ÚVD Tento učební tet je chápán jako doplněk skripta áklad deskriptivní a konstruktivní geometrie, díl 4., Pravoúhlá aonometrie a měl b pomoci studentům a ostatním ájemcům o deskriptivní geometrii, kteří chtějí vládnout konstrukce a obraování v pravoúhlé aonometrii. Nahrauje skriptum Sbírka řešených příkladů deskriptivní a konstruktivní geometrie, díl 4., Aonometrická projekce. Tomu odpovídá číslování příkladů a obráků. Skriptum obsahuje příklad na ákladní polohové úloh a metrické úloh v souřadnicových rovinách, úloh na konstrukci a obraení elementárních těles v ákladní poloe. Další skupina příkladů se týká konstrukce a obraení rovinných řeů některých elementárních těles a naleení průniku přímk s tělesem. Jsou de rovněž příklad věnované vbraným křivkám a plochám technické prae jako je šroubovice, šroubové ploch a ejména borcené ploch. Na ávěr je připojena sada neřešených příkladů k samostatnému řešení a procvičení dané problematik. Postup řešení jednotlivých příkladů je popsán stručně. Předpokládáme nalost principu obraení a ákladních pojmů pravoúhlé aonometrie, ejména obraení bodu, přímk a rovin a nalost osové afinit v rovině. 3
Pr ı klad 4.1: V pravou hle aonometrii 4(8; 9; 10) sestrojte stopnı k pr ı mk p = AB. A[4; 1; 8], B[2; 4; 5] R es enı (obr. 4.1): Pu dorsn stopnı k P = p π je pru sec ı kem pr ı mk p s jejı m pu dorsem p1 a je ted P = P1 ; pu dors N1 na rsne ho stopnı ku N = p ν le ı na pr ı mce p1 a na ose, podobne pro bokorsn stopnı k M = p µ je M1 = p1. p [8 ] 8 [] N [5 ] A [] 5 () B 1 () 2 M p1 4 4 A1 P = P1 (4 ) N1 B1 M1 (4 ) (2 ) (1 ) () obr. 4.1 4
Pr ı klad 4.2: V pravou hle iometrii sestrojte stop rovin ρ = ABC. A[1; 5; 2], B[6; 1; 7], C[ 2; 3; 2] R es enı (obr. 4.2): Pu dorsna stopa pρ je pr ı mka spojujı cı pu dorsne stopnı k P c, P a pr ı mek c = AB, a = BC. Pro na rsnou stopu nρ stac ı najı t na rsn stopnı k N c pr ı mk c a spojit jej s pru sec ı kem os a stop pρ. Podobne se bokorsna stopa mρ protı na s pρ na ose a s nρ na ose. V obra ku jsou doplne n take pru me t dals ı ch dostupn ch stopnı ku N b, M c, M b, M a pr ı mek a, b, c, ktere blo mo no pr i konstrukci vu ı t. Pr ı mka b = AC je rovnobe na s pu dorsnou π, je to ted hlavnı pr ı mka I. osnov rovin ρ a platı b k b1 k pρ. Nb nρ Nc B mρ a N1b Ma C c P a = P1a Mb C1 Mc P c = P1c M1c A M1b A1 M1a c1 b pρ b1 obr. 4.2 5 B1 N1c a1
Pr ı klad 4.3: V pravou hle iometrii sestrojte pru nik troju helnı ku ABC a EF G. A[0; 6; 8], B[8,5; 7,5; 8,5], C[3,5; 0; 10], E[5; 9,5; 9], F [7,5; 2; 8,5], G[0; 2; 9] R es enı (obr. 4.3): Rovin dan ch troju helnı ku se protı najı v pru sec nici r, jejı bod K, L najdeme takto rovina EF E1 (pu dorsne promı tacı rovina pr ı mk EF ) protne stran AB, BC v bodech 1,2, kde 1 1 = E1 F1 A1 B1 a 2 1 = E1 F1 B1 C1. Krcı pr ı mka 12 pak protı na u sec ku EF v bode K. Podobne pomocı krcı pr ı mk 34 najdeme bod L na u sec ce AC. Pr i urc ova nı viditelnosti postupujeme na sledujı cı m pu sobem bod 2 BC je v s ne bod 2 0 EF, a bude ted vide t bod 2 a take cela strana BC. G L 3 C 4 A K E F 2 20 1 B r G1 C1 41 3 1 L1 A1 F1 2 1 =2 01 K1 11 E1 B1 obr. 4.3 6 r1
Pr ı klad 4.4: V pravou hle iometrii ved te bodem M pr ı c ku mimobe ek p = AB, q = CD. M [4; 1; 3], A[9; 0; 0], B[0; 4; 5], C[1; 7; 0], D[5; 3; 9] R es enı (obr. 4.4): Hledana pr ı c ka musı le et v rovine ρ = M q. Stac ı ted najı t pru sec ı k P pr ı mk p = AB s touto rovinou. Bodem M je proto vedena pr ı mka q 0 k q a bod P je naleen pomocı pu dorsne krcı pr ı mk r = 12 (r1 = p1 ). Pr ı mka m = P M je hledanou pr ı c kou, ktera protı na druhou mimobe ku q = CD v bode Q. 1 q0 q r D p B M P Q m r1 = p 1 B1 21 q10 M1 P1 C = C1 m1 Q1 D1 2 q1 11 A = A1 obr. 4.4 7
Pr ı klad 4.5: V pravou hle iometrii sestrojte pr ı c ku mimobe ek a = M N, b = P Q rovnobe nou s pr ı mkou s = U V. M [0; 5; 8], N [3; 0; 1,5], P [4,5; 5; 8,5], Q[5; 0; 11], U [0; 3,5; 2,5], V [3,5; 3; 4] R es enı (obr. 4.5): Hledana pr ı c ka musı le et v rovine α k s, a α. Tato rovina je dourc ena pr ı mkou s0 k s, M s0. Pomocı pu dorsne krcı pr ı mk r = 12 (r1 = b1 ) je sestrojen pru sec ı k B pr ı mk b = P Q s rovinou α = as0. Pr ı mka m k s jdoucı bodem B je hledanou pr ı c kou, ktera protı na druhou mimobe ku a = M N v bode A. Q r a M s0 2 B A m P V U s N 11 b N1 U1 a1 M 1 A1 Q1 V1 P1 21 1 B1 s01 b 1 = r1 obr. 4.5 8 m1 s1
Pr ı klad 4.6: V pravou hle dimetrii 4(8; 8; 9) obrate c tverec ABCD le ı cı v pu dorsne π. A[10; 4; 0], C[0; 8; 0] R es enı (obr. 4.6): Sour adnice bodu A, C vneseme nejen v aonometricke m pru me tu, ale take v otoc enı pu dorsn do aonometricke pru me tn, a ı ska me tak bod (A), (C). V otoc enı najdeme str ed (S) c tverce a doplnı me vrchol (B), (D). Aonometricke pru me t bodu S, B, D sestrojı me pomocı kolme osove afinit, jejı osou je pr ı mka a v nı aonometrick m pru me tu m bodu, A, C odpovı dajı jejich otoc ene poloh (), (A), (C) s v hodou mu eme u ı t samodru ne bod 1,2,3 pr ı mek BD, AB, BC. Pr i ruc nı m r sova nı docha ı u osove afinit c asto k nepr esnostem, a proto je vhodne v pru me tu pru be ne kontrolovat take achova nı str edu u sec k nebo rovnobe nosti. (D) (A) (S) () () (C) B 3 1 2 C (B) S A () D obr. 4.6 9
Pr ı klad 4.7: V pravou hle aonometrii, dane 4(10; 9; 8), obrate pravideln s estiu helnı k ABCDEF, kter ma str ed S a jedna jeho strana le ı na pr ı mce a = P N. S[5; 0; 5], P [8; 0; 0], N [10; 0; 7] R es enı (obr. 4.7): e ada nı vpl va, e bod S, P, N le ı v na rsne. Proto budeme u lohu r es it (podobne jako pr edchoı pr ı klad) pomocı otoc enı sour adnicove rovin ν = do aonometricke pru me tn. V pru me tu je tı mto otoc enı m indukova na kolma osova afinita, jejı osou je pr ı mka a v nı pru me tu m bodu, S, P, N odpovı dajı jejich otoc ene poloh [], [S], [P ], [N ]. Nejprve ted v otoc enı sestrojı me pravideln s estiu helnı k o str edu [S] a se stranou [A][B] na pr ı mce [a] = [P ][N ] a pote najdeme aonometricke pru me t jeho vrcholu pr itom vu ı va me vlastnostı mı ne ne afinit, pr ı padne achova nı str edove soume rnosti a rovnobe nosti. [] D C [] [E] a E [D] S N B [F ] F [S] [C] 30 S1 [A] [a] [P ] [N ] [B] A P =P1 N1 = a1 [] obr. 4.7 10
Příklad 4.8: obrate kružnici k π, která má střed S a procháí bodem K; dále obrate kružnici l µ, jež procháí bodem L a v bodě T se dotýká os. Proved te v pravoúhlé dimetrii (9; 9; 7). S[4,5; 6; 0], K[2,5; 2,5; 0]; L[0; 1,5; 11], T [0; 0; 8] Řešení (obr. 4.8): Průmětem každé kružnic je elipsa, jejíž hlavní osa procháí průmětem středu dané kružnice a je rovnoběžná se stranou pro k a se stranou pro l. Délka hlavní poloos je rovna poloměru kružnice. Kružnici k sestrojíme v otočení půdorsn do aonometrické průmětn: (S)(K) je její poloměr. Kružnici l sestrojíme v otočení bokorsn do aonometrické průmětn: střed [S ] otočené poloh [l] je průsečíkem os [o] souměrnosti bodů [T ], [L] a normál kružnice [l] v bodě [T ], [S ][T ] je její poloměr. Vedlejší vrchol průmětů kružnic k i l stanovíme pomocí osové afinit indukované otáčením příslušné souřadnicové rovin vužijeme otočené poloh (C) bodu C v případě kružnice k, resp. otočené poloh [C ] bodu C kružnice l. l L A D T [] S C [C ] [T] [o] [] (k) (A) B (S) [L] L 1 [S ] () C K () [l] (C) (K) A S B k D () obr. 4.8 11
Příklad 4.9: V pravoúhlé aonometrii (10; 10; 8) obrate pravidelný šestiboký hranol, který má dolní podstavu o středu S a vrcholu A v půdorsně π; shora omete těleso rovinou ρ. S[0; 6; 0], A[1,5; 2; 0], ρ(3,5; 5; 3,5) Řešení (obr. 4.9): Průmět pravidelného šestiúhelníka ABCDEF podstav sestrojíme podobně jako čtverec v příkladu 4.6; pro rovinu ρ vtáhneme průmět jejích stop přitom krácení 5 cm na průmětu os najdeme nejprve na kladné poloose a poté souměrně podle průmětu počátku přeneseme na opačnou polopřímku a krácení 3,5 cm na průmětech os a je dík adané dimetrii stejné. Sestrojme ře kolmého hranolu rovinou ρ. Bod S, proto osa o hranolu (o π, S o) leží v bokorsně µ a protíná rovinu ρ na bokorsné stopě m ρ v bodě S, který je středem hledaného řeu. Dále vužijeme osovou afinitu mei půdorsnou π a rovinou ρ, jejíž osou je půdorsná stopa p ρ a v níž si odpovídají bod S a S. Přímka AS protíná stopu p ρ v samodružném bodě 1 a bod A najdeme na přímce 1S a na hraně jdoucí bodem A kolmo k π. Stejným působem najdeme bod D a podobně sestrojíme pomocí samodružných bodů 2= p ρ CF, 3= p ρ ED vrchol C, F, E řeu. Bod B je souměrný s E podle středu S. Na ávěr stačí doplnit bývající hran a určit jejich viditelnost. 12
o C0 B0 D0 mρ S0 nρ A0 E0 B C (E) 1 () (F ) F 0 () A S=o1 =S10 D (D) (S) F E (A) 2 (C) 3 (B) pρ obr. 4.9 13 ()
Pr ı klad 4.10: V pravou hle aonometrii 4(8; 7; 9) je da n kos c tr bok hranol, kter ma c tvercovou podstavu ABCD o u hlopr ı c ce AC v pu dorsne a boc nı hranu AA0. Protne te ho rovinou ρ = M N P. A[0; 8; 0], C[10; 4; 0], A0 [3; 7; 10,5], M [0; 6; 7], N [8; 0; 0], P [0; 9,5; 0] R es enı (obr. 4.10): Pru me t dolnı c tvercove podstav ABCD sestrojı me podobne jako v pr ı kladu 4.6, konstrukce pru me tu vrcholu B 0, C 0, D0 je r ejma obra ku. Pro stop rovin ρ platı : pρ =P N, mρ =P M a na rsna stopa nρ procha ı bodem N a s mρ se protı na na ose. Hranou AA0 prolo me pomocnou rovinu α=aa0 A01 (je ted α k a pα =AA01, mα k, A mα ) a sestrojme jejı pru sec nici a=p a M a s rovinou ρ. ı ska me tak prvnı vrchol A =a AA0 r eu. Pr ı mka 1 A, kde 1 =AD pρ, je pru sec nicı rovin r eu s rovinou boc nı ste n ADD0 A0 a protı na ted hranu DD0 v dals ı m vrcholu D r eu. Podobne najdeme pomocı bodu 2,3 pρ b vajı cı vrchol C, B. Proto e jsou prote js ı boc nı ste n hranolu rovnobe ne, je take c tr u helnı k A B C D rovnobe nı kem. C tverec podstav a rovnobe nı k r eu si odpovı dajı v prostorove osove afinite, jejı osou je stopa pρ =π ρ a sme r uda va pr ı mka AA0. (B) D0 mα A0 [] [] C0 P a () Ma M mρ (C) A B0 (S) (A) D () 1 nρ D N (D) M1 B A C S A01 C 3 Pa pα =a1 2 () pρ B obr. 4.10 14
Pr ı klad 4.11: V pravou hle aonometrii 4(8; 9; 10) obrate r e obecne ho c tr boke ho jehlanu ABCDV rovinou ρ ; rovina ρ procha ı bodem R a protı na hranu BV v bode B0. A[0, 2, 0], B[0; 5; 0], C[7; 5; 0], D[6; 0; 0], V [4; 3; 11], R[4; 3; 4], B 0 [?;?; 2,5] R es enı (obr. 4.11): Bod B 0 je pru sec ı kem pr ı mk BV s rovinou π 0, ktera je rovnobe na s π a procha ı bodem B [0; 0; 2,5]. BV β, β π, (pβ = BV1, mβ k ). β π 0 = b, (b1 = pβ, 0 b k b1, M b b, M b = mβ mπ ), b BV = B 0. Urc ı me stop rovin ρ r eu. pρ k, P pρ, P = r r1, r = RB 0. mρ procha ı bokorsn m stopnı kem M pr ı mk r a nρ k. Stran r eu le ı na pru sec nicı ch rovin boc nı ch ste n jehlanu s rovinou ρ r eu. I A0 B 0, I = AB pρ, A0 AV. B 0 C 0 k BC, nebot BC k pρ. C 0 D0 CD = II. Mei podstavou a r eem jehlanu je kolineace, jejı m str edem je vrchol V jehlanu a osou pru sec nice pρ rovin podstav a r eu. [] V mβ nρ mρ D0 A0 r B [] R () Mb nπ M B0 b A mπ 0 () 0 D C0 P B V1 =R1 pβ =b1 =r1 I C II () obr. 4.11 15 pρ
Pr ı klad 4.12: V pravou hle aonometrii 4(10; 11; 12) je da n rotac nı va lec, kter ma dolnı podstavnou kru nici k(s; r) v pu dorsne a v s ku v. Sestrojte jeho r e rovinou ρ. S[4,5; 5; 0], r = 4,5, v = 10, ρ(10; ; 8) R es enı (obr. 4.12): sou o = SS 0 va lce prolo ı me rovinu α k ν, ktera va lec protne v obde lnı ku KLL0 K 0 a rovinu ρ v pr ı mce a. Pru sec ı k K, L pr ı mk a se stranami KK 0, LL0 va lce jsou souc asne pru sec ı k pr ı mk a s pla s te m va lce. Podobne osou o vedeme rovinu β k µ, ktera protne va lec v obde lnı ku M N N 0 M 0 a rovinu ρ v pr ı mce b. Pr ı mka protı na pla s t va lce v bodech M, N le ı cı ch na jeho strana ch M M 0, N N 0. Tı m jsme ı skali pro pru sec nou elipsu k sdru ene pru me r K L, M N, nebot pru me r KL, M N kru nice k jsou na sebe kolme. mα nβ N0 a K0 A0 B0 S0 K mρ o [] L0 M0 c [] k0 A Nb N S k () B N K b S = o1 A () nρ M B L L Pc Pa M k pα pβ () pρ obr. 4.12 16
Pr ı klad 4.13: V pravou hle aonometrii 4(8; 10; 9) sestrojte pru nik pr ı mk p = P M s kos m c tr bok m jehlanem, kter ma c tvercovou podstavu o u hlopr ı c ce AC v pu dorsne π a hlavnı vrchol V. A[0; 6; 0], C[7; 1; 0], V [ 3; 3; 6], P [0; 10; 0], M [5; 3; 5] R es enı (obr. 4.13): Pr ı mkou p a vrcholem V jehlanu je urc ena vrcholova rovina ρ. volen m bodem Q p vedeme pr ı mku q = V Q, q ρ. Pu dorsna stopa pρ rovin ρ je urc ena pu dorsn mi stopnı k P, P 0 pr ı mek p, q. Rovina ρ protı na jehlan v 4V III. Bod I, II jsou pru sec ı k stop pρ s obvodem podstav jehlanu. Spolec ne bod K, L pr ı mk p a obvodu 4V III jsou hledan mi pru sec ı k pr ı mk p s povrchem jehlanu. [] q V M (B) p [] Q q1 () (C) V1 L D K (S) A (A) M1 Q1 p1 S P =P1 () C I II B (D) () obr. 4.13 17 pρ P0
Pr ı klad 4.14: V pravou hle dimetrii 4(12; 13; 12) sestrojte pru nik pr ı mk p = P M s kos m c tr bok m hranolem, jeho dolnı c tvercova podstava o str edu S a vrcholu A le ı v pu dorsne π a hornı podstava ma vrchol A0. S[4; 4; 0], A[0; 5,5; 0], A0 [0; 2,5; 6], P [ 2; 9; 0], M [10; 0; 5] R es enı (obr. 4.14): Pr ı mkou p prolo ı me rovinu ρ rovnobe nou s boc nı mi hranami hranolu, tv. sme rovou rovinu a urc ı me jejı pu dorsnou stopu pρ. ρ = pq, q k AA0, M q. pρ = P Q, Q = q π. Rovina ρ protı na povrch hranolu v rovnobe nı ku II 0 II 0 II, II 0 k IIII 0 k AA0. Spolec ne bod K, L pr ı mk p a obvodu rovnobe nı ka II 0 II 0 II jsou hledane pru sec ı k pr ı mk p s povrchem hranolu. Bod K, L le ı ve viditeln ch ste na ch hranolu a tı m je urc ena viditelnost pr ı mk p vhledem ke hranolu. D0 a A0 I0 II 0 C0 q B0 (B) M A01 K P1 =P p L D () (C) A S () (S) I =a1 C M1 II Q B pρ (A) (D) () obr. 4.14 18 q1 p1
Pr ı klad 4.15: Na pr ı mce p = KL najde te bod, jejich vda lenost od pr ı mk o = M N je r. Proved te v pravou hle aonometrii, kde (, ) =120, (, ) =105. K[4; 10; 5,5], L[7; 2; 4], M [2; 4; 6], N [7; 4; 6], r=4 R es enı (obr. 4.15): Bod, ktere majı v prostoru od pr ı mk o vda lenost r, le ı na rotac nı va lcove plos e o polome ru r, jejı osou je pr ı mka o. Tato va lcova plocha je de urc ena povrchovou kru nicı k(s, r) v bokorsne µ =, S je bokorsn stopnı k pr ı mk o. Pr ı mkou p prolo ı me sme rovou rovinu ρ (ρ k o) a najdeme jejı bokorsnou stopu mρ = M 0 M 00, M 0 = o0 µ, K o0, o0 k o, M 00 = o00 µ, L o00, o00 k o. Rovina ρ protı na va lcovou plochu v povrchov ch pr ı mka ch, ktere procha ejı pru sec ı k I a II bokorsne stop mρ s kru nicı k. Spolec ne bod U, V pr ı mk p a te chto povrchov ch pr ı mek jsou hledane pru sec ı k. [] k [] S M mρ M0 II I M 00 o0 p N K () V U L () o00 o nρ M100 S1 M1 o01 M0 1 L1 p1 N1 K1 () obr. 4.15 19 o001 o1
Pr ı klad 4.16: V pravou hle dimetrii 4(8; 8; 9) sestrojte pru nik pr ı mk p = P Q s kos m kruhov m ku elem, kter ma vrchol V a podstavu o str edu S a polome ru r v pu dorsne π. P [3,5; 12; 0], Q[7,5; 3; 7,5], V [1,5; 5; 8], S[5; 5; 0], r=5 R es enı (obr. 4.16): Pr ı mkou p prolo ı me vrcholovou rovinu ρ = V p a sestrojı me jejı pu dorsnou stopu pρ = P P 0. P 0 je pu dorsn stopnı k pr ı mk r = V R, R je volen bod na pr ı mce p (ted r ρ). Rovina ρ protı na ku el v 4V III. Bod I, II jsou pru sec ı k stop pρ s podstavnou hranou k ku ele. Pr ı mka p protı na stran V I, V II v bodech K, L, ktere jsou hledan mi pru sec ı k pr ı mk p s pla s te m ku ele. Pro stanovenı viditelnosti pr ı mk p vhledem ke ku eli si stac ı uve domit, e bod K, L le ı na viditelne c a sti pla s te ku ele. () r Q V p () R L p1 V1 r1 S K R1 II pρ P =P1 Q1 I k () obr. 4.16 20 P0
Pr ı klad 4.17: Kos kruhov va lec ma dolnı podstavu o str edu S a polome ru r v π a str ed S 0 hornı podstav. V bode K na pla s ti va lce sestrojte jeho tec nou rovinu τ. Proved te v kolme dimetrii 4(7; 8; 8). S[4; 7; 0], S 0 [8; 4; 8], r=5, K[10; 7;?] R es enı (obr. 4.17): Tec na rovina τ va lce v jeho bode K se ho dot ka pode l stran II 0 procha ejı cı bodem K rovnobe ne se str ednou s va lce a protı na rovin podstav v pr ı mka ch, ktere jsou tec nami podstavn ch kru nic. Pro urc enı aonometricke ho pru me tu bodu K pou ijeme pu dorsne promı tacı rovinu ρ pr ı mk II 0. Rovina ρ je rovnobe na s pu dorsne promı tacı rovinou pr ı mk s a protı na va lec v rovnobe nı ku II 0 II 0 II. pρ k s1, K1 pρ. () s k0 S0 () II 0 I0 τ K S=S1 S10 k II I K1 pτ () obr. 4.17 21 s1 pρ
Pr ı klad 4.18: V dimetrii 4(10; 8; 10) obrate rotac nı ku el s podstavou o str edu S v pu dorsne, kter se dot ka rovin τ. Bodem K na pla s ti ku ele ved te jeho povrchovou kru nici. S[6; 6; 0], τ ( 5; 5; 6,5), K[8,5; 6;?] R es enı (obr. 4.18): Tec na rovina τ ku ele protne rovinu jeho podstav v pr ı mce pτ, ktera je tec nou podstavne kru nice k. V otoc enı sestrojı me bod (T ) dotku kru nice (k) na jejı tec ne (pτ ). Polome r podstav je (S)(T ). Bod K le ı na strane V I ku ele; bod I = V1 K1 k. Kru nice k, k 0 i jejich pru me t jsou stejnolehle se str edem stejnolehlosti V. S 0 V S, S 0 K k SI. nτ (pτ ) IIhτ V (T ) mτ (S) () () S0 k0 K S=V1 T K1 k () pτ obr. 4.18 22 I IIhτ 1
Příklad 4.19: V pravoúhlé aonometrii (10; 9; 11) obrate kosý kruhový válec výšk v s podstavou o poloměru r v π, který se dotýká rovin α a β. Stran válce jsou rovnoběžné s přímkou s = R. možných řešení volte to s podstavou v 1. kvadrantu. Sestrojte průnik přímk p = P M s válcem. v = 6,5, r = 5, R[ 4; 2; 3], [0; 0; 0], α(2,5; 4;?), β(6; 4;?), P [3,5; 12; 0], M[0; 5; 5] Řešení (obr. 4.19): Podstavná kružnice k v π se dotýká stop p α, p β tečných rovin α, β. V otočení půdorsn do aonometrické průmětn sestrojíme otočený střed (S) kružnice k jako průsečík přímek rovnoběžných s (p α ) a (p β ) a vdálených od nich o r. e čtř možných řešení blo voleno to v 1. kvadrantu. Střed S horní podstav je průsečík středné s s rovinou π : π = v; KS K 1 S, K = v, K µ. Přímkou p proložíme směrovou rovinu λ, λ s. λ = pq; M q, q s. Rovina λ protíná povrch válce v rovnoběžníku, jehož stran na plášti válce procháejí bod I a II, v nichž půdorsná stopa p λ protíná podstavnou kružnici k. Společné bod U, V těchto stran a přímk p jsou hledané průsečík přímk p s povrchem válce. Bod U leží ve viditelné části, bod V v neviditelné části pláště válce a tím je dána viditelnost přímk p vhledem k válci. Příklad 4.20: V pravoúhlé aonometrii (9; 12; 11) obrate rotační kužel stojící na π, který má vrchol na přímce v = MN a dotýká se rovin τ. M[0; 5; 8], N[ 2; 0; 5], τ( 8; 4; 4) Řešení (obr. 4.20): Vrchol V kužele je průsečíkem přímk v s rovinou τ. Je sestrojen pomocí půdorsně krcí přímk w = P W. w 1 = P W 1 = v 1 ; W n τ ; v w = V ; V 1 v 1. Střed S podstav splývá s bodem V 1. Tečná rovina τ kužele protíná rovinu π jeho podstav v přímce p τ, která je tečnou podstavné kružnice k. V otočení rovin π kolem přímk do aonometrické průmětn určíme bod T dotku na tečně p τ kružnice k a poloměr r kružnice k. (S)(T ) (p τ ), (T ) (p τ ); r = (S)(T ). 23
k s q p S s [] M [] R K V () q 1 s 1 s 1 R 1 M 1 S 1 (S) K 1 T a Q p α U (T a ) S II (T b ) T b k () p β I P p λ p 1 () (p α ) (p β ) obr. 4.19 24
m τ w [] v M [] V N n τ p τ W T P () V 1 =S W 1 =N 1 M 1 () (M 1 ) k v 1 =w 1 (S) (v 1 ) () (N 1 ) (T) (p τ ) obr. 4.20 25
Příklad 4.21: V pravoúhlé aonometrii (, ) =105, (, ) =120 obrate pravidelný osmistěn ABCDEF daný úhlopříčkou EF, mají-li úhlopříčk AC a BD od os odchlku 45. E[4; 4; 0], F [4; 4; 12] Řešení (obr. 4.21): Úhlopříčk pravidelného osmistěnu jsou stejně velké, na sebe kolmé a půlí se. Vrchol A, B, C, D osmistěnu jsou vrchol čtverce ABCD v rovině kolmé k přímce EF jdoucí jejím středem S. Rovina tohoto čtverce je rovnoběžná s π (EF ), proto je aonometrický průmět čtverce ABCD shodný s jeho aonometrickým půdorsem A 1 B 1 C 1 D 1. V otočení půdorsn kolem její aonometrické stop (tu volíme) do průmětn sestrojíme bod (A 1 ), (B 1 ). e souřadnic bodu E vplývá, že bod A 1 leží na přímce E; jeho otočená poloha (A 1 ) je ted na přímce ()(E). (A 1 )(E) = 6 = (B 1 )(E). (B 1 )(E) (A 1 )(E). o F [] (A 1 ) C D S [] B (E) () A () (B 1 ) B 1 E () A 1 obr. 4.21 26
Příklad 4.22: V pravoúhlé aonometrii (8; 9; 10) obrate pravidelný osmistěn ABCDEF daný vrcholem A a osou o, která procháí bodem M rovnoběžně s osou. A[7,5; 6; 1], M[0; 8; 6] Řešení (obr. 4.22): Řeem osmistěnu rovinou jdoucí bodem A kolmo k přímce o je čtverec ABCD, jehož střed S leží na ose o. o, ted čtverec ABCD leží v rovině rovnoběžné s bokorsnou µ a jeho aonometrický průmět je shodný s bokorsem A 3 B 3 C 3 D 3. Ten sestrojíme pomocí otočení rovin µ kolem její stop do průmětn. V obráku jsou vnačen poue otočené bod (A 3 ), (B 3 ), (M) a A 3, B 3. Posunutím o vektor A 3 A dostaneme bod S, B a středovou souměrností podle S vrchol C, D. Vrchol E, F leží na ose o. ES = F S = R, R ; [][R] = (M)(A 3 ), protože EF. () B 3 C (B 3 ) B () M F A 3 D (A 3 ) S A (M) R [R] E [] o () [] obr. 4.22 27
Příklad 4.23: V iometrii obrate plochu, kterou vtvoří přímka p = P Q otáčením kolem os. Uvažujte její část mei půdorsnou π a rovinou π souměrnou s π podle středu ploch. P [6; 3; 0], Q[0; 6; 12] Řešení (obr. 4.23): Přímka p je mimoběžná s osou rotace, vtvoří ted otáčením rotační jednodílný hperboloid s osou, jehož střed S je středem hrdelní kružnice h. Tu vtvoří bod H p s nejmenší vdáleností od os a její půdors h 1 se dotýká přímk p 1 v bodě H 1. Bod H 1 sestrojíme v otočení půdorsn kolem její hlavní přímk procháející počátkem do rovin rovnoběžné s průmětnou. točené os (), () mají od os otáčení odchlku 45 (iomerie). (H 1 ) (p 1 ), ()(H 1 ) (p 1 ), HS H 1. dánlivým obrsem hperboloidu v tomto případě je hperbola se středem S s vrchol A, B v hlavních vrcholech průmětu hrdla h, která se dotýká průmětů všech rovnoběžek a tvořicích přímek ploch. Její asmptot jsou obrsové přímk asmptotické kuželové ploch, kterou vtvoří rotací kolem os přímka p vedená bodem S rovnoběžně s přímkou p. 28
k p p (W) P R Q k q A S=W=W 1 B (T) (T ) h T T H (P ) P p 1 (h 1 ) P (p 1) p 1 (p 1 ) R 1 Q 1 (Q 1 ) k (k ) (H) H 1 k (P) () (k) () obr. 4.23 29
Příklad 4.24: V pravoúhlé aonometrii (, ) =110, (, ) =125 je dán hperbolický paraboloid borceným čtřúhelníkem ABCD. Sestrojte jeho tvořicí přímk obou regulů, osu, vrchol a tečnou rovinu v bodě T. A[0; 10; 10], B[10; 8; 3], C[12; 0; 8], D[2; 2; 3], T [9; 6;?] Řešení (obr. 4.24): Protější stran borceného čtřúhelníka patří jednomu regulu tvořicích přímek hperbolického paraboloidu a určují aměření jeho řídicích rovin. Řídicí rovin jsou kolmé k půdorsně π, nebot A 1 B 1 C 1 D 1 je rovnoběžník. Tvořící přímk spojují odpovídající si bod, které v nějakém poměru rodělují protější stran borceného čtřúhelníka. sa o ploch je kolmá k π (je rovnoběžná s oběma řídicími rovinami) a procháí vrcholem V paraboloidu. Vrchol V je průsečíkem vrcholových přímek u, v vrcholové rovin, která je kolmá k ose o. u π, v π, u je příčka mimoběžek AB, CD rovnoběžná s A 1 D 1, v je příčka mimoběžek AD, BC rovnoběžná s A 1 B 1. Pro sestrojení přímk u posuneme AB směrem A 1 D 1 do rovin CDC 1 ; AA A 1 D 1, A DD 1, A 1 AB, 1 CD, 1 u, u A 1 D 1. Podobně pro přímku v posuneme BC směrem A 1 B 1 do rovin ADD 1 ; CC A 1 B 1, C DD 1, C 3 BC, 3 AD, 3 v, v A 1 B 1. Tečná rovina v bodě T je určena přímkami a, b opačných regulů, které bodem T procháejí. T 1 a 1, a 1 B 1 C 1, a AB = 5, a CD = 6 ; T a. T 1 b 1, b 1 A 1 B 1, b BC = 7, b = 7 T, (b AD = 8 ). 30
A C o A 8 6 C 3 1 () u 2 D V 4 v () D 1 3 1 1 1 A 1 8 1 T u 1 V 1 2 1 5 1 T 1 a 1 B 1 5 r 7 1 7 b 1 b 4 1 6 1 v 1 C 1 () a B obr. 4.24 31
Příklad 4.25: Řídicími útvar borcené ploch jsou přímka a = AB, kružnice k(s, r) v ν a nevlastní přímka rovin µ =. Určete náev ploch a sestrojte její tvořicí přímk včetně přímek torálních. obrate v pravoúhlé aonometrii dané osovým křížem: (, ) =110, (, ) =140. A[12; 10; 0], B[0; 10; 5], S[5; 0; 5], r = 5 Řešení (obr. 4.25): adanou plochou je šikmý kruhový konoid, nebot řídicí přímka a není kolmá k řídicí rovině µ. Tvořící přímk sestrojíme v rovinách rovnoběžných s řídicí rovinou µ. volená rovina α µ protne přímku a v bodě I a kružnici k v bodech J, J Přímk IJ, IJ jsou tvořicí přímk ploch. Podobně sestrojíme ostatní. Krajní poloh těchto rovin (mají s kružnicí k společný poue bod 1 C, resp. 2 C) jsou torálními rovinami a v nich tvořicí přímk 1 t, resp. 2 t jsou torálními přímkami ploch. Jejich kuspidální bod 1 K, 2 K leží na řídicí přímce a. Další dvě torální přímk 3 t, 4 t leží v rovinách procháejících přímkou a, které mají s kružnicí k společný poue bod 3 C, resp. 4 C. Jejich kuspidální bod 3 K, 4 K jsou nevlastní. (důvodněte). 32
n α J k () [] 3 C [a 2 ] 2 C S [] [k] J 1 C a 4 C 2 K=B S 1 2 t I [S] 4 t 4 K () a 1 B 1 [ 3 C] p α 3 t 3 K 1 K [] 1 t A=A 1 obr. 4.25 33
Příklad 4.26: Řídicími křivkami borcené ploch jsou půlkružnice k(s, r), k µ, k (S, r), k λ, λ µ nad π a přímka a jdoucí bodem A kolmo k µ. Určete náev ploch a sestrojte její tvořicí přímk v těch bodech kružnice k, které mají kót 0, 2, 4 a 5. Proved te v pravoúhlé aonometrii (, ) =125, (, ) =135. S[0; 10; 0], S [15; 5; 0], r = 5, A je střed úsečk SS Řešení (obr. 4.26): Jedná se o plochu šikmého průchodu. Tvořicí přímk ískáme v rovinách, které procháejí přímkou a a adanými bod na kružnici k. Rovina ρ = a1 protne rovinu λ v přímce h m ρ a půlkružnici k v bodě 1. 11 je tvořicí přímkou ploch. Analogick sestrojíme ostatní tvořicí přímk. Přímk t, t v π jsou torální přímk a mají kuspidální bod K, K na řídicí přímce a. 34
m ρ k 1 [] K S [S] [] [k] h [] A 1 () S p λ =h1 a=p ρ t K k () t obr. 4.26 35
Příklad 4.27: Řídicími křivkami borcené ploch jsou přímk a, b a kružnice k(, r) v π. Přímka a procháí bodem A rovnoběžně s osou, přímka b procháí bodem B rovnoběžně s osou. Určete náev ploch a sestrojte její tvořicí přímk včetně přímek torálních. obrate v pravoúhlé iometrii. A[0; 0; 8], B[0; 0; 12], [0; 0; 0], r = 4 Řešení (obr. 4.27): Přímk a, b jsou kolmé mimoběžk rovnoběžné s π, střed kružnice k leží na jejich ose, jedná se ted o plochu Štramberské trúb. Tvořicí přímk ískáme v rovinách, které procháejí přímkami a, resp. b a protínají kružnici k. Krajní poloh těchto rovin (mají s kružnicí k společný poue bod) jsou torálními rovinami a v nich tvořicí přímk jsou torálními přímkami ploch. Torální přímk 1 t, 2 t leží v rovinách obsahujících přímku b a mají kuspidální bod 1 K, 2 K na přímce a. Torální přímk 3 t, 4 t leží v rovinách proložených přímkou a a mají kuspidální bod 3 K, 4 K na přímce b. 3 t 4 t 4 K 1 t 2 t B 3 K b 2 K A 1 K a =b 1 () k (k) a 1 = () obr. 4.27 36
Příklad 4.28: V pravoúhlé aonometrii (9; 10; 8) obrate jeden ávit pravotočivé šroubovice, kterou vtvoří bod A při šroubovém pohbu s osou o kolmou k půdorsně a výšce ávitu v. V bodě B šroubovice sestrojte její tečnu. A[8,5; 5; 0], o 1 [5; 5; 0], v = 12, B[?;?; 6] Řešení (obr. 4.28): Průmět šroubovice sestrojíme bodově. Aonometrické půdors 1 1, 2 1,... bodů šroubovice h na jejím aonometrickém půdorsu h 1 ískáme pomocí afinit bodů (1 1 ), (2 1 ),..., které rodělují otočenou kružnici (h 1 ) od bodu (A) na 12 stejných dílů. Vnesením příslušných násobků výšk ávitu v/12, 2v/12,... na ordinál bodů 1 1, 2 1,... (ve krácení) dostaneme aonometrické průmět bodů 1, 2,... šroubovice h. Pro konstrukci tečn šroubovice v jejím bodě B, který je bodem 6, vužijeme řídicí kuželovou plochu tečen šroubovice, jejíž vrchol V je ve výšce v 0 nad půdorsnou π. Redukovanou výšku ávitu v 0 určíme konstruktivně úměr r/v 0 = πr/(v/2), v aonometrii r/v a 0 = πr/(va /2). Velikost πr ískáme Kochaňskiho rektifikací (je vnačena v obráku). t t, t je povrchovou přímkou řídicí kuželové ploch, B 1 t 1, t 1 je tečnou h 1, t 1 t 1, V 1 t 1, t = V 3 1, 3 1 je půdorsný stopník přímk t. B t. πr. =d 3r o [] 12 t () t 8 7 9 B=6 7 1 10 h 11 5 (o 1 ) 5 1 6 1 =B 1 V 4 4 1 (A) (h 1 ) 3 2 3 1 () v 12 [] v a 2 t 1 8 1 V 1 =o 1 1 2 1 d t 1 9 1 h 1 10 1 11 1 A=12 1 1 1 () obr. 4.28 37
Příklad 4.29: V pravoúhlé aonometrii (10; 9,5; 11,5) obrate jeden ávit pravotočivé schodové ploch, kterou vtvoří úsečka AB šroubovým pohbem s osou o = a výškou v ávitu. V bodě T ploch sestrojte její tečnou rovinu. A[0; 5; 0], B[0; 2; 0], v = 12, T [2;?; 5] Řešení (obr. 4.29): obraíme šroubovice h A, h B bodů A, B (vi příklad 4.28). Plocha je pravoúhlá uavřená, takže tvořicí úsečk jsou rovnoběžné s půdorsnou a jejich půdors leží na přímkách procháejících počátkem (půdorsem os ). Bod T leží na přímce p, která obsahuje pátou tvořicí úsečku ( T = 5 12v). Tečná rovina τ v bodě T je určena tvořicí přímkou p a tečnou t v bodě T ke šroubovici bodu T (konstrukce vi příklad 4.28). 38
t [] h B h A T p v 12 [] t t 1 t 1 V p 1 T 1 B () A h B 1 P h A 1 () (A) (B) P () (h B 1 ) (h A 1 ) obr. 4.29 39
Příklad 4.30: ářeovou metodou obrate v pravoúhlé aonometrii (8; 6; 7) střechu nad daným půdorsem A 1 B 1 C 1 D 1 E 1. kap jsou ve výšce v, akáané okap jsou F, roh GAB a CDH. Střešní rovin mají spád 1 : 1. Souřadnice jsou uveden v metrech. Použijte měřítko 1 : 100. [0; 0], A 1 [0; 8], B 1 [4; 8], C 1 [4; 5], D 1 [8; 5], E 1 [8; 0], F 1 [3; 0], G 1 [0; 6], H 1 [8; 2,5], v = 2,5 Řešení (obr. 4.30): Sestrojíme vsunutý půdors daného objektu, pravoúhelník A B C D E (jsou vnačen akáané okap) a v něm vřešíme střechu. Doplníme vsunutý nárs objektu. pětným asunutím vsunutého půdorsu i nársu dostaneme aonometrii objektu. Šipk vnačují spád střešních rovin (směr stékání vod). 40
A I P =G N =M K =L J S Q =R D [] F B =C P () N M E =H A G K () B L [] I C Q S F J R D H E () [] P = M N F L I U V A G J R E K B C S Q D H obr. 4.30 41
Příklad na procvičení 1. Sestrojte stopník přímk p = AB. { (8; 9; 10), A[3; 2; 9], B[0; 4; 5]} 2. Najděte stop rovin ρ = ABC. { (9; 7; 8), A[2; 3; 1,5], B[3; 1,5; 3,5], C[ 1; 2; 6,5]} 3. Sestrojte průnik trojúhelníka ABC s trojúhelníkem KLM. { (11; 11; 14), A[ 5; 3; 5], B[1; 8; 0,5], C[3; 2; 8], K[ 3,5; 7,5; 1,5], L[5; 4,5; 4], M[ 1,5; 1,5; 7,5]} 4. V rovině ρ ved te bodem A přímku rovnoběžnou s rovinou ϕ. { (10; 11; 12), ρ( 6; 3,5; 6), A[1; 1;?], ϕ(3; 6; 7)} 5. Sestrojte příčku mimoběžek a = MN, b = P Q, která a) procháí počátkem soustav souřadnic, b) je rovnoběžná s osou. {iometrie, M[0; 4; 1], N[5; 0; 7], P [1; 2; 0], Q[1; 0; 8]} 6. obrate čtverec ABCD ležící v půdorsně daný úhlopříčkou AC. { (8; 8; 9), A[12; 7; 0], C[0; 7; 0]} 7. obrate pravidelný šestiúhelník v půdorsně, který má střed S a jednu stranu na přímce a = P M. { (8; 9; 10), S[7; 2,5; 0], P [5; 7; 0], M[0; 6,5; 0]} 8. obrate pravidelný šestiboký hranol výšk v = 9, jehož podstava o středu S a vrcholu A leží v nársně. { (8; 11; 9), A[0, 0, 0], S[3,5; 0; 3]} 9. obrate pravidelný osmistěn, jehož dva protilehlé vrchol A, B leží na přímkách a = MN, b = P Q a jehož dvě růnoběžné hran, na nichž neleží A, B, jsou rovnoběžné s půdorsnou a jejich průsečík má nejmenší možnou vdálenost od nársn. { (12; 14,5; 13), M[2; 4,5; 2,5], N[8; 0; 7], P [4; 11; 0], Q[1; 7; 8]} 10. V iometrii obrate kruhový kužel stojící na půdorsně, jsou-li dán dvě jeho tečné rovin ρ a σ, poloměr r podstav a výška v. {ρ(6; ; 7), σ(3; 6; 11), r = 4, v = 6,5} 11. V iometrii obrate kruhový kužel stojící na půdorsně, jsou-li dán tři jeho tečné rovin α, β, τ. {α(5; 4; ), β( ; 9; 9), τ(6; 10; )} 12. obrate rotační kužel dotýkající se rovin τ, jehož podstava o středu S leží v půdorsně. Bodem K na plášti kužele ved te povrchovou kružnici a tečnou rovinu kužele. { (10; 8; 10), S[1; 0; 0], τ(7; 10; 12), K[1; 3;?]} 13. obrate rotační kužel výšk v s podstavou o středu S a poloměru r v půdorsně. V bodě T na plášti kužele sestrojte tečnou rovinu kužele. { (10; 10; 8), S[5; 5; 0], r = 4,5, v = 11, T [8; 5;?]} 14. Kosý čtřboký hranol má čtvercovou podstavu ABCD o úhlopříčce AC v půdorsně a boční hranu AA. Protněte ho rovinou ρ = MNP. { (8; 7; 9), A[0; 6; 0], C[10; 2; 0], A [3; 3; 7], M[0; 6; 7], N[10; 0; 0], P [0; 9; 0]} 15. Pravidelný čtřboký jehlan stojící na půdorsně daný vrcholem V a podstavným vrcholem A protněte rovinou ρ, která procháí přímkou l = LM rovnoběžně s osou. { (9; 11; 11,5), V [5; 3; 12], A[0; 5; 0], L[5; 3; 2], M[0; 5; 6]} 16. Pravidelný pětiboký jehlan o vrcholu V stojící na půdorsně s podstavou ABCDE danou vrcholem A protněte rovinou ρ, která procháí středem výšk jehlanu rovnoběžně s přímkami AV, CD. {iometrie, V [ 0,5; 4,5; 5], A[3; 6; 0]} 17. Pravidelný šestiboký hranol stojící na půdorsně má podstavu danou středem S a vrcholem A. Výška hranolu je v. Protněte ho rovinou ρ = MNP. { (, ) = 105, (, ) = 120, S[2; 4; 0], A[5; 0; 0], v = 10, P [10; 0; 0], N[0; 0; 6], M[0; 6; 5]} 42
18. Sestrojte ře kosého čtřbokého jehlanu se čtvercovou podstavou o úhlopříčce AC v půdorsně a vrcholu V rovinou ρ. { (8; 7; 9), A[6; 0; 0], C[2; 8; 0], V [5; 3; 7], ρ( ; 10; 3)} 19. obrate těleso, které vnikne rotačního válce s podstavou o středu S a poloměru r v nársně seřínutím rovinou ρ. { (10; 11; 12), S[3; 0; 4], r = 4, ρ(5; 4; 9)} 20. Sestrojte ře rotačního válce s podstavou o středu S a poloměru r v půdorsně rovinou ρ. Výška válce je v. { (10; 11; 12), v = 10, S[4,5; 5; 0], r = 4,5, ρ(10; ; 8)} 21. V rovině ρ najděte všechn bod, které mají od přímk o = KL vdálenost r. { (9; 10; 11), ρ( 6; 3; 6), K[6; 0; 4], L[6; 10; 4], r = 4} 22. Sestrojte průnik přímk m = P M s kosým šestibokým hranolem, jehož dolní podstava ležící v půdorsně je daná středem S a vrcholem A a horní podstava má vrchol v bodě A. { (10; 11; 12), P [2; 9; 0], M[9; 2; 9], S[7; 6; 0], A[4; 7; 0], A [0; 5; 8]} 23. Kosý čtřboký jehlan, který má čtvercovou podstavu o středu S a vrcholu A v půdorsně a vrchol V, protněte přímkou m = MN. { (10; 11; 12), S[0; 5; 0], A[ 4; 4; 0], V [1; 4,5; 8], M[0; 10; 7], N[3; 0; 1]} 24. Na přímce p = KL najděte bod, které mají od přímk o = MN vdálenost r. { (, ) = 120, (, ) = 105, K[10; 4; 6], L[2; 7; 4], M[5; 2; 5], N[5; 7; 5], r = 4,5} 25. Na přímce m = LM určete bod K tak, ab přímka V K měla od půdorsn odchlku α. { (10; 11; 12), L[9; 6; 2], M[0; 5; 2], V [4; 3; 7], α = 60 } 26. Sestrojte průnik přímk p = P N s kosým kruhovým kuželem o vrcholu V a podstavou o středu S a poloměru r v půdorsně. { (8; 9; 9), S[0; 2; 0], V [ 3,5; 2; 8], r = 5, P [ 1,5; 11,5; 0], N[0,5; 6; 7]} 27. Kosý čtřboký hranol se čtvercovou podstavou ABCD v půdorsně a boční hranou AA protněte přímkou m = P M. {iometrie, A[4; 0; 0], C[0; 4; 0], A [5; 2,5; 5], P [8; 0; 0], M[ 3; 2; 4]} 28. Kosý kruhový válec s podstavou o středu S a poloměru r v nársně a se středem druhé podstav v bodě S protněte přímkou p = P N. { (, ) = 135, (, ) = 105, S[5; 0; 5], S [10; 10; 5], r = 5, P [3; 3; 0], N[5; 6; 5]} 29. Kruhový kužel s podstavou o středu S a poloměru r v půdorsně a vrcholem V protněte přímkou m = MN. {iometrie, S[2; 2; 0], r = 5, V [4; 6; 12], M[2; 6; 2], N[2; 0; 5]} 30. Hperbolický paraboloid je dán řídicími přímkami a = AP, b = BN a řídicí rovinou ν =. Sestrojte jeho tvořicí přímk (ještě aspoň tři každého regulu), tečnou rovinu v jeho bodě T, osu a vrchol. {iometrie, A[ 2; 0; 4], P [ 2; 7; 0], B[5; 7; 0], N[5; 0; 9], T [4; 2,5;?]} 31. Hperbolický paraboloid je dán přímkami a, b = MN a řídicí rovinou µ =. obrate jeho přímk obou regulů (aspoň ještě tři každého regulu) a tečnou rovinu v bodě T. {a =, M[ 4; 5; 5], N[4; 0; 5], T [0;?; 5], (, ) = 105, (, ) = 135 } 32. Hperbolický paraboloid je dán borceným čtřúhelníkem ABCD. Sestrojte jeho tvořicí přímk obou regulů, osu, vrchol a stop hlavních rovin. {iometrie, A[7; 6; 0], B[10; 0; 7], C[3; 0; 0], D[0; 6; 9]} 43
33. Řídicími křivkami borcené ploch jsou dvě půlkružnice k, k nad půdorsnou, kružnice k(s, r) leží v nársně, kružnice k (S, r) v rovině rovnoběžné s nársnou a přímka a jdoucí středem úsečk SS kolmo k nársně. Napište náev ploch a sestrojte její tvořicí přímk v bodech, které rodělují půlkružnici k na 6 shodných dílů. {iometrie, S[4; 0; 0], S [0; 8; 0], r = 5} 34. Řídicími křivkami borcené ploch jsou kružnice k(s, r) v µ, přímka a = AM a půdorsna π. Sestrojte tvořicí přímk ploch v rovinách rovnoběžných s π, které mají kót 2, 4, 6, 8, 10, a všechn torální přímk ploch s jejich kuspidálními bod. { (, ) = 105, (, ) = 120, S[0; 7; 6], r = 5, A[5; 5; 6], M[0; 10; 13]} 35. borcená plocha je dána řídicí kružnicí k(s, r) v bokorsně µ =, řídicí přímkou a = AB a řídicí rovinou ν = (nársnou). Sestrojte tvořicí přímk ploch v bodech, které dělí úsečku AB na osm shodných dílů i v bodech A, B. { (, ) = 135, (, ) = 120, S[0; 5; 5], r = 5, A[10; 12; 0], B[10; 0; 5]} 36. Řídicími křivkami borcené ploch jsou půlkružnice k(s, r) v polorovině = 0, S, k (S, r ) v polorovině = S, S a přímka a =. Sestrojte tvořicí přímk ploch v rovinách = κ, κ = 0, ± 3, ±1, ± 3 3, a najděte torální přímk s kuspidálními bod. Uvažujte část ploch mei rovinami řídicích kružnic. {iometrie, S[0; 0; 2], r = 8, S [0; 8; 0], r = 5} 37. Hrana vratu pravotočivé rovinutelné ploch šroubové procháí bodem A, má osu o kolmou k půdorsně a výšku ávitu v. obrate tu část ploch včetně tvořicích přímek mei hranou vratu a půdorsnou, která se nacháí uvnitř souosé rotační válcové ploch o poloměru r v rosahu 3 4v. sa o procháí bodem P. { (, ) = 135, (, ) = 105, A[3; 6,5; 0], v = 12, P [3; 4; 0], r = 6} 38. obrate jeden ávit levotočivého šroubového konoidu vtvořeného úsečkou AB. sa o šroubového pohbu splývá s osou, výška ávitu je v. V bodě T ploch sestrojte její tečnou rovinu. { (, ) = 105, (, ) = 135, A[2; 0; 0], B[6; 0; 0], T [0; 4; v/3], v = 12} 39. obrate jeden ávit pravoúhlé uavřené přímkové šroubové ploch, kterou vtváří při pravotočivém šroubovém pohbu o ose o = a výšce ávitu v úsečka AB. obrate šroubovice bodů A, B a tvořicí úsečk ploch (12 poloh všroubované úsečk AB). V bodě T ploch sestrojte její tečnou rovinu. { (10; 9,5; 11,5), v = 12, A[0; 5; 0], B[0; 2; 0], T [2;?; 5]} 40. obrate jeden a čtvrt ávitu uavřené šroubové ploch, kterou vtváří při levotočivém šroubovém pohbu o ose o = a výšce ávitu v přímka A. Sestrojte tečnou rovinu ploch v jejím bodě T. Uvažujte jen část ploch ohraničenou šroubovicí bodu A a osou o. { (, ) = 105, (, ) = 135, [0; 0; 0], A[3; 5; 0], T [ 3; 2;?], v = 12} 41. Pomocí ářeové metod obrate astřešený objekt výšk v nad daným půdorsem. Střešní rovin mají spád 1 : 1, okap leží ve výšce v. kapový mnohoúhelník je ABCDEF, akáané okap jsou AB a roh GDE. Kót a souřadnice jsou uveden v metrech. Užijte měřítko 1 : 100. { (8; 6; 7), [3,5; 15] vhledem k levému dolnímu rohu, () = 8 cm, [] = 6 cm, A[7; 0], B[7; 3], C[4; 3], D[4; 7], E[0; 7], F [0; 0], G[4; 5], v = 3} 42. ářeovou metodou obrate v pravoúhlé aonometrii (8; 6; 7) střechu nad daným půdorsem. kapový mnohoúhelník je ABCDE, akáané okap jsou BG a DE. kap jsou ve výšce v, střešní rovin mají spád 1 : 1. Souřadnice jsou uveden v metrech. Použijte měřítko 1 : 100. {[0; 0], A[0; 10], B[10; 7,5], C[3,5; 7,5], D[3,5; 5], E[0; 5], G[6,5; 7,5], v = 2,5} 44