermů (logických oučtů) logických proměnných. V každém maxtermu muí být n logických proměnných, je li logická funkce v kombinační tabulce zadána n logickými proměnnými. 6
Logickou funkci, převedeme na ÚDNF tak, že procházíme v kombinační tabulce výtupní logickou proměnnou, a kde tato obahuje logickou jedničku, pak odpovídající kombinace logických proměnných vypiujeme ve tvaru mintermu. yto mintermy e pojí operandem logického oučtu. V daném mintermu je logická proměnná zatoupena vou původní hodnotou jetliže v dané kombinaci v tabulce je uvedena logická jednička a má li však hodnotu logické nuly, pak je zatoupena vou negací. Příklad Převeďte logickou funkci vyjádřenou v kombinační tabulce do úplné dijunktní normální formy. a 0 0 0 0 b 0 0 0 0 c 0 0 0 0 u 0 0 0 0 0 Řešení : u a. b. c + a.b.c + a.b.c Pozn. Vyjádření ÚKNF e realizuje obdobně tím, že e berou v úvahu maxtermy, kde výtupní logická proměnná u má hodnotu 0. Maxtermy e pak pojují operandem logického oučinu. V daném maxtermu jou logické proměnné vyjádřeny vými negacemi, nabývají li hodnot logické jedničky a naopak. 3.5 Grafická minimalizační metoda Minimalizace logických funkcí užitím zákonů Booleovy algebry je někdy doti obtížná. Obtížnot e zvětšuje, je-li logická funkce zadána větším počtem mintermů či maxtermů. Proto e používají k minimalizaci různé metody, z nichž je velmi výhodná metoda Kaurnaughoffovy mapy, pro čtyři až pět logických proměnných. Lze ji použít i pro šet logických proměnných, dále pak již jen doplňujícími šablonami. ato grafická minimalizační metoda počívá ve dvou krocích : ) Vytvoření grafické mapy a zapání dané logické funkce ve tvaru ÚDNF nebo ÚKNF do mapy. 2) Grafická minimalizace logické funkce v mapě a výpi výledné minimalizované logické funkce. ad ) Zápi (záznam) logické funkce do mapy. Obecně je velikot mapy (počet políček) dána počtem logických proměnných dle vztahu: M 2 n kde n je počet logických proměnných a M je počet políček tvořících mapu. 7
Například mapa pro tři logické proměnné má: 2 3 8 políček, pro čtyři-šetnáct, pro pěttřicet dva a pro šet proměnných-šedeát čtyři políček. Převod dané logické funkce z ÚDNF do mapy e provádí tak, že jednotlivé mintermy e prezentují v mapě hodnotou logické jedničky, dle přílušného grafického označení logických proměnných po tranách mapy. Zbylá políčka mapy e vyplní hodnotou logické nuly. (V případě ÚKNF je tomu obráceně). ad2) Grafická minimalizace Grafická minimalizace e opírá o předtavu tzv. ouedních políček ouedících polu pře hrany (ne pře vrcholy). Souední políčka lze graficky družovat, čímž dochází k minimalizaci, protože pojením dvou ouedních políček obahujících jedničky, do jediného útvaru nazvaného dvojice e vyloučí jedna logická proměnná. Při zpětném výpiu, takto zminimalizované logické funkce z mapy, e na pojená políčka pohlíží jako na jeden útvar, který předtavuje jeden logický oučin. Souední políčka lze graficky družovat do dvojic, čtveřic, omic, šetnáctic, atd. Dvojice je potom popána logickým oučinem o jednu proměnnou chudším, o kterou e právě dvě ouední políčka liší a která e tímto vy-eliminuje, dle zákonů Booleovy algebry. Čtveřice, tj. grafický útvar vzniklý družením čtyř ouedních políček, je pak určena logickým oučinem o dvě logické proměnné jednodušším. Omice je pak určena logickým oučinem o tři proměnné, jednodušším. Šetnáctice o čtyři proměnné, atd. Při čemž při grafické minimalizaci e nažíme družovat políčka do co možná největších útvarů (vyloučí e tím více logických) a dále e nažíme,aby těchto útvarů bylo co nejméně. (Počet útvarů odpovídá počtu logických oučinů, výledné logické funkce). Označení logických proměnných na okraji mapy muí být provedeno tak, aby ouední políčka opravdu polu ouedila i podle grafické předtavy a to hranou, nikoliv však vrcholem. Příklady: Na obrázcích 7 až je uvedeno pět příkladů grafické minimalizace. V příkladu jež je prezentován obrázkem 7 obahovala původní logická rovnice ve tvaru ÚDNF om mintermů (každý tvořený logickým oučinem čtyř logických proměnných), obr.8 pak šet mintermů, obr.0 deet mintermů, obr. dokonce dvanáct mintermů. Pod každým obrázkem je pak uvedena výledná minimalizovaná logická rovnice. Pozn.Znaménka X některých políčcích mapy (v obr. 9) znamenají, že takováto kombinace logických proměnných nikdy nenatane a proto můžeme do takového políčka vepat hodnotu 0, nebo podle toho, co bude výhodnější hledika minimalizace. Z obrázku je vidět, že pro minimalizaci bude výhodné zapojit čtyři políčka označením X do dvou čtverců. Do zbylých tří políček označením X zapíšeme nuly, protože ta nám k minimalizaci nepropějí. Obr. 7 8
Obr.8 Obr. 9 Obr. 0 Obr. 3.6 Kombinační logické obvody Kombinační logické obvody realizují logické funkce v záviloti na kombinaci tavů vtupních logických proměnných. Syntéza těchto obvodů obahuje náledující potup: definice přiřazení logických hodnot vtupním a výtupním proměnným vyjádření požadované činnoti obvodu protřednictvím logických funkcí v kombinační tabulce převedení logické funkce (logických funkcí) z kombinační tabulky do logické rovnice (logických rovnic) pomocí ÚDNF (repektive ÚKNF). minimalizace logické funkce (logických funkcí) etavení ymbolického chématu pro danou logickou funkci, nebo funkce z grafických značek logických prvků, mající vlatnot úplného ouboru logických funkcí. realizace logické funkce (funkcí) konkrétními logickými prvky průmylově vyráběnými. 9
Příklad Navrhněte kombinační logický obvod (bez poledních dvou bodů yntézy), který bude pro tři vtupní logické proměnné (a, b, c) vyhodnocovat: a) překročení mezního tavu u jedné proměnných ze tří (u ) b) překročení mezního tavu u dvou proměnných ze tří (u 2 ) c) všech tří proměnných najednou (u 3 ) Řešení: Kombinační tabulka a 0 0 0 0 b 0 0 0 0 c 0 0 0 0 u 0 0 0 0 0 u 2 0 0 0 0 0 u 3 0 0 0 0 0 0 0 ÚDNF: u a. b. c + a. b. c + a. b. c u 2 a. b. c + a. b. c + a. b. c u 3 a. b. c Pozn. Uvedené tři ÚDNF jou oučaně i minimálními logickými výrazy. 3.7 Sekvenční logické obvody Sekvenční logické obvody jou ložitější oproti kombinačním logickým obvodům. Ve vé truktuře obahují i kombinační logické obvody (KLO) a navíc pak ještě i paměťovou čát ytému (PČS). Okamžité hodnoty výtupních logických proměnných U, U 2, U 3... U m jou pak určeny nejen okamžitými kombinacemi vtupních logických proměnných X, X 2, X 3... X m, ale také jejich předcházejícími kombinacemi. x u x 2 u 2 x 3. kombinační u 3. logický x n obvod u m Q k Q k- Q q q 2 paměťová čát ytému q l Obr. 2 Blokové chéma truktury ekvenčního logického obvodu 20