1. Pohyby nabitých částic

1. Pohyby nabitých částic

16 Pohyby nabitých částic V celé první kapitole budee počítat pohyby částic ve vnějších přede znáých (zadaných) polích. Předpokládáe že 1. částice vzájeně neinteragují. vlastní pole částic jsou zanedbatelná. Pro popis elektrického pole využijee intenzitu elektrického pole E pro popis agnetického pole agnetickou indukci B. Alternativně ůžee elektrické a agnetické pole popsat za pooci skalárního a vektorového potenciálu (ϕ A). Převodní vztahy jsou A E t x (1.1) B rot A. (1.) Odvození těchto vztahů nalezne čtenář v jakékoli učebnici elektroagnetického pole například v [8]. Při výpočtu pohybu nabitých částic budee předpokládat že potenciály ϕ(t x) a A(t x) jsou přede dané funkce. Poznaeneje že tvoří relativistický čtyřvektor a lze je z jedné souřadnicové soustavy do druhé transforovat za pooci Lorentzovy transforace. 1.1 Nerelativistické pohyby Za nerelativistické považujee pohyby nabitých částic jejichž rychlost je zanedbatelná vzhlede k rychlosti světla tj. v c. Takové částice naleznee například ve sluneční větru nebo v plazatu obloukového výboje. 1.1.1 Lagrangeova a Hailtonova funkce Probleatika pohybu nabitých částic v elektroagnetických polích je dána Lagrangeovou funkcí L Lpart Lint Lelg (1.3) kde L part je Lagrangeova funkce částice L int popisuje interakci ezi částicí a pole a L elg je Lagrangeova funkce elektroagnetického pole. V naše přiblížení jsou pole pevně dána a nebudee je počítat proto je polní část Lagrangeovy funkce nulová. Pokud budee uvažovat jen elektrické pole které je potenciální bude Lagrangeova funkce dána vztahe 1 L v Q. (1.4) Tvar je shodný s klasickou echanikou [1] kde je Lagrangeova funkce dána rozdíle kinetické a potenciální energie L = T V. Kinetická energie představuje Lagrangeovu funkci volné částice L part a potenciální energie Lagrangeovu funkci interakce s elektrický pole L int. V přítonosti agnetického pole které není potenciální usí ít inte-

Nerelativistické pohyby 17 rakční část Lagrangeovy funkce další člen. Ten bude nějakou funkcí čtyřvektoru toku náboje pro částici (charakterizuje částici) a čtyřvektoru potenciálů pole (charakterizuje pole): J cq cq( x x) / c ; j Qv ( x x) A A kde x' je poloha částice a x poloha pozorovatele. Lagrangeova funkce by ěla být skaláre jedinou rozunou kobinací připadající v úvahu je tedy veličina úěrná skalárníu součinu obou čtyřvektorů integrovanéu přes obje (bez integrace přes obje bycho dostali veličinu úěrnou hustotě Lagrangeovy funkce): 3 3 JA d x QQAv ( xx) d x Q QAv. Z uvedeného vztahu je již jasná chybějící část ve vztahu (1.4) správná Lagrangeova funkce pro nerelativistický pohyb částic v elektrické a agnetické poli bude 1 L Q Q v A v. (1.5) Standardníi postupy určíe zobecněnou hybnost zobecněnou energii a po vyloučení rychlosti z obou vztahů Hailtonovu funkci: L p vqa (1.6) v L 1 vl v Q v E (1.7) H ( p QA) Q. (1.8) Poznáka 1: Energii budee v této kapitole značit sybole E abycho ji odlišili od intenzity elektrického pole E. Poznáka : Zobecněná hybnost není součine hotnosti a rychlosti jako v klasické echanice ale figuruje v ní vektorový potenciál! Poznáka 3: Energie nezávisí na agnetické poli (vektorové potenciálu A) protože agnetické pole neění energii částice ale jen sěr její rychlosti. Ukaže že příslušné Lagrangeovy rovnice jsou totožné s Lorentzovou pohybovou rovnicí pro nabitou částici. Ve složkách áe 1 L vv j j Q ( t x) QAj( t x) vj ; d L L 0 dt vi xi d Aj ( vi QA i) Q Q vj 0 dt x x i i

18 Pohyby nabitých částic d Ai A dx i j Aj ( vi) Q Q Q Q vj 0 dt t x j dt xi xi d Ai Aj Ai ( vi) Q vj. dt t x i xi x j Poslední výraz v hranaté závorce snadno upravíe poocí Levi-Civitova tenzoru do tvaru (postup naleznete v dodatku A vztah A.0) d A d ( v) Q vrot A ( v) QEvB (1.9) dt t x dt což je znáá Lorentzova pohybová rovnice. 1.1. Pohyb v elektrické poli optická analogie Pokud se nabitá částice pohybuje dostatečně dlouho jen v hoogenní elektrické poli nelze situaci řešit nerelativisticky. Elektrické pole by částici urychlovalo nade všechny eze což je v rozporu se speciální relativitou. Můžee ale řešit úlohu ve které je elektrické pole nenulové jen v alé oblasti prostoru například v nějaké vrstvě plazatu. Idealizovaný případe je rázová vlna se skoke elektrického potenciálu (tzv. dvojvrstva se kterou se podrobněji seznáíe v kapitole 3.3.4). y v α 1 α x v 1 ϕ 1 ϕ Obr. 1: Skok elektrického potenciálu. Předpokládeje že v obou poloprostorech na obrázku je potenciál konstantní a elektrické pole tedy nulové. Nabitá částice se proto pohybuje rovnoěrně příočaře. V tenké vrstvě (je označena šedě) na rozhraní obou oblastí se potenciál ění elektrické pole je zde nenulové a íří ve sěru osy x. Pokud je přechodová vrstva infiniteziálně alá je zěna potenciálu skoková. Ve sěru osy y nepůsobí žádné pole proto se složka rychlosti částice ve sěru osy y neění. Tečná složka rychlosti vzhlede k rozhraní je proto spojitá: v sin v sin. (1.10) 1 1 Při pohybu nabité částice se bude zachovávat energie (1.7):

Nerelativistické pohyby 19 1 v1 Q 1 1 v Q E. (1.11) Pokud z posledního vztahu vypočtee rychlosti a dosadíe do (1.10) dostanee sin E Q C U sin E Q C U 1 1 1 1. (1.1) Uvedenéu vztahu se říká optická analogie pohybu částice v elektrické poli. Svý tvare připoíná Snellův zákon lou. 1.1.3 Pohyb v hoogenní agnetické poli elektroagnetické pole: E (000) B (00 B) ; počáteční podínky: x(0) (000) p(0) (0 v 0). Předpokládeje hoogenní agnetické pole; souřadnicovou soustavu zvolíe tak aby osa z ířila ve sěru pole. Nabitou částici vypustíe kolo na agnetické indukční čáry ve sěru osy y. Pohyb budee řešit za pooci Hailtonových pohybových rovnic. Pro sestavení Hailtonovy funkce proto nejdříve potřebujee nalézt potenciály pole. Potenciály nejsou vztahy (1.1) a (1.) určeny jednoznačně (různé potenciály vedou na stejná pole). Například pro agnetický potenciál ůžee v naše případě využít výrazy A = ( yb 0 0) nebo A = (0 xb 0) nebo A = ½ ( yb xb 0). Vyzkoušejte si že rot A vede vždy na pole B = (0 0 B). Pro další výpočet zvolíe potenciály ve tvaru 0 A (0 xb0). Potenciály elektrických a agnetických polí pro typické konfigurace naleznete v dodatku D3. Zobecněná hybnost je v naše případě dána vztahe p = v + QA. Pro Hailtonovu funkci platí a Hailtonovy rovnice jsou ( p QA) px ( py x) pz H Q H px x px (1.13) H py x y py (1.14)

0 Pohyby nabitých částic Z rovnic (1.17) (1.18) áe ihned H p z z (1.15) p z H ( py x) p x (1.16) x H p y 0 (1.17) y H p z 0. (1.18) z py() t py(0) v pz() t pz(0) 0. Tyto výrazy spolu s p x vyjádřený z (1.13) dosadíe do (1.16) a získáe tak rovnici x x v pro proěnnou x. Po její vyřešení (je součte hoogenního a partikulárního) znáe závislost x(t) a ůžee již přío integrovat rovnice (1.14) (1.15). Výsledné řešení á tvar kde jse označili R x() t R R cos t L L c yt () R sin t L zt () 0 L v ; c c (1.19) (1.0) tzv. Larorův poloěr R L a cyklotronní frekvenci c. Trajektorii získáe vyloučení času z (1.19): x R y R (1.1) L L. Vidíe že pohyb se děje po kružnici s poloěre R L a se střede S = [ R L 0 ]. Poloha středu závisí na znaénku náboje částice. Magnetické pole nepůsobí na pohyb částice ve sěru podél pole. Kolo na sěr pole působí Lorentzova síla která zakřivuje trajektorii částice na kružnici. Při nenulové počáteční rychlosti v z (0) je pohyb částice složen z rovnoěrného příočarého pohybu podél pole a Larorovy rotace (tzv. gyrace) v rovině kolé na pole tí vzniká pohyb po šroubovici.

Nerelativistické pohyby 1 Saotné elektrické pole naopak nepůsobí na pohyb částice napříč pole (v nerelativistické případě) nebo jen veli álo (v relativistické případě). Ve sěru pole dochází k urychlování. Obr. : Pohyby nabité částice v hoogenní agnetické poli. Poznáka: Výpočet Larorova pohybu lze také provést přío z Lorentzovy pohybové rovnice r Qr B. Složka z opět vede na volný pohyb. Ve složce x a y dostáváe x y (1.) y x. (1.3) Obě rovnice je ožné řešit různýi způsoby. Asi nejrychleji k cíli vede Landaův postup: druhou rovnici vynásobíe koplexní jednotkou a sečtee s první. Kobinaci / označíe jako cyklotronní frekvenci: x i y i c ( x i y ) (1.4) Nyní stačí zavést koplexní proěnnou x i y a řešit jednoduchou rovnici ic (1.5) v koplexní oboru. Po nalezení integračních konstant získáe hledanou polohu částice x a y tak že oddělíe reálnou a iaginární část řešení.