1.. Kinematika hmtnéh bdu P matematické přípravě už můžeme začít s první kapitlu, kinematiku. Tat část fyziky se zabývá ppisem phybu těles, aniž by se ptala prč k phybu dchází. Jak je ve fyzice častým zvykem, budeme studvat ne phyb knkrétníh bjektu, tělesa, ale budeme sledvat phyb hmtnéh bdu. Situaci tím zjedndušujeme, nahrazujeme reálné těles mdelem - hmtným bdem. 1..1. Hmtný bd, mechanický phyb 1. Umět vysvětlit pjem hmtnéh bdu.. Uvést knkrétní příklady, kdy těles lze nahradit hmtným bdem. 3. Znát definici vztažné sustavy, umět ji zvlit v knkrétním případě. Hmtný bd je myšlený bdvý bjekt, kterým nahrazujeme skutečné těles. Hmtný bd má stejnu hmtnst jak těles a představujeme si h umístěný d jeh těžiště. Tt zjedndušení lze pužít, jsu-li rzměry tělesa zanedbatelné vůči vzdálenstem p kterých se phybuje. Jeducí aut vzhledem ke kilmetrvým vzdálenstem, letící kámen, neb dítě na řetízkvém kltči lze přibližně pvažvat za hmtné bdy. Příklady na hmtný bd v předchzím dstavci vždy ukazvaly těles v phybu. Zastavme aut. Jeh plha se nemění vůči klí. Říkáme, že bjekt je v klidu. Ale aut se přest phybuje splu se Zemí táčí se s ní, phybuje se s ní vůči Slunci atp. Klid těles je vždy relativní, abslutní klid neexistuje. Označím-li těles za klidné, musím vždy uvést, vzhledem k čemu je v klidu. Stejný prblém je i s phybem. Aut jede p silnici devadesátikilmetrvu rychlstí. T je rychlst vůči silnici. Ale sledujeme-li jeh rychlst například vůči Slunci, musíme ještě přidat rychlst phybu Země atd. Z tét úvahy pět vyplývá závěr, že phyb těles je také vždy relativní. Vidíme, že ppis klidu i phybu vždy závisí na tm, k jakým tělesům jej vztahujeme. Vlíme tedy sustavu těles, ke kterým vztahujeme phyb neb klid sledvanéh tělesa - vlíme tzv. vztažnu sustavu. Nejčastěji vztahujeme phyb k pvrchu Země. Ale nemusí tmu tak být vždy. Například jdeme-li uličku v jeducím vlaku, pak může být vztažnu sustavu vagn, neb pvrch Země. TO 1..-1 Které z uvedených těles můžeme pvažvat za hmtný bd? Míč vystřelený na branku, míč v ruku brankáře, běžící závdník při dálkvém běhu, rtující kulička na stle, umělá družice Země. TO 1..- C znamená, že klid a phyb jsu relativní? TO 1..-3 Sedíte v jeducím autě. Jste v klidu neb v phybu? Uvažujte dvě různé vztažné sustavy. 1
1... Plhvý vektr, trajektrie, dráha 1. Umět zapsat plhu hmtnéh bdu pmcí pravúhlé sustavy suřadnic.. Určit plhu hmtnéh bdu pmcí plhvéh vektru, umět vypčítat jeh velikst a směr. 3. Definvat pjmy dráha a trajektrie. 4. Rzlišvat pdle tvaru trajektrie přímčaré a křivčaré phyby. 5. Zakreslit d grafu závislst dráhy na čase. Ppisujeme-li mechanický phyb hmtnéh bdu vzhledem ke zvlené vztažné sustavě, musíme určit jeh plhu v libvlném čase. Nejjedndušší je určit plhu pmcí pravúhlé sustavy suřadnic Oxyz. Na brázku Obr.1..-1 stanvujeme plhu bdu P, třeba umístění vázy na stle v místnsti. Suřadnu sustavu spjíme s místnstí, pčátek suřadnic O umístíme d jednh spdníh rhu místnsti. Osami x, y, z jsu z tht rhu vybíhající rhy stěn. Plha našeh hmtnéh bdu vázy je určena suřadnicemi x = 3 m, y = 1 m, z = m. Zkráceně zapisujeme tut plhu jak P = [3 m, 1 m, m]. Plhu hmtnéh bdu můžeme určit také pmcí plhvéh vektru r. Plhvý vektr je vektr s pčátkem v bdě O suřadnicvé sustavy a s kncvým bdem ve vyšetřvaném bdě P. Suřadnice plhvéh vektru jsu ttžné se suřadnicemi hmtnéh bdu x, y, z jak je vidět na Obr.1..-. Vektr r tak můžeme zapsat jak r [x,y,z]. Jeh velikst je dána vztahem : r = x + y + z ), jeh směr je pak určen úhly α, β, a γ, které plhvý vektr svírá s sami suřadnic. U 1..-1 Na brázku Obr.1..-3 je znázrněna plha bdu A ležícíh v rvině. Zapište jeh plhu pmcí plhvéh vektru, určete jeh velikst a směr. Obr.1..-3 Obr.1..-1 Obr.1..-
Phybuje-li se hmtný bd, pisuje v prstru pmyslnu suvislu čáru, kteru nazýváme trajektrie hmtnéh bdu. Trajektrie je mnžina všech plh, kterými hmtný bd při svém phybu prchází. Pdle tvaru trajektrie rzlišujeme phyby: přímčaré trajektrií je část přímky, křivčaré trajektrií je křivka neb její část (kružnice, parabla, elipsa neb libvlná prstrvá křivka). Pdle tvaru trajektrie usuzujeme na druh phybu. Nás však také zajímá délka trajektrie dráha. Délka s trajektrie, kteru hmtný bd píše za čas t, se nazývá dráha. Dráha je fyzikální veličina, kteru uvádíme v jedntkách délky. Na brázku Obr.1..-4 se phybuje hmtný bd p přímčaré trajektrii z bdu A d bdu B. V tmt případě je délka trajektrie dráha s rvna vzdálensti bdů A a B. Obr.1..-4 Na druhém brázku Obr.1..-5 se hmtný bd phybuje p křivčaré trajektrii. Nyní musíme měřit dráhu s pdél celé křivky d bdu A d bdu B. Jak se hmtný bd phybuje p své trajektrii, plyne čas. S rstucím časem se zvětšuje dráha, kteru hmtný bd urazil. Říkáme, že dráha s je funkcí času t. Tut závislst dráhy na čase zapisujme výrazem s = s(t). Obr.1..-5 Je výhdné si tut závislst zakreslvat d grafu. Na x su nanášíme čas t, na su y uraženu dráhu s. TO 1..-4. Jak rzdělujeme phyby pdle trajektrie? TO 1..-5. Určete pdle tvaru trajektrie jaký phyb kná: vržený štěp, padající list ze strmu, lkmtiva na přímé trati, sprinter na trati 100 m a 00 m, umělá družice Země, celá Země. TO 1..-6 Jaku trajektrii pisuje jehla gramfnvé přensky vzhledem: ke skříni gramfnu, k přensce, táčející se gramfnvé desce? U 1..-. Běžec uběhl v každé sekundě dráhu 7 m. Jaku dráhu uběhl za dbu 5 s, 10 s? U 1..-3 Hmtný bd se phybuje z jednh místa d druhéh a) p přímce, b) p části kružnice. Ve kterém případě urazí větší dráhu? U 1..-4 Zakreslete d grafu závislst uražené dráhy na čase auta jeducíh stále stejnu rychlstí 60 km/hd. Jaký bude mít tvar vzniklá křivka? 3
1..3. Rychlst hmtnéh bdu 1. Umět definvat vektr rychlsti a znát matematický zápis tét definice.. Rzlišvat průměrnu a kamžitu rychlst. 3. Klasifikvat phyby pdle rychlsti. rychlst. Przatím jsme u phybu hmtnéh bdu vyšetřvali puze jeh dráhu. Teď se budeme zabývat druhu veličinu charakterizující phyb rychlstí. Hmtný bd se může phybvat pmaleji neb rychleji, tj. urazí stejnu dráhu za různý čas. O tm, který ptřebuje k uražení stejné dráhy nejkratší čas říkáme, že je nejrychlejší, neb má největší Při definvání rychlsti vyjdeme z brázku Obr.1..-7. Chceme stanvit rychlst hmtnéh bdu mezi bdy trajektrie A a A. Než se hmtný bd v čase t dstal d bdu A, urazil d pčátku O dráhu s. Označme dráhu d pčátku k bdu A jak s. Sem se hmtný bd dstane za čas t. Nás bude zajímat rychlst, se kteru se hmtný bd phybuje v úseku (intervalu) dráhy s = s - s. K uražení tht úseku dráhy ptřebuje čas t = t t. Obr.1..-7 Průměrná rychlst hmtnéh bdu je pdíl jeh dráhy s a dpvídající dby phybu t. v s t s s = =. 1..-1 t t Jedntku rychlsti v sustavě SI je metr za sekundu tj. m/s = m.s -1. Běžně se pužívá také vedlejší jedntka km/h. U 1..-5 Autmbil jede průměrnu rychlstí 90 km/h. Vyjádřete tut rychlst pmcí jedntek SI. Autmbil prjede první třetinu dráhy s se stálu rychlstí veliksti v 1, další dvě třetiny dráhy stálu rychlstí veliksti v = 7 km/h. Jeh průměrná rychlst byla v = 36 km/h. Určete velikst rychlsti v 1. Prvu třetinu dráhy s 1 = s/3 prjel autmbil za dbu t 1 = s 1 /v 1 = s/3v 1, druhé dvě třetiny dráhy s = s/3 za dbu t = s /v = s/3v, celu dráhu za čas t = t + t, kde t = s/v. 1 P dsazení d vztahu pr celkvý čas t dstáváme výraz s/v = s/3v 1 + s/3v a ud pr velikst rychlsti v 1 = v v / (3v - v). Převedeme nyní rychlsti vyjádřené v km/h na jedntky m/s a dsadíme d vztahu pr v 1 = 10.0 / (3.0-.10) = 5 m/s. 4
Velikst rychlsti autmbilu v prvé třetině dráhy byla 5 m/s, tj. 18 km/h. Vypčítám-li si p ujetí jisté vzdálensti autem průměrnu rychlst, neznamená t, že v každém kamžiku jízdy ukazuje tachmetr tut rychlst. Tent přístrj ttiž měří dráhu, kteru aut ujede za velice krátký čas t a ukazuje nám velikst tak zvané kamžité rychlsti. Budeme-li zkracvat časvý interval t až k neknečně malým hdntám, ptm s ds (interval přejde na diferenciál zpakvat z matematiky!) pak dstaneme následující vztah pr velikst kamžité rychlsti s v = lim, kde t 0, nebli t ds v = 1..- Velikst kamžité rychlsti hmtnéh bdu se rvná první derivaci jeh dráhy pdle času. Przatím jsme si definvali puze velikst rychlsti. Ale my ptřebujeme kamžitu rychlst jak vektr, tedy určit nejen její velikst, ale také její směr. Obraťme se k brázku Obr.1..-8 Z brázku je vidět, že změnu plhy hmtnéh bdu z místa A d bdu A můžeme vyjádřit nejen pmcí dráhy s, ale také pmcí změny plhvéh vektru r. Můžeme tak definvat průměrnu rychlst, tentkráte již jak vektr. r v = t r r = t t. 5 Obr.1..-8 Budeme-li zase zkracvat časvý interval ve kterém určujeme změnu dráhy až d neknečně malých hdnt dstaneme se k vyjádření kamžité rychlsti jak vektru: r v = lim, kde t 0, nebli t dr v =. [m.s -1 ] 1..-3 Okamžitá rychlst hmtnéh bdu se rvná první derivaci jeh plhvéh vektru pdle času. Jak už byl řečen ve středšklské fyzice můžeme pdle veliksti rychlsti rzdělit phyby d dvu skupin: rvnměrný phyb. U tht phybu urazí hmtný bd ve stejných časvých intervalech stejné dráhy. Velikst jeh rychlsti se během phybu nemění, je knstantní. nervnměrný phyb. U nervnměrnéh phybu se velikst rychlsti mění během phybu, není knstantní.
U 1..-6 Dráha hmtnéh bdu je dána rvnicí: s = 6t 3 + 5t + Napište rvnici jeh rychlsti. v = Plha hmtnéh bdu je dána plhvým vektrem r = 3t i + 6tj - k (m,s). Napište velikst x-vé slžky rychlsti tht hmtnéh bdu. Napište velikst rychlsti tht hmtnéh bdu ve druhé vteřině. Máme zadánu dráhu phybu hmtnéh bdu pmcí plhvéh vektru r, který závisí na čase t. Když rvnici pr dráhu derivujeme pdle času, dstaneme rvnici pr rychlst: d d ( r) = ( 3t i + 6 j k) v = t v = 6ti + 6j. Vidíme, že rychlst se s časem mění. Velikst jejích slžek je v x = 6t a v y = 6. Při řešení druhé části zadání vyjdeme z rvnice pr rychlst. Dsadíme-li d ní čas sekundy dstaneme vztah: v() = 1i + 6j. T jsme ale určili vektr rychlsti v tmt čase jak je vidět na Obr.1..-9. Ze střední škly bychm měli vědět, že velikst vektru je dána výrazem v = ( v + v + v ). V našem x y z případě v = (1 + 6 ) = 13,4 ms -1. Obr.1..-9 U 1..-7 Za jaku dbu ujede cyklista dráhu 18 km, jede-li stálu rychlstí 30 km/h? 1..4. Zrychlení hmtnéh bdu 1. Umět definvat vektr zrychlení a znát matematický zápis tét definice.. Rzlišvat průměrné a kamžité zrychlení. 3. Rzlžit celkvé zrychlení křivčaréh phybu na tečné a nrmálvé zrychlení. 4. Klasifikvat phyby pdle zrychlení. 5. Umět určit z rvnice pr dráhu phybu rvnice pr rychlst a zrychlení phybu. 6. Umět určit z rvnice pr zrychlení phybu rvnice pr rychlst a dráhu phybu. 6
V kapitle rychlsti jsme si dělili phyby na rvnměrné a nervnměrné. Pr rvnměrné phyby byl charakteristické, že velikst jejich rychlsti byla knstantní. U nervnměrných phybů se rychlst během phybu mění. Změnu rychlsti za jedntku času značujeme jak zrychlení. Je t p dráze a rychlsti třetí veličina charakterizující mechanický phyb z phledu kinematiky. Změní-li se rychlst hmtnéh bdu z hdnty v v čase t na hdntu v v čase t, pak tut změnu zapisujeme výrazem v = v v. K tét změně dšl v časvém intervalu t = t - t. Pmcí těcht změn můžeme definvat zrychlení hmtnéh bdu. Velikst průměrnéh zrychlení a je pdíl změny rychlsti v a dby t, za kteru k tét změně djde. a v t v v t t = =. 1..-4 Jedntku zrychlení v sustavě SI je metr za sekundu na druhu, tj. m/s = m.s -. Autmbil jede rychlstí 36 km/h. V určitém kamžiku řidič šlápne na plyn a během dby 30 s zvětší rychlst na 90 km/h. Určete průměrné zrychlení autmbilu. Nejdříve převedeme všechny jedntky d sustavy SI. Pčáteční rychlst v = 36 km/h = 10 m/s, knečná rychlst v = 90 km/h = 5 m/s. Vyjdeme ze vztahu pr zrychlení, kde za v dsadíme v - v 0, zrychlvání t a dstaneme a = (v v )/t = (5-10)/30 = 0,5 m/s Autmbil jede s průměrným zrychlením 0,5 m/s 7 za t dbu Výše uvedeným vztahem pr velikst zrychlení je definvána velikst průměrnéh zrychlení. Zkrátíme-li dbu t, ve které určujeme zrychlení, na velmi malu hdntu blížící se nule, pak vztah nám definuje kamžité zrychlení. Tak jak jsme definvali becný vztah pr kamžitu rychlst dknce i jak vektr, bdbně můžeme pstupvat při definvání kamžitéh zrychlení. v v v Vyjdeme ze vztahu pr průměrné zrychlení ve vektrvém tvaru a = =. Jestli zase t t t zkracujeme interval času ve kterém zrychlení stanvujeme až na neknečně malé hdnty t 0 pak djdeme k vyjádření v a = lim, kde t 0, nebli t dv a =. 1..-5 Vektr kamžitéh zrychlení hmtnéh bdu se rvná první derivaci vektru jeh rychlsti pdle času. Vektr kamžitéh vektru. zrychlení můžeme přím stanvit jak druhu derivaci plhvéh
d v d r a = = 1..-6 Zrychlení a je vektr vyjadřující časvu změnu vektru rychlsti, tj. změnu veliksti i směru vektru rychlsti. Změna směru vektru rychlsti se nejlépe ukazuje na křivčarém phybu. Pdívejte se na brázky na Obr.1..-10. Na levém brázku vidíte jak se na blukvé trajektrii mění směr vektru rychlsti v i když jeh velikst se nemění. Vektr rychlsti má ttiž směr tečny k trajektrii. V pravé části brázku je pak znázrněn dpvídající vektr změny rychlsti. Obr.1..-10 Určete směr vektru zrychlení v předchzím brázku. Zakreslete vektr zrychlení d pravé části brázku (d vektrvéh trjúhelníku). Nic nemusíte kreslit. Vektr zrychlení a bude mít ttiž směr vektru změny rychlsti v, bude mít jenm jinu velikst. Zdůvdnění je jednduché. Vyjdeme z definičníh vztahu a = v/ t a vzpmene si, c jsme se naučili násbení vektru 1 skalárem. V našem případě násbíme vektr v reálným číslem. A jak jistě víte, t výsledkem tht násbení je vektr stejnéh směru jak má násbený ( v), puze jiné veliksti. Teď se pdívejme na další bdbný brázek Obr.1..-11 pr křivčarý phyb, ale v něm se nám mění směr i velikst vektru rychlsti. Na brázku a) jsu zakresleny vektry rychlsti v bdech A a A. Na brázku b) vidíme vektrvý trjúhelník určující rzdíl bu vektrů rychlsti v. Na třetím brázku c) je znázrněn vektr zrychlení a phybu hmtnéh bdu p křivce. Tent vektr jsme si rzlžili d dvu vzájemně klmých směrů: Obr.1..-11 d směru tečnéh k trajektrii. Slžku vektru a v tmt směru jsme značili a t. Tt tak zvané tečné zrychlení vyjadřuje změnu veliksti rychlsti hmtnéh bdu. d směru nrmály k trajektrii. Slžku vektru a v tmt směru jsme značili a n. Tt tak zvané nrmálvé zrychlení vyjadřuje změnu směru rychlsti hmtnéh bdu. 8
Pdle pravidel vektrvéh pčtu je celkvé zrychlení a dán vektrvým sučtem tečnéh a nrmálvéh zrychlení: a = a t + a n 1..-7 Velikst celkvéh zrychlení můžeme vypčítat jestliže známe velikst tečnéh a nrmálvéh zrychlení pmcí Pythagrvy věty: a = + a t a n U 1..-8 Stanvte velikst nrmálvéh a tečnéh zrychlení přímčaréh phybu. Celkvé zrychlení tht phybu je 5 m.s -. U 1..-9. Rychlst hmtnéh bdu je dána rvnicí: v = 3t + t + 5. Napište rvnici jeh zrychlení. a = U 1..-10 Závislst dráhy na čase phybujícíh se tělesa je s = t - 3t + 4t 3 (m,s). Určete zrychlení tělesa na knci druhé sekundy d začátku phybu. a = Obdbně jak jsme rzlišvali phyby na rvnměrný a nervnměrný pmcí rychlsti, můžeme využít i zrychlení ke klasifikaci phybů: rvnměrný phyb. Tečné zrychlení tht phybu je nulvé a t = 0. rvnměrně zrychlený phyb. Tečné zrychlení tht phybu je knstantní a t = knst., a je kladné (a t > 0). rvnměrně zpmalený phyb. Tečné zrychlení tht phybu je knstantní a t = knst., ale je záprné (a t < 0). nervnměrný phyb. Tečné zrychlení se během phybu mění a t knst. přímčarý phyb. Nrmálvé zrychlení je nulvé a n = 0, tečné zrychlení je rvn celkvému zrychlení a t = a. křivčarý phyb. Nrmálvé zrychlení je různé d nuly a n 0. Ukázali jsme si že pmcí matematické perace derivvání jste tedy schpni z rvnice pr dráhu určit pstupně rvnice pr rychlst a zrychlení phybu. Pmcí další matematické perace integrvání pak napak z rvnice pr zrychlení je mžné stanvit rvnice pr rychlst a pak pr dráhu jak becně ukazují následující vztahy: v = a d t respektive s = v d t. 1..-8 Zrychlení hmtnéh bdu je dán rvnicí: a = 6t +. Napište rvnici jeh dráhy. 9
Nejdříve si stanvíme rvnici pr rychlst. Vyjdeme z definičníh vztahu pr velikst dv zrychlení a = a vyjádříme si z něj diferenciál rychlsti dv = a. Celu rvnici integrujeme d v = a. Dsadíme vztah pr zrychlení ( t ) a = 6 +. P prvedení integrace získáme vztah pr rvnici rychlsti v závislsti na čase v =3 t + t. A pstupujeme dále. Teď vyjdeme z definičníh vztahu pr velikst rychlsti vyjádříme si z něj diferenciál dráhy ds = v. Celu rvnici integrujeme d s = v. Dsadíme vztah pr rychlst ( t t) s = 3 +. P prvedení integrace získáme vztah pr rvnici dráhy v závislsti na čase s = t 3 + t. ds v = a Tachmetr autmbilu ukazval p dbu 5 min stálu rychlstí 60 km/h. Jaku dráhu autmbil ujel? Nejdříve si zadané údaje převedeme d sustavy SI. Čas bude t = 5.60 = 300 s, rychlst pak = 1000 v = 60 = 16,7 ms -1. Vyjdeme z definice rychlsti v = ds/ a 3600 vyjádříme diferenciál dráhy ds = v. Tut rvnici integrujeme s s 300 300 meze. d s = v. = [ 16,7. t] 0 = 5000m = 5 km 0 0 d = v. a dsadíme U 1..-11 Zrychlení phybu hmtnéh bdu se mění s časem pdle rvnice 6t + 4. Napište rvnici jeh rychlsti. v = U 1.. -1 Rychlst, zrychlení a dráha v předešlých čtyřech tázkách byly vyjádřeny jak vektry, neb puze jejich veliksti? 1..5. Přímčarý phyb hmtnéh bdu V tét kapitle využijeme th, c jsme se naučili dráze, rychlsti a zrychlení k řešení phybu hmtnéh bdu p přímkvé trajektrii. Začneme 30
nejjedndušším případem tj. rvnměrným phybem, přejdeme na phyb rvnměrně zrychlený a uknčíme becným nervnměrným phybem. Vždy nás budu zajímat tři veličiny: zrychlení, rychlst a dráha danéh phybu. Důležité je, že všechny přímčaré phyby lze charakterizvat tím, že jejich nrmálvé zrychlení je rvn nule. 1. Rzlišvat druhy přímčarých phybů pmcí jejich zrychlení a rychlsti.. Umět si dvdit u rvnměrnéh a rvnměrně zrychlenéh phybu vztahy pr jejich rychlst a uraženu dráhu. 3. Graficky znázrnit u těcht phybů závislst zrychlení, rychlsti a dráhy na čase. Pkud jste si pakvali stejnjmennu kapitlu z CD Základy fyziky určitě vás zarazil mnžství vztahů zde uvedených. Teď si ukážeme, že je nesmyslné si všechny tyt vztahy pamatvat, že vystačíme puze se znalstí definic rychlsti a zrychlení (žluté) a se základními znalstmi derivačníh a integračníh pčtu a s trchu myšlení. Prjděme si všechny tři případy uvažvané v Základech fyziky. 1..5.1. Rvnměrný přímčarý phyb Pr rvnměrný přímčarý phyb je charakteristické, že zrychlení je rvn nule, a = 0. Rychlst je knstantní, v = knst., jak její velikst, tak její směr. Vyjdeme z definičníh vztahu pr velikst rychlsti. Prtže se její směr nemění nemusíme pužívat vektrvu definici. ds v =, vyjádříme si z th vztahu diferenciál dráhy ds = v a tut rvnici integrujeme: = d. s v t + C s = vt + C. Musíme si stanvit integrační knstantu C. Fyzici vycházejí z tzv. pčátečních pdmínek. Víme, že v čase t = 0, tedy před dbu kdy jsme začali sledvat phyb hmtnéh bdu, ten již urazil tzv. pčáteční dráhu s. Dsaďme tyt známé údaje d rvnice pr dráhu. s = v.0 + C. Z rvnice nám vyplývá, že integrační knstanta je rvna pčáteční dráze. Knečná rvnice pr uraženu dráhu v libvlném čase t je tedy dána vztahem: s = vt + s. 1..-9 Dšli jsme tak pužitím jedinéh vztahu ke vzrci, který jste se na střední škle museli učit nazpaměť. Čast je výhdné závislsti rychlsti a dráhy na čase vynášet d grafu. Na levém brázku Obr.1..-1 je znázrněn graf rychlsti na čase na pravém pak závislst dráhy na čase (Obr.1..-13). 31
Obr.1..-1 TO 1.. -7 U rvnměrnéh phybu přímčaréh a) dchází jen ke změně veliksti vektru rychlsti b) dchází jen ke změně směru vektru rychlsti Obr.1..-13 c) dchází ke změně jak směru tak i veliksti vektru rychlsti d) vektr rychlsti je knstantní c d směru i veliksti TO 1.. -8 a) libvlné Zrychlení phybu rvnměrnéh přímčaréh je b) knstantní, různé d nuly c) stále nulvé TO 1.. -9 U phybu rvnměrnéh přímčaréh je a) dráha i rychlst lineární funkcí času b) dráha lineární funkcí času a rychlst knstantu c) dráha kvadraticku a rychlst lineární funkcí času d) dráha i rychlst knstantní, nezávislé na čase TO 1.. -10 Hmtný bd se phybuje p přímce tak, že jeh dráhu lze vyjádřit rvnicí: s = 5t + 1. O jaký phyb se jedná? a) rvnměrný b) zrychlený c) rvnměrně zrychlený d) nelze rzhdnut TO 1..-11 Hmtný bd se phybuje rvnměrným přímčarým phybem. Který z grafů na Obr.1..-14 představuje závislst dráhy na čase? 3
Obr.1..-14 TO 1..-1 Hmtný bd se phybuje rvnměrným přímčarým phybem. Který z grafů na Obr.1..-15 představuje závislst rychlsti na čase? Obr.1..-15 33
U 1.. -13 Hmtný bd urazí dráhu 10 m za 5 s phybem rvnměrným přímčarým. Jaku se phybuje rychlstí? U 1.. -14 Hmtný bd se phybuje p přímce tak, že jeh dráhu lze vyjádřit rvnicí: s = 6t + 1 (m,s). Určete jeh rychlst. C znamená čísl 1? 1..5.. Rvnměrně zrychlený (zpmalený) přímčarý phyb Pr rvnměrně zrychlený přímčarý phyb je charakteristické, že zrychlení je knstantní, a = knst, nemění se ani jeh velikst ani jeh směr. Budeme pstupvat stejným způsbem jak v předešlém případě. Musíme však vyjít z definice zrychlení, které v tmt případě není nulvé. Pkud si sestrjíme graf závislsti zrychlení na čase dstaneme plpřímku rvnběžnu s časvu su Obr.1..-16. Prtže se však nemění směr zrychlení zase bude dstačvat definiční vztah pr velikst zrychlení: dv a = a pět si z něj vyjádříme diferenciál rychlsti a vzniklu rvnici integrujeme: = v ad t +. Prtže zrychlení je knstantní dstaneme p integraci vztah: v = at + C 1. C 1 34 Obr.1..-16 A prtže v čase t = 0 se může hmtný bd již phybvat pčáteční rychlstí v vyjde nám integrační knstanta (stejným pstupem jak u rvnměrnéh phybu) rvna pčáteční rychlsti. v = at + v. 1..-10 A máme dvzený vztah předkládaný na střední škle k zapamatvání. Pkud si sestrjíme graf závislsti rychlsti na čase dstaneme plpřímku se směrnicí rvnu zrychlení a jak je vidět na Obr.1..- 17. Obr.1..-17 Dbře si uvědmte, že v rvnici pr rychlst je v knečná rychlst a v pčáteční rychlst. Jedná-li se zrychlený phyb je v > v a zrychlení je kladné, v v a = > 0. t zpmalený phyb je v < v a
zrychlení je záprné, v v a = < 0. t Ptřebujeme však znát ještě dráhu. Zase vyjdeme z definice pr rychlst. ds v =, z ní vyjádříme diferenciál dráhy, za rychlst dsadíme z předchzíh vztahu a integrujeme: =. ( at + v ) C s + Vypčítáme integrál: 1 = C. s at + v t + Zavedením pčátečních pdmínek (pr t = 0 bude s = s ) dstaneme knečný becný vztah pr dráhu rvnměrně zrychlenéh phybu: 1 s = at + v t + s. 1..-11 Takže jsme si dvdili další vztah a nemusíme se jej učit nazpaměť. Jak pslední graf tét kapitly máme závislst dráhy rvnměrně zrychlenéh phybu na čase. Pr zjedndušení je zakreslen případ phybu s nulvu pčáteční rychlstí a nulvu pčáteční dráhu. Graf je na Obr.1.1.-18. Obr.1.1.-18 TO 1..-13 Hmtný bd kná přímčarý phyb. Na brázku Obr.1..-19 je nakreslen graf závislsti veliksti rychlsti hmtnéh bdu na čase. Jak velké je zrychlení hmtnéh bdu během prvních dvu sekund phybu? a) 0,3 m.s - b) 3 m.s - c) 6 m.s - d) 1 m.s - TO 1.. -14 Hmtný bd kná přímčarý phyb. Na brázku Obr.1..-19 je nakreslen graf závislsti veliksti rychlsti hmtnéh bdu na čase. Jak velké je zrychlení hmtnéh bdu v čase t = 3s? a) 0 m.s - b) 0, m.s - c) m.s - d) 6 m.s - Obr.1..-19 TO 1.. -15 Autmbil se rzjíždí rvnměrně zrychleně p přímé silnici. Velikst zrychlení autmbilu je m.s -, jeh pčáteční rychlst je nulvá. Jak velká je rychlst autmbilu za 4s d začátku jeh phybu? a) 0,5 m.s -1 b) m.s -1 c) 4 m.s -1 d) 8 m.s -1 35
U 1..-15 Hmtný bd kná rvnměrně zrychlený phyb ve směru sy x se zrychlením veliksti m.s -, přičemž v čase t = 0 s se nachází v bdě suřadnici x = 5 m a má rychlst veliksti v = 8 m.s -1. a) Napište vztahy vyjadřující závislst rychlsti a dráhy hmtnéh bdu na čase. b) Určete dbu, ve které má rychlst hmtnéh bdu velikst 40 m.s -1. c) Určete dbu, ve které má hmtný bd x-vu suřadnici 110 m. U 1..-16 Vlak se rzjíždí z klidu se stálým zrychlením veliksti 0,6 m.s -. Za jaku dbu dsáhne rychlsti veliksti 0 m.s -1? Jaku dráhu přitm ujede? 1..5.3. Vlný pád Vlný pád je vlastně přímčarý rvnměrně zrychlený phyb se zrychlením daným tíhvým zrychlením, a = g. Pkud jde skutečně vlný pád, předmět prstě upustíme, pak pčáteční rychlst phybu je nulvá, v = 0. Takže využijeme rvnic pr rychlst a dráhu dvzených v předešlém případě. v = gt, 1 gt s =. U 1..-17 Z jaké výšky padal těles vlným pádem, jestliže dpadl na zem rychlstí 8 km/h? U 1..-18 Jak se změní velikst rychlsti vlně padajícíh tělesa během třetí sekundy pádu? Jaku dráhu těles za tut dbu urazí? 1..6. Phyb hmtnéh bdu p kružnici Phyb hmtnéh bdu p kružnici, zkráceně kruhvý phyb, je nejjedndušší případ křivčaréh phybu. Jeh trajektrií je kružnice. Takt se phybuje například sedačka rztčenéh řetízkvéh kltče. 1. Vědět, že u kruhvéh phybu se mění směr rychlsti.. Vysvětlit pjem úhlvá dráha a úhlvá rychlst. 3. Umět určit úhlvu dráhu pmcí délky bluku a plměru kružnice. 4. Znát definiční vztah pr úhlvu rychlst. 5. Znát definiční vztah pr úhlvé zrychlení. 6. Umět přiřadit vektrům úhlvé dráhy, úhlvé rychlsti a úhlvéh zrychlení jejich směr. 7. Znát suvislst mezi bvdvu a úhlvu rychlstí jak u kruhvéh tak u becnéh křivčaréh phybu. 8. Znát vztah mezi peridu a frekvencí, umět vyjádřit úhlvu rychlst pmcí těcht veličin. 9. Znát vztah pr velikst dstředivéh zrychlení. 36
10. Umět dvdit u rvnměrnéh a rvnměrně zrychlenéh phybu p kružnici vztahy pr jejich úhlvu rychlst a úhlvu dráhu. Při vyšetřvání rvnměrnéh kruhvéh phybu nás budu pět zajímat tři veličiny: zrychlení, rychlst a dráha. Prtže se jedná křivčarý phyb, nesmíme zapmenut na t, že celkvé zrychlení u becnéh křivčaréh phybu bude mít dvě slžky jak je vidět z Obr.1..-0. Vezmeme-li případ rvnměrnéh kruhvéh phybu pak je slžka ve směru tečném a t, která rzhduje zrychlvání či zpmalvání phybu, rvna nule, prtže se jedná rvnměrný phyb, a t = 0. Velikst rychlsti phybujícíh se hmtnéh bdu bude tedy knstantní v = knst. Směr vektru rychlsti se však v každém kamžiku mění. T způsbuje druhá slžka zrychlení ve směru nrmály a n. U kruhvéh phybu se tt nrmálvé zrychlení značuje jak dstředivé zrychlení a d, prtže v každém bdě kruhvé dráhy směřuje d jejíh pevnéh středu (Obr.1..-1). Velikst dstředivéh zrychlení je dána vztahem: v =, 1..-1 r a d Obr.1..-0 (Obr.1..-1) kde v je velikst rychlsti (někdy značvané jak bvdvá rychlst) a r je plměr pisvané kružnice. Na střední škle jste si definvali pjmy úhlvá dráha, úhlvá rychlst a úhlvé zrychlení. Trchu si vaše znalsti rzšíříme, budeme definvat tyt veličiny zase jak vektry. Začneme d úhlvé dráhy. Na střední škle byla úhlvá dráha definvána jak středvý úhel, který píše průvdič r hmtnéh budu za dbu t. Úhlvu dráhu měříme v radiánech se značku rad. U 1..-19 Klik radiánů je úhlvá dráha celé kružnice? s Zbecníme středšklsku definici úhlvé dráhy ϕ = (Obr.1..-) a r budeme definvat změnu úhlvé dráhy dφ, kteru píše průvdič r za dbu. Mezi přírůstkem úhlvé dráhy dφ a příslušnu změnu dráhy ds platí vztah: 37
ds d ϕ = 1..-13 r Důležitu veličinu charakterizující kruhvý phyb je úhlvá rychlst ω. Středšklská fyzika ji definvala jak pdíl změny úhlvé dráhy φ a dpvídající dby phybu t. ϕ t ϕ ϕ ω = =. t t Obr.1..- Obdbně jak u přímčaréh phybu i teď přejdeme d změny vyjadřvané symblem na neknečně malu změnu diferenciál d. Definiční vztah pr úhlvu dráhu tedy bude zapsán jak: dϕ ω =. [rad.s -1 ] 1..-14 Dsadíme-li d tht vztahu za ds d ϕ = dstaneme výraz: r ds 1 ds ω =. Pdílem jsme si dříve definvali rychlst v. Upravíme si vztah a dstaneme r důležitu rvnici udávající suvislst mezi velikstí bvdvé rychlsti v a úhlvu rychlstí ω: v = rω. 1..-15 A knečně nám zbývá vyjádřit si úhlvé zrychlení křivčaréh phybu. T se zpravidla ve středšklské fyzice nedefinuje. Tut veličinu budeme ale ptřebvat v mechanice tuhéh tělesa. Úhlvé zrychlení ε je pdíl změny úhlvé rychlsti dω a dpvídající dby phybu. dω ε =. [rad.s - ] 1..-16 A ještě jedn rzšíření středšklské látky. Úhlvá dráha, úhlvá rychlst i úhlvá zrychlení byly definvány puze svými velikstmi. Ve skutečnsti se jedná vektrvé veličiny cž se uplatní při řešení slžitějších rtačních phybů. Směr všech těcht veličin je vlen tak, aby se vystihl směr táčení rtujícíh bjektu a vždy ležel v se táčení. Vektr úhlvé dráhy φ má velikst rvnu veliksti psanéh úhlu φ a směr klmý na rvinu pisvanu průvdičem r. Směr vektru Obr.1..-3 úhlvé dráhy φ vidíte na brázku Obr.1..-3 (směr pravtčivéh šrubu). 38
Směr vektru úhlvé rychlsti ω pět leží v se táčení (vyplývá t z definičníh vztahu dϕ ω = ). Obrázek. také Obr.1..-4 ukazuje, že v rvnici v = r ω jsu všechny tři vektry dány vektrvým sučinem: v = ω x r. 1..-17 Obr.1..-4 Vraťme se ještě na úvd tét kapitly k pjmu celkvé zrychlení křivčaréh phybu a. Nezaškdí si trchu pcvičit znalst derivvání. Napišme si definiční vztah pr celkvé zrychlení a dsaďme z rvnice pr rychlst: dv d dω dr a = = ( ω x r) = x r + ω x. Při derivvání výrazu v závrce jsme využili pravidla derivvání sučinu. Upravme si výraz za psledním rvnítkem. Výrazem dr znamená bvdvu rychlst v. P dsazení dstáváme: a = ε x r + ωx v dω jsme definvali vektr úhlvéh zrychlení ε, výraz Na pravé straně rvnice máme sučet dvu vektrvých sučinů. Každý z těcht sučinů musí mít charakter zrychlení. Pdívejme se teď na pslední brázek, kde máme všechny vektry zakresleny. Vektr, který je výsledkem sučinu ε x r má směr rychlsti v, tedy tečny ke dráze rtujícíh bjektu. Tent sučin bude vyjadřvat tečné zrychlení a t. a t = ε x r. 1..-18 Vektr, který je výsledkem sučinu ω x v zase směřuje d středu křivsti O a určuje nrmálvé zrychlení a n. a n = ω x v. 1..-19 Pslední tři vztahy platí pr becný křivčarý phyb. Pr kruhvý phyb se je zjedndušíme. Začněme d tečnéh zrychlení. T určuje změnu veliksti bvdvé rychlsti v. Velikst tečnéh zrychlení si můžeme tedy vyjádřit jak dv d a t = = r ω = r ε. 1..-0 Také výraz a n = ω x v si můžeme upravit a vyjádřit si velikst nrmálvéh zrychlení jak: v r ω = = r r a n ω = r. 1..-1 A samzřejmě si svěžte pjmy frekvence a perida z CD Základy fyziky a jejich suvislsti s úhlvu rychlstí. Je nutné znát vztahy: π ω = = πf. 1..- T 39
TO 1..-16 Kterými fyzikálními veličinami ppisujeme phyb hmtnéh bdu p kružnici? TO 1..-17 Mění se rychlst hmtnéh bdu, který kná rvnměrný phyb p kružnici? TO 1..-18 Hmtný bd se phybuje p kružnici plměru m s rychlstí stejné veliksti 8 m.s -1. Jak velká je úhlvá rychlst hmtnéh bdu? a) 4 rad.s -1 b) 16 rad.s -1 c) 3 rad.s -1 d) 18 rad.s -1 U 1..-0 Určete běžnu dbu a frekvenci táčení hdinvé a minutvé ručičky u hdinek. U 1..-1. Ktuč brusky kná 600 táček za minutu. Určete jeh frekvenci, peridu a úhlvu rychlst. U 1..-. Kltč kná 15 táček za minutu. Určete jeh úhlvu rychlst a rychlst sby na sedačce, která pisuje kružnici plměru 5 m. Pdbně jak u přímčaréh phybu prberme si dva nejčastější případy phybu p kružnici. 1..6.1. Rvnměrný phyb p kružnici Pr rvnměrný křivčarý phyb je charakteristické, že tečné zrychlení je rvn nule, a t = 0. Úhlvá rychlst je knstantní, ω = knst. Prtže se jedná rvnměrný kruhvý phyb je velikst nrmálvéh zrychlení knstantní, a n = knst. Tak jak u přímčaréh phyby i zde vyjdeme z definičníh vztahu pr velikst úhlvé rychlsti. Prtže se její směr nemění (stále leží ve směru sy táčení) nemusíme pužívat vektrvu definici. dϕ ω =, vyjádříme si z tht vztahu diferenciál úhlvé dráhy dφ = ω a tut rvnici integrujeme: ϕ = ω + C. φ = ωt + C Musíme si stanvit integrační knstantu C. Fyzici vycházejí z tzv. pčátečních pdmínek. Víme, že v čase t = 0, tedy před dbu kdy jsme začali sledvat phyb hmtnéh bdu, ten již urazil tzv. pčáteční úhlvu dráhu φ. Dsaďme tyt známé údaje d rvnice pr úhlvu dráhu. φ = ω.0 + C. Z rvnice nám vyplývá, že integrační knstanta je rvna pčáteční úhlvé dráze. Knečná rvnice pr uraženu úhlvu dráhu v libvlném čase t je tedy dána vztahem: φ = ωt + φ. 1..-3 Kd jste si přádně prstudvali tut část rvnměrném phybu p kružnici a srvnali text s textem kapitly rvnměrném přímčarém phybu ( 1..5.1) pak jste si jistě všimli, že text je identický (Ctrl C, Ctrl V), puze byly nahrazeny pjmy dráha pjmem úhlvá dráha, rychlst úhlvá rychlst, s φ, v ω. P vyměnění symblů veličin zůstaly frmálně stejné i vztahy. 1..6.. Rvnměrně zrychlený (zpmalený) phyb p kružnici 40