Zpracování fyzkálních měření Studjní text pro fyzkální praktkum Mlan Červenka, katedra fyzky FEL-ČVUT mlan.cervenka@fel.cvut.cz 3. ledna 03
ObrázeknattulnístraněpocházízknhyogeometraměřeníodJacobaKöbela(460 533). Zobrazuje statstcké určenídélkyrod6stop. Děkuj prof. Ing. Ondřej Jříčkov, CSc., doc. Ing. Karlu Malnskému, CSc. a Ing. Karlu Řezáčov za pozorné přečtení textu a četné přpomínky. Obsah Opravdujenpárslovnaúvod Chyby měření. Náhodnéchyby.... Systematckéchyby.............3 Podrobnějknáhodnýmchybámajejchpopsu....... 3.4 Intermezzo náhodnévelčnyajejchpops......... 5.4. Rovnoměrnérozdělení...... 6.4. Normálnírozdělení........ 7 3 Nejstoty měření 7 3. UrčenínejstotyměřenímetodoutypuA........... 8 3. UrčenínejstotyměřenímetodoutypuB........... 8 3.. Určenínejstotyzrozlšenípřístroje... 9 3.. Určenínejstotyuručkovéhoměřcíhopřístroje.... 9 3..3 Určenínejstotyudgtálníhoměřcíhopřístroje... 9 3.3 Kombnovanástandardnínejstota.... 0 3.3. Některédůležtévzorce...... 3.4 Interpretacestandardnínejstotyanejstotarozšířená.... 3 3.4. Copřesněvyjadřujestandardnínejstota....... 3 3.4. Rozšířenánejstota........ 4 3.4.3 Jetosložtější............ 4 4 Prezentace výsledku měření 5 4. Fyzkálnívelčnyajejchjednotky... 5 4. Platnécfry..... 6 4.3 Zápsvýsledkuměření.......... 7 5 Příklad 8 6 Metoda nejmenších čtverců 9 6. Aproxmacepřímkou........... 0 6. Aproxmaceznámoumocnnou...... 6.3 Aproxmaceexponencálou........ 3 6.4 Aproxmacepolynomem m-téhostupně... 4 6.5 Složtějšípřípady............. 6 6.6 Posouzeníkvaltyaproxmace...... 6 6.7 Kdyžneznámenejstotyvstupníchdat............. 7 6.8 Poznámka váženýprůměr....... 8
7 Další metody 8 7. Metodapostupnýchměření........ 8 7. Metodaredukce... 9 A Dodatek 3 A. Studentovorozdělení........... 3 A. Některéfyzkálníkonstanty....... 34 A.3 Nonus........ 35
Fyzka je ze své podstaty expermentální vědní dscplína. Měření a jejch nejstoty jsou klíčem ke každému expermentu a každému objevu. Walter Lewn, For the Love of Physcs, 0 Opravdujenpárslovnaúvod Fyzkální měření je, od nepamět bylo a vždy bude nedílnou součástí vědy a technky a je základem fyzky. Bez přesného měření a důmyslných metod zpracování naměřených dat by nebylo možné studovat fyzkální zákony, vytvářet jejch obsah, případně je revdovat anebo dokonce provádět nové objevy. Fyzkální měření hrají klíčovou rol praktcky ve všech oborech ldské čnnost, kde umožňují zajšťovat jakost a kontrolu kvalty, funkčnost a bezpečnost technologí a podobně. Setkáváme se s nm v netechnckých oborech, jako jsou například obchod a sport. V následujícím textu je relatvně stručně pojednáno o nedílné součást každého měření o chybách měření, o postupech zpracování naměřených hodnot zajšťujících alespoň částečnou elmnac chyb měření a v neposlední řadě o určování a vyjadřování nejstot výsledků měření. Podrobnost laskavý čtenář nalezne v ctované lteratuře. Některé pracnější výpočty popsané v tomto textu (například odhad regresních parametrů a jejch nejstot metodou nejmenších čtverců) jsou mplementovány v jazyce PHP a volně dostupné prostřednctvím webové stránky http://herodes.feld.cvut.cz/meren/ věnované podpoře výuky ve fyzkální laboratoř katedry fyzky FEL-ČVUT. Chyby měření Fyzkální měření je proces, př kterém je zjšťována číselná hodnota nějaké fyzkální velčny(teploty, hmotnost, náboje,...) ve stanovených jednotkách. Předpokládáme přtom, že tato velčna má jstou skutečnou hodnotu. K měření používáme přístroje, které, bez ohledu na jejch důmyslnost, nejsou dokonalé. Měřená velčna se může mírně měnt s časem, případně může být ovlvněna procesem měření. Tyto a další okolnost zapříčňují, že nalézt skutečnou hodnotu měřené velčny není možné. Ke skutečné hodnotě je však možné se alespoň přblížt, pokud použjeme co nejpřesnější přístroje a přesně vyspecfkujeme a zkorgujeme vlv prostředí a samotného měření na její hodnotu. Rozdíl mez naměřenou s skutečnou hodnotou měřené velčny nazýváme chybou měření chyba měření naměřená hodnota skutečná hodnota. () Jelkož zjstt skutečnou hodnotu měřené velčny není možné, není možné určt an chybu měření. Jak bylo řečeno výše, chyby měření jsou zapříčněny použtím nepřesných měřcích přístrojů a neznalostí přesného stavu prostředí a jeho vlvu na měřenou velčnu. Dělíme je do dvou hlavních skupn na chyby náhodné a chyby systematcké, pokud odhlédneme od chyb hrubých, způsobených například přehlédnutím, vadným přístroj nebo jejch nesprávným použtím, kdy příslušné výsledky nebereme př dalším zpracování v úvahu.
. Náhodné chyby Náhodné chyby mají nekonstantní charakter a projevují se tím, že pokud provedeme opakované měřeníjednévelčnytýmžměřcímpřístrojemzastejnýchpodmínek,naměřímerůznéhodnoty. Tyto různé hodnoty způsobuje vlv mnoha malých(neřdtelných) změn podmínek měření(elektromagnetcké rušení, změny teploty, tlaku a vlhkost vzduchu, pohyb vzduchu, otřesy) na měřcí přístroj č měřenou velčnu, případně změna měřené velčny samotné a v neposlední řadě nedokonalost smyslů expermentátora. Náhodné chyby nelze zcela elmnovat, neboť není možné zcela vyloučt drobné změny podmínek měření, jejch vlv lze pouze zmírnt. Odhad skutečné hodnoty měřené velčny(jak bude uvedeno dále) provádíme s využtím metod matematcké statstky obvykle tak, že z více opakovaných měření vypočteme artmetcký průměr, čímž se vlv náhodných chyb částečně vyruší, zpravdla tím víc, čím víc je opakovaných měření provedeno. Ncméně, většnou nemá smysl měření opakovat velm mnohokrát(například automatzovaným sběrem dat za použtí PC), neboť měření mmo jné ovlvňuje přesnost použtých přístrojů a chyby systematcké, jejchž vlv opakovaným měřením korgovat nelze.. Systematcké chyby Systematcké chyby se vyznačují tím, že mají konstantní charakter v tom smyslu, že nezapříčňují různé hodnoty př měření jedné velčny za stejných podmínek stejným měřcím přístrojem. Častým zdrojem těchto chyb je měřcí přístroj, který nemá přesně nastavenou(má posunutou) nulovou hodnotu a v důsledku toho zobrazuje menší(větší) hodnotu oprot hodnotě měřené, přčemž rozdíl mez měřenou a zobrazovanou hodnotou je konstantní, chyba je tedy adtvní. Systematcká chyba může být multplkatvní, například v případě, kdy zesílení měřcího přístroje nemá přesně deklarovanou hodnotu. Zdrojem systematckých chyb může být nevhodně zvolená metoda měření. Několk konkrétních příkladů: Př měření elektromotorckého napětí zdroje s vntřním odporem, jehož velkost je nezanedbatelná oprot vntřnímu odporu použtého voltmetru, neměříme napětí zdroje, ale napětí na dělč tvořeném vntřním odpory zdroje a voltmetru. Př znalost velkostí obou odporů je možné provést korekc. Př určování hmotnost objektu vážením je třeba vzít v úvahu vztlakovou sílu na něj působící, pokud jeho hustota není výrazně vyšší oprot hustotě vzduchu. Př znalost obou hustot můžeme provést příslušnou korekc. Systematcké chyby lze odhalt například použtím jných(přesnějších) měřcích přístrojů č opakováním měření více nezávslým metodam založeným na odlšných fyzkálních prncpech, což v mnoha případech vyžaduje jsté zkušenost expermentátora. Poté, co je systematcká chyba odhalena, je možné její vlv elmnovat změnou uspořádání expermentu, kalbrací příslušného přístroje, případně použtím korekce(adtvní nebo multplkatvní). V dalším textu budeme předpokládat, že systematcké chyby se podařlo elmnovat č korgovat a zaměříme se na zpracování chyb náhodných. Stejnýchdotémíry,kteroujsmeschopnzajstt.
.3 Podrobněj k náhodným chybám a jejch popsu Jak bylo řečeno výše, náhodné chyby bývají zapříčněny působením mnoha faktorů, které jsou často samostatně neměřtelné. Podle tzv. hypotézy o elementárních chybách jsou navzájem nezávslé, hodnotu měřené velčny mohou zvětšovat zmenšovat a jejch vlv se sčítá. Odtud vyplývá, že náhodné chyby mají níže uvedené vlastnost. Velkéchyby(aťužkladnéčzáporné)jsouméněčasté,nežlchybymalé.Abydošlokvelké chybě,muselobymnohonavzájemnezávslýchfaktorůpůsobtsoučasně stejnýmsměrem, což je málo pravděpodobné. Kladné a záporné hodnoty náhodných chyb jsou víceméně stejně pravděpodobné pravděpodobnost jejch výskytu je reprezentována sudou funkcí. Příklad s házením mncem. Výše uvedené vlastnost náhodných chyb můžeme velce názorně demonstrovat níže uvedeným myšlenkovým(anebo opravdovým, pokud nevěříte...) expermentem. Vezmeme N mncí, které vyhodíme do vzduchu a necháme spadnout na zem, přčemž po každém hodubudemepočítatskóretak,žezakaždéhoorlaspřpočtemejedenbodazakaždoupannus jeden bod odečteme. V každém hodu tedy můžeme získat maxmálně N a mnmálně N bodů. V případě dvou mncí mohou nastat tyto kombnace: Kombnace PP PO OP OO Skóre 0 0 Pravděpodobnost skóre je /4(jedna ze čtyř kombnací vede na toto skóre) pravděpodobnost skóre 0je /(dvězečtyř)apravděpodobnostskóre jeopět /4.Vpřípadětřímncímohou nastat tyto kombnace: Kombnace PPP PPO POP POO OPP OPO OOP OOO Skóre 3 3 Pro pravděpodobnost možných skóre tedy dostáváme P( 3) /8, P( ) 3/8, P() 3/8aP(3) /8. ObecněproNmncímůženastat N výsledků,znchžovšem některémajístejnáskóre.pravděpodobnost,žepadne n o orlů můžeme spočítat jako P o (n o ) N ( N n o ) N! N n o!(n n o )!, přčemžproskórezřejměplatí S n o N.Takženapříklad pro N 0 mncí pro pravděpodobnost maxmálního(mnmálního)skóreplatí P(0) P( 0) 0 0 6,cožjepravděpodobnost velce malá, neboť těchto výsledků lze dosáhnout jenjednímzpůsobem.pronulovéskóreplatí P(0) 0,76,neboť tohoto výsledku lze dosáhnout 84 756 způsoby. Rozdělení pravděpodobnost pro jednotlvá skóre je uvedeno na obrázku. P(S) 0. 0.5 0. 0.05 N0 0 0 0 0 0 0 S Obrázek : Rozdělení pravděpodobnost dosažení skóre S. Skóre v tomto příkladě počítáme jako součet výsledků nezávslých jevů(padne orel nebo pana u každé z mncí). Pravděpodobnost vysokého skóre(v absolutní hodnotě) je velce malá v porovnání s pravděpodobností nízkého skóre, kladná záporná skóre jsou stejně pravděpodobná. 3
Budeme-l N-krát opakovaně měřt velčnu X, dostaneme její -tou hodnotu jako x x s +ǫ, kde x s jeskutečnáhodnotaměřenévelčnyaǫ jenáhodnáchyba -téhoměření Vypočítáme součet x (x s +ǫ ) Nx s + ǫ N x x s + N ǫ. () Jelkož předpokládáme, že kladné chyby jsou stejně pravděpodobné jako chyby záporné, bude platt lm ǫ 0, N N takže dosazením do vztahu() dostaneme x s lm N N x, (3) skutečnou hodnotu bychom tedy vypočetl jako artmetcký průměr všech možných naměřených hodnot. Jelkož praktcky máme k dspozc pouze N naměřených hodnot(kde N je konečné), odhadneme skutečnou hodnotu pomocí artmetckého průměru těchto hodnot x N Jezřejmé,že xseblíží x s tímvíce,čímvětšíje N. x. (4) Poznámka: Metoda nejmenších čtverců. Představme s, že opakovaným měřením velčny X jsmedostalhodnoty x,x,...,x N,kterésevdůsledkunáhodnýchchybodsebenavzájemlší,a chtěl bychom najít nějakou hodnotu x, která bude co nejlépe odpovídat hodnotě skutečné. Můžeme to udělat tak, že defnujeme velčnu χ (x x ) +(x x ) + +(x x N ), cožjesoučetdruhýchmocnn(nebolčtverců,odtudnázevmetody) vzdálenost jednotlvých hodnot x odhledanéhodnoty x.tatovelčnabytedymělabýtmnmální.najdemeextrém: dχ dx (x x )+(x x )+ +(x x N )! 0 Nx x +x + +x N, jelkož d χ /dx N > 0,jednáseomnmum.Odtudprohledanouhodnotu xdostanemevztah x N x, což není nc jného, než artmetcký průměr. Jakbylořečenovýše,nezahrnujemezdevlvsystematckýchchyb. 4
Kromě odhadu skutečné hodnoty měřené velčny artmetckým průměrem x je důležté nějak popsatvarabltunaměřenýchhodnot.jezřejmé,žepokudbudoujednotlvéhodnoty x ležet vúzkémntervalukolem x,budevýsledekměření jstější,nežkdybybylpříslušnýntervalšroký. K tomuto účelu nelze použít artmetcký průměr odchylek naměřených hodnot od artmetckého průměru, neboť platí (x x) x Nx x x 0. (5) Bylo by tedy možné sčítat absolutní hodnoty těchto odchylek, ncméně se ukazuje, že je praktčtější sčítat jejch druhé mocnny. Zavádí se tedy tzv. odhad směrodatné odchylky(výběrová směrodatná odchylka) s, jejíž druhá mocnna(tzv. výběrový rozptyl) je defnována předpsem Platí tedy s N (x x). (6) s (x x). (7) N Důvodvýrazu N vejmenovatelvzorců(6)a(7)namísto N,jakbysenaprvnípohled zdálologcké,jeten,ževelčny x x(jchžjecelkem N)nejsounavzájemnezávslé,neboť můžeme vzhledem ke vztahu(5) například psát N N. Velčny tedymajípouze ν N stupňůvolnost.detalnějšírozborjemožnénaléztnapř. v[]a[4]..4 Intermezzo náhodné velčny a jejch pops Pro účely dalšího výkladu bude na tomto místě vhodné věnovat několk odstavců náhodným velčnám(výsledek měření zatížený náhodnou chybou je náhodná velčna) a jejch popsu. Budeme se zde zabývat pouze náhodným velčnam spojtým, které mohou(alespoň v určtém ntervalu) nabývat lbovolných hodnot. K úplnému pravděpodobnostnímu popsu náhodné velčny X slouží tzv. hustota pravděpodobnostnáhodnévelčny f X,pomocínížlzespočítat,sjakoupravděpodobnostínabývávelčna hodnotu v určtém ntervalu P(x x x ) x Hustota pravděpodobnost je nezáporná funkce, pro kterou zřejmě platí f X (u)du, x f X (u)du. (8) 5
velčna X má tedy s pravděpodobností rovnou jedné nějakou hodnotu. Pomocí hustoty pravděpodobnost lze spočítat některé význačné charakterstky náhodných velčn. Střední hodnota(ve smyslu průměrná )jedefnovánapředpsem µ E[X] Rozptyl(varablta) náhodné velčny je defnován předpsem σ Var[X] E[(X µ) ] uf X (u)du. (9) Velčnu σ Var[X] E[(X µ) ]nazývámesměrodatnáodchylka..4. Rovnoměrné rozdělení Náhodná velčna má rovnoměrné rozdělení na ntervalu a, b, pokud pro její hustotu pravděpodobnost platí { (b a) pro u a,b, f XR (u) () 0 jnde. Snadno se přesvědčíme, že platí Pro střední hodnotu dostaneme f XR (u)du b du. b a a µ XR (u µ) f X (u)du. (0) f XR uf XR (u)du b udu a+b b a a, a µ b u Obrázek : Rovnoměrné rozdělení. střední hodnota tedy leží přesně uprostřed ntervalu a, b. Pro rozptyl dostaneme σ XR (u µ XR ) f XR du b ( u a+b ) du (b a). b a a Označíme-l šířku ntervalu a, b jako b a, můžeme pro směrodatnou odchylku rovnoměrného rozdělení psát σ XR. () Směrodatná odchylka rovnoměrného rozdělení se také často vyjadřuje pomocí polovny šířky ntervalu a,b,označmejej (b a)/.pakplatí σ XR ( ) 3. (3) 6
.4. Normální rozdělení Normální, nebo též Gaussovo, rozdělení má pro zpracování(nejen) fyzkálních měření klíčovou důležtost. V teor pravděpodobnost se dokazuje věta(tzv. centrální lmtní věta, vz např.[7]), která v podstatě říká, že hustota pravděpodobnost velčny, jejíž hodnotu lze vyjádřt jako součet hodnot mnoha nezávslých, ale jnak lbovolných náhodných velčn, je dána funkcí f XN (u) σ (u µ) π e σ. (4) Dá se ukázat 3, že pro střední hodnotu a směrodatnou odchylku normálního rozdělení platí f XN µ XN µ, σ XN σ. Funkce f XN (u) má tvar zvonu, je symetrcká kolem střední hodnoty µ, ve σ σ kterémámaxmum,vzobr.3.čímjesměrodatná odchylkaσmenší,tímmáfunkcef XN (u) štíhlejší σ 3 aprotáhlejší tvar,cožznamená,žesehodnoty náhodné velčny X vyskytují s větší pravděpodobností v užším ntervalu kolem střední hodnoty µ. µ u Často je třeba znát pravděpodobnost, se kteroumánáhodnávelčnahodnotuvntervalu Obrázek3:Normálnírozdělení, σ < σ < σ 3. (µ kσ x µ+kσ),kde k > 0jenějakýkoefcent (tzv. koefcent rozšíření). Postupně dostaneme P(µ kσ x µ+kσ) µ+kσ k ) k σ e (u µ) σ du e u / du erf(, (5) π µ kσ π 0 kdefunkceerfjetzv.chybováfunkce 4 (errorfuncton).vtabulcejsouuvedenyněkterédůležté hodnoty k 0,674,96,576 3 P 0,5 0,683 0,95 0,954 0,99 0,997 Tabulka:Pravděpodobnost P(µ kσ x µ+kσ)pronormálnírozdělení. Praktcká zkušenost a fakt, že hypotéza o náhodných chybách je v souladu s předpoklady centrální lmtní věty nás vede k závěru, že náhodné chyby mají normální rozdělení, takže střední hodnota µ x s asměrodatnáodchylkaodhadovanávztahem(7)jesměrodatnouodchylkounormálního rozdělení. 3 Nejstoty měření Skutečnost, že každé fyzkální měření je zatíženo(náhodným a systematckým) chybam, které se nkdy nedají zcela elmnovat, zapříčňuje, že výsledek měření není nkdy úplně jstý, můžeme jej tedy formulovat pomocí vztahu výsledek měření odhad skutečné hodnoty ± nejstota měření, (6) 3 Výpočettěchtontegrálůjžneníelementární,využíváLaplaceůvntegrál 0 e x dx π/,vznapř.[7]. 4 Tutotakzvaněvyššítranscendentnífunkcběžněznajíprogramovébalíky,jakonapř.MatlabneboMaple. 7
který říká, že skutečná hodnota měřené velčny se s jstou mírou pravděpodobnost nachází v okolí její odhadnuté hodnoty v ntervalu daném nejstotou měření. Vmetrologserozlšujídvatypymetodurčovánínejstot,tzv.metodatypuAametodatypuB. Někdy se zkráceně(a nepřesně) hovoří o nejstotě typu A a nejstotě typu B. Jednotlvé příspěvky k celkové nejstotě měření se vyjadřují pomocí odhadu směrodatných odchylek, nebol tzv. standardních nejstot. 3. Určení nejstoty měření metodou typu A Metoda typu A určování nejstot využívá matematckou statstku. V případě opakovaných měření se postupuje následujícím způsobem. Z N naměřených hodnot odhadneme skutečnou hodnotu měřenévelčnypomocíartmetckéhoprůměru x,vzvztah(4).jednotlvénaměřenéhodnoty x jsou v okolí hodnoty x rozptýleny, přčemž mírou tohoto rozptýlení je odhad směrodatné odchylky s, vz vztah(7). Artmetcký průměr je však také náhodná velčna, o čemž bychom se snadno přesvědčl, kdybychom N měření a příslušné výpočty provedl opakovaně. Dá se očekávat, že čím většíjepočetměřenívdanésér(n),tímméněsebudoujednotlvéartmetcképrůměryodsebe lšt a budou méně rozptýleny kolem skutečné hodnoty měřené velčny. Jestlže jednotlvé hodnoty x nejsouvzájemněkorelované 5,proodhadsměrodatnéodchylkyartmetckéhoprůměruplatí,vz poznámka na straně 3, s s. (7) N Velčna s udává míru nejstoty v odhadu skutečné hodnoty měřené velčny a je standardní nejstotouurčenoumetodoutypua.značímej u A adosazenímvztahu(7)do(7)prondostaneme u A s N (x x). (8) N(N ) Stejně jako je artmetcký průměr z naměřených hodnot náhodná velčna, je náhodná velčna standardní nejstota(odhad směrodatné odchylky). Dá se ukázat, vz např.[], že pro nejstotu odhadu nejstoty platí u[u(x)] u(x) ν, (9) kde νjepočetstupňůvolnost,tedypropřípadartmetckéhoprůměruplatí ν N.Přímýmdosazením do vzorce(9) je možné se například přesvědčt, že pro relatvní nejstotu odhadu nejstoty artmetckéhoprůměruurčenéhozn 0hodnotplatí u[u(x)]/u(x) 4%. Jným příkladem vyhodnocení nejstoty metodou typu A je odhad směrodatných odchylek regresních parametrů v metodě nejmenších čtverců, vz odstavec 6. 3. Určení nejstoty měření metodou typu B Metoda typu B je založena na procedurách jných, než statstckých. Určení nejstoty metodou typu B využívá všechny dostupné nformace, například specfkace dodané výrobcem měřcího přístroje, dříve získaná data, zkušenost z předchozích expermentů a podobně. Standardní nejstota se opět vyjadřuje jako odhad směrodatné odchylky. Uveďme několk příkladů. 5 Tobynastalonapříkladpřpostupnémnárůstu(poklesu)hodnotyměřenévelčny. 8
3.. Určení nejstoty z rozlšení přístroje Nemáme-l žádné blžší nformace o použtém měřcím přístroj, můžeme vyjít z jeho rozlšovací schopnost 6. Jestlžejetatorozlšovacíschopnost (reprezentovanánapř.rozlšenímdspleje. velkostí dílku stupnce č rozlšením nona, vz dodatek A.3), dá se očekávat, že měřená velčna má hodnotu nacházející se se stejnou pravděpodobností kdekolv v ntervalu ± / kolem zobrazované hodnoty. Chyba měření má tedy rovnoměrné rozdělení, vz odstavec.4.. Směrodatnou odchylku (standardní nejstotu určenou metodou typu B) tedy odhadneme pomocí vztahu() jako u B. (0) 3.. Určení nejstoty u ručkového měřcího přístroje Přesnost ručkových měřcích přístrojů se vyjadřuje pomocí tzv. třídy přesnost TP. Jedná se o maxmální relatvní velkost chyby přístroje(vyjádřenou v procentech) př výchylce ručky v krajní poloze stupnce. Třída přesnost bývá uvedena číselnou hodnotou zpravdla pod stupncí měřcího přístroje, normalzovány jsou hodnoty 0,; 0,; 0,5; ;,5;,5; 5. Pro standardní nejstotu měření tedy platí(s ohledem na fakt, že měřená velčna má zřejmě hodnotu kdekolv v daném ntervalu) u B (rozsahpřístroje) TP/00 (rozsahpřístroje) TP/00 3. () 3..3 Určení nejstoty u dgtálního měřcího přístroje U dgtálních měřcích přístrojů výrobce obvykle udává maxmální chybu měření jako ±p%znaměřenéhodnoty±ndgtů, kde p je kladné číslo a pojmem n dgtů se myslí n-násobek rozlšovací schopnost přístroje. Hodnota měřené velčny se se stejnou pravděpodobností nachází kdekolv v daném ntervalu, takže pro standardní nejstotu můžeme psát u B (p%znaměř.hod.+ndgtů) p%znaměř.hod.+ndgtů 3. () Párpříkladů:Posuvnéměřítko,kterémánanonu50dílkůmározlšení/50mm0µm. Standardní nejstotu tedy dostaneme dosazením do vzorce(0) jako u B 0µm 5,8µm. Ručkový mlampérmetr má rozsah 600 ma a třídu přesnost 0,5. To znamená, že přesnost ndkované hodnoty je ±600 0,5 ma ±3mA. 00 6 Zdejevšaktřebajstéobezřetnost.Nesoldnívýrobcměřcíchpřístrojůčastopoužívajíjemnédělenístupnce (rozlšení dspleje), které neodpovídá přesnost daného přístroje. 9
Dosazením do vzorce() dostaneme standardní nejstotu jako u B 3 3 ma,7ma. 3 /-místný dgtální multmetr MY-64 má podle specfkace výrobce na rozsahu 0 V stejnosměrných přesnost ±(0,5%zúdaje+dgt). Dsplej přístroje na tomto rozsahu zobrazuje maxmálně hodnotu 9,99 V, jeden dgt má tedy velkost 0,0 V. Zobrazuje-l přístroj tedy například hodnotu,69 V, je přesnost zobrazované hodnoty napětí ( ±,69 0,5 ) 00 +0,0 V ±73,5mV. Standardní nejstotu dostaneme dosazením do vzorce() jako u B 73,5 3 mv 4mV. 3.3 Kombnovaná standardní nejstota Častojetřebaurčtodhadanejstotuvelčny Z,kterájefunkcívícevelčn,např. X,Y,přčemž je dána funkční závslost Z f(x,y). (3) Jestlžeskutečnéhodnotyvelčn Xa Y jsou x s a y s,budezřejměplatt z s f(x s,y s ).Př -tém měření každé z velčn se dopustíme chyby. Budou-l tyto chyby malé, můžeme chybu určení velčny Z formulovat pomocí Taylorova rozvoje vztahu(3) jako z z s ( f X ) (x x s )+ x s,y s ( f Y ) (y y s ). (4) Pro rozptyl velčny Z(teoretcky vypočtený z nekonečně mnoha naměřených hodnot) potom platí σz lm N N (z z s ) lm N N ( f X ) x s,y s lm N N [ ( f ) X (x x s ) + x s,y s x s,y s (x x s )+ ( f Y ( f f + X Y ) ) x s,y s lm N x s,y s lm N ( ) f (y y s )] Y x s,y s N N (y y s ) + (x x s )(y y s ). (5) Budou-lchybyvelčn Xa Y nekorelované,tedypř -témměření x x s a y y s nebudoumít soustavně stejná znaménka(to nastane v případě nezávslých měření), bude pro jejch kovaranc 0
platt σxy lm N N (x x s )(y y s ) 0, takže vzorec(5) přejde do jednoduššího tvaru ( ) ( ) f f σz σx X + σy x s,y s Y. (6) x s,y s Výše uvedené vzorce můžeme zobecnt a použít pro odhad nejpravděpodobnější hodnoty velčny Z f(x,x,...,x M ),prokterouseobvyklepoužívávztah z f(x,x,...,x M ) (7) akombnovanéstandardnínejstoty u c (Z),prokterousohledemnavztah(6)můžemepsát M u c (Z) ( f X ) u (X ). (8) x,x,...,x M Vztah(8)platíopětpouzezapředpokladu,žechybyvelčn X,X,...,X M jsounavzájemnekorelované. Zdrojem korelací by například mohlo být použtí jednoho přístroje se systematckou chybou pro měření dvou č více velčn. Jným zdrojem korelací je měření velčn, které jsou na sobě závslé 7. Vpřípadě,ženěkterévelčnyjsouzávslé,jetřebadovzorce(8)zahrnoutpříslušné kovarance 8. Unejstot u(x )senerozlšujemeznejstotamvyhodnocovanýmmetodoutypua čb. Zejména př počítačovém zpracování je někdy jednodušší určt kombnovanou standardní nejstotu měření(8) numercky pomocí vzorce [ ] f u c (Z) [x +u(x ),x,...,x M ] f [x u(x ),x,...,x M ] + [ ] f [x,x +u(x ),...,x M ] f [x,x u(x ),...,x M ] + + [ ] f [x,x,...,x M +u(x M )] f [x,x,...,x M u(x M )] + +. (9) Poznámka kombnovaná standardní nejstota u přímého měření Kombnovanou standardní nejstotu zavádíme v případě přímého měření, což lze lustrovat na následujícímpříkladu.opakovanýmměřenímvelčny Xmůžemevypočítatartmetckýprůměr x a výběrovou směrodatnou odchylku artmetckého průměru, která reprezentuje standardní nejstotu typua,kterouoznačíme u A.Nejpravděpodobnějšíhodnotuměřenévelčnyvypočtemejako x x +k, 7 Například,budeme-lchtítstanovthustotunějakéhoobjektu,změřímenezávslejehohmotnostaobjem,tato měření jsou nezávslá. Budeme-l měřt teplotní součntel délkové roztažnost, musíme současně měřt teplotu a délku vzorku, tato měření jsou závslá(délka se s teplotou mění). 8 Jeaszřejmé,ževtomtopřípaděmusíbýtvšechnyvelčnyměřenysoučasnězastejnýchpodmínek.
kde k je korekce na systematckou chybu(například měřcího přístroje). Tuto chybu nelze faktcky korgovat s přesností větší, než je přesnost měřcího přístroje, která je zpravdla charakterzována standardnínejstotou typub u B.Prokombnovanoustandardnínejstotuvelčny X tedy můžeme psát ( ) X X X +K u C (X) u (X )+ X ( ) X u (K) K u (X )+u (K) u A +u B u C u A +u B. (30) Poslední vzorec používáme pro kombnování standardních nejstot A a B v případě, kdy je korekce na systematckou chybu nulová. V případě, kdy jedna ze složek nejstoty má výrazně vyšší hodnotu než složka druhá, můžeme hodnotu menší složky zanedbat. 3.3. Některé důležté vzorce Pomocí vztahu(8) se za předpokladu vstupních velčn s nekorelovaným chybam snadno odvodí následující vzorce Z X +a u(z) u(x), Z ax ±by u (Z) a u (X)+b u (Y), Z XY u (Z) y u (X)+x u (Y) u (Z)/z u (X)/x +u (Y)/y, Y X a u(y) ax a u(x) u(y)/ y a u(x)/ x, Z X/Y u (Z) u (X)/y +x u (Y)/y 4 u (Z)/z u (X)/x +u (Y)/y, Y e ax u(y) a e ax u(x) u(y)/ y a u(x), Y ln(ax) u(y) u(x)/x. Příklad: Nejstota určení tíhového zrychlení Tíhové zrychlení g můžeme změřt tak, že z výšky h necháme padat malou kulčku a budeme odečítat dobu jejího pádu t. Z opakovaných měření vypočteme artmetcké průměry h a t a(případně s využtím dalších nformací) standardní nejstoty u(h) a u(t). Jelkož platí odhadneme tíhové zrychlení jako h gt g h t, g h t. Vypočítáme jednotlvé dervace g h g t, t 4h t 3 a dosadíme je do vztahu(8), takže pro standardní nejstotu odhadu tíhového zrychlení dostaneme 4 u(g) t 4u (h)+ 6h t 6 u (t).
Poznámka: Směrodatná odchylka artmetckého průměru [odvození vzorce (7)]. Počítáme-l artmetcký průměr z N naměřených, navzájem nekorelovaných hodnot x N (x +x + +x N ), můžeme na hodnotu x nahlížet jako na hodnotu náhodné velčny X, pro kterou platí X N (X +X +...X N ) f (X +X +...X N ). Platí-lproodhadsměrodatnéodchylkyvšechnáhodnýchvelčn s s,můžemeproodhadsměrodatné odchylky artmetckého průměru psát f X N s N s N s N s s N. 3.4 Interpretace standardní nejstoty a nejstota rozšířená Cílem fyzkálního měření je, kromě stanovení nejlepšího odhadu skutečné hodnoty měřené velčny,rovněžpravděpodobnostnínterpretaceodhadustandardnínejstotyjakožtomíry úspěchu měření. 3.4. Co přesně vyjadřuje standardní nejstota Odhadsměrodatnéodchylkyzískanýzopakovanýchměřeníobvyklespojujeme 9 snormálnímrozdělením pravděpodobnost náhodných chyb. To znamená, vz vztah(5) a tabulka, že zhruba 68%znaměřenýchhodnotbudeležetvntervalu ±σkolemskutečnéhodnoty x s měřenévelčny. Vypočítáme-lartmetckýprůměrzmnohajednotlvýchměření,můžemeočekávat,že x x s a s σaprotozhruba68%naměřenýchhodnotbudeležetvntervalu (x s) x (x+s). Obdobně, kdybychom opakoval celý experment mnohokrát(n-krát), mohl bychom očekávat, žejednotlvéartmetcképrůměry xmajínormálnírozdělení 0 symetrckékolemskutečnéhodnoty x s sesměrodatnouodchylkou σ x s s/ N.Opěttedymůžemepředpokládat,žezhruba68% vypočtených artmetckých průměrů bude ležet v ntervalu (x s s) x (x s +s). Jsme-l přesvědčen, že jsme měření provedl dostatečně pečlvě a kompenzoval všechny systematcké chyby, můžeme provést logcký skok a předpokládat, že pokud rozdělení pravděpodobnost jezhrubanormálníau c mámnohostupňůvolnost,skutečnáhodnotaměřenévelčnyležíspravděpodobností zhruba 68% v ntervalu (x u c ) x s (x+u c ), (3) 9 Vedenásktomuzkušenost. 0 Tovyplývázcentrálnílmtnívěty;výpočetartmetckéhoprůměrujenormovanýsoučetnáhodnýchvelčn. 3
kde u c jekombnovaná standardnínejstotaměřenévelčny. Interval defnovaný vztahem(3) nazýváme šedesátosmprocentní nterval spolehlvost. 3.4. Rozšířená nejstota Ikdyžjenejstotaměřenízcelaurčenapomocíkombnovanéstandardnínejstoty u c,vněkterých případech(zejména v technckých aplkacích) je zvykem vyjadřovat nejstotu spojenou s šrším ntervalem spolehlvost, než jak defnuje vztah(3), takovým způsobem, aby v něm skutečná hodnota ležela s vyšší pravděpodobností, nejčastěj 95% č 99%. Za tímto účelem zavádíme tzv. rozšířenou nejstotu U defnovanou vztahem U ku c, (3) kde kjetzv.koefcentrozšíření.potom,vztabulkanastraně7,můžemepsát (x ku c ) x s (x+ku c ), (33) kde,zapředpokladu,žerozdělenípravděpodobnostjezhrubanormálníau c mámnohostupňů volnost pro k leží skutečná hodnota měřené velčny v ntervalu(33) s pravděpodobností zhruba95%apro k 3spravděpodobnostízhruba99%. Je však třeba mít na pamět, že rozšířená nejstota oprot nejstotě standardní nepřnáší žádnou novou nformac, jedná se jen o jný způsob vyjádření nejstoty měření. Př vyjadřování rozšířené nejstoty je nutné vždy uvádět, k jaké pravděpodobnost je vztažena, respektve jaký koefcent rozšíření byl k jejímu určení použt. 3.4.3 Jetosložtější... Určení ntervalu spolehlvost je ve skutečnost poněkud komplkovanější, neboť podmínka, že rozdělenípravděpodobnostjezhrubanormálníau c mámnohostupňůvolnost,nemusíbýtvždynutně splněna. Jestlže je př opakovaném přímém měření fyzkální velčny domnantní nejstota určená metodou typu A výběrová směrodatná odchylka artmetckého průměru vypočtená vztahem(8) je podle hypotézy o elementárních chybách rozdělení naměřených hodnot zhruba normální a propočetstupňůvolnoststandardnínejstotyplatí ν N.Dáseukázat,vzdodatekA., že koefcent rozšíření ve vztahu(3) rozšřující nterval spolehlvost(33) je rovný součntel t Studentova rozdělení pro požadovanou míru pravděpodobnost, pro ν však Studentovo rozdělení přechází v rozdělení normální a koefcent rozšíření je možné vypočítat ze vztahu(5) nebo určt z tabulky. Pro konečný počet stupňů volnost s jeho klesající hodnotou velkost koefcentu rozšíření roste(vz tabulka 6 na straně 33). V případě nepřímých měření je stuace obdobná. Jestlže jsou jednotlvé chyby vstupních velčn malé, můžeme výslednou chybu teoretcky vyjádřt pomocí Taylorova rozvoje(4). Výsledná chyba je tedy(až na multplkatvní koefcenty) daná součtem chyb vstupních velčn, takže v případě, kdy některé vstupní velčny jsou zatíženy chybam s rozdělením jným než normálním, má podle centrální lmtní věty chyba výsledné velčny zhruba normální rozdělení se směrodatnou odchylkou odhadnutoupomocíkombnovanéstandardnínejstoty u c.početstupňůvolnost νkombnované standardní nejstoty je možné vypočítat pomocí tzv. Welchovy-Satterthwatovy formule, jejíž použtí je podrobně dskutováno v[], a koefcent rozšíření pomocí parametru t Studentova rozdělení pro daný počet stupňů volnost, vz dodatek A.. 4
4 Prezentace výsledku měření Výsledek měření, to jest hodnotu měřené fyzkální velčny, prezentujeme s ohledem na skutečnost, žejejchcemeněkomusdělt. Ztohotodůvodubymělbýtzapsánjednoznačněasrozumtelně. 4. Fyzkální velčny a jejch jednotky Hodnota skalární fyzkální velčny je určena dvěma číselným údaj. Kvalta velčny je určena jednotkou, kvantta číselnou hodnotou. Jednotkou velčny(měřcí jednotkou) je vhodně zvolená velčna stejného typu, která umožňuje kvanttatvní porovnání velčn měřením a přsuzujeme jí hodnotu. Číselná hodnota je poměr velčny vzhledem k její zvolené jednotce. Mez fyzkální velčnou, její číselnou hodnotou a jednotkou platí vztah Velčna Jednotka Symbol délka metr m X {X}[X], čas sekunda s kde {X} představuje číselnou hodnotu(v použtých jednotkách) a [X] příslušnou jednotku. Můžeme tedy například pro tzv. standardní tíhovézrychlení g n psát hmotnost klogram kg elektrcký proud ampér A termodynamckáteplota kelvn K svítvost kandela cd látkové množství mol mol g n 9,80665m s, Tabulka : Základní jednotky SI. kde {g n } 9,80665ječíselnáhodnotaa[g n ] m s jejednotka,kekterésečíselnáhodnota vztahuje. Změnou jednotky se pro danou velčnu mění příslušná číselná hodnota. Je tedy zřejmé, že pokud bychom zapomněl jednotku fyzkální velčny zapsat, nebylo by zřejmé, k čemu se číselná hodnotavztahuje,atabysamaosoběnemělažádnouvypovídacíhodnotu. Velčna Jednotka Symbol Ekvvalent kmtočet hertz Hz s síla newton N kg m s práce joule J N mkg m s výkon watt W J s 3 kg m s tlak pascal Pa N m kg m s elektrcký náboj coulomb C A s elektrckénapětí volt V N C mkg m s 3 A elektrckýodpor ohm Ω V A kg m s 3 A kapacta farad F C V A s4 kg m magnetckándukce tesla T N C m skg A s magnetckýndukčnítok weber Wb T m kg m A s ndukčnost henry H Wb A kg m A s Tabulka 3: Některé odvozené fyzkální velčny a jejch jednotky. Cožse,mlístudent,takétýkáprotokolůzfyzkálníhopraktka! SondaMarsClmateOrbtershořela3.9.999vatmosféřeMarsupřneúspěšnémpokusuonavedenína oběžnou dráhu. Příčnou byla skutečnost, že palubní řídící program sondy očekával číselné hodnoty velkost síly tahu motorů v metrckých jednotkách(newtonech), zatímco program v pozemním řídícím středsku generoval tyto hodnotyvjednotkáchbrtsko-amerckých(poundforce lbf,lbf4,448n). 5
Aby výsledky měření získané různým ldm v různých místech a různých dobách mohly být porovnatelné, měří se fyzkální velčny v jednotkách stanovených přesně a jednoznačně. Volba jednotekseprovádítak,žejeudánexpermentálnípostup 3,jaksedanájednotkarealzuje,nebo jezanzvolennějakýprototyp 4. Fyzkálních velčn je velké množství. Stejnorodé fyzkální velčny můžeme sčítat a odčítat, násobením a dělením vznkají velčny nové. Praxe ukázala, že k popsání všech fyzkálních jevů postačuje velm malý soubor tzv. základních velčn, jejch násobením a dělením vznkají velčny odvozené. Vroce960vybralaXI.generálníkonferencepromíryaváhysedmzákladníchvelčnajejch jednotek, které se staly základem Meznárodní soustavy jednotek označované zkratkou SI, vz tabulka. Soustava jednotek SI je rozšířena tzv. jednotkam doplňkovým radán(rad) pro rovnný úhel asteradán(sr)proúhelprostorový.tytojednotkysenterpretujíjakobezrozměrové 5. Některé odvozené velčny a jejch jednotky, které mají vlastní název, jsou uvedeny v tabulce 3. Z praktckých důvodů se používají tzv vedlejší jednotky, jako například mnuta, den, světelný rok, úhlový stupeň, atp. Násobek Předpona Značka Násobek Předpona Značka 0 4 yotta- Y 0 4 yokto- y 0 zetta- Z 0 zepto- z 0 8 exa- E 0 8 atto- a 0 5 peta- P 0 5 femto- f 0 tera- T 0 pko- p 0 9 gga- G 0 9 nano- n 0 6 mega- M 0 6 mkro- µ 0 3 klo- k 0 3 ml- m 0 hekto- h 0 cent- c 0 deka- da 0 dec- d Tabulka 4: Předpony používané u jednotek fyzkálních velčn. Pro zpřehlednění číselného vyjádření hodnoty fyzkální velčny se používají předpony jednotek, obvyklé je používání předpon podle třetí mocnny čísla 0. Používané předpony jsou uvedeny vtabulce4,tučnějsouvyznačenytynejčastějpoužívané 6. Další detaly týkající se problematky jednotek fyzkálních velčn lze nalézt v příslušné lteratuře, například[],[]. 4. Platné cfry Př zápsu číselné hodnoty(nejen) fyzkální velčny je třeba mít představu o tom, jak přesně danou hodnotu zapsujeme. Přesnost zapsovaného čísla vyjadřujeme pomocí tzv. počtu platných cfer. 3 Napříkladmetrjedefnovánjakovzdálenost,kterousvětlourazízačas /99793458sekundy. 4 Napříkladklogramjehmotnostmeznárodníhoprototypuklogramu(platno-rdovéhoválečku)uloženéhov Meznárodním úřadě pro míry a váhy v Sèvres ve Franc. 5 Jednotkoubezrozměrovévelčnyječíslo,přjejchvyjadřovánísejednotka()neuvádí. 6 Možnávászarazly násobícítečky vodvozenýchjednotkáchvtabulce3avcelémtomtotextu.ikdyžjsouna první pohled zbytečné a njak zvlášť estetcké, mají svůj smysl. Kdybychom například napsal b 0,00898 m K, není zžejmé,zdamámenamysl metrykrátkelvny,nebo mlkelvny.napíšeme-lvšakm K,jezřejmé,žemámena mysl metrykrátkelvny ažesejednáokonstantuwenovazákona. 6
Počet platných cfer v čísle se určuje podle následujícího algortmu.. Nenulová číslce nejvíce nalevo je nejvýznamnější platná cfra.. Jestlže číslo neobsahuje desetnnou čárku, nenulová číslce nejvíce napravo je nejméně významná platná cfra. 3. Jestlže číslo obsahuje desetnnou čárku, číslce(včetně nuly) nejvíce napravo je nejméně významná platná cfra. 4. Počet platných cfer je počet číslc mez nejvýznamnější a nejméně významnou včetně. Příklad. Následující čísla jsou zapsána s přesností na tř platné cfry: 3, 0 300,,0,,00, 0,3, 0,00,0,000.Číslo00000jespřesnostínatřplatnécfrymožnézapsatjako,00 0 5. V případě číselných hodnot velčn získaných měřením a následným výpočtem nemá smysl uvádět výsledné hodnoty s přesností danou strojovou přesností počítače č rozlšením dspleje kalkulačky, neboť vstupní data jsou zatížena chybam, což je kvantfkováno jejch nejstotou. Přesnost těchtočíselnýchhodnotnapožadovanýpočetplatnýchcfer,vzníže,snžujemezaokrouhlováním 7. 4.3 Záps výsledku měření Hodnotu fyzkální velčny získanou měřením vždy prezentujeme spolu s vypočtenou nejstotou, čímžvyjadřujeme,jak přesně tatovelčnabylaurčena.výsledekměřenívelčny xzpravdla zapsujeme ve tvaru x (x±u c )[x], (34) kde x je nejlepší odhad skutečné hodnoty měřené velčny(často realzovaný pomocí artmetckého průměru), u c jekombnovanástandardnínejstotatohotoodhadua[x]jejednotka,vekteréje číselná hodnota odhadu měřené velčny a její nejstoty udávána. Závorka vyjadřuje, že obě číselné hodnoty se vztahují k téže jednotce. Jak bylo výše uvedeno, vz vztah(9), nejstota měření má poměrně velkou nejstotu a z tohoto důvodu j vyjadřujeme s přesností na maxmálně dvě platné cfry. Počet platných cfer u odhadu měřené velčny upravíme tak, aby obě čísla byla zapsána se stejnou přesností. K vyjádření přesnost měření se často ve vztahu(34) používá rozšířená nejstota. Z tohoto důvodu je třeba vždy výslovně uvést, co číselná hodnota za symbolem ± reprezentuje a v případě rozšířené nejstoty, k jakému ntervalu spolehlvost se vztahuje. 7 Načíslcenásledujícízanejméněvýznamnouplatnoucfrou(NVPC)nahlížíme,jakobypřednmbyladesetnná čárkaatvořítakčíslo zmenšínež.pokud z < /,číslcezanvpcvypustíme.pokud z > /,číslcezanvpc vypustímeanvpczvýšímeo.pokud z /číslcezanvpcvypustímeanvpczvýšímeo,pokudjelchá. Tímto se vyhneme zanesení systematcké chyby př případném dalším zpracování(sčítání) takto zaokrouhlených čísel. 7
Příklad zápsu výsledku měření: Ve fyzkálním praktku byla měřením a následným výpočtem na počítač nalezena tato hodnota Planckovy konstanty a její standardní nejstoty: h 6,657593 0 34 J s, u(h),77606949 0 36 J s. Standardní nejstotu zapíšeme s přesností na dvě platné cfry u(h),8 0 36 J s 0,08 0 34 J s a Planckovu konstantu zaokrouhlíme na stejný počet desetnných míst, jako nejstotu h 6,65 0 34 J s. Výsledek měření zapíšeme takto: Měřením bylo zjštěno, že pro Planckovu konstantu platí h (6,65±0,08) 0 34 J s, kde číslo uvedené za symbolem ± vyjadřuje kombnovanou standardní nejstotu. Další příklady zápsu výsledku měření lze nalézt v dodatku A.. 5 Příklad Objem pngpongového míčku Máme za úkol zjstt objem V pngpongového míčku. Použjeme vztah V 6 πd3, kde d je průměr, jenž budeme měřt posuvným měřítkem, které svým nonem dělí mlmetr na 50 dílků. Předem jsme s ověřl, že míček je natolk tuhý, že přložením posuvného měřítka jej nedeformujeme natolk, abychom se dopouštěl systematcké chyby, kterou bychom musel korgovat. Opakovaným měřením byly zjštěny níže uvedené hodnoty. Měření č. 3 4 5 6 7 8 Průměr d [mm] 37,74 37,76 37,78 37,7 37,78 37,76 37,74 37,76 Vypočteme artmetcký průměr průměru míčku d N d 8 8 d 37,755mm. Vypočteme odhad směrodatné odchylky naměřených hodnot s N (d d) N 8 (d 37,755) 7 0,007mm. 8
Standardní nejstotu artmetckého průměru(vyhodnocenou metodou typu A) pak vypočteme pomocí vzorce u A (d) s 0,007mm 0,0073mm. N 8 Posuvné měřítko má konečné rozlšení souvsející s jemností dělení stupnce 0,0 mm. S tím je spojena standardní nejstota(určená metodou typu B), pro kterou můžeme psát u B (d) 0,0mm 0,00577mm. Kombnovanou standardní nejstotu průměru míčku vypočteme pomocí vzorce(30) jako u C (d) u A +u B 0,0093mm. Nejlepší odhad objemu míčku vypočteme jako V 6 πd3 6 π(37,755mm)3 878,7709mm 3. Pro standardní kombnovanou nejstotu objemu míčku pak dostaneme u(v) V d u C(d) πd u C (d) 0,87mm 3 mm 3. Pro objem míčku tedy můžeme psát V (879±)mm 3, kde číslo uvedené za symbolem ± vyjadřuje kombnovanou standardní nejstotu. 6 Metoda nejmenších čtverců Velm často je třeba expermentálně zjstt parametry funkční závslost dvou velčn X a Y. Tato funkční závslost buď může vycházet z příslušné teore, nebo j hledáme a snažíme se vytvořt model, pomocí kterého bychom závslost velčn X a Y nějak popsal. Tatoúlohaseřešítak,žepro Nrůznýchhodnot x seměříodpovídajícíhodnoty y aparametry příslušné funkční závslost se odhadnou pomocí tzv. metody nejmenších čtverců, jejíž elementární příkladjeuvedenvpoznámcenastraně4. V dalším textu jsou uvedeny algortmy metody nejmenších čtverců pro aproxmac expermentálních dat lneární, exponencální a polynomální funkční závslostí, respektve odhad příslušných regresních parametrů a jejch standardních nejstot(směrodatných odchylek). Složtější případy, vedoucí zpravdla na numercké řešení soustav nelneárních algebrackých rovnc je možné nalézt napříkladv[3],[6]. 9
6. Aproxmace přímkou Předpokládejme nejdříve, že hodnota velčny Y je lneárně závslá na hodnotě velčny X a že tedy teoretcky platí y 0 (x) a 0 +b 0 x, (35) kde b 0 0.V-témměřenízískámehodnoty (x,y ).Předpokládejme,žehodnotu x umímezjstt (nastavt)přesně,zatímcohodnota y y 0 (x ) + ǫ jezatíženanáhodnouchybou ǫ,jejížstatstckérozděleníjenormální(gaussovo)amásměrodatnouodchylku σ.propravděpodobnost,že naměřenáhodnotabudeležetv(úzkém)ntervalu y 0 (x )± y/,tedybudeplatt P σ π exp { [ ] } y y 0 (x ) y. (36) Pravděpodobnost,že Nhodnot y budeležetvpříslušnémntervalu,vypočtemejakosoučnjednotlvých pravděpodobností(36), tedy { N N ( y) N P(a 0,b 0 ) P exp [ ] } y y 0 (x ) σ π σ N { ( y)n N exp [ ] } y y 0 (x ) π σ k σ k N { ( y)n exp [ ] } y y 0 (x ). (37) π σ k Podívejmesenynínastuaczodlšnéhoúhlupohledu.Měřenímjsmezískal Ndvojc (x,y ) a chceme odhadnout parametry skutečné funkční závslost(35), ve tvaru k σ y(x) a+bx. (38) Propravděpodobnost,ženaměřenéhodnotybudouležetvntervalech y(x )± y/podobnějako ve vztahu(37), dostaneme N { P(a,b) ( y)n exp [ ] } y y(x ). (39) π σ k π σ k Parametry a a b určíme tak, aby pravděpodobnost P(a, b) byla maxmální, tedy nalezením extrému funkce(39). Jelkož členy před exponencálou jsou konstantní a exponencála je monotónní funkce, stačíhledatextrémfunkce 8 [ ] χ y y(x ) ( ) y ax b. (40) σ Vypočteme dervace podle parametrů a a b a výsledek položíme rovný nule, tedy χ ( ) y ax b x (y ax b)! 0, (4a) a a σ χ b 8 χ čtchíkvadrát. b ( ) y ax b σ σ y ax b σ σ! 0. (4b) 0
Vztahy(4) můžeme přepsat do tvaru a a x x σ +b +b x σ x y, (4a) y, (4b) což je soustava dvou lneárních algebrackých rovnc pro neznámé parametry a a b. Soustavu snadno vyřešíme Cramerovým pravdlem a yk ( x xk y k N ) x k y k x y k, (43a) σ σk σ k k σ σ k k b yk x ( σk xk y k x N ) x y k x x k y k, (43b) σ σk σ k k σ σ k k xk N ( σk x N ) k x. x σ x k σ k σ σ k k Budou-lmítvšechnysměrodatnéodchylkystejnouhodnotu σ σ,přejdouvzorce(43)do jednoduššího tvaru a N x y x yk x N x ( x ), b yk x xk y k N x ( x ). (44) Dále určíme standardní nejstoty(směrodatné odchylky) regresních parametrů a a b. K jejch nejstotámpřspívajínejstotyjednotlvýchhodnot y.použtímvzorce(8)tedymůžemepsát σ σ a ( a k y k ) σ k, σ b ( b k y k ) σ k. (45) Dervováním vzorců(43) postupně dostaneme ( ) a x k x, y k σk σk ( b y k σk x x k σ k x ),
takže po dosazení do vztahů(45) můžeme psát a σ a σ b k k σ k ( x k σ k k σ k ( σ k σ σ k σ k k σk ( x N k σk 4 x k ( N x ) ) x k σ ) σ x x k σ k x k σ k k σ 4 k x k σ j j σ k k σ j j ( N ) σ ( N ) x ) ( σk N ) x x k σ 4 k k σ σk 4 ( N ) x x k σ k k σ ( N σ ( N σ x k σ x x + σ 4 k + ( N σ k k σ j j x j σ j j σ k k σ j j σ k k x k x ) ) x j σ k k x k x x σ k k ( N σ k k x k + x k σ k + ( N x j σ k k σ j j ) ( N x ( N x k σ k k ( N x k σ k k x ) ( N ) x ) x ( N x k σ k k ) ) x ) ). (46) σ x. (47) Vespecálnímpřípadě,kdy σ σ,přejdouvzorce(46)a(47)dojednoduššíhotvaru σa Nσ N x ( x ), σ b σ x N x ( x ). (48) 6. Aproxmace známou mocnnou Často se setkáváme se stuací, kdy teoretcká funkční závslost má tvar y 0 c 0 x m, (49)
kde mjeznámá 9 mocnna.vespecálnímpřípadě,kdy m,sejednáopřímkuprocházející počátkem, můžeme použít postup uvedený v předchozím odstavc(určujeme o jeden parametr navíc(a), přcházíme o jeden stupeň volnost a používáme složtější vzorce, ale na druhou stranu, můžeme tímto způsobem vykompenzovat adtvní systematckou chybu). Odhad cregresníhoparametru c 0 najdemepomocíextrémufunkce ( ) χ y cx m. Dervováním dostaneme dχ dc N V extrému je funkce(50) rovna nule, takže dostaneme x m y cx m σ σ x m y cx m. (50) 0 c x m y /σ x m /σ. (5) Tentovztahsepropřípad,kdyjsouvšechnysměrodatnéodchylkystejné(σ σ),dálezjednodušuje do tvaru x m c y. (5) x m Směrodatnouodchylku σ c najdemepoužtímvzorce(8)aplkovanéhonavztah(5)jako N σc ( ) c σk y N ( x m k /σk k xm / k k ) σ k k xm k /σ k ( xm /σ ) x m /σ. (53) Vpřípadě,kdyjsouvšechnysměrodatnéodchylkystejné (σ σ),přecházívzorec(53)do jednoduššího tvaru 6.3 Aproxmace exponencálou σ c σ x m. (54) Vzorce odvozené v předchozím textu lze přímočaře aplkovat na případ, kdy teoretcká závslost velčn Xa Zjeexponencálníaplatí z 0 (x) A 0 e k 0x. (55) Tuto exponencální závslost lze logartmováním převést na závslost lneární lnz 0 (x) ln ( A 0 e k 0x ) k 0 x+lna 0. Odhady regresních parametrů tedy můžeme hledat pomocí extrému funkce χ [ ] lnz kx lna σ [ ] y ax b, (56) σ 9 Užtečnébyjstěbylo,kdybychomnepředpokládal,žemocnnu mznáme,alemetodounejmenšíchčtvercůnašl její odhad. Tato úloha ale vede na soustavu nelneárních rovnc, které je třeba řešt numercky na počítač. Blíže vz odstavec 6.5. 3
kde jsme položl y lnz, a k, b lna. Směrodatnéodchylky σ odpovídajívelčně lnz aspoužtímvzorce(8)proněmůžemepsát σ ( ) dy dz zz [ d(lnz) dz ] σ. zz z Poté,copomocívzorců(43)(46)a(47)vypočtemeparametry aabajejchsměrodatné odchylky, provedeme zpětnou transformac k a, A e b a přepočítáme směrodatné odchylky pro parametry A a k jako σ k σ a, ( ) [ ] da d(e σ A σb b db ) σb db eb σb. 6.4 Aproxmace polynomem m-tého stupně Složtější funkční závslost se často aproxmují pomocí polynomů, čehož se využívá v případě expermentálně získaných dat. Koefcenty polynomu y(x) a 0 +a x+a x + +a m x m +a m x m m a j x j j0 aproxmujícího Nnaměřenýchdvojc(x,y ),proněžplatístejnépředpokladyjakovodstavc6., můžeme odhadnout z extrému funkce ( χ m y a j x) j. σ Nejdříve vypočteme dervace podle jednotlvých koefcentů a výsledky položíme rovné nule, tedy ( ) χ m y a 0 σ a j x j! 0, j0 ( ) χ x m y a σ a j x j! 0, j0 ( ) χ x m y a j x j! 0, a σ j0 j0 χ a m. x m σ ( y ) m a j x j! 0. j0 4
Tímdostanemesoustavum+lneárníchrovncprom+hledanýchkoefcentů a m,kteroumůžeme zapsat ve tvaru m N a j j0 m N a j j0 m N a j j0 x j x j+ σ x j+ σ y, x y, x y,. m N x j+m a j j0 x m y, anebo matcově jako x x. x m σ x x x 3. x m+ σ x x 3 x 4. x m+ σ x m x m+ x m+.... x m σ a 0 a a. a m y σ x y x y. x m y. Tuto matcovou rovnc můžeme přepsat do poněkud úspornějšího tvaru kde Ma b, (58) M kl x k+l, b k x k y, k,l 0,,,...,m. Řešení soustavy(58) nalezneme snadno pomocí nverzní matce k M jako M Ma Ea am b a Rb, (59) kder M aejejednotkovámatce. Standardní nejstoty regresních parametrů(směrodatné odchylky) opět vypočteme ze vzorce pro kombnovanou nejstotu(8) ve tvaru Protože platí a k σ a k ( ) ak σl y. (60) l l m R kj b j j0 5 m N R kj j0 x j y,
můžeme psát a k y l m j0 R kj x j l σ l a dosazením výrazu(6) do vztahu(60) postupně dostaneme σ a k ( m l j0 R kj x j l σ l ) σ l m 0 ( m x l R k σl l 0 m N R k R kj j0 l )( m x +j l σ l j0 m 0 R kj x j l σ l ) σ l m R k R kj M j j0 m m R kj R k M j j0 0 (6) m R kj E kj R kk, (6) kdejsmevyužlvlastnostjednotkovématce E kj 0pro k ja E kj pro k j. Vzorec(6)tedyříká,žerozptylkoefcentu a k jeroven k-témuprvkudagonálymatcenverzní kmatcm. 6.5 Složtější případy Problémy řešené v odstavcích 6. 6.4 bylo možné( když někdy trochu pracně) řešt analytcky. Metody popsané v odstavc 6.4 lze přímočaře zobecnt na případ y(x) a f (x)+a f (x) +a m f m (x) j0 m a j f j (x), tedy pro funkce lneární vzhledem k hledaným parametrům, vz[3]. Funkce, jež nejsou lneární vzhledem ke hledaným parametrům, zpravdla vedou na soustavy nelneárních rovnc, které je třeba řešt metodam numercké matematky, vz[3],[6]. Výjmkou jsou ovšem případy, kdy se dá nelneární problém vhodnou transformací převést na jednodušší případ, vz odstavec 6.3. Vpředchozíchodstavcíchjsmeuvažoval,žehodnotyx nezávslévelčnyjsouurčenytakpřesně, že jejch nejstoty nemusíme vůbec uvažovat, což někdy(spíš často) nemusí být splněno. V případě, kdy je výrazně přesnější určení velčny závslé oprot velčně nezávslé je možné u aproxmace přímkou vyjít z nverzní relace x(y) a +b y, použítmetodypopsanévodstavc6.apakvyjádřt a a /b a b /b. Obecný případ, kdy je třeba uvažovat nejstoty jak závslé tak nezávslé velčny, opět vede na nelneární soustavy rovnc, které se řeší numercky, detaly vz[3],[6]. 6.6 Posouzení kvalty aproxmace Metodanejmenšíchčtvercůjezaloženanahypotéze,žeoptmálníaproxmacehodnot x,y funkcí y(x) je ta, která mnmalzuje výraz j χ [ ] y y(x ). σ 6
Odhad rozptylu dat kolem funkční závslost y(x), jejíž parametry byly metodou nejmenších čtverců nalezeny, je možné defnovat vztahem podobným vztahu(6) jako s ν [y y(x )], (63) kde ν N M jepočetstupňůvolnost, tedypočetnaměřených hodnotzmenšený opočet parametrů určovaných metodou nejmenších čtverců(takže například pro aproxmac přímkou M,proaproxmacpolynomem m-téhostupně M m+). Velkostrozptylu s jejednakzávslánarozptylu σ naměřenýchhodnotkolemhodnotskutečných y 0 (x )(souvsísvelkostmchybměření)ajednaknatom,jakdobřefunkce y(x)aproxmuje teoretckou(skutečnou)závslost y 0 (x). Pročastýpřípad,kdy σ σ,můžemepsát N χ ν χ ν [y y(x )] νσ s σ. (64) Prohodnotuvýrazu χ ν byvpřípadě dobréaproxmace zřejměměloplatt χ ν. Jako emprcké krtérum pro posouzení, zda funkce y(x) dobře aproxmuje naměřená data vpřípadě,kdy σ jsourůzné,můžemetedypoužítvztah [ ] y y(x ), (65) χ ν ν σ jehožhodnotabysenemělapřílšlštodjedné.velmmaléhodnotyχ ν většnousvědčío přecenění chybměření(přílšvelkémodhaduhodnot σ ),přílšvelkéhodnotysgnalzujíšpatnouaproxmac. Pravděpodobnostní přístup posouzení kvalty aproxmace lze nalézt například v[3]. 6.7 Kdyžneznámenejstotyvstupníchdat... V předchozích odstavcích věnovaných metodě nejmenších čtverců jsme předpokládal, že známe směrodatnéodchylky(nebospíšjejchodhady) σ závslévelčny y.pomocínchjsmepakschopn vypočítat směrodatné odchylky regresních parametrů a posoudt kvaltu aproxmace. Někdy se však můžeme dostat do stuace, kdy nejstoty vstupních dat buď neznáme, nebo o nch máme špatné nformace 0. V těchto případech je možné postupovat tak, že do vzorců pro výpočet regresních parametrů dosadíme σ σ avypočtemeregresníparametry,čímžurčímefunkčnízávslost y(x).odhad rozptyluvstupníchdats kolemfunkčnízávslost y(x)potévypočtemepomocívzorce(63),přčemž budezřejměplatt s χ /ν χ ν. Dále budeme předpokládat(což ale nemusí být pravda), že funkční závslost y(x) je zvolena správně.vtompřípaděbyměloplatt σ s.hodnotu s vypočtenouvzorcem(63)tedypoužjemejakoodhadrozptyluhodnot y vevzorcíchprovýpočetnejstotregresníchparametrů. 0 Tosemůženapříkladprojevttím,žedosazenímdovzorce(65)dostaneme χ ν. 7