SIGNÁLY A SOUSTAVY, SIGNÁLY A SYSTÉMY TEMATICKÉ OKRUHY Signály se spojitým časem Základní signály se spojitým časem (základní spojité signály) Jednotkový skok σ (t), jednotkový impuls (Diracův impuls) δ (t) Lineárně rostoucí signál Harmonický signál f ( t) = C cos( ωt ϕ) a jeho parametry Manipulace se signály Je dán signál s(t) rovnicí nebo grafem Stanovení signálu s( τ -τ ), signálu posunutého v čase Stanovení signálu s(-t), signálu s otočenou (obrácenou) časovou osou Kombinace otočení časové osy a posunutí v čase Střední výkon harmonického signálu Stejnosměrná složka a střední výkon periodického impulsu (periodického sledu obdélníkových impulsů) Periodické signály se spojitým časem Definice (spojitého) periodického signálu Fourierova řada v komplexním tvaru (Fourierova řada periodické funkce), k = ( t) = ck exp( k k= - f ω t) Modul a argument komplexního koeficientu Fourierovy řady Velikost a znaménko stejnosměrné složky periodického signálu a její určení z množiny koeficientů Fourierovy řady Určení amplitudy harmonické složky periodického signálu f(t), je-li dán koeficient, k 0, Fourierovy řady Spektrum modulů a spektrum c k argumentů (amplitudové spektrum a fázové spektrum) Spektrum periodicky se opakujících obdélníkových impulsů Analýza spojitých aperiodických signálů Fourierova transformace, + F ( ω ) = f ( t)exp( jωt) dt Vzor a obraz (signál a spektrální funkce) Inverzní Fourierova transformace Modul obrazu (amplitudové spektrum), argument obrazu (fázové spektrum) Vlastnosti obrazu reálného vzoru (vlastnosti reálné a imaginární části obrazu obecného reálného signálu) Vlastnosti obrazu sudého a lichého vzoru Posunutí vzoru (posunutí funkce, posunutí signálu) v čase Spektrum pravoúhlého impulsu Energie obdélníkového impulsu 4 Vnější popis lineárních soustav se souvislým časem Lineární časově invariantní (lineární neparametrické) systémy a jejich popis Diferenciální rovnice systému Operátorový přenos systému (obvyklá značení: F(p), H(p), K(p)) Nuly a póly Určení operátorového přenosu systému na základě diferenciální rovnice systému Rozklad na částečné zlomky Frekvenční přenos systému (komplexní kmitočtová charakteristika, F ( jω), H ( jω), K( jω)) Amplitudová (modulová) kmitočtová charakteristika Fázová (argumentová) kmitočtová charakteristika Impulsní charakteristika g(t) a přechodová charakteristika h(t) T5 Vzorkování Ideální vzorkování Periodizace spektra při vzorkování Vzorkovací kmitočet (vzorkovací frekvence) Signál s omezeným spektrem Vzorkovací teorém Aliasing efekt Rekonstrukce
signálu se spojitým časem z jeho vzorků - frekvenční pohled (rekonstrukce v kmitočtové oblasti) Frekvenční přenos (přenosová funkce) ideálního rekonstrukčního filtru Rekonstrukce signálu ze vzorků časový pohled (rekonstrukce v časové oblasti) 6 Diskrétní signály Diskrétní normovaný čas (značení: k, n) a skutečný čas (kt, nt) Signály s diskrétním časem Diskrétní jednotkový impuls ( δ ( k), δ ( n) ) Diskrétní jednotkový skok ( σ ( k), σ ( n) ) Harmonická posloupnost ( f ( kt ) = C cos( ΩkT + ϕ ), f ( k) = C cos( ωk + ϕ) ) Otázka periodicity harmonické posloupnosti Manipulace s diskrétními signály Posun v čase Otočení časové osy Otočení časové osy s posunutím Pravoúhlé okno 7 Diskrétní Fourierova řada a Fourierova transformace diskrétního signálu Diskrétní Fourierova řada Definice Nechť s(n) je periodická posloupnost s periodou n Pak N obraz S( k) = s( n)exp j kn Obraz (koeficienty diskrétní Fourierovy řady) je také periodická posloupnost s periodou N Zpětná diskrétní Fourierova řada, N s( n) = S( j nk k= jω Fourierova transformace diskrétního signálu Je označována (ω), S e F ( ) F ( ω ) = f ( n)exp( jωn) Posloupnost f(n) je vzor, F (ω) je obraz Periodicita funkce F (ω) 8 Diskrétní Fourierova transformace Diskrétní Fourierova transformace (DFT) Přiřazuje vzoru f ( n), n = 0,,, N, obraz N- π S ( k), k = 0,,, N S ( k) = f ( n)exp - jk n Zpětná diskrétní Fourierova N- π transformace f ( n) = S( jn k Pojem rychlá Fourierova transformace (Fast N Fourier Transform, FFT) 9 Vnější popis diskrétních systému Vnější popis systémů s diskrétním časem Diferenční rovnice Operátorový přenos systému (přenosová funkce systému) F(z), H(z) Póly a nulové body Z-transformace, k F ( z) = f ( k) z, n S ( z) = s( n) z Z-transformace jednotkového skoku, jednotkového k= 0 k = impulsu a reálného exponenciálního signálu Vlastnosti Z-transformace Linearita transformace a obraz posunuté posloupnosti Nulové body a póly 0 Frekvenční přenos diskrétního systému Frekvenční přenos (kmitočtové charakteristiky) systému s diskrétním časem, jω jω F ( jω), H (e ) Uvažujeme T = Pak F ( jω) = F( z) z= exp( jω) = H ( e ) Impulsní charakteristika diskrétního systému Vztah impulsní charakteristiky k přenosu systému FIR
VZOROVÉ PŘÍKLADY Příklad T/ Je dán signál 0 s ( t) = 0, 5t 0 Pro t < nakreslete graf signálu s ( t + ) t < 0, 0 t < t 0 a Nejprve nakreslíme graf signálu s (t) : Pak nakreslíme graf signálu s( t) : A nakonec posunutím v čase získáme signál s ( t + ) :
Příklad T/ Reálný periodický signál má jen od nuly různé koeficienty Fourierovy řady Jsou dány hodnoty dvou těchto koeficientů c0 =, c =,4exp( j0,p ) a perioda signálu T =0,4 Určete třetí koeficient (využijte toho, že signál je reálný) Určete okamžitou hodnotu signálu v čase t = 0, Vzhledem k tomu, že je signál reálný, je třetí koeficient roven komplexně sdružené hodnotě koeficientu c tedy c =, 4 exp ( + j0, p ) Pro kmitočet základní harmonické platí π π ω = = = 5π T 0, 4 Časový průběh signálu je pak určen jako f ( t) c exp( jωt) c c exp( jωt) hodnot obdržíme f t = c exp jωt + c + c exp jωt = = + + Dosazením 0 ( ) ( ) 0 ( ), 4 exp( j0, p) exp( j5pt), 4 exp( j0, p) exp ( j5pt) = + + + V čase t = 0, bude hodnota signálu rovna ( 0,), 4 exp ( 0, p) exp ( 0,5p), 4 exp ( 0, p) exp ( 0,5p),4exp( j0,p),4exp( j0,p),4( cos( 0,p) ),65 f = + j j + j + j = = + + + = + = Příklad T/ Signál f(t) je zadán svým obrazem F (ω) ve Fourierově transformaci: 60 ω = 0 a F ( ω) = sin5ω 60 ω 0 5ω Stanovte okamžitou hodnotu signálu f(t-8) t = s Pomůcka: Nejprve určete spektrum sudého signálu, který má tvar pravoúhlého impulsu s výškou D a šířkou ϑ F ( ω) = + f ( t)exp( jωt) dt = D ϑ / ϑ / exp( jωt) dt = Dϑ ϑ sin ω Dϑ ϑ ω ω = 0 a ω 0 Signál f(t) je tedy obdélníkovým impulsem se součinem výšky D a šířky ϑ rovným 60 Polovina šířky impulsu je 5 Odtud ϑ = 0 a 60 D = = Po nakreslení grafu signálu f(t) 0 snadno zjišťujeme, že f(--8) = f(-0) = 4
Příklad T4/ Lineární, časově invariantní systém je popsán diferenciální rovnicí y ( t) + y( t) = x( t) s nulovou počáteční podmínkou a kde x( t ) je vstup systému a ( ) vstup systému působí signál xt () = σ () t Určete průběh výstupu a načrtněte at Pomůcka: L{ e } = p+ a Pro operátorový přenos systému platí F( p) ( p) ( ) y t je výstup systému Na Y = = Pro Laplaceův obraz vstupního X p p+ signálu platí X(p) = Pro Laplaceův obraz výstupu pak platí p Y( p) = F( p) X ( p) = Rozkladem tohoto výrazu na parciální zlomky obdržíme pp+ Y( p) = p p + Časový průběh je dán zpětnou Laplaceovu transformací, tedy t 0 platí ( ) t t y t e ( e ) = = yt () 0 t Příklad T5/ Fourierova řada spojitého periodického signálu má tvar f( t) + 4 4 n π j nt T = ce Základní perioda T signálu je msec Tento signál je vzorkován a vzorky jsou vstupním signálem ideální dolní pusti Jaký musí být vzorkovací kmitočet aby na výstupu dolní pusti byl tentýž spojitý signál? Horní mezní kmitočet f max spektra signálu f(t) je dán kmitočtem čtvrté harmonické složky f max = 4 = 4 0 Hz Vzorkovací kmitočet to musí být větší, než 8 tisíc vzorků za 0 sekundu Příklad T6/ Pro k = určete hodnotu signálu f(k) = 5cos(0,5π k 0,5π ) + δ ( k 4) + s ( k ) f() = 5cos(0,5π 0,5π ) + δ ( 4) + s ( ) = 5 + 0 + = 5
Příklad T7/ Je dána periodická posloupnost s periodou 4: s(0) =, s() = 0, s() = 0, s() = Stanovte N prvek S() obrazu Pomůcka: S( k) = s( n)exp j kn p S() = s( n)exp j n = exp(0) + 0 + 0 + exp( j ) = j 0 4 4 Příklad T8/ Obraz v diskrétní Fourierově transformaci je tvořen právě těmito čtyřmi prvky: S(0) =, S() =-j, S() = 0, S() = +j Stanovte prvek f() vzoru Pomůcka: N- π f ( n) = S( jn k N k = f () = 4 k = 0 Příklad T9/ S( j k = 4 4 [ exp(0) + ( j)exp( jp ) + 0 + ( + j)exp( jp )] Systém s diskrétním časem má přenosovou funkci F ( z) = + z Určete amplitudu ustálené harmonické odezvy ψ ( n) = Y cos( ω n + ψ ) na posloupnost x ( n) = X cos( ω n + ϕ) = 5cos(0,πn + 0,4π ) Symbol n označuje normovaný (celočíselný) čas, symbol ω označuje normovaný úhlový kmitočet π j0,π j0, F z = e = + e j0,π Y = 5 + e = 5,90 = 9,5 = 0 Příklad T0/ - - Je dán přenos F(z) = + z + z Určete impulsní charakteristiku systému Při použití pouček o linearitě Z-transformace, poučky o obrazu opožděného signálu a znalosti obrazu funkce δ (n) zjišťujeme, že impulsní charakteristika g(n) systému je dána vztahem g( n) = δ ( n) + δ ( n ) + δ ( n ) Poznámka: V některých učebnicích se místo označení g(n) používá označení h(n) 6