4.BECNÁ AXNMETRIE A KSÚHLÉ PRMÍTÁNÍ Aonometrie kosoúhlé promítání voenská perspektiva pravoúhlá aonometrie Znalost těchto metod e ákladem skicování, které e potřebné i v době CAD sstémů. Kosoúhlé promítání Mongeovo obraení GeoGebra_KP_soucastka_reseni.ggb 1
4.0.Kartéský souřadnicový sstém (;,,, ednotka ) v E 3 počátek i,,k ortonormální vektor,, os Souřadnicové rovin p=(,)...půdorsna n=(,)...nársna m=(,)...bokorsna V technické prai se převážně užívá pravotočivý kartéský sstém 4.1 Souřadnicový kvádr Bod B=( B, B, B ) v E 3 p = (,)...půdorsna n= (,)...nársna m = (,)...bokorsna Pravoúhlé průmět B 1 B 2 B 3 průmět B do p průmět B do n průmět B do m Každý bod B v E 3 určue souřadnicový kvádr se stěnami v souřadnicových rovinách (,), (,), (,) o vrcholech, B, B 1, B 2, B 3 2
4.2 Aonometrie bodu Dáno: souřadnicový kvádr s...směr promítání r...rovina (r s) rovinu r nakonec totožníme s nákresnou (tabule, sešit) Souřadnicový kvádr bodu B a souřadnicový sstém (;,, ; ) promítneme rovnoběžně (směr s) do rovin r. Rovinu naveme aonometrickou průmětnou. 4.3 Pohlkeova věta: Tři úsečk v rovině se společným koncovým bodem, které neleží na edné přímce, můžeme považovat a rovnoběžný průmět tří naváem kolmých a shodných úseček v prostoru, které maí společný koncový bod. Aonometrie e určena: osovým křížem ( a ; a, a, a ) a aonometrickými ednotkami,, GeoGebra_KP_krchle_pr_Pohlke.ggb 3
4.9 Druh aonometrií A) podle aonometrických ednotek na tři skupin isometrie: = = dimetrie: = trimetrie: 4.9 Druh aonometrií B) podle směru s promítání na pravoúhlou aonometrii, e-li směr promítání kolmý k aonometrické průmětně r a na obecnou aonometrii (šikmou) pro s r. Aonometrická průmětna může splnout s některou rovinou souřadnicového trohranu. = = = = = a) kosoúhlé promítání, e-li r (, ), ( / =q, = = ) b) voenská perspektiva, e=li r (, ), ( = = =) 4
4.10.1 Konstrukce kružnice v souřadnicové rovině (,). Kosoúhlé promítání e dáno kvocientem kreslení q = 3/2 a úhlem kosení w=145. Sestrote kružnici k (,), k = (S, r = 3cm). Postup: 1. Kružnici určíme sdruženými průmět rovnoběžnými se souřadnicovými osami. 2. Příčkovou konstrukcí sestroíme další bod elips. N r k r Q S P M [] 15 Zobraení kulové ploch Sféra (S,r) se obraí ako elipsa, eíž vedleší poloosa e rovna poloměru r. hniska sou kosoúhlé průmět kraních bodů průměru sfér, který e kolmý k průmětně s k E k 1 F p E F GeoGebra_KP:Pohlke.ggb 17 5
Pravoúhlá aonometrie Kosoúhlé promítání 18 rtogonální aonometrie m Z a s n a...aonometrická průmětna p...půdorsna a a Y n...půdorsna m...půdorsna XYZ...aonometrický troúhelník X p Aonometrický troúhelník e ostroúhlý. Průmět souřadnicových os sou výšk aonometrického. Pro odchlk a, b, g souřadnicových os od průmětn platí: 2 2 2 cos a cos b cos g 2 6
Určení ortogonální aonometrie Aonometrie e určena: aonometrickým troúhelníkem průmět souřadnicových os Z a Pro průmět,, ednotkové délk na souřadnicových osách platí: () cos a cos b cos g a [] X Y =[Y] a [] a [] Iometrie m Z a a n dchlk souřadnicových os od aonometrické průmětn sou shodné. a b g a a a Y X p Pravoúhlá aonometrie e iometrií právě tehd, kdž e eí troúhelník rovnostranný. 7
Zkrácení ve směru souřadnicových os a Z a= 45 b = 30 cosa b b cos b a Pro délku d úsečk na souřadnicových osách [] X a a Y =[Y] 2 da d d 0,8 3 a [] a [] Zobraení kružnice v souřadnicové rovině Z X M 0,8r Y P Q S=S 1 N S r 8
Skicování M. C. Escher, Waterfall, 1961 Příklad k procvičení: Tečná Rovina kužele Pravidelný šestiúhelník Šroubovice Zborcený hperboloid 9
Sítě křivek na hperbolickém paraboloidu 2. Hpebolický paraboloid U malostranské mostecké věže restaurace U tří pštrosů 10
Zborcený hperboloid Zborcený hperboloid 11