Vytvoření kriptů pro webové rozhraní předmětu Analýza a imulace technologických proceů M-file for the Internet Interface Ued in the Subject Analyi and Simulation of Technological Procee. Petr Tomášek Bakalářká práce 007
*** nacannované zadání tr. 1 ***
*** nacannované zadání tr. ***
UTB ve Zlíně, Fakulta aplikované informatiky, 007 4 ABSTRAKT Tato bakalářká práce e zabývá analýzou a imulací náledujících technologických proceů: průtočný výměník tepla promícháváním, záobníky na kapalinu zapojené za ebou, trychtýřový záobník nekontantním průřezem a kulový záobník nekontantním průřezem. U těchto modelů e imulují tatické a dynamické charakteritiky pomocí M-file ouborů v programu Matlab. Cílem je propojení těchto ouborů pře webové rozhraní za účelem podpory výuky analýza a imulace technologických proceů. Klíčová lova: dynamická charakteritika, tatická charakteritika, bilance, metoda proté iterace, metoda Runge-Kutta, diferenciální rovnice ABSTRACT Thi thei deal with the analyi and imulation of the following technological procee: flow heat exchanger with tirring, two water tank ytem connected one after another, conical tank with a non-contant diameter, and the pherical tank with non-contant diameter. Thoe mode are imulated by tatic and dynamic characteritic uing M-file in the Matlab application. The aim i to make thoe file compatible uing the Internet interface to improve and upport the method when teaching the ubject Analyi and Simulation of Technological Procee. Keyword: dynamic characteritic, tatic characteritic, value balance, the method of imple iteration, the method Runge-Kutta, differential equation
UTB ve Zlíně, Fakulta aplikované informatiky, 007 5 Poděkování: Touto cetou bych chtěl rdečně poděkovat vému vedoucímu bakalářké práce Ing. Jiřímu Vojtěškovi za jeho trpělivot a ochotu ke polupráci, za jehož odborného vedení byla práce dovedena do konečné podoby. Také bych chtěl na tomto mítě poděkovat Ing. Františku Gazdošovi, Ph.D., jehož emináře Analýza a imulace technologických proceů mi rovněž pomohly pochopit některé záležitoti této problematiky. Prohlašuji, že jem na bakalářké práci pracoval amotatně a použitou literaturu jem citoval. V případě publikace výledků, je-li to uvolněno na základě licenční mlouvy, budu uveden jako poluautor. Ve. Zlíně Podpi diplomanta
UTB ve Zlíně, Fakulta aplikované informatiky, 007 6 OBSAH ÚVOD...8 I TEORETICKÁ ČÁST...9 1.1 PRŮTOČNÝ VÝMĚNÍK TEPLA S PROMÍCHÁVÁNÍM... 10 1.1.1 ANALÝZA PROCESU... 10 1.1. TEPELNÉ BILANCE... 10 1.1.3 ODCHYLKOVÝ MODEL... 1 1. ZÁSOBNÍKY NA KAPALINU ZAPOJENÉ ZA SEBOU... 14 1..1 ANALÝZA PROCESU... 14 1.. BILANCE SYSTÉMU... 14 1..3 ODCHYLKOVÝ MODEL... 15 1.3 TRYCHTÝŘOVÝ ZÁSOBNÍK NA KAPALINU S NEKONSTANTNÍM PRŮŘEZEM... 18 1.3.1 ANALÝZA PROCESU... 18 1.3. BILANCE SYSTÉMU... 18 1.4 KULOVÝ ZÁSOBNÍK NA KAPALINU S NEKONSTANTNÍM PRŮŘEZEM... 1 1.4.1 ANALÝZA PROCESU... 1 1.4. BILANCE SYSTÉMU... 1 1.5 POUŽITÉ METODY PRO VÝPOČET STATICKÝCH A DYNAMICKÝCH CHARAKTERISTIK V PROGRAMU MATLAB... 4 1.5.1 METODA PROSTÉ ITERACE... 4 1.5. METODA RUNGE-KUTTA... 5 II PRAKTICKÁ ČÁST... 8.1 PRŮTOČNÝ VÝMĚNÍK TEPLA S PROMÍCHÁVÁNÍM... 9.1.1 STATICKÁ CHARAKTERISTIKA... 9.1. DYNAMICKÁ CHARAKTERISTIKA... 3. ZÁSOBNÍKY NA KAPALINU ZAPOJENÉ ZA SEBOU... 36..1 STATICKÁ CHARAKTERISTIKA... 36.. DYNAMICKÁ CHARAKTERISTIKA... 39.3 TRYCHTÝŘOVÝ ZÁSOBNÍK NA KAPALINU S NEKONSTANTNÍM PRŮŘEZEM... 43.3.1 STATICKÁ CHARAKTERISTIKA... 43.3. DYNAMICKÁ CHARAKTERISTIKA... 45.4 KULOVÝ ZÁSOBNÍK NA KAPALINU S NEKONSTANTNÍM PRŮŘEZEM... 47
UTB ve Zlíně, Fakulta aplikované informatiky, 007 7.4.1 STATICKÁ CHARAKTERISTIKA... 47.4. DYNAMICKÁ CHARAKTERISTIKA... 49 ZÁVĚR... 51 SUMMARY... 53 SEZNAM POUŽITÉ LITERATURY... 55 SEZNAM POUŽITÝCH SYMBOLŮ A ZKRATEK... 56 SEZNAM OBRÁZKŮ... 57 SEZNAM TABULEK... 58 SEZNAM PŘÍLOH... 59
UTB ve Zlíně, Fakulta aplikované informatiky, 007 8 ÚVOD Tato bakalářká práce e zabývá analýzou a imulací technologických proceů probíhajících v průtočném výměníku tepla promícháváním, záobnících na kapalinu zapojených za ebou, trychtýřovém záobníku nekontantním průřezem a kulovém záobníku nekontantním průřezem. Tato práce je rozdělena na teoretickou a praktickou čát. V teoretické čáti e provádí analýza proceů v jednotlivých modelech, při níž e pecifikují děje, které v proceu probíhají a určí e veličiny popiující daný model. Výledkem je pak teoretický model, na jehož základě potupně etavujeme matematický model proceu, ve kterém e využijí matematické rovnice vyjadřující známé zákony a vztahy. Z tohoto matematického popiu dále můžeme etavit řešení modelu pro imulační program, kterým e zabývá praktická čát. V praktické čáti e provádí imulace tatických a dynamických vlatnotí jednotlivých modelů na základě matematického popiu z teoretické čáti. Pro imulaci tatické charakteritiky e využívá metoda proté iterace (MPI) a pro imulaci dynamické charakteritiky zae metoda Runge-Kutta. Na základě těchto metod je etaven výpočetní program v jazyku Matlab. Vytvořené programy jou propojené pře webové rozhraní Matlab web erveru (MWS). Tyto programy imulují chování daných ytémů a umožňují náledné vyhodnocení výledků na základě zadaných hodnot.
UTB ve Zlíně, Fakulta aplikované informatiky, 007 9 I. TEORETICKÁ ČÁST.
UTB ve Zlíně, Fakulta aplikované informatiky, 007 10 1.1 PRŮTOČNÝ VÝMĚNÍK TEPLA S PROMÍCHÁVÁNÍM 1.1.1 Analýza proceu Jedná e o výměník tvořený nádobou pláštěm za předpokladu dokonalého promíchávání. Do nádoby natéká výchozí chlazená kapalina o objemovém průtoku q a teplotě T v a do pláště chladící kapalina o objemovém průtoku q c a teplotě T cv.. Pro zjednodušení modelu zanedbáme tepelnou kapacitu těny oddělující obě kapaliny. Otatní veličiny, které proce popiují jako koeficient přechodu tepla a průtoky, objemy, hutoty a měrná tepla obou kapalin budou kontantní. Sytém průtočného výměníku tepla chlazením v plášti je zobrazen na obr. 1., kde q jou označeny jako objemové průtoky kapaliny v [m 3 min -1 ], V objemy v [m 3 ], F přetupná plocha v [m ], α koeficient přechodu tepla v [kj m - K -1 min -1 ], T teploty v [K] a index ( ) c označuje chladicí kapalinu a bez indexu označujeme chlazenou kapalinu. Obr. 1. Průtočný výměník tepla chlazením v plášti. 1.1. Tepelné bilance Základní bilanční rovnice má tvar: VSTUP + ZDROJ = VÝSTUP + AKUMULACE
UTB ve Zlíně, Fakulta aplikované informatiky, 007 11 Slovní vyjádření bilance chlazené kapaliny Na základě bilancí můžeme charakterizovat tav tohoto proceu hodnotami veličin, které jej popiují. Matematické vztahy mezi těmito veličinami jou v záviloti na čae. Z tepelné bilance chlazené kapaliny zíkáme náledující lineární diferenciální rovnici 1. řádu dt q ρ c ptv = q ρc pt + Fα ( T Tc ) + Vρc p (1.1) dt Tuto diferenciální rovnici můžeme dále upravit na tvar dt dt = q Tv V q Fα T V Vρ c p ( c T T ) (1.) Pro počáteční podmínky T 0) = T (, kde ρ je hutota chlazené kapaliny v [kg m -3 ] a c p měrné teplo chlazené kapaliny v [kj kg -1 K -1 ]. Slovní vyjádření bilance chladící kapaliny Z tepelné bilance chladící kapaliny zíkáme druhou lineární diferenciální rovnici 1. řádu dtc qc ρ c c pctcv + Fα ( T Tc ) = qc ρc c pctc + Vc ρc c pc (1.3) dt Opět upravený tvar diferenciální rovnice chladící kapaliny, který má tvar dt dt c q Fα c = Tcv + ( T Tc ) Vc Vc ρc c pc q V c c T c (1.4)
UTB ve Zlíně, Fakulta aplikované informatiky, 007 1 Pro počáteční podmínkyt ( 0) =, kde ρ c je hutota chladící kapaliny v [kg m -3 ] a c pc c T c měrné teplo chladící kapaliny v [kj kg -1 K -1 ]. Můžeme kontatovat, že model popaný rovnicemi (1.1), (1.3) je lineární, protože vztahy mezi vtupními a výtupními veličinami jou lineární. Jedná e také o model ytému e outředěnými parametry, protože v proceu dochází k dokonalému promíchávání obou kapalin a tím pádem obě ledované tavové veličiny jou nezávilé na ouřadnicích. 1.1.3 Odchylkový model Odchylkový tvar zíkáme náledujícím způobem. Nejdříve model uvedeme do utáleného tavu. Utálený tav zíkáme anulováním čaových derivací v rovnicích (1.), (1.4) a dále nahradíme vtupní a výtupní veličiny jejich utálenými hodnotami. Poté i vyjádříme dvě tavové veličiny T a Tc z rovnic utáleného tavu. Náledně změníme vtupní a výtupní hodnoty a jejich odchylky od utáleného tavu původních veličin nám dají odchylkový model ve tvaru u x 1 ( t) = T ( t) = T ( t) T, x ( t) = Tc ( t) = Tc ( t) Tc (1.5) 1 ( t) = Tv ( t) = Tv ( t) Tv, u ( t) = Tcv ( t) = Tcv ( t) Tcv (1.6) Dále po doazení odchylkových rovnic (1.5), (1.6) do rovnic (1.1), (1.3) dotaneme odchylkový tvar dx1 Vρ cp + ( qρcp + F α) x1 Fαx = qρcpu1 (1.7) dt dx Vc ρ ccpc + ( qcρcc pc + Fα) x F αx1 = qcρcc pcu (1.8) dt nulovými počátečními podmínkami x 1 (0) = x (0) = 0. Rovnice ve tvaru (1.7), (1.8) upravíme tak, že oamotatníme derivace výtupních veličin a zjednodušíme model zavedením kontant a 11, a1, a1, a, b11, b. Model pak dotaneme ve tvaru dx 1 = a11x1 + a1x + b11 u 1 (1.9) dt dx = a1x1 + a x + b u (1.10) dt
UTB ve Zlíně, Fakulta aplikované informatiky, 007 13 kde q Fα a 11 = +, V Vρc p a Fα 1 =, Vρc p a Fα 1 =, V c ρccpc qc Fα a = +, Vc Vcρcc pc q b = V 11, q b = c. Vc Odchylkový tvar rovnic (1.9), (1.10) nám louží k počítání dynamické charakteritiky modelu nulovými počátečními podmínkami.
UTB ve Zlíně, Fakulta aplikované informatiky, 007 14 1. ZÁSOBNÍKY NA KAPALINU ZAPOJENÉ ZA SEBOU 1..1 Analýza proceu Matematický model válcových záobníků na kapalinu je určený pro ledování výšky hladiny kapaliny v něm v záviloti na změnách přítoku. Do obou záobníků přitékají kapaliny q 1v a q v a na odtoku z nádrže vytékají pře ventil. Tyto propojené záobníky jou válcového tvaru a jou zapojené za ebou. Oba záobníky jou ve tejné výšce, jou otevřené a průřezy záobníků jou tejné. Sytém záobníků na kapalinu je zobrazen na obr.., kde q jou objemové průtoky kapaliny v [m 3-1 ], h výšky hladin v [m] a F průřezy záobníků v [m ] bez ohledu na indexy. Obr.. Záobníky na kapalinu zapojené za ebou 1.. Bilance ytému Základní bilanční rovnice má tvar: VSTUP + ZDROJ = VÝSTUP + AKUMULACE Slovní vyjádření bilance pro oba záobníky
UTB ve Zlíně, Fakulta aplikované informatiky, 007 15 Při bilancování celého ytému je bilancovanou veličinou množtví kapaliny, které můžeme vyjádřit objemem V 1 pro první záobník a V pro druhý záobník. Potom zíkáme bilanční rovnice ve tvaru dvou diferenciálních rovnic dv = q1, dt 1 q1 v + dv + q1 = q (1.11) dt q v + Změny objemů V 1 a V můžeme také vyjádřit jako změnu výšek hladin v jednotlivých záobnících v záviloti na průřezech záobníků. V našem případě jou průřezy záobníků tejné. Tento vztah je vyjádřen tvarem dv = F dh a rovnici (1.11) tedy můžeme přepat na tvar Pro počáteční podmínky dh 1 F1 q1 = q1v dt dh +, F + q q1 = qv (1.1) dt h1 ( 0) h1, h (0) = h =, což znamená že na počátku odpovídá výška hladiny utálenému tavu. Jelikož průtoky kapalin vytékají ze záobníků pře ventily, muíme brát v úvahu závilot hydrotatických tlaků půobících na tyto ventily. Jedná e o druhou odmocninu z rozdílu tlaků kapaliny před a za ventilem. Pro náš případ jou hydrotatické tlaky úměrné výškám hladin v záobnících, takže průtoky můžeme vyjádřit dvěma nelineárními rovnicemi q 1 k1 h1 h =, q = k h (1.13) kde k 1, k jou kontanty ventilu. Tento matematický model můžeme popat dvěmi diferenciálními rovnicemi (1.1) a dvěmi nelineárními rovnicemi (1.13). Na základě těchto dvou nelineárních rovnic můžeme tvrdit, že e jedná o nelineární model. 1..3 Odchylkový model Pro zíkání odchylkového tvaru nejdříve převedeme model do utáleného tavu. Z utáleného tavu potom můžeme určit počáteční podmínky, které nám náledně pomohou k etavení linearizovaného modelu a který bude oučaně modelem odchylkovým. Pro utálený tav platí, že průtok q q1 v 1 = a q q1 v + q v doazení těchto vztahů do rovnic (1.13) obdržíme dvě rovnice = a výška hladiny h h 1 >. Po
UTB ve Zlíně, Fakulta aplikované informatiky, 007 16 q1 v k1 h1 h =, q1 v q v = k h + (1.14) Nyní i z rovnic (1.14) vyjádříme utálené hodnoty výšek hladin h 1 a h. Potom z výšek hladin a vtupních průtoků provedeme odchylky od počátečního utáleného tavu j j j j x ( t) = h ( t) = h ( t) h, u ( t) = q ( t) = q ( t) q, pro j = 1, (1.15) Dále pak převedeme rovnice (1.1) do odchylkového tvaru j jv jv jv d h 1 F1 + q1 = q1v dt d h, F + q q1 = qv dt (1.16) Náledně dochází k linearizaci modelu, když pomocí Taylorova rozvoje nahradíme odchylky průtoků lineárními členy v okolí pracovního bodu ( dotaneme h1 h, ). Pro tyto odchylky potupně q1 q1 q + 1 h1 h h1 h = 1 h k 1 h ( h 1 h k1 h1 h ) = ( h h ) 1 ( h 1 h ) = q1 = ( h1 h ) = K 1( h1 h ) (1.17) ( h h ) 1 q q h h = k h h k q h = h = h = K h (1.18) h h Vyjádříme-li koeficienty K 1 a K, které jou závilé na poloze pracovního bodu a rovněž na počátečním utáleném tavu dotaneme rovnice K q1 q =, K = (1.19) ( h h ) h 1 1 Při další úpravě doadíme rovnice (1.17) a (1.18) polu rovnicemi (1.15) do rovnic (1.16) a tím už dotaneme linearizovaný odchylkový model ytému ve tvaru dx1 F 1 + K1( x1 x ) = u1 (1.0) dt dx F + K x K1( x1 x ) = u (1.1) dt
UTB ve Zlíně, Fakulta aplikované informatiky, 007 17 Počáteční podmínky budou nulové x 1 (0) = x (0) = 0. Rovnice ve tvaru (1.0), (1.1) upravíme a zjednodušíme zavedením kontant a 11, a1, a1, a, b11, b. Model pak dotaneme ve tvaru dx 1 = a11x1 + a1 x + b11 u 1 (1.) dt dx = a1x1 + a x + b u (1.3) dt kde K K K K + K 1 a = 1 1 1 1 11 =, a1 =, a1 =, a =, b11 =, b. F1 F1 F F F1 F 1 Tento linearizováný odchylkový model obahuje v kontantách a ij již zmíněné koeficienty K 1 a K a tím pádem je závilý na počátečním utáleném tavu ytému a na poloze pracovního bodu. S nulovými počátečními podmínkami použijeme tento odchylkový tvar rovnic (1.), (1.3) k počítání dynamické charakteritiky modelu.
UTB ve Zlíně, Fakulta aplikované informatiky, 007 18 1.3 TRYCHTÝŘOVÝ ZÁSOBNÍK NA KAPALINU S NEKONSTANTNÍM PRŮŘEZEM 1.3.1 Analýza proceu V modelu trychtýřového záobníku e opět budeme zabývat změnou výšky hladiny v záviloti na změně přítoku. Do záobníku nám přitéká kapalina q v, která vytéká pře ventil. Tento záobník je nekontantního průřezu. Sytém trychtýřového záobníku je zobrazen na obr. 3., kde q jou objemové průtoky kapaliny v [m 3 min -1 ] bez ohledu na index, h je výška hladiny v [m], H je výška záobníku v [m], d je průměr záobníku ve výšce hladiny v [m] a D je průměr záobníku v [m]. Obr. 3. Trychtýřový záobník nekontantním průřezem 1.3. Bilance ytému Základní bilanční rovnice má tvar: VSTUP + ZDROJ = VÝSTUP + AKUMULACE
UTB ve Zlíně, Fakulta aplikované informatiky, 007 19 Slovní vyjádření bilance pro trychtýřový záobník Bilancovanou veličinou je množtví kapaliny, které vyjádříme objemem V a ytém popíšeme diferenciální rovnicí ve tvaru dv q v = q + (1.4) dt Tuto diferenciální rovnici lze přepat na tvar, ve kterém změnu objemu vyjádříme pomocí vztahu dv = F dh a pak dotáváme rovnici q v dh = q + F (1.5) dt Odtok ze záobníku vytéká pře ventil. Na ventil půobí hydrotatické tlaky (viz. záobníky na kapalinu), které jou úměrné výšce hladiny v záobníku. Proto pro tento případ platí nelineární vztah přepat na tvar q = k h, který po doazení do rovnice (1.5) nám umožní tuto rovnici q v dh = k h + F (1.6) dt Jelikož je průřez F kruhového tvaru, můžeme ho také vyjádřit jako Pro pravoúhelný trojúhelník obecně platí vztah d F = π (1.7) 4 tg α = a, který můžeme využít v našem b modelu. Pravoúhlý trojúhelník lze vidět na obr. 3., kde je pro ná trana trojúhelníku a=d/ a b=h. Tento vztah potom upravíme pro náš model a dotaneme ho ve tvaru d / tgα = d / = tgα h (1.8) h
UTB ve Zlíně, Fakulta aplikované informatiky, 007 0 a zároveň platí D/ D tgα = = (1.9) H H Potom po doazení do rovnice (1.8) dotáváme d D = tgα h = h H d 4 D = h (1.30) 4H Dále pro úpravu plochy průřezu doadíme rovnici (1.30) v umocněném tvaru do rovnice (1.7) a zíkáme náledující vztah π d F = 4 π D = h 4H (1.31) Nyní můžeme přepat bilanční rovnici (1.6) na tvar q v = k dh h + F = k dt π D h + 4H h dh dt (1.3) Náledně oamotatníme na levou tranu derivaci výšky hladiny h podle čau t z rovnice (1.3) a dotaneme dh dt = q v π D 4H k h h = ( q k h ) v π D 4H h (1.33) Tato výledná rovnice e použije pro počítání dynamické charakteritiky, kde počáteční podmínkou bude h 0) = h (.
UTB ve Zlíně, Fakulta aplikované informatiky, 007 1 1.4 KULOVÝ ZÁSOBNÍK NA KAPALINU S NEKONSTANTNÍM PRŮŘEZEM 1.4.1 Analýza proceu Model kulového záobníku je podobný trychtýřovému záobníku, liší e pouze tvarem a potupem při odvozování bilanční rovnice. Do kulového záobníku přitéká kapalina q v, u které změníme přítok a budeme zjišťovat změnu výšky hladiny v záobníku. Přítok kapaliny q v vytéká pře ventil. Záobník má nekontantní průřez. Sytém kulového záobníku je zobrazen na obr. 4., kde q jou objemové průtoky kapaliny v [m 3 min -1 ] bez ohledu na index, h je výška hladiny v [m] a D je průměr záobníku v [m]. Obr. 4. Kulový záobník nekontantním průřezem 1.4. Bilance ytému Základní bilanční rovnice má tvar: VSTUP + ZDROJ = VÝSTUP + AKUMULACE
UTB ve Zlíně, Fakulta aplikované informatiky, 007 Slovní vyjádření bilance pro kulový záobník Diferenciální rovnice popiující daný děj ytému je tejná jako u předešlého modelu. Tvar rovnice je dv q v = q + (1.34) dt Po tejných úpravách jako u trychtýřového záobníku můžeme rovnici (1.34) přepat na tvar q v dh = k h + F (1.35) dt Opět využijeme pro průřez obah kruhu a vyjádříme ho ve tvaru d F = π (1.36) 4 Dále využijeme Pythagorovy věty pro pravoúhlý trojúhelníka a podle obr. 4. platí Po úpravě této rovnice dotáváme D D x + h = (1.37) x = D h h = h ( D h) (1.38) A jetliže d x = 4, pak můžeme doadit rovnici (1.38) do (1.36) a zíkáme Bilanční rovnice (1.35) nám potom dá tvar q v ( D h) h F =π (1.39) dh dh = k h + F = k h + π ( D h) h (1.40) dt dt
UTB ve Zlíně, Fakulta aplikované informatiky, 007 3 Po oamotatnění derivace na levou tranu, dotaneme výlednou diferenciální rovnici pro počítání dynamiky počáteční podmínkou h 0) = h (. Rovnice má tvar dh dt qv k h = (1.41) π ( D h) h Při tvorbě analýzy proceů a odvozování matematických modelu v teoretické čáti parafrázuji použitou literaturu [4].
UTB ve Zlíně, Fakulta aplikované informatiky, 007 4 1.5 POUŽITÉ METODY PRO VÝPOČET STATICKÝCH A DYNAMICKÝCH CHARAKTERISTIK V PROGRAMU MATLAB Pro výpočet tatických charakteritik e nejčatěji využívá metody proté iterace, co e dynamických metod týče, pak metody Runge-Kutta. Tyto metody jou pro modely popiované v této práci plně dotačující. Obě jou zahrnuty v matematických funkcích programu Matlab, jehož integrované protředí je z tohoto důvodu využito pro řešení a imulaci modelů. 1.5.1 Metoda proté iterace Pro potupy využívané při imulaci utáleného tavu ytému je tedy využito metody proté iterace (MPI). Tato metoda e používá pro řešení outav nelineárních rovnic. Pro ytémy lineárních rovnic e prakticky nepoužívá. MPI tedy můžeme použít pro numerické řešení rovnic, které mohou být ve tvaru ( x) = 0 f (1.4) Iterační úlohy jou založeny na řešení rovnic (1.4) převedených do ekvivalentního tvaru ( x) x = g (1.43) Tato rovnice louží na nalezení pevných bodu funkce g. Pro ekvivalentnot úloh platí, jetliže ξ je pevný bod funkce g, pak ξ je kořen funkce f a naopak. Dále platí věta, jetliže g C [a,b], g: [a,b] [a,b] pak funkce g má v intervalu [a,b] pevný bod. A jetliže g navíc plňuje Liphitzovu podmínku kontantou q ve vztahu pro x, y [ a, b] g ( x) g( y) q x y pak g má v intervalu jediný pevný bod. Za předpokladu, že [ a b] x,, kde 0 q < 1 (1.44) g C [a,b], g: [a,b] [a,b] e pak zvolí počáteční aproximace 0 a poté e generuje poloupnot { } k k =0 k+1 x = g x náledujícím způobem k ( x ), k=0,1, (1.45)
UTB ve Zlíně, Fakulta aplikované informatiky, 007 5 Pak funkci g nazýváme iterační funkcí a uvedenou metodu iterační metodou nebo metodou proté iterace. Uvedená metoda patří mezi jednokrokové metody. Obecně pak pro j- krokové metody platí vztah Za již zmíněných předpokladů, kde 0 [ a b] je poloupnot { } k k k 1 x k, = g( x ) =0 x, k k 1 k j+ 1 ( x, x,..., x ) k + 1 x = g, k=0,1, (1.46) g C [a,b], g: [a,b] [a,b] pro počáteční konfiguraci x konvergentní a platí, že k lim x =ξ (1.47) k kde ξ je pevný bod funkce g. Nechť pro funkci g jou plněny předchozí předpoklady a k pro poloupnot { } k=0 x, x [ a, b] 0, ( ) k k 1 = g x x dále platí x q 1 q k k 0 1 ξ x x, 1 k (1.48) Při popiu metody proté iterace vycházím ze zdroje [1] uvedeného v eznamu použité literatury. 1.5. Metoda Runge-Kutta Metoda Runge-Kutta patří mezi krokové metody a bere do úvahy i členy vyšších řádů. Potřebné derivace funkce f(t,x) počítá ložitější diferenční metodou pomocí dalších pomocných bodů mezi ouedními uzly v íti. Obecně lze metody Runge-Kutta zapat náledovně i = + + 1 ki f t α ih, xn h βijk j (1.49) j= 1 p n+ 1 = xn + h wi ki (1.50) i= 1 x Koeficienty u těchto metod jou vypočteny tak, aby metoda řádu p odpovídala Taylorovu polynomu funkce x(t) tejného řádu.
UTB ve Zlíně, Fakulta aplikované informatiky, 007 6 Metod Runge-Kutta je více. Klaická metoda 4. řádu je oučátí funkce ode45 a je vyjádřena z rovnic (1.49), (1.50) a vypadá náledovně ( ) k 1 = f t n, x n (1.51) k h h = f tn +, xn + k1 (1.5) h h k3 = f tn +, xn + k k4 = f ( tn + h, xn + k3h) (1.53) ( t + h x k h) k4 = f n, n + 3 (1.54) h xn + 1 = xn + ( k1 + k + k3 + k4 ) (1.55) 6 Pomocné hodnoty k i předtavují derivace tavu ytému ve peciálních bodech na začátku, na konci a uprotřed intervalu t n, t n + 1. V případě fázového protoru vyšší dimenze m (m>1) je tav ytému popán vektorem x a dynamický ytém vektorovou funkcí f(t,x). Algoritmu Runge-Kutta je pak třeba pát ve vektorové formě, takže pomocné hodnoty k i budou m-ložkové vektory. Pak outava rovnic vyjádřená ze vztahu (1.51) vypadá náledovně ( t x, x x ) k,..., = f n, (1.56) 11 1 n1, n nm ( t x, x x ) k 1 = f,..., (1.57) n, n1, n nm ( t x, x x ) k,..., 1 m = fm n, n1, n nm (1.58) Metodu Runge-Kutta lze použít pro řešeni obyčejných diferenciálních rovnic (ODR). Díky tomu je tato metoda oučátí matematické funkce Matlabu ode45, která je použita při řešení dynamických charakteritik. Funkce ode45 využívá metody Runge-Kutta pro numerické řešení ODR, které obahují derivace jen podle jedné proměnné. Ode45 lze použít pro řešení ODR jak prvního tak i vyššího řádu. Syntaxe funkce ode45 má náledující tvar: [T, Y] = ode45( název funkce, čaový interval, počáteční podmínky)
UTB ve Zlíně, Fakulta aplikované informatiky, 007 7 kde název funkce čaový interval je název M-file ouboru popiujícího outavu diferenciálních rovnic, v němž je obažena funkce e yntaxí dy = název funkce(t, y), ve které je dy loupcový vektor, předtavující hodnoty derivací pro vektor hodnot y v čae t je vektor o dvou prvcích počáteční a koncový ča řešení počáteční podmínky je vektor počátečních podmínek y 0, pro který platí y(t 0 ) = y 0 T Y je loupcový vektor obahující čaové okamžiky řešení je matice vlatního řešení Při definici funkce Runge-Kutta jem čerpal ze zdroje [] a při popiu funkce ode45 ze zdroje [3], které jou uvedené v eznamu použité literatury.
UTB ve Zlíně, Fakulta aplikované informatiky, 007 8 II. PRAKTICKÁ ČÁST
UTB ve Zlíně, Fakulta aplikované informatiky, 007 9.1 PRŮTOČNÝ VÝMĚNÍK TEPLA S PROMÍCHÁVÁNÍM.1.1 Statická charakteritika Statická charakteritika popiuje model v utáleném tavu, který je charakterizován rovnicemi q ρ c T = q ρ c T + Fα ( T T ) (.1) p v p c q c ρ c c pct + Fα ( T T ) = q cv c c ρ c c pct (.) c Jde o rovnice původního modelu u nichž byla anulována derivace podle čau. Po vyjádření tavových veličin T, T jou tyto rovnice ve tvaru c T T c q ρ c ptv + FαTc = (.3) q ρ c + Fα p qc ρc c pctcv + FαT = (.4) q ρ c + Fα c c pc Ve tatické charakteritice e počítá závilot těchto utálených teplot T a Tc na změnách intervalu průtoku q a q c. Při změně intervalu průtoku q e průtok q c nemění a počítá e průběh teplot T a Tc pro utálený tav v daném intervalu průtoku q. Pro změnu intervalu průtoku q c to platí obdobně. V náledujících tabulkách jou uvedeny použité hodnoty pro počítání tatické charakteritiky. Tab. 1. Tabulka zadaných proměnných pro tatickou charakteritiku Zadané proměnné Hodnoty Začátek intervalu pro různý průtok q 0 [m 3 min -1 ] Krok intervalu pro různý průtok q 0,0005 [m 3 min -1 ] Konec intervalu pro různý průtok q 1 [m 3 min -1 ] Začátek intervalu pro různý průtok q c 0 [m 3 min -1 ] Krok intervalu pro různý průtok q c 0,0005 [m 3 min -1 ] Konec intervalu pro různý průtok q c 1 [m 3 min -1 ]
UTB ve Zlíně, Fakulta aplikované informatiky, 007 30 Tab.. Tabulka zadaných veličin Kontanty Hodnoty Objemový průtok chlazené kapaliny q 0,08 [m 3 min -1 ] Objemový průtok chladící kapaliny q c 0,03 [m 3 min -1 ] Objem chlazené kapaliny V 1, [m 3 ] Objem chladící kapaliny V c 0,64 [m 3 ] Hutota chlazené kapaliny ρ 985 [kg m -3 ] Hutota chladící kapaliny ρ c 998 [kg m -3 ] Měrné teplo chlazené kapaliny c p 4,05 [kj kg -1 K -1 ] Měrné teplo chladící kapaliny c pc 4,18 [kj kg -1 K -1 ] Přetupná plocha F 5,5 [m ] Koeficient přechodu tepla α 43,5 [kj m - min -1 K] Teplota chlazené kapaliny na vtupu Teplota chladící kapaliny na vtupu T v T cv 33 [K] 93 [K] Vyhodnocením jou 4 grafy imulující tatické chování průtočného výměníku tepla na základě zadaných vtupních hodnot. Grafy jou zobrazeny na obr. 5.
UTB ve Zlíně, Fakulta aplikované informatiky, 007 31 Obr. 5. Průběhy utálených teplot T a Tc v záviloti na změnách průtoku q a q c Na obr. 5. je vidět průběh teplot chlazené a chladící kapaliny v záviloti na změně průtoku. Reakce na změnu průtoku q u teploty chlazené kapaliny T e projevila zvýšením a náledným utálením teploty. Teplota chladící kapaliny T c reagovala také zvýšením a náledným utálením vé teploty. Po odezvě změny průtoku q je utálená teplota chlazené kapaliny vyšší než utálená teplota chladící kapaliny. Odezva na změnu průtoku q c e projevila u teploty chlazené i chladící kapaliny nížením a náledným utálením teplot. Při této změně průtoku je utálená teplota chlazené kapaliny vyšší než utálená teplota chladící kapaliny. Z těchto teplot v utáleném tavu e pak mohou určit polohy pracovních bodů. Program tatické charakteritiky je v příloze P I pod názvem Průtočný výměník tatická charakteritika. Program je propojený pře Matlab web erver (MWS), kde e pře webové rozhraní zadávají vtupní hodnoty a naopak vypočtené hodnoty e pošlou opět pře MWS na internetové tránky. Na obr. 6. je zobrazen vzhled tabulky pro zadávání vtupních hodnot z webové tránky.
UTB ve Zlíně, Fakulta aplikované informatiky, 007 3 Obr. 6. Tabulka pro zadávání vtupních hodnot tabulkou kontant.1. Dynamická charakteritika Dynamická charakteritika e řeší z odchylkového modelu jako funkce čau při nulových počátečních podmínkách. Rovnice mají tvar dx 1 = a11x1 + a1x + b11 u 1 (.5) dt dx dt = a x + a x + b u (.6) 1 1 V dynamice ledujeme jak e změní průběh teploty chlazené kapaliny T a chladící kapaliny T c při kokové změně průtoku q a q c za daný čaový průběh imulace. V náledující tabulce jou uvedeny použité hodnoty pro počítání dynamické charakteritiky.
UTB ve Zlíně, Fakulta aplikované informatiky, 007 33 Tab. 3. Tabulka zadaných proměnných pro dynamickou charakteritiku Zadané proměnné Hodnoty Doba imulace T im 150 [] Skoková změna průtoku chlazené kapaliny q [m 3 min -1 ] Skoková změna průtoku chladící kapaliny q c 3 [m 3 min -1 ] Otatní zadané veličiny jou tejné jako v tabulce na obr.. Výtupem jou grafy dynamického chování průtočného výměníku, které jou zobrazeny na obr. 7. a obr. 8..5 1.5 T [K] 1 0.5 0 0 50 100 150 t[min] Obr. 7. Průběh teploty chlazené kapaliny v záviloti na čae
UTB ve Zlíně, Fakulta aplikované informatiky, 007 34.5 1.5 ] T c[k 1 0.5 0 0 50 100 150 t[min] Obr. 8. Průběh teploty chladící kapaliny v záviloti na čae Na obr. 7. můžeme pozorovat čaový průběh teploty chlazené kapaliny při kokové změně průtoku q. Graf na obr. 8. ukazuje průběh teploty chladící kapaliny při kokové změně průtoku q c. U obou grafů e dynamické vlatnoti projevily přechodovou charakteritikou 1. řádu, která udává závilot kokové změny na čae. Z přechodové charakteritiky e pak může určit čaová kontanta a zeílení outavy. Po odezvě kokové změny a vyhodnocení přechodové charakteritiky lze vidět, že teplota chladící kapaliny T c je větší než teplota chlazené kapaliny T. Program dynamické charakteritiky je uveden v příloze P II pod názvem Průtočný výměník dynamická charakteritika a tvoří ho 3 M-file oubory (vymenik.m, vymenik_hlavni.m, vymenik_kontanty.m), které polu navzájem komunikují. Dynamika e v programu počítá pomocí funkce ode45 pro řešení diferenciálních rovnic. Vzhled webové tránky programu propojeného pře MWS je zobrazen na obr. 9.
UTB ve Zlíně, Fakulta aplikované informatiky, 007 35 Obr. 9. Tabulka pro zadávání vtupních hodnot tabulkou kontant
UTB ve Zlíně, Fakulta aplikované informatiky, 007 36. ZÁSOBNÍKY NA KAPALINU ZAPOJENÉ ZA SEBOU..1 Statická charakteritika Ve tatické charakteritice je uveden model v počátečním utálením tavu, pro který platí vztahy q q1 v v 1 = a q = q1 + q v. Za těchto podmínek je utálený tav ve tvaru q1 v k1 h1 h =, q1 v q v = k h + (.7) kde k 1, k jou kontanty ventilu. Po vyjádření utálených výšek hladin z rovnic (.7) dotaneme dvě rovnice, které nám umožní určení počátečních podmínek a také možnot vypočítat polohu pracovního bodu ( h h 1, ). Rovnice mají tvar q1 v 1 = + h k1 h, h q + q = v 1v k (.8) počátečními podmínkami výška hladiny utálenému tavu. h1 ( 0) h1, h (0) = h =, což znamená že na počátku odpovídá Ve tatické charakteritice počítáme změnu výšky hladin v záobnících. Tyto změny budeme ledovat v záviloti na změnách přítoku bude přítok q 1 v a q v kontantní a počítá e utálená výška hladiny q v. To znamená, že při změně přítoku q 1 v h 1 v prvním záobníku a h v druhém záobníku. Totéž e provede při změně přítoku q v. V náledujících tabulkách jou uvedeny použité hodnoty pro počítání tatické charakteritiky. Tab.4. Tabulka zadaných proměnných pro tatickou charakteritiku
UTB ve Zlíně, Fakulta aplikované informatiky, 007 37 Zadané proměnné Hodnoty Začátek intervalu pro různý průtok q 1v 0 [m 3-1 ] Krok intervalu pro různý průtok q 1v 0,1 [m 3-1 ] Konec intervalu pro různý průtok q 1v 1 [m 3-1 ] Začátek intervalu pro různý průtok q v 0 [m 3-1 ] Krok intervalu pro různý průtok q v 0,1 [m 3-1 ] Konec intervalu pro různý průtok q v 1 [m 3-1 ] Tab. 5. Tabulka zadaných veličin Kontanty Hodnoty Objemový průtok kapaliny v prvním záobníku Objemový průtok kapaliny v druhém záobníku q 1 v 0,5 [m 3-1 ] q v 0,3 [m 3-1 ] Výška hladiny v prvním záobníku Výška hladiny v druhém záobníku h 1 h 1,5 [m] 1 [m] Průřez prvního záobníku F 1 [m ] Průřez druhého záobníku F [m ] Vyhodnocením jou 4 grafy, které charakterizují tatické chování záobníku na kapalinu za daných podmínek. Grafy jou zobrazeny na obr. 10.
UTB ve Zlíně, Fakulta aplikované informatiky, 007 38 Obr. 10. Průběhy výšek hladin h 1 a na změnách průtoku q 1v a q v h v záviloti Na obr. 10. můžeme pozorovat reakci na změnu jednotlivých průtoku v podobě průběhu výšek hladin v jednotlivých záobnících. Odezva na změnu průtoku q 1v v prvním záobníku e projevila zvýšením hladiny v obou záobících, přičemž platí h h 1 >. Při změně průtoku q v e výšky hladin opět zvýší a h 1 bude zae větší než h. Po utálení výšek hladin e mohou určit polohy pracovních bodu h 1, h v okolí kterých e provádí linearizace. Program tatické charakteritiky je v příloze P III pod názvem Záobníky na kapalinu tatická charakteritika. Program je propojený pře MWS na tejném principu jako u předešlého modelu. Na obr. 11. je zobrazen vzhled tabulky pro zadávání vtupních hodnot z webové tránky.
UTB ve Zlíně, Fakulta aplikované informatiky, 007 39 Obr. 11. Tabulka pro zadávání vtupních hodnot tabulkou kontant.. Dynamická charakteritika Dynamickou charakteritiku budeme řešit podobně jako u modelu průtočného výměníku tepla. Akorát u tohoto modelu e nejdříve muí nelineární model linearizovat.. Proto e dynamika bude počítat z linearizovaného odchylkového modelu jako funkce čau. Počáteční podmínky budou nulové. Rovnice jou ve tvaru dx 1 = a11x1 + a1 x + b11 u 1 (.9) dt dx = a1x1 + a x + b u (.10) dt V dynamice pozorujeme změnu výšek hladin v jednotlivých záobnících při kokových změnách přítoků do jednotlivých nádrží záobníků v záviloti na čaovém průběhu imulace. V náledující tabulce jou uvedeny použité hodnoty pro počítání dynamické charakteritiky.
UTB ve Zlíně, Fakulta aplikované informatiky, 007 40 Tab. 6. Tabulka zadaných proměnných pro dynamickou charakteritiku Zadané proměnné Hodnoty Doba imulace T im 00 [] Skoková změna průtoku q 1v 0,09 [m 3-1 ] Skoková změna průtoku q v 0,05 [m 3-1 ] Otatní zadané veličiny jou tejné jako v tabulce na obr. 5. Výtupem jou grafy, které charakterizují dynamické chování záobníku na kapalinu za daných podmínek. Grafy jou zobrazeny na obr. 1. a obr. 13. 1 10 8 ] 1 [m h 6 4 0 0 50 100 150 t[] Obr. 1. Průběh výšky hladiny v prvním záobníku v záviloti na čae
UTB ve Zlíně, Fakulta aplikované informatiky, 007 41 10 9 8 7 6 ] [m h 5 4 3 1 0 0 50 100 150 t[] Obr. 13. Průběh výšky hladiny v druhém záobníku v záviloti na čae Na obr. 1. můžeme pozorovat čaový průběh výšky hladiny h 1 při kokové změně průtoku q 1v. Na obr. 13. lze vidět čaový průběh výšky hladiny h při kokové změně průtoku q v. Po odezvě kokových změn je výška hladiny v prvním záobníku vyšší než výška hladiny v druhém záobníku. Průběh změn výšek hladin e projevil přechodovými charakteritikami 1. řádu. Z těchto přechodových charakteritik dále můžeme určit čaové kontanty a zeílení outavy pro jednotlivé průběhy výšek hladin. Program dynamické charakteritiky je uveden v příloze P IV pod názvem Záobníky na kapalinu dynamická charakteritika a tvoří ho 3 M-file oubory (zaobnik.m, zaobnik_hlavni.m, zaobnik_kontanty.m). Vzhled webové tránky programu propojeného pře MWS je zobrazen na obr. 14.
UTB ve Zlíně, Fakulta aplikované informatiky, 007 4 Obr. 14. Tabulka pro zadávání vtupních hodnot tabulkou kontant
UTB ve Zlíně, Fakulta aplikované informatiky, 007 43.3 TRYCHTÝŘOVÝ ZÁSOBNÍK NA KAPALINU S NEKONSTANTNÍM PRŮŘEZEM.3.1 Statická charakteritika Statickou charakteritiku vyjadřuje rovnice počátečního utáleného tavu ve tvaru q v = k h (.11) Z této rovnice můžeme vypočítat utálenou výšku hladiny h q = k v (.1) Ve tatické charakteritice budeme řešit utálenou výšku hladiny v záobníku v záviloti na změně přítoku q v. V náledujících tabulkách jou uvedeny použité hodnoty pro počítání tatické charakteritiky. Tab. 7. Tabulka zadaných proměnných pro tatickou charakteritiku Zadané proměnné Hodnoty Začátek intervalu pro různý průtok q v 0 [m 3 min -1 ] Konec intervalu pro různý průtok q v 1 [m 3 min -1 ] Kontanta ventilu Tab. 8. Tabulka zadaných veličin Kontanty Hodnoty Průměr záobníku D Výška záobníku H Výška hladiny h [m] 3 [m] [m] Objemový průtok kapaliny q v 0,6 [m 3 min -1 ] Vyhodnocením je zobrazený graf na obr. 15., který imuluje tatické chování trychtýřového záobníku.
UTB ve Zlíně, Fakulta aplikované informatiky, 007 44 Obr. 15. Průběh výšky hladiny v záviloti na změně přítoku Na obr. 15. je vidět průběh výšky hladiny v záviloti na změně přítoku. Po odezvě na změnu přítoku a zvolení zadané kontanty ventilu bude výška hladiny toupat než e dotane do rovnovážného tavu. Program tatické charakteritiky je v příloze P V pod názvem Trychtýřový záobník tatická charakteritika. Na obr. 16. je zobrazen vzhled tabulky pro zadávání vtupních hodnot z webové tránky. Obr. 16. Tabulka pro zadávání vtupních hodnot tabulkou kontant
UTB ve Zlíně, Fakulta aplikované informatiky, 007 45.3. Dynamická charakteritika Dynamickou charakteritiku budeme počítat z diferenciální rovnice popiující daný děj. h = h Počáteční podmínky budou ( ) 0. Rovnice má tvar dh dt = ( q k h ) v π D 4H h (.13) kde k je kontanta ventilu, která je vyjádřena z utáleného tavu a má tvar k = qv (.14) h V dynamice e zabýváme změnou výšky hladiny záobníku při kokové změně přítoku do záobníku v záviloti na čaovém průběhu imulace. V náledující tabulce jou uvedeny použité hodnoty pro počítání dynamické charakteritiky. Tab. 9. Tabulka zadaných proměnných pro dynamickou charakteritiku Zadané proměnné Hodnoty Doba imulace T im 150 [min] Skoková změna průtoku q v 0,7 [m 3 min -1 ] Otatní zadané veličiny jou tejné jako v tabulce na obr. 8. Výtupem je graf imulující dynamické chování trychtýřového záobníku zobrazený na obr. 17.
UTB ve Zlíně, Fakulta aplikované informatiky, 007 46.8.7.6.5 h [m ].4.3..1 0 50 100 150 t[min] Obr. 17. Průběh výšky hladiny v záviloti na čae Na obr. 17. můžeme vidět čaový průběh výšky hladiny v záobníku. Z reakce na kokovou změně přítoku do záobníku, lze vidět že výška hladiny v záobníku toupne. Průběh výšky hladiny e projevil přechodovou charakteritikou, která opět může vypovědět o zeílení outavy či o čaové kontantě. Program dynamické charakteritiky je uveden v příloze P VI pod názvem Trychtýřový záobník dynamická charakteritika. Vzhled webové tránky programu propojeného pře MWS je zobrazen na obr. 18. Obr. 18. Tabulka pro zadávání vtupních hodnot tabulkou kontant
UTB ve Zlíně, Fakulta aplikované informatiky, 007 47.4 KULOVÝ ZÁSOBNÍK NA KAPALINU S NEKONSTANTNÍM PRŮŘEZEM.4.1 Statická charakteritika Statickou charakteritiku řešíme tejně jako u modelu trychtýřového záobníku. Rovnice počátečního utáleného tavu je q v = k h (.15) Utálená výška hladiny vyjádřená z předešlé rovnice má tvar h q = k v (.16) V tomto záobníku ve tatické charakteritice budeme opět počítat změnu výšky hladiny v utáleném tavu v záviloti na změně přítoku q v. V náledujících tabulkách jou uvedeny použité hodnoty pro počítání tatické charakteritiky. Tab. 10. Tabulka zadaných proměnných pro tatickou charakteritiku Zadané proměnné Hodnoty Začátek intervalu pro různý průtok q v 0 [m 3 min -1 ] Konec intervalu pro různý průtok q v 1 [m 3 min -1 ] Kontanta ventilu Tab. 11. Tabulka zadaných veličin Kontanty Hodnoty Průměr záobníku D Výška hladiny h 5 [m] 3 [m] Objemový průtok kapaliny q v 0,6 [m 3 min -1 ] Vyhodnocením je graf zobrazený na obr. 19., který charakterizuje tatické chování kulového záobníku na základě zadaných hodnot.
UTB ve Zlíně, Fakulta aplikované informatiky, 007 48 Obr. 19. Průběh výšky hladiny v záviloti na změně přítoku Na obr. 19. můžeme pozorovat průběh výšky hladiny v záviloti na změně přítoku. Chování ytému je podobné jak u trychtýřového záobníku. Při změně přítoku a zadané kontanty bude výška hladiny toupat než e dotane do utáleného tavu. Program tatické charakteritiky je v příloze P VII pod názvem Kulový záobník tatická charakteritika. Na obr. 0. je zobrazen vzhled tabulky pro zadávání vtupních hodnot z webové tránky Obr. 0. Tabulka pro zadávání vtupních hodnot tabulkou kontant
UTB ve Zlíně, Fakulta aplikované informatiky, 007 49.4. Dynamická charakteritika Dynamickou charakteritiku budeme počítat z diferenciální rovnice popiující daný děj. S h = h počátečními podmínkami ( ) 0. Rovnice má tvar dh dt q v k h = (.17) π ( D h) h kde k je kontanta ventilu, která je vyjádřena z utáleného tavu a má tvar k = qv (.18) h V dynamice e zabýváme tejným problémem jako u trychtýřového záobníku. V náledující tabulce jou uvedeny použité hodnoty pro počítání dynamické charakteritiky. Tab. 1. Tabulka zadaných proměnných pro dynamickou charakteritiku Zadané proměnné Hodnoty Doba imulace T im 800 [min] Skoková změna průtoku q v 0,75 [m 3 min -1 ] Otatní zadané veličiny jou tejné jako v tabulce na obr. 11. Vyhodnocením je graf zobrazený na obr. 1., který charakterizuje dynamické chování kulového záobníku.
UTB ve Zlíně, Fakulta aplikované informatiky, 007 50 4.8 4.6 4.4 4. h [m ] 4 3.8 3.6 3.4 3. 3 0 100 00 300 400 500 600 700 800 t[min] Obr. 1. Průběh výšky hladiny v záviloti na čae Na obr. 1. můžeme vidět čaový průběh výšky hladiny v záobníku. Reakce na kokovou změnu přítoku e opět projevila zvýšením výšky hladiny v záobníku v podobě přechodové charakteritiky. Program dynamické charakteritiky je uveden v příloze P VIII pod názvem Kulový záobník dynamická charakteritika. Vzhled webové tránky programu propojeného pře MWS je zobrazen na obr.. Obr.. Tabulka pro zadávání vtupních hodnot tabulkou kontant V praktické čáti jem používal literaturu [5], [6].
UTB ve Zlíně, Fakulta aplikované informatiky, 007 51 ZÁVĚR Hlavním cílem této bakalářké práce bylo vytvoření M-file ouborů v programu Matlab, které budou chopny odimulovat tatické a dynamické charakteritiky technologických modelů využitím MWS. Propojení programů pře MWS zajišťuje možnot chování modelů prakticky vyzkoušet a pozorovat pře webové rozhraní. Zde uživatel zadá vtupní hodnoty, ty jou odelány ke zpracování programem a vypočtené hodnoty e náledně pošlou opět pře MWS na internetové tránky uživateli. M-file oubory bylo tedy potřeba vytvořit takovým způobem, aby program byl chopen zpracovat a vyhodnotit jakékoliv libovolné zadání vtupních hodnot. Proto analýza, která programování předcházela, muela být provedena na zcela obecné úrovni. Po odvození matematického modelu průtočného výměníku tepla můžeme kontatovat, že e jedná o lineární model e outředěnými parametry. Při imulaci tatické charakteritiky e model převedl do utáleného tavu a dynamická charakteritika e imulovala z odchylkového tvaru. Simulování tatického chování vnitřní proměnné za daných podmínek e projevilo změnou teplot obou kapalin přechodem do utáleného tavu. Při změně průtoku chlazené kapaliny e teploty zvýšily a při změně průtoku chladící kapaliny obě teploty zae klely. Z utáleného tavu těchto teplot e dále může určit poloha pracovního bodu. Při imulaci dynamického chování při nulových počátečních podmínkách e průběh teplot projevil přechodovou charakteritikou, která může vypovědět o čaové kontantě a o zeílení outavy. U matematického modelu záobníku na kapalinu zapojených za ebou e ukázalo, že e jedná o nelineární model. Tento model bylo potřeba zlinearizoval a vyjádřit odchylkový tvar potřebný pro imulaci dynamiky. Při imulaci tatické charakteritiky výšky hladin toupnou a utálí e na nové hodnotě rovnovážného tavu, ze kterého e může určit poloha pracovního bodu v okolí kterého tento model linearizujeme. U imulace dynamického chování při nulových počátečních podmínkách e výška hladin projevila přechodovou charakteritikou, ze které e opět může zhodnotit čaová kontanta a zeílení outavy. U trychtýřového i kulového záobníku e rovněž jedná o nelineární modely. Při imulaci tatického chování u těchto modelů e výšky hladin utálí na vyšší hodnotě, než ve které byly před změnou přítoku. Při pozorování dynamického chování za počáteční podmínky
UTB ve Zlíně, Fakulta aplikované informatiky, 007 5 odpovídající utálené výšce hladiny e změna výšek hladin v trychtýřovém i kulovém záobníku projevila přechodovou charakteritikou. Modely e chovají při imulacích adekvátně podle zadaných vtupních veličin a výledky jou reálné. Mohou tak uživateli loužit pro lepší pochopení problematiky tatických a dynamických charakteritik.
UTB ve Zlíně, Fakulta aplikované informatiky, 007 53 SUMMARY The main aim of thi thei wa to create M-file uing the Matlab application that would be able to imulate tatic and dynamic characteritic of the technological model applying MWS. The interconnection of the program via MWS enable the uer to examine the model in practice and watch it through the Internet interface. There, the uer might enter choen input value that are then ent to be proceed by the program and the computed value are conequently ent back to the uer web page via MWS. Thu, it wa neceary to formulate the M-file in uch a way that the program would be able to proce and compute an arbitrary election of any input value. Therefore, the analyi that preceded programming had to be performed at a general level. After the mathematic model of the flow heat exchanger i defined, we may oberve that it repreent a linear model with condened parameter. When imulating the tatic characteritic, the model tranformed into the equilibrium tate and the dynamic characteritic wa imulated from the deviation tate. The imulation of the tatic behaviour of the internal variable wa manifeted by change of temperature of both liquid with tranition to the equilibrium tate. Thi tate allow to determine the poition of the working point. When imulating the dynamic behaviour uing null initial condition the temperature value progre wa demontrated by tranitional characteritic that can document the time contant and conolidation of the ytem. The mathematic model of the ytem with two water tank i linear. It wa neceary to linearie thi model and to define the deviation needed for the dynamim imulation. When imulating the tatic characteritic, the level of the liquid rie and tabilie at a new poition of the equilibrium tate that might be ued to determine the poition of the working point located in the area of the actual model lineariation. When imulating the dynamic behaviour in the null initial condition the liquid level were demontrated by tranition characteritic that might be ued again for the determination of the time contant and the conolidation of the ytem. Both the pherical and conical tank repreent non-linear model. When imulating the tatic behaviour, the level of the liquid arrive at a new equilibrium tate where their level elevate. Monitoring the dynamic behaviour when the initial condition were et to a level
UTB ve Zlíně, Fakulta aplikované informatiky, 007 54 that correponded to the tabilied liquid level, the difference between the liquid level in both the pherical and conical tank wa demontrated by the tranitional characteritic. The model behave adequately in imulation accordingly to the input value and the reult are real. Thu, they may erve a a tool for better comprehenion of the iue of tatic and dynamic characteritic.
UTB ve Zlíně, Fakulta aplikované informatiky, 007 55 SEZNAM POUŽITÉ LITERATURY [1] TOBOLA, Petr. Matematické základy Numerické řešení outavy rovnic [online], polední aktualizace: 007-05-3 [cit. 007-05-3]. Dotupné z WWW: < http://www.fi.muni.cz/~ptx/pa010/slide/pa010_11.pdf > [] MACUR, Jiří. Simulace dynamických ytémů v jazyce Java [online], polední aktualizace: 006-05-01 [cit. 007-05-15].Dotupné z WWW: <http://www.fce.vutbr.cz/tudium/materialy/imul/_metody.htm> [3] Západočeká univerzita v Plzni, citace: před_matl13.doc [online], polední aktualizace: 004-10-0 [cit. 007-05-15].Dotupné z WWW: < http://home.zcu.cz/~ruz/z/pred_matl3.doc> [4] Nokievič, P. Modelování a identifikace ytémů. MONTANEX a.., Otrava, 1999, ISBN 80-75-030-. [5] BAKOŠOVÁ Monika, FIKAR Mirolav, ČIRKA Luboš. Základy automatizácie. ISBN 80-7-1831-9 [6] KARBAN, Pavel. Výpočty a imulace v programech MATLAB a Simulink. Vydal: Computer Pre, a.. ISBN 978-80-51-1448-3
UTB ve Zlíně, Fakulta aplikované informatiky, 007 56 SEZNAM POUŽITÝCH SYMBOLŮ A ZKRATEK MWS Matlab web erver. ODR MPI Obyčejné diferenciální rovnice. Metoda proté iterace
UTB ve Zlíně, Fakulta aplikované informatiky, 007 57 SEZNAM OBRÁZKŮ Obr. 1. Průtočný výměník tepla chlazením v plášti 10 Obr.. Záobníky na kapalinu zapojené za ebou... 14 Obr. 3. Trychtýřový záobník nekontantním průřezem.... 18 Obr. 4. Kulový záobník nekontantním průřezem... 1 Obr. 5. Průběhy utálených teplot T a T v záviloti na průtocích q a q c. 31 c Obr. 6. Tabulka pro zadávání vtupních hodnot tabulkou kontant.. 3 Obr. 7. Průběh utálené teploty chlazené kapaliny v záviloti na čae... 33 Obr. 8. Průběh utálené teploty chladící kapaliny v záviloti na čae 34 Obr. 9. Tabulka pro zadávání vtupních hodnot tabulkou kontant.. 35 Obr. 10. Průběhy utálených výšek hladin h 1 a h v záviloti na průtocích q 1v a q v.... 38 Obr. 11. Tabulka pro zadávání vtupních hodnot tabulkou kontant 39 Obr. 1. Průběh utálené výšky hladiny v prvním záobníku v záviloti na čae... 40 Obr. 13. Průběh utálené výšky hladiny v druhém záobníku v záviloti na čae.. 41 Obr. 14. Tabulka pro zadávání vtupních hodnot tabulkou kontant 4 Obr. 15. Průběh výšky hladiny v záviloti na přítoku 44 Obr. 16. Tabulka pro zadávání vtupních hodnot tabulkou kontant 44 Obr. 17. Průběh utálené výšky hladiny v záviloti na čae.. 46 Obr. 18. Tabulka pro zadávání vtupních hodnot tabulkou kontant 46 Obr. 19. Průběh výšky hladiny v záviloti na průtoku.. 48 Obr. 0. Tabulka pro zadávání vtupních hodnot tabulkou kontant 48 Obr. 1. Průběh utálené výšky hladiny v záviloti na čae.. 50 Obr.. Tabulka pro zadávání vtupních hodnot tabulkou kontant 50
UTB ve Zlíně, Fakulta aplikované informatiky, 007 58 SEZNAM TABULEK Tab. 1. Tabulka zadaných proměnných pro tatickou charakteritiku... 9 Tab.. Tabulka zadaných veličin.. 30 Tab. 3. Tabulka zadaných proměnných pro dynamickou charakteritiku. 33 Tab.4. Tabulka zadaných proměnných pro tatickou charakteritiku 37 Tab. 5. Tabulka zadaných veličin.. 37 Tab. 6. Tabulka zadaných proměnných pro dynamickou charakteritiku. 40 Tab. 7. Tabulka zadaných proměnných pro tatickou charakteritiku.. 43 Tab. 8. Tabulka zadaných veličin.. 43 Tab. 9. Tabulka zadaných proměnných pro dynamickou charakteritiku. 45 Tab. 10. Tabulka zadaných proměnných pro tatickou charakteritiku. 47 Tab. 11. Tabulka zadaných veličin 47 Tab. 1. Tabulka zadaných proměnných pro dynamickou charakteritiku 49
UTB ve Zlíně, Fakulta aplikované informatiky, 007 59 SEZNAM PŘÍLOH PI: PII: PIII: PIV: PV: PVI: Průtočný výměník tatická charakteritika Průtočný výměník dynamická charakteritika Záobníky na kapalinu tatická charakteritika Záobníky na kapalinu dynamická charakteritika Trychtýřový záobník tatická charakteritika Trychtýřový záobník dynamická charakteritika PVII: Kulový záobník tatická charakteritika PVIII: Kulový záobník dynamická charakteritika
PŘÍLOHA P I: PRŮTOČNÝ VÝMĚNÍK STATICKÁ CHARAKTERISTIKA. vymenik_tatika.m clc clear all cloe all V=1.; % m^3 Vc=0.64; % m^3 ro=985; %kg/m^3 roc=998; %kg/m^3 cp=4.05; %kj/kg*k cpc=4.18; %kj/kg*k F=5.5; %m^ a=43.5; %kj/m^*min*k Tv_=33; %K Tcv_=93; %K q_z = input(' zadejte zacatek intervalu pro ruzny prutok q: '); q_kr = input(' zadejte krok intervalu pro ruzny prutok q: '); q_k = input(' zadejte konec intervalu pro ruzny prutok q: '); qc_z = input(' zadejte zacatek intervalu pro ruzny prutok qc: '); qc_kr = input(' zadejte krok intervalu pro ruzny prutok qc: '); qc_k = input(' zadejte konec intervalu pro ruzny prutok qc: '); q = q_z:q_kr:q_k; qc = 0.03; for i = 1:length(q) T_(1,i)=(qc*roc*cpc*Tcv_*F*a+q(i)*ro*cp*Tv_*F*a+qc*roc*cpc*q(i)*ro*cp*Tv_)/(q(i)*ro*cp*F*a+q c*roc*cpc*q(i)*ro*cp+qc*roc*cpc*f*a); end ubplot (,,); plot(q,t_(1,:)); xlabel('q[m^3/min]'); ylabel('t_[k]'); for i = 1:length(q) Tc_(1,i)=(q(i)*ro*cp*qc*roc*cpc*Tcv_+qc*roc*cpc*Tcv_*F*a+q(i)*ro*cp*Tv_*F*a)/(q(i)*ro*cp*F*a +qc*roc*cpc*q(i)*ro*cp+qc*roc*cpc*f*a); end ubplot (,,1); plot(q,tc_(1,:)); xlabel('q[m^3/min]');