VLASTNOSTI NORMÁLNÍHO ROZDĚLENÍ A ODVOZENÁ ROZDĚLENÍ RNDR. MARIE FORBELSKÁ, PHD. Věta.Mějmenáhodnouveličinusnormálnímrozdělením X N(µ, σ.dálenechť a, b R,b jsoureálnékonstanty.potomnáhodnáveličina,kterájelineárnítransformacípůvodní,máopětnormálnírozdělení,ato Y a+bx N(a+bµ, b σ.speciálně náhodnáveličina U X µ σ N(, má tzv. standardizované normální rozdělení. Důkaz.Hustotanáhodnéveličiny X f X (x πσ e ( x µ σ.inverznítransformaceje tvaru h(y y a aabsolutníhodnotajejíderivacejerovna h (y.pakhustota b b transformované náhodné veličiny Y a+bx f Y (y f ( y a } b X b π b σ exp [y (a+bµ] b σ a odtud plyne tvrzení věty. Věta.Nechťnáhodnývektor X(X, X N (µ,σ mádvourozměrnénormální ( ( µ σ rozdělení s parametry µ aσ ρσ σ µ ρσ σ σ, tj. má hustotu tvaru [ ( ( ]} f (X,X (x, x πσ σ ρ exp x µ ( ρ σ ρ x µ x µ x σ σ + µ σ. Pak náhodná veličina Y X + X má také normální rozdělení a platí Y X + X N(µ + µ, σ+ρσ σ + σ. Důkaz.MějmenáhodnývektorY(Y, Y,kterýjedefinovántakto Vypočtěme inverzní zobrazení Y X + X g (X, X Y X g (X, X. x y y h (y, y x y h (y, y ajakobián J.SdruženáhustotanáhodnéhovektoruY(Y, Y je pak tvaru f (Y,Y (y, y f (X,X (y y, y a odtud pak marginální hustota f Y (y f (X,X (y y, y dy πσ σ ρ [ ( ( exp y y µ ( ρ σ ρ y y µ y µ y σ σ + µ σ ]}dy
VLASTNOSTI NORMÁLNÍHO ROZDĚLENÍ A ODVOZENÁ ROZDĚLENÍ a Mějme substituce f Y (y πσ σ ρ v y µ u y µ µ.pak u v y µ µ y +µ y y µ [ exp σ σ ( ρ σ (u v ρσ σ (u vv+ σ v]} dv. Položme σ σ ρ a.pak f Y (y πa πa exp a (σ σ uv+ σ v ρσ σ uv+ρσ σ v + σ v } dv exp a [(σ +ρσ σ + σ v +σ (σ + ρσ uv+ σ v ] } dv Dálepoložme σ +ρσ σ + σ b a σ (σ + ρσ uc.potom f Y (y πa [ (bv exp a c ( b c ]} + b σ u dv ( } exp σ πa a u c b exp ( } bv c/b dv. a Uvažujmesubstituci w bv c/b a,pak dv a b dwa f Y (y a b ( } πa exp σ a u c b ( } πb exp σ a u c. b π exp w} dw } } Protože σ u c b σ u [σ (σ + ρσ u] σ +ρσ σ + σ σ u (σ +ρσ σ + σ ρσ σ ρ σ σ +ρσ σ + σ a b u, paknáhodnáveličina Y Y máhustotu t.j. ( } f Y (y πb exp u b Tím je věta dokázána. σ u σ u (σ +ρσ σ + ρ σ σ +ρσ σ + σ exp π σ +ρσ σ +σ Y N ( µ + µ, σ +ρσ σ + σ σ σ ( ρ u σ +ρσ σ + σ } (y µ µ σ+ρσ σ + σ
VLASTNOSTI NORMÁLNÍHO ROZDĚLENÍ A ODVOZENÁ ROZDĚLENÍ 3 Věta3.Nechť X,..., X n jsounezávislénáhodnéveličinytakové,že X i N(µ i, σi, n i,...,n. Nechť a, a,..., a n R, a i >. Potom náhodná veličina i ( Y a + n a i X i N a + n a i µ i, n a iσi. i Důkaz. Provedeme matematickou indukcí. (Nechť n.pakzpředpokladůvětyje a azvětyplyne,že i i Y a + a X N(a + a µ, a σ. (Nechťtvrzenívětyplatíprolibovolnépřirozené n ax,...,x n+ jsounezávislé náhodné veličiny takové, že Je-li a n+,pakzřejmě Je-li a n+,pak X i N(µ i, σ i, i,..., n+. n+ n+ n+ Y a + a i X i N(a + a i µ i, a i σ i. i Y a + n a i X i i } } Y i i + a n+ X n+ }} Y Y + Y je součtem dvou nezávislých náhodných veličin. Prvnínáhodnáveličina Y mápodleindukčníhopředpokladunormálnírozdělení n n Y N(a + a i µ i, a i σ i i je-lialespoňjednozčísel a,..., a n různéodnuly,vopačnémpřípadějetvrzení zřejmé. Druhánáhodnáveličina Y mápodlevětynormálnírozdělení i Y N(a n+ µ n+, a n+ σ n+. Náhodnývektor(Y, Y vytvořenýzedvounezávislýchnormálníchnáhodnýchveličin má normální rozdělení (Y, Y N (µ,σ, kde tedy µ ( a + n a i µ i, a n+ µ n+ a Σ i ρ. n a iσi i a n+σ n+ Podle věty dostaneme ( n+ n+ Y Y + Y N a + a i µ i, a iσi. i i,
VLASTNOSTI NORMÁLNÍHO ROZDĚLENÍ A ODVOZENÁ ROZDĚLENÍ 4 Věta 4.Nechť náhodná veličina U N(,. Potom náhodná veličina K U χ ( má χ rozděleníostupnivolnosti. Důkaz. Označme distribuční funkci náhodné veličiny U jako a hustotu pravděpodobnosti F U (up(u u f U (u π exp u}. Vypočtěme nejprve distribuční funkci náhodné veličiny K y < F K (yp(k yp(u y P( U yf U ( y F U ( y y aodtudpakhustotupravděpodobnosti f K (yf K (y y < f K (y [ fu ( y+f y U ( y ] π y e y Γ( y e y y χ ( Věta5.Nechť K a K jsounezávislénáhodnéveličinya K i χ ( i, i,.pak náhodnáveličina K K + K χ ( + má χ rozdělenío + stupníchvolnosti. Důkaz.Hustotapravděpodobnostináhodnéveličiny K i jerovna x i < f Ki (x i Γ( i i x i i e x i x i MějmenáhodnývektorY(Y, Y,kterýjedefinovántakto Vypočtěme inverzní zobrazení x y y h (y, y x y h (y, y Y K + K g (K, K Y K g (K, K. a jakobián J. SdruženáhustotanáhodnéhovektoruY(Y, Y jepaktvaru f (Y,Y (y, y f (K,K (y y, y f K (y y f K (y aodtudpakmarginálníhustota f Y (y pro y <apro y jerovna f Y (y y f K (y y }} f K ( y }} Γ ( (y y dy + Γ ( ( Γ exp y exp (y y } Γ ( } y (y y y dy y exp y } dy
VLASTNOSTI NORMÁLNÍHO ROZDĚLENÍ A ODVOZENÁ ROZDĚLENÍ 5 Zaveďmesubstituci t y y,pak dy y dta f Y (y + Γ ( ( Γ exp y } + y Γ ( exp y } + + y + Položíme-li K Y,pak ( t t dt }} β(, Γ ( Γ( Γ( + f K (y y < + Γ( + e y y + y χ ( +. Věta 6.Nechť U,...,U n jsou nezávislé náhodné veličiny se standardizovaných normálním rozdělením, t.j. U i N(, pro i,...,n. Pak náhodná veličina K n Ui χ (n má χ rozděleníonstupníchvolnosti. i Důkaz.Náhodné veličiny U,...,U n jsou nezávislé a z věty 4 plyne, že U i χ ( pro i,...,n.odtudindukcípomocívěty5ihneddostávámetvrzenívěty. Věta7.Nechťnáhodnéveličiny U N(, a K χ ( jsounezávislé.paknáhodnáveličina T U t( mástudentovorozděleníostupníchvolnosti. K/ Důkaz.Hustotapravděpodobnostináhodnéveličiny Ujerovna f U (u π e u pro u R y < anáhodnéveličiny Kjetvaru f K (x Γ( x e x y. MějmenáhodnývektorY(K, K,kterýjedefinovántakto Y U g (U, K K/ Y K g (U, K. Vypočtěme inverzní zobrazení u y y / h (y, y x y h (y, y, u R x. Jakobián tohoto inverzního zobrazení je roven J y / y y y /. SdruženáhustotanáhodnéhovektoruY(Y, Y jepaktvaru f (Y,Y (y, y f (U,K (y y /, y y / f U (y y /f K (y y /
VLASTNOSTI NORMÁLNÍHO ROZDĚLENÍ A ODVOZENÁ ROZDĚLENÍ 6 a odtud dostaneme marginální hustotu f Y (y f Y (y y /f Y (y y /dy π exp } y y + Γ ( ( Γ Γ ( y exp y } y / dy ( } exp y + y y dy ( ( Zaveďmesubstituci t y y + y,pak dy + dta f Y (y + Γ( Γ( + Položíme-li T Y,pak f T (t Γ ( + Γ ( ( Γ ( y + + e t t + dt } } Γ( + (t + + + Γ( ( y + Γ( Γ( + Věta8.Nechť K a K jsounezávislénáhodnéveličinya K i χ ( i, i,.pak náhodnáveličina F K/ K/ F(, máfisher-snedecorovo F rozdělenío a stupních volnosti. Důkaz.Hustotapravděpodobnostináhodnéveličiny K i jerovna x i < f Ki (x i Γ( i i x i i e x i x i MějmenáhodnývektorY(Y, Y,kterýjedefinovántakto Vypočtěme inverzní zobrazení x y y h (y, y x y h (y, y Y K/ K/ g (K, K Y K g (K, K. t(. a jakobián J y SdruženáhustotanáhodnéhovektoruY(Y, Y jepaktvaru y y f (Y,Y (y, y f (K,K (y y, y y y f K (y y f K (y aodtudpakmarginálníhustota f Y (y pro y <apro y jerovna f Y (y Γ( + Γ( Γ( ( ( } y y exp y y ( y exp Γ( y ( } y + y exp y + dy y. } y dy.
Zaveďmesubstituci t f Y (y VLASTNOSTI NORMÁLNÍHO ROZDĚLENÍ A ODVOZENÁ ROZDĚLENÍ 7 + Γ( Γ( Γ( + Γ( Γ( Položíme-li F Y,pak f F (y ( y + y,pak dy ( y + ( y ( + y +. ( y + dta ( + y + y < ( Γ( + ( Γ( Γ( y + y+ y e t t + dt } } Γ( + F(,. Věta9.Nechťnáhodnývektor X(X,...,X n N n (µ,σ má n rozměrnénormální rozděleníabjeregulárnímaticereálnýchčíseltypu n naa R n.potomnáhodnývektor Ya+BX N n (a+bµ,b ΣB. Důkaz. Hustota pravděpodobnosti náhodného vektoru X je tvaru f X (x(π n Σ exp (X µ Σ (X µ }. InverznítransformacektransformaciYa+BXjerovnaXB (Y a,přičemžjakobiántétoinverznítransformacejeroven J B B.Pakhustotutransformované náhodnéhovektoruya+bxlzevyjádřittakto f Y (yf X (B (Y a B (π n Σ B exp [B (y a µ] Σ [B (y a µ] } (π n B ΣB exp (y a Bµ B ΣB (y a Bµ }. Věta.Nechť X,...,X n jsounezávislénáhodnéveličinytakové,že X i N(µ i, σ, i,...,n.abjeortonormálnímaticetypu n n.položmex(x,...,x n a Y(Y,...,Y n B (X µ,kde µ(µ,...,µ n.potom Y j jsounezávislénáhodné veličinya Y j N(, σ. Důkaz.Protože X,...,X n jsounezávislénáhodnéveličinysrozdělením X i N(µ i, σ,má náhodný vektor X hustotu n [ ( f X (x exp xi µ i } ] } n (π ( n πσ σ exp xi µ i N σ n (µ,σ, i kdeσσ I n.je-libortonormálnímatice(tj.b B,pakzvěty9plyne,ženáhodný vektor i YB (X µ N n (O,B ΣB, přičemž B ΣBσ B Bσ I n s hustotou tvaru n [ ( f Y (Y exp yj } ] n f πσ σ Yj (y j. Odtud plyne tvrzení věty. j j
VLASTNOSTI NORMÁLNÍHO ROZDĚLENÍ A ODVOZENÁ ROZDĚLENÍ 8.9.8 Hustoty N(µ,σ µ; σ.5 Distribucni funkce N(µ,σ.7.6.8 µ; σ.5.5.4.3.. µ; σ µ; σ µ3; σ.5 µ5; σ.6.4. µ; σ µ3; σ.5 µ; σ µ5; σ 4 3 3 4 5 6 7 8 9 4 3 3 4 5 6 7 8 9.3 Hustoty χ ( Distribucni funkce χ (.5..8.5. 3 5.6.4 3 5 3 4 5.5 3 4 5. 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8.4.35 Hustoty 4 t( Distribucni funkce t( 3.3.5. 3.8.6.5.4..5 4 3 3 4. 4 4 3 3 4 Hustoty F(, Distribucni funkce F(,.5 4; 5 4; 5 5;.8.5 5; 3; 3.6.4 5; 3 5; 3. 3; 3.5.5.5.5 3.5.5.5.5 3 Obrázek. Ukázky normálních a odvozených rozdělení.