Třídění a významné hodnoty

Lekce Třídění a významné hodnoty Ponechme nyní oněkud stranou různorodé oznatky rvní lekce týkající se zjšťování a tyů dat a omezme se jen na nejjednodušší říad datových souborů tvořených hodnotam kardnálních znaků. Datovou řadu (datový vektor) jsme v rvní lekc označl,,...,,..., n, kde nde souvsí s ořadím zjšťování a datový soubor je tudíž neusořádaný. Rozumným krokem je usořádání datového vektoru (vzestuně nebo sestuně). Označme nyní ( ), (),..., ( ),..., ( n) vzestuně usořádaný datový vektor, ro jehož rvky latí ( ) ()... ( )... ( n) a kde je tedy ( ) mn, ( n ) ma (nejmenší a největší hodnota). Vektor hodnot [ ], [],..., [ ],..., [ k ], ro který [ ] < [] <... < [ ] <... < [ k ], řčemž n >> k, se nazývá vektor varant. Základní metodou zracování dat je jejch třídění. Pokud lze v datovém souboru nalézt vektor varant (bez ohledu na rozsah souboru se v něm systematcky oakuje jen několk málo hodnot), vede to k bodovému (též rostému) třídění. V oačném říadě jde o náročnější říad ntervalového třídění. Některé hodnoty usořádaného datového souboru se vyznačují zvláštní olohou nebo jnou vlastností, jíž stojí za to s ovšmnout. Ty se nazývají významné hodnoty. Ve druhé lekc se tedy budeme zabývat zásadam bodového a ntervalového třídění a tabulkovou a grafckou rezentací jeho výsledků. Nejdůležtějším ojmem této lekce je ojem rozdělení četností. Vedle toho se budeme rovněž věnovat významným hodnotám datové řady. Celá tato lekce se vztahuje k roblematce zracování dat. absolutní četnost; bodové třídění; četnost; četnostní funkce; četnostní hustota; decl; funkce četnostní hustoty; etrémní hodnota; hstogram; kumulatvní četnost; kvantl; kvartl; modus; ercentl; kvantl; relatvní četnost; rozdělení četností; sojncový graf; střed ntervalu; stuňový graf; šířka ntervalu; úsečkový graf; třídcí nterval; tycká hodnota; varanta znaku. Bodové třídění Př bodovém třídění stačí nalézt vektor varant [ ], [],..., [ ],..., [ k ] a ro každou varantu zjstt očet jejích výskytů četnost (také absolutní četnost). Četnost té varanty označíme n. Je k zřejmé, že n n (kde n je rozsah souboru). Rozdělení četností ř bodovém třídění s můžeme ředstavt jako dvousloucovou tabulku, jejíž rvní slouec tvoří rvky vektoru varant a druhý slouec rvky vektoru četností (vz tab.. v následujícím říkladu.). Rovnocennou rezentací rozdělení četností ř bodovém třídění je grafcké vyjádření omocí úsečkového (hůlkového) grafu v ravoúhlé souřadncové soustavě (vz. obr..). Vedle absolutních četností využíváme ř rezentac rozdělení četností také

relatvní četnost, kde ro -tou varantu je její relatvní četnost být vyjadřovány také v %; ak se racuje s hodnotam analogcky 00 %), k 00, řčemž n ; tyto četnost mohou n (ro 00 kumulatvní četnost (oět absolutníkn nebo relatvník ) vznkají kumulací (ostuným načítáním) absolutních nebo relatvních četností ostuně za jednotlvé varanty. Rovněž ro tyto četnost estují adekvátní zůsoby jejch grafckého vyjádření, které jsou atrné z řešeného říkladu.. Pro Příklad. zadání říkladu. vytvořte vzestuně usořádaný datový vektor a nalezněte vektor varant. Zadání úlohy sočívá v tom, že u celkového očtu 5 směn byl evdován očet zásahů obsluhy během směny. Neusořádaný datový vektor : 4,3,,,4,0,,4,3,3,3,3,0,,,,,,,3,3,,3,4, Bodové třídění údajů o očtu nutných zásahů obsluhy do chodu stroje během směny, evdované v růběhu n 5 směn. Tab.. Počet zásahů obsluhy [ ] 0 3 4 Tabulka rozdělení četností zásahů obsluhy v růběhu 5 směn Absolutní četnost n 5 6 8 4 Relatvní četnost (v %) 00 8,0 0,0 4,0 3,0 6,0 Kumulatvní četnost absolutní kn 7 3 5 relatvní k 0,08 0,8 0,5 0,84,00 Součet 5 00,0 Symbolem jsme v olíčku součtového řádku označl, že sčítat kumulatvní četnost je nesmyslné. Obr.. Graf rozdělení četností (a) absolutních, (b) relatvních kumulatvních V rvním říadě jde o úsečkový (hůlkový) graf. Ve druhém říadě jsme relatvní kumulatvní četnost znázornl omocí sojncového stuňového grafu.

Představte k n Co udává součet součnů? Ve statstce s často klademe otázku, zda zjštěná hodnota je ouze řblžná (odhadnutá) nebo zda jde o řesnou hodnotu. Jak je tomu v tomto říadě? ( ) s, že vedle říkladu. estuje analogcký říklad, ovšem ro 50 směn, kde se oět vyskytují stejné varanty jako v ř... Jakým zůsobem zajstíme srovnatelnost výsledků třídění (orovnání jak se četností rozdělly mez jednotlvé varanty). ( ). Intervalové třídění U některých znaků nemá smysl určovat vektor varant, neboť očet varant může být (v krajním říadě) roven n. V tomto říadě se rovádí rozdělení datového souboru do třídcích ntervalů a hovoří se o ntervalovém třídění. Zásady ntervalového třídění můžeme stručně shrnout takto: řměřený očet k třídcích ntervalů (nař. orentačně k + 3,3 log n ), jejch nesorné vymezení (nesmí se an řekrývat, an nedokrývat ), konstantní šířka ntervalu h (okud to data dovolují), možnost otevřených krajních ntervalů (ro zařazení etrémních hodnot), jejchž šířka se také ro jednoduchost ovažuje za rovnu h. Vyberte vhodné vymezení třídcích ntervalů. Význam závorek je stejný jako ř označování ntervalů na číselné ose. Přhlédněte řtom k druhé zásadě ntervalového třídění. Naříklad: 00 b) 00 ; 00, 00; 300,..., 600; 700 a) ( ; 00),( 00; 300),...,( 600; 700) 00 d) ( 00 ; 00 ;( 00; 300,...,( 600; 700 c) ; 00), 00; 300),..., 600; 700) Př ntervalovém třídění je vektor varant nahrazen vektorem středů ntervalů (oět ). Rozdělení četností ř ntervalovém třídění je dvousloucová tabulka, jejíž rvní slouec tvoří středy ntervalů a druhý slouec rvky vektoru četností (vz tab.. v následujícím říkladu.). Rovnocennou možností je rezentovat rozdělení četností ř ntervalovém třídění grafcky omocí sloucového grafu (hstogramu) v ravoúhlé souřadncové soustavě. Př ntervalovém třídění se využívají rovněž relatvní četnost kumulatvní četnost kn, k. O nch v odstavc.. Příklad. a také absolutní a relatvní Intervalové třídění údajů o době do oruchy evdované v souboru n 87 oruch (v hodnách). Výsledek třídění je obsažen v tabulce.. Třídění jsme rovedl do k 6 ntervalů o konstantní šířce h 40. První a oslední nterval jsme koncoval jako otevřené. Součet relatvních četností může vykázat zaokrouhlovací chybu. Nevyužtá olíčka součtového řádku jsme oět označl symbolem, aby bylo zřejmé, že hodnoty říslušného slouce nechceme sčítat. 3

Tab.. Vymezení třídcího ntervalu Tabulka rozdělení četností doby do ouchy (v hodnách) Střed třídcího Absolutní Relatvní ntervalu četnost n četnost (v %) 00 Kumulatvní četnost absolutní kn relatvní k 60> (60;00> (00;40> (40;80> (80;0> (0+ 40 80 0 60 00 40 4 7 9 0 4 3 7,6 3,0,8,5 4,6 3,4 4 5 70 80 84 87 0,76 0,586 0,805 0,90 0,966,000 Součet 87 99,9 Obr.. Graf rozdělení četností (a) absolutních, (b) relatvních kumulatvních Středy ntervalů ro dobu do oruchy (v hodnách) Horní hrance ntervalů ro dobu do oruchy (v hodnách) V rvním říadě jde o sloucový graf se sleeným slouc hstogram. Ve druhém říadě jsme relatvní kumulatvní četnost znázornl omocí sojncového grafu (lomená čára, často s tyckým esovtým růběhem). Kumulatvní četnost se vynášejí rot horním hrancím ntervalů. Postačí k n Co udává součet součnů? Ve statstce s často klademe otázku, zda zjštěná hodnota je ouze řblžná (odhadnutá) nebo zda jde o řesnou hodnotu. Jak je tomu v tomto říadě? ( 3) v říadě ntervalového třídění relatvní četnost ro zajštění srovnatelnost výsledků třídění? Odhadněte, co by se stalo, okud bychom výš škod třídl jemněj, nař. do ntervalů o šířce 0 (hodn)? ( 4) Hustota četností je funkce f, tj. relatvní četnost, řadající na jednotku třídcího h ntervalu. Na rozdíl od relatvní četnost nezávsí na šířce ntervalu h, tj. na jemnost třídění, a zachovává s (řblžně) svůj růběh ř třídění do stále většího očtu užších ntervalů. Lze s ředstavt, že ř etrémně jemném třídění řechází lomená čára znázorňující růběh relatvních kumulatvních četností v hladkou křvku a odobně hladkou čarou se obaluje hstogram hustoty četností. 4

Cháeme-l relatvní četnost ř bodovém třídění a hustotu četností ř ntervalovém třídění jako funkc hodnot znaku, dosíváme k ojmu četnostní funkce () a funkce četnostní hustoty f(). Četnostní funkce je nezáorná a normovaná 0 ( ), ( ). Četnostní hustota je nezáorná f () 0 a normovaná f ( ) d (locha hstogramu četnostní hustoty je vždy rovna jedné). +.3 Významné hodnoty V datové řadě je vhodné ovšmnout s některých hodnot, které v ní mají určté zvláštní ostavení. Mez tyto významné hodnoty atří Etrémní hodnoty v usořádané řadě hodnoty ( ) mn ; ( n ) ma, tj. mnmální a mamální hodnota. Vzdálenost těchto hodnot se nazývá varační rozětí a označuje se symbolem R. Problémem etrémních hodnot může být to, že jedna nebo obě mohou být hrubým chybam. Tycká hodnota také modální hodnota (modus) ředstavuje nejčastěj se vyskytující hodnotu (u netříděných dat a dat tříděných bodovým tříděním), u ntervalového třídění za n budeme ovažovat střed ntervalu s nejvyšší četností. Modální hodnota znaku X se označuje ˆ ( se stříškou). Kvantly tvoří celou soustavu významných hodnot, u nchž s všímáme jejch olohy v usořádané řadě hodnot. Hlavním kvantlem je tzv. medán, který rozděluje usořádanou datovou řadu na dvě část se stejnou četností. Medán solu s dalším dvěma kvartly (dolním a horním kvartlem) rozděluje datovou řadu na čtyř část se stejnou četností. Podobně devět declů nebo 99 ercentlů rozděluje usořádanou řadu na deset/sto částí o stejné četnost. Obecně hovoříme o kvantlu (ro 0 < < ), který je takovou hodnotou, ro kterou je relatvní četnost hodnot nejvýše rovných rovna, zatímco relatvní četnost hodnot větších nebo rovných je rovna. Jsou-l data tříděna bodovým tříděním, je kvantlem ta varanta, u které orvé kumulatvní relatvní četnost řekračuje hodnotu. U ntervalového třídění je odhadem kvantlu střed ntervalu, u kterého oět orvé kumulatvní relatvní četnost řekračuje hodnotu. Někdy se místo o kvantlu hovoří o 00 % kvantlu (nař. medán je tedy 50% kvantlem). Příklad.3 Určíme kvartly v řadě netříděných hodnot. Datový soubor ro n 8 : 45,, 3,4,,0,, 3. Datový soubor ro n 7 : 45,, 3,4,,0, 3 Usořádaný datový soubor ro n 8 : 3, 0, 4,,3,,, 45 ( ) n Pořadové číslo medánu v usořádaném datovém souboru je + 0,5 4, 5. Hodnota s (hyotetckým) + 3 ořadím 4,5 leží mez 4. a 5. hodnotou a určíme j jako růměr 0,50 Podobně dolní kvartl je medánem sodní a horní kvartl medánem horní olovny usořádaného datového souboru, tj. (na stejném rncu jako medán) ;. Usořádaný datový soubor ro n 7 : 3,0,4,,3,, 45 ( ) 0,5 0, 75 5

n + 0,5 4 a medánem je tudíž hodnota 0,50. Př rozdělování souboru lchého rozsahu na olovny ostuujeme tak, že medán buď zařadíme nebo nezařadíme do každé z obou olovn. Je třeba, aby vznklá olovna měla lchý očet rvků. V našem říadě tedy medán vynecháme v obou olovnách a získáme,. 0,5 0 0, 75 Příklad.4 Určíme významné hodnoty ro říklady. (bodové třídění očtu zásahů obsluhy) a. (ntervalové třídění doby do oruchy). K říkladu.: V tabulce. snadno najdeme obě etrémní hodnoty (0 a 4 zásahy). Varanta s nejvyšší četností ˆ 3 (nejčastěj se vyskytly tří zásahy obsluhy během směny). Medánová (rostřední) varanta je rovna (u této varanty kumulatvní relatvní četnost orvé řekročla hodnotu 0,50 0,50). Všechny tyto hodnoty jsou určené řesně. Stejné hodnoty bychom obdržel z netříděných dat. K říkladu.: První a oslední nterval jsou otevřené, etrémní hodnoty tedy z tabulky. určt nelze. Největší četnost vykazuje druhý nterval vymezený (60;00>, jeho střed tedy rohlásíme za tyckou hodnotu (modus) ˆ 80. U téhož ntervalu je také orvé řekročena hodnota 0,5 u kumulatvní relatvní četnost, tedy medán 80. Tycká a současně rostřední doba do oruchy 0,50 jsou tedy v tomto říadě ouze odhadnuty na 80 hodn. Jaká U říkladu. určete dolní kvartl 0, 5 a horní kvartl 0, 75.4.. Insrujte se rvní částí říkladu hodnota u říkladu. zdola ohrančuje nterval, ve kterém leží 5 % nejdelších dob do oruchy? Jde v tomto říadě o řesnou nebo odhadnutou hodnotu? ( 5) Úsorným a řehledným nástrojem ro zobrazení hlavních vlastností dat jsou tzv. krabcové grafy. Ukázku těchto grafů vz na obr..3 v říkladu.5. Příklad.5 Krabcovým grafy znázorníme datové soubory : 0, 0, 3, 0, 33,, 9, 5,, 7, 4, 0,, 3 ro n 3, y : 0,,, 0, 5, 5, 5, 4, 7, 3, 7, 0, 9, 56,, 0, 0, 4, 3,, ro n. n 3 Odlehlé ozorování n 0 5 0 5 0 5 30 35 0 5 0 5 0 5 30 35 Výška krabce koresonduje s rozsahem souboru. Levá strana krabce ředstavuje dolní kvartl, ravá horní kvartl. Příčka uvntř krabce je medán. Vlákna označují hrance hodnot, které nejsou detekovány jako odlehlé. 6

Σ. Základní metodou zracování dat ve statstce je metoda třídění.. Podle tyu dat se oužívá buď bodové nebo ntervalové třídění. 3. Výsledkem třídění je rozdělení četností. 4. Rozdělení četností lze vyjádřt v tabulkové nebo grafcké odobě. 5. Rozdělení četností ř bodovém třídění tvoří vektor varant a vektor četností. 6. Rozdělení četností ř ntervalovém třídění tvoří vektor středů ntervalů a vektor četností. 7. Vedle absolutních četností se oužívají četnost relatvní a rovněž absolutní a relatvní kumulatvní četnost. 8. Formálně se u bodového třídění zavádí četnostní funkce a u ntervalového třídění funkce četnostní hustoty. 9. V datovém souboru lze najít významné hodnoty etrémní hodnoty, tyckou hodnotu (modus) a kvantly. 0. Soustava kvantlů obsahuje ředevším medán, kvartly, decly a ercently.. Zvládl jsme ouze řblžné určení kvantlů. Přesnějším aromacem jsme se nezabýval. ( ) Uvedený výraz ředstavuje úhrn (součet) hodnot znaku datového souboru tříděného bodovým tříděním. Jde o řesnou hodnotu. ( ) K zajštění srovnatelnost obou rozdělení četností ostačí oužít relatvní četnost. ( 3) U ntervalového třídění jde rovněž o úhrn (součet) hodnot znaku. Na rozdíl od bodového třídění jde jen o odhadovanou hodnotu (střed ntervalu rerezentuje hodnoty ležící uvntř ntervalu nedokonale). ( 4) Se zvyšující se jemností třídění (větší očet užších ntervalů) klesají absolutní relatvní četnost. Srovnatelnost rozdělení četností ř ntervalovém třídění zabezečuje hustota četností. ( 5) Touto hodnotou je 75% kvantl, který v tab.. určíme jako střed ntervalu, u kterého orvé součtová relatvní četnost řekročí hodnotu 0,75; 0 (hodn). Jde ouze 0,75 o hrubý odhad. Přesnou hodnotu můžeme určt jen z údajů o jednotlvých oruchách.. Zracujte o vzoru říkladu. bodové třídění výsledků nejméně 30 hodů hrací kostkou, které sam rovedete. Určete relatvní a kumulatvní četnost. Sestavte tabulku rozdělení četností a roveďte grafcké znázornění o vzoru obr.... Zracujte o vzoru říkladu. ntervalové třídění fktvního datového souboru, jehož zadání obdržíte. Třídění roveďte alternatvně do šest a do ntervalů. Porovnejte grafy absolutních a relatvních četností a grafy hustot četností obou varant. 3. Jaké hodnoty nabývá, říadně jaký má smysl, součet absolutních četností, relatvních četností a kumulatvních četností? 4. Co je hstogram a jaké je jeho oužtí? 5. Graf které četnost a ř jakém třídění má stuňovtý růběh? 6. Objasněte ojem varační rozětí. 7

7. Určete kvartly ro datový soubor : 45,, 3, 4,,0,,3, 0. 8. Určete kvartly u říkladu v zadání. 9. Určete kvartly u říkladu. Nejrve zkuste vyhledat řesné hodnoty kvartlů v netříděných datech. Pak orovnejte tyto řesné hodnoty s odhady, které získáte ř třídění dat do šest ntervalů. 0. Jak se nazývají kvantly, které rozdělují usořádaný datový soubor na čtyř, deset a sto částí o stejné četnost a jaký je jejch očet?. Jak jnak (solečně) můžeme ojmenovat rostřední z kvartlů/declů/ercentlů? 8