Gymnázium Christiana Dopplera, Zborovská 45, Praha 5 RONÍKOVÁ PRÁCE Prniky ploch a tles Vypracoval: Tomáš Martínek ída: 4.C Školní rok: 2013/2014 Seminá: Deskriptivní geometrie
Prohlašuji, že jsem svou roníkovou práci napsal samostatn a výhradn s použitím citovaných pramen. Souhlasím s využíváním práce na Gymnáziu Christiana Dopplera pro studijní úely. V ernošicích dne: 5.2.2014... Tomáš Martínek 1
Obsah: 1. Prohlášení... 1 2. Obsah... 2 3. Úvod... 3 4. Prnik pímky a tlesa... 4,5 5. Prnik dvou tles... 6 5.1 Prnik mnohost... 6 5.1.1 Prnik dvou hranol... 7,8 5.1.2 Prnik dvou jehlan... 9,10 5.1.3 Prnik jehlanu a hranolu... 11,12 5.2. Prnik rotaních tles 5.2.1 Konstrukce pomocí kulových ploch... 13 5.2.2 Konstrukce pomocí vrcholových rovin... 14 5.2.3 Konstrukce pomocí vhodných ez... 14 5.3 Prnik mnohost a rotaních tles... 15 6. Závr... 16 2
3. Úvod Rád bych ve své práci obsáhl problém konstrukce prnik ploch a tles. Dále bych chtl objasnit všechny použité pojmy a konstrukce, které zmíním. Tento text by ml sloužit jako univerzální studijní materiál pro kohokoliv, kdo bude mít o toto téma zájem. Výsledná práce by mla psobit jako shrnutí celé této problematiky. 3
4. Prnik pímky a tlesa prázdná množina bod úseka Obecný postup: 1. Danou pímkou proložíme vhodnou rovinu. 2. Sestrojíme ez tlesa touto rovinou. 3. Prseík ezu a dané pímky je prnik pímky s tlesem. Vhodná rovina pro: Hranol: Válec: Smrová rovina (rovina, která obsahuje danou pímku a je rovnobžná s boními hranami tlesa) Promítací rovina dané pímky, je-li podstava tlesa v obecné rovin. Smrová rovina Jehlan a kužel: Vrcholová rovina (rovina procházející vrcholem tlesa a danou pímkou, se kterou hledáme prseík) U jehlanu s podstavou v obecné rovin lze použít i promítací rovinu dané ímky. Kouli: Promítací rovina dané pímky. Platí: Smrová rovina je urena danou pímkou (se kterou hledáme prseík) a rovnobžkou s osou (hranou) tlesa. Vrcholová rovina je urena danou pímkou a vrcholem tlesa. Postup: 1. Proložíme vhodnou rovinu. Volíme smrovou = je dána pímkou m a libovolnou rovnobžkou b s hranou BB'. Rovnobžku volme bodem Q. 2. Sestrojíme pdorysnou stopu dané roviny mb. 3. ez rovinou. 4. Prseíky X,Y. 4
5
5. Prnik dvou tles Mají-li dv, nebo více tles spolenou uritou ást, íkáme, že se protínají. Spolenou množinu bod u tchto tles oznaujeme jako prnik a pi jeho konstrukci hledáme pouze prnik jejich povrch. Z hlediska tles rozdlujeme prniky na: Prnik mnohost (hranoly, jehlany) Prnik rotaních tles (válce, kužely, koule) Prnik mnohost a rotaních tles Prnikem tles mže být: prázdná množina bod úseka mnohoúhelník nebo jiný rovinný útvar leso spolené obma tlesm ást tles nepodílející se na prniku se oznauje jako lichá ást, pokud leží liché ásti na jednom tlese, jedná se o prnik úplný; jsou-li liché ásti na rzných tlesech, vzniká prnik ástený; je-li lichá ást bod, pak má prnik tzv. dvojný bod. Druhy prnik: Úplný prnik = Všechny hrany jednoho tlesa protínají druhé tleso a vznikají dva prostorové mnohoúhelníky. ástení prnik = Jedno tleso je pouze "zaklínno" do druhého tlesa. To znamená, že na každém tlese je alespo jedna hrana, která neprotíná druhé tleso a vzniká tedy pouze jeden prostorový mnohoúhelník. Dvojný bod = Hrana jednoho tlesa protíná druhé tleso práv v hran. 5.1 Prnik mnohost Prniková ára u mnohost je prostorový n-úhelník, jehož vrcholy jsou prseíky všech hran jednoho tlesa s povrchem druhého tlesa a naopak. Prseíky pímky s jehlanem nebo hranolem hledáme pomocí vrcholové roviny. Obecný postup (pro 2.1.1, 2.1.2 a 2.1.3): 1. Sestrojíme spojnici r vrchol ploch (u prniku hranolu s jehlanem pracujeme s nevlastním vrcholem). 2. Najdeme prseíky pímky r s rovinami podstav. 3. Sestrojíme roviny, které jsou ureny pímkou r a jednotlivými vrcholy podstav. 4. Uríme prnik každé roviny s podstavami tles a uríme prnik hrany s druhým tlesem. 5. Spojíme získané body lomenou árou. 6
5.1.1 Prnik dvou hranol v KP (135, q = 2/3) Postup: 1. Sestrojíme hranoly ABCA'B'C' a KLMK'L'M'. 2. Body A,B,C vedeme rovnobžky s osou z. 3. Z bod, které vznikly protnutím rovnobžek a osy y, vedeme rovnobžky s osou x. 4. Rovnobžky s osou x protínají podstavu hranolu (trojúhelník KLM) v bodech 1, 2 a 3, 4. Rovnobžka z bodu A neprotnula podstavu hranolu KLM, což znamená, že se jedná o prnik ástený. 5. Z bod 1 a 2 vedeme rovnobžku s osou z a vzniknou nám dva body prniku na hran BB'. 6. Z bod 3 a 4 vedeme rovnobžky s osou z a vzniknou nám další dva body prniku, tentokrát na hran CC'. 7. Body K,L,M vedeme rovnobžky s osou x. 8. Z bod, které vznikly protnutím rovnobžek a osy y, vedeme rovnobžky s osou z. 9. Rovnobžky s osou z protínají podstavu hranolu (trojúhelník ABC) v bodech 5, 6 a 7, 8. Rovnobžka z bodu M neprotnula podstavu hranolu ABC, což znamená, že se jedná o prnik ástený. 10. Body 5 a 6 vedeme rovnobžky s osou x a vzniknou nám dva body prniku na hran KK'. 11. Body 7 a 8 vedeme rovnobžky s osou x a vzniknou nám dva body prniku na hran LL'. 12. Správn spojíme body prniku a vyznaíme viditelnost. 7
8
5.1.2 Prnik dvou jehlan v KP (135, q = 2/3) Postup: 1. Sestrojíme jehlany ABCV a KLMV'. 2. Body V, V' vedeme pímku p. 3. Na ose x nám vzniká bod P a na ose z nám vzniká bod M. 4. Body M, A vedeme pímku; na ose y nám vznikne bod A', který spojíme s bodem P. 5. ímka A'P neprotíná podstavu jehlanu KLMV', což znamená, že se jedná o prnik ástený. 6. Body M, B vedeme pímku; na ose y nám vznikne bod B', který spojíme s bodem P. 7. ímka B'P protíná podstavu jehlanu KLMV' v bodech 1 a 2. 8. Body 1 a 2 spojíme s vrcholem V'; na hran BV nám vznikly dva body prniku. 9. Body M, C vedeme pímku; na ose y nám vznikne bod C', který spojíme s bodem P. 10. ímka C'P protíná podstavu jehlanu KLMV' v bodech 3 a 4. 11. Body 3 a 4 spojíme s vrcholem V'; na hran CV nám vznikly další dva body prniku. 12. Stejný postup provedeme i u druhého jehlanu. 13. Na hran KV' nám vzniknou dva body prniku. 14. Na hran LV' nám vzniknou další dva body prniku. 15. Správn spojíme body prniku a vyznaíme viditelnost. 9
10
5.1.3 Prnik jehlanu a hranolu v KP (135, q = 2/3) Postup: 1. Hranol ABCDA'B'C'D' a jehlan KLMNV. 2. Body KLMN vedeme rovnobžky s osou z. 3. Bod V se nám zobrazí v pdorysn jako bod V'. 4. Z bod, které vznikly protnutím rovnobžek a osy y, vedeme pímky do bodu V. 5. ímky protínají podstavu hranolu (tyúhelník ABCD) v bodech 1, 2, 3, 4 a I, II, III, IV. 6. mito body vedeme postupn rovnobžky s osou z; postupn nám vznikly body prnik na jednotlivých hranách. 7. Bodem B vedeme rovnobžku s osou x; na ose y nám vznikl bod, ze kterého vedeme rovnobžku s osou z. 8. Rovnobžka s osou z protíná podstavu jehlanu (tyúhelník KLMN) v bodech 5 a 6. 9. Body 5 a 6 spojíme s vrcholem V; na hran BB' nám vznikly další dva body prniku. 10. Správn spojíme body prniku a vyznaíme viditelnost. 11
12
5.2 Prnik rotaních tles Prnik rotaních tles sestrojíme: 5.2.1 Pomocí kulových ploch: 1. Sestrojujeme kulové plochy se stedy v prseíku os. 2. Kulové plochy protínají povrchy tles v kružnicích. 3. Prseíky kružnic ležících na téže kulové ploše jsou body prnikové áry. 13
5.2.2 Pomocí vrcholových rovin: 1. Obma vlastními (nevlastními) vrcholy tles vedeme vrcholovou pímku r. 2. Touto pímkou sestrojíme vrcholové roviny. 3. Sestrojíme tené roviny tles, které vymezují na druhém tlese lichou ást. 4. Prseíky povrchových pímek tles ležící v tže vrcholové rovin jsou body prniku. 5.2.3 Pomocí vhodných ez: Pomocné roviny mžeme zvolit nejlépe rovnobžné s podstavou jednoho, i obou les. Tyto roviny "rozežou" tlesa, což nám umožní najít body prseíku. 14
5.3 Prnik mnohost a rotaních tles Prniková ára u prnik mnohost a rotaních tles je prostorová kivka, která vznikne sjednocením ástí kuželoseek. Konstrukce: 1. Stny hranatého tlesa jsou ástí rovin. 2. Tyto roviny ežou oblou plochu v kuželosekách. Body, ve kterých jsou jednotlivé ásti kuželoseek spojeny, jsou prseíky hran plochy s povrchem oblé plochy. 15
6. Závr Práci jsem zpracoval za úelem hlubšího seznámení se s tématem prnik ploch a tles. Je vypracována na základ obecných poznatk deskriptivní geometrie s využitím níže uvedených zdroj. 7.Zdroje R. Piska: Deskriptivní geometrie I, SNLT, Praha 1972 Bohdana Musálková: Deskriptivní geometrie II, Sobotáles, Praha 2000 16