.. Goniometrické rovnice II Předpoklady: 000 Pedagogická poznámka: Hodina je rozdělena na dvě poloviny. Před příkladem přibližně v polovině hodiny přeruším práci a synchronizuji třídu. Př. : ( sin x ) ( sin x ) =. Problém: sin x se nachází uvnitř složitějších výrazů, neznáme jeho hodnotu substituce, aby sin x z rovnice dočasně zmizelo. Substituce: y = sin x. ( y ) ( y ) = y = y + y = y = y = sin x = Základní řešení : ;, funkce y = sin x je periodická s nejmenší periodou. K = + k ; + k k Z Pedagogická poznámka: Poměrně často se objevuje špatný pokus o substituci y = sin x, který pramení z problémů s prioritami operací. Je třeba jim vysvětlit, že pravá strana výraz y = sin x vůbec neobsahuje, protože díky přednosti násobení před odčítáním se jednička odečítá od výrazu sin x. Př. : cos x + cos = sin 7 +. sin cos x Problém: V rovnici se vyskytují hodnoty goniometrických funkcí neobsahujících x dosadíme za ně hodnoty: cos x + ( ) = +. cos x cos x = cos x
Problém: V rovnici je cos x víckrát substituce. Substituce: y = cos x. y = / y podmínka: y 0 y y = y y = y = y = cos x = cos x = K = + k ; + k k Z Pedagogická poznámka: U žáků, kterým výrazy cos zabrání vyřešit příklad, je třeba znovu připomenout, že výrazy cos ; sin ;... jsou obyčejná čísla (trochu nepřehledněji zapsaná, ale pořád jde o známé hodnoty), pracuje je se s nimi jako s čísly a na čísla jdou většinou i snadno přepsat. Př. : x + x =. sin sin 0 Problém: V rovnici se vyskytují hodnoty goniometrických funkcí v druhé mocnině. substituce. Substituce: y = sin x y + y = 0 ( ) b ± b ac ± ± y, = = = a + y = = y = = y = sin x = y = sin x = K = K = + k ; + k k Z K = + k ; + k k Z Pedagogická poznámka: Občas se objeví problémy se substitucí, které spočívají v tom, že na druhou není x, ale sinus. Samotný zápis sin však nepředstavuje žádnou hodnotu, jde pouze o označení postupu, kterým nějakého čísla (v tomto případě x) získáme jiné číslo (jde o to samé, jako bychom se snažili interpretovat, jako číslo
zápis + nebo ( ) ). Zápis sin x proto znamená to samé, jako zápis ( sin x ), jde pouze z vynechání závorek a zkrácení zápisu. cos x cos x + = cos x +. Př. : ( ) Problém: V rovnici se po úpravě vyskytnou hodnoty goniometrických funkcí v druhé mocnině substituce. Substituce: y = cos x ( ) y y + = y + y + y = y + y = 0 ( y )( y ) + = 0 y = y = y = cos x = y = cos x = 7 K = + k ; + k K = + k ; + k k Z k Z 7 K = + k ; + k ; + k ; + k k Z Př. : tg x =. Problém: Uvnitř tangens není pouze x, ale složitější výraz substituce. Substituce: y = x tg y = y = + k y = x = + k x = + k / : x = + k 8 K k = + k Z 8 Pedagogická poznámka: Objevu je návrh na vydělení rovnice dvěma a úpravu tg x tg x = = tg x. Takovém případě není od věci vyzkoušet na kalkulačce pro
libovolné x, zda platí tg x = tg x (například pro tabulkový úhel dostáváme: tg x = tg =, tg tg tg x = = = získali jsme různá čísla rovnost tg x = tg x neplatí a nemůžeme ji používat při úpravách rovnice Pedagogická poznámka: Vždy se najde někdo, kdo potřebuje připomenout, že nejmenší perioda tangens je rovna a tangens je uvnitř své periody prostou funkcí. Připomínám studentům, že periodu výsledků je třeba dopsat hned na počátku substituce, než začneme výraz upravovat. Přesto se najde dost jednotlivců, kteří to v následujících příkladech neudělají a budou mít špatné výsledky. Př. : cos 0,x =. Problém: Uvnitř cosinu není pouze x, ale složitější výraz. Substituce: y = 0,x cos y = y = + k y = + k y = 0,x = + k y = 0,x = + k 0,x = + k / 0,x = + k / 0 x = + k x = + k 0 K = + k K = + k k Z k Z 0 K = + k ; + k k Z Př. 7: sin x =. Problém: Uvnitř sinu není pouze x, ale složitější výraz. Substituce: y = x
sin y = y = + k y = + k y = x = + k x = + k / + x = + k / : x = + k K = + k k Z K = + k ; + k k Z y = x = + k x = + k / + x = + k / : x = + k K = + k k Z Př. 8: sin x = sin x +. Problém: Uvnitř sinů není pouze x, ale složitější výraz, bohužel výrazy se liší znaménkem. Nápad: y = sin x je lichá funkce sin x = sin x = sin x sin x = sin x + Substituce: y = x sin y = sin y + sin y = sin y = y = + k y = + k y = x = + k y = x = + k x = + k / + x = + k / + 7 x = + k / : x = + k / : 7 x = + k x = + k
K = + k k Z 7 K = + k ; + k k Z K 7 = + k k Z Př. 9: Petáková: strana, cvičení b), d) strana, cvičení 7 b) strana, cvičení b), d), h), i) Shrnutí: Substituci používáme při řešení goniometrických rovnic na zjednodušení rovnice i zjednodušení výrazů uvnitř funkcí.