Aplikovaná matematika I

Podobné dokumenty
Metoda nejmenších čtverců.

f(x) = ax + b mocnin (čili čtverců, odtud název metody) odchylek proložených hodnot od naměřených hodnot byl co (ax i + b y i ) 2 2(ax i + b y i ).

Metoda nejmenších čtverců Michal Čihák 26. listopadu 2012

Interpolace pomocí splajnu

Funkce jedné reálné proměnné. lineární kvadratická racionální exponenciální logaritmická s absolutní hodnotou

Statistika (KMI/PSTAT)

Regresní a korelační analýza

Regresní a korelační analýza

Regresní analýza. Ekonometrie. Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie FVL UO Brno kancelář 69a, tel

Polynomy a racionální lomené funkce

Regresní a korelační analýza

Pozn. 1. Při návrhu aproximace bychom měli aproximační funkci vybírat tak, aby vektory ϕ (i) byly lineárně

Téma je podrobně zpracováno ve skriptech [1], kapitola 6, strany

Přehled funkcí. Funkce na množině D R je předpis, který každému číslu z množiny D přiřazuje právě jedno reálné číslo. přehled fcí.

Aplikovaná numerická matematika

Regresní a korelační analýza

CVIČNÝ TEST 5. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Václav Zemek. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19

Kvadratickou funkcí se nazývá každá funkce, která je daná rovnicí. Definičním oborem kvadratické funkce je množina reálných čísel.

Polynomy a interpolace text neobsahuje přesné matematické definice, pouze jejich vysvětlení

Regresní a korelační analýza

Úlohy k přednášce NMAG 101 a 120: Lineární algebra a geometrie 1 a 2,

Interpolace, aproximace

Úlohy nejmenších čtverců


Definice 13.1 Kvadratická forma v n proměnných s koeficienty z tělesa T je výraz tvaru. Kvadratická forma v n proměnných je tak polynom n proměnných s

Modernizace výuky na Fakultě stavební VUT v Brně v rámci bakalářských a magisterských studijních programů CZ / /0292

Aproximace a interpolace

SBÍRKA ÚLOH I. Základní poznatky Teorie množin. Kniha Kapitola Podkapitola Opakování ze ZŠ Co se hodí si zapamatovat. Přírozená čísla.

ANOTACE vytvořených/inovovaných materiálů

6. F U N K C E 6.1 F U N K C E. Sbírka úloh z matematiky pro SOU a SOŠ RNDr. Milada Hudcová, Mgr. Libuše Kubičíková 181/1 190/24 25

Lineární funkcí se nazývá každá funkce, která je daná rovnicí y = ax + b, kde a, b jsou reálná čísla.

Hledání kořenů rovnic jedné reálné proměnné metoda sečen Michal Čihák 23. října 2012

Algebraické rovnice. Obsah. Aplikovaná matematika I. Ohraničenost kořenů a jejich. Aproximace kořenů metodou půlení intervalu.

Princip řešení soustavy rovnic

fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplíny společného základu (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28.

Cvičení z matematiky jednoletý volitelný předmět

Figurální čísla, Pascalův trojúhelník, aritmetické posloupnost vyšších řádů

Exponenciální rovnice. Metoda převedení na stejný základ. Cvičení 1. Příklad 1.

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT)

Cvičné texty ke státní maturitě z matematiky

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok

Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/ Matematika pro všechny. Univerzita Palackého v Olomouci

Základy matematiky pracovní listy

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok

Komisionální přezkoušení 1T (druhé pololetí) 2 x. 1) Z dané rovnice vypočtěte neznámou x:. 2) Určete, pro která x R není daný výraz definován:

Matematika (KMI/PMATE)

Regresní analýza 1. Regresní analýza

Odvození středové rovnice kružnice se středem S [m; n] a o poloměru r. Bod X ležící na kružnici má souřadnice [x; y].

Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice

Optimální trvanlivost nástroje

. Určete hodnotu neznámé x tak, aby

EUKLIDOVSKÉ PROSTORY

1 Polynomiální interpolace

Statistika. Regresní a korelační analýza Úvod do problému. Roman Biskup

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY

Cvičné texty ke státní maturitě z matematiky

Numerické metody zpracování výsledků

pracovní list studenta

1 Lineární prostory a podprostory

13.1. Úvod Cílem regresní analýzy je popsat závislost hodnot znaku Y na hodnotách

CVIČNÝ TEST 22. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 13 IV. Záznamový list 15

a a

Diferenciál a Taylorův polynom

Poznámky pro žáky s poruchami učení z matematiky 2. ročník 2005/2006 str. 1. Funkce pro UO 1

Nelineární rovnice. Numerické metody 6. května FJFI ČVUT v Praze

Gymnázium Česká a Olympijských nadějí, České Budějovice, Česká 64, 37021

Matematika I, část I. Rovnici (1) nazýváme vektorovou rovnicí roviny ABC. Rovina ABC prochází bodem A a říkáme, že má zaměření u, v. X=A+r.u+s.

5. Interpolace a aproximace funkcí

Obsah. Metodický list Metodický list Metodický list Metodický list

3.3. ANALYTICKÁ GEOMETRIE KRUŽNICE A KOULE

Diferenciál funkce dvou proměnných. Má-li funkce f = f(x, y) spojité parciální derivace v bodě a, pak lineární formu (funkci)

POŽADAVKY pro přijímací zkoušky z MATEMATIKY

Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika Obor reálných čísel

2. Určete jádro KerL zobrazení L, tj. nalezněte alespoň jednu jeho bázi a určete jeho dimenzi.

c jestliže pro kladná čísla a,b,c platí 3a = 2b a 3b = 5c.

MĚŘENÍ STATISTICKÝCH ZÁVISLOSTÍ

Extrémy funkce dvou proměnných

Soustavy lineárních a kvadratických rovnic o dvou neznámých

Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora

Internetová matematická olympiáda listopadu 2008

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA

CVIČNÝ TEST 15. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17

[1] Motivace. p = {t u ; t R}, A(p) = {A(t u ); t R} = {t A( u ); t R}

ANALYTICKÁ GEOMETRIE V ROVINĚ

Lineární rovnice pro učební obory

CVIČNÝ TEST 41. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 7 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17

Variace. Lineární rovnice

Klauzurní část školního kola kategorie A se koná

1 Mnohočleny a algebraické rovnice

V předchozí kapitole jsme podstatným způsobem rozšířili naši představu o tom, co je to číslo. Nadále jsou pro nás důležité především vlastnosti

Newtonova metoda. 23. října 2012

Nejdřív spočítáme jeden příklad na variaci konstant pro lineární diferenciální rovnici 2. řádu s kostantními koeficienty. y + y = 4 sin t.

0.1 Úvod do matematické analýzy

Šablona pro zadávání otázek pro přijímací řízení pro akademický rok 2009/2010

MATEMATIKA Tematické okruhy ke státní maturitní zkoušce Obor: mechanik elektronik

Matematika 1 pro PEF PaE

Matematika PRŮŘEZOVÁ TÉMATA

Věta 12.3 : Věta 12.4 (princip superpozice) : [MA1-18:P12.7] rovnice typu y (n) + p n 1 (x)y (n 1) p 1 (x)y + p 0 (x)y = q(x) (6)

a počtem sloupců druhé matice. Spočítejme součin A.B. Označme matici A.B = M, pro její prvky platí:

Transkript:

Metoda nejmenších čtverců Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno c Dana Říhová (Mendelu Brno) Metoda nejmenších čtverců 1 / 8

Obsah 1 Formulace problému 2 Princip metody nejmenších čtverců 3 Lineární aproximace - vyrovnání souboru bodů přímkou Adrien Marie Legendre c Dana Říhová (Mendelu Brno) Metoda nejmenších čtverců 2 / 8

Formulace problému Mějme dán soubor n bodů [x 1, y 1 ], [x 2, y 2 ],..., [x n, y n ]. Hodnoty y 1, y 2,..., y n mohou být například získany jako výsledek měření v bodech x 1, x 2,..., x n. Předpokládáme, že mezi hodnotami x a y platí vztah y = f(x), kde f(x) je funkce vhodného tvaru (obvykle lineární, kvadratický polynom apod.). Naměřené hodnoty y i (i = 1,..., n) jsou zatíženy chybami měření. Kdyby při měření chyby nenastaly, platilo by y i = f(x i ) (i = 1,..., n) a body by ležely na grafu funkce y = f(x). Ve skutečnosti jsou však vlivem těchto chyb body [x i, y i ] (i = 1,..., n) rozptýleny kolem grafu. c Dana Říhová (Mendelu Brno) Metoda nejmenších čtverců 3 / 8

Formulace problému Mějme dán soubor n bodů [x 1, y 1 ], [x 2, y 2 ],..., [x n, y n ]. Hodnoty y 1, y 2,..., y n mohou být například získany jako výsledek měření v bodech x 1, x 2,..., x n. Předpokládáme, že mezi hodnotami x a y platí vztah y = f(x), kde f(x) je funkce vhodného tvaru (obvykle lineární, kvadratický polynom apod.). Naměřené hodnoty y i (i = 1,..., n) jsou zatíženy chybami měření. Kdyby při měření chyby nenastaly, platilo by y i = f(x i ) (i = 1,..., n) a body by ležely na grafu funkce y = f(x). Ve skutečnosti jsou však vlivem těchto chyb body [x i, y i ] (i = 1,..., n) rozptýleny kolem grafu. Cíl: Najít vhodnou funkci f tak, aby její graf procházel co nejbĺıže daných bodů (naměřených hodnot). c Dana Říhová (Mendelu Brno) Metoda nejmenších čtverců 3 / 8

Princip metody nejmenších čtverců Metoda nejmenších čtverců U metody nejmenších čtverců požadujeme, aby součet čtverců (druhých mocnin) rozdílů naměřených hodnot y i a funkčních hodnot f(x i ) pro stejnou hodnotu x i byl co nejmenší, tj. (f(x i ) y i ) 2 min, kde funkce y = f(x) je funkce s neznámými koeficienty a její tvar závisí na vztahu mezi x a y. c Dana Říhová (Mendelu Brno) Metoda nejmenších čtverců 4 / 8

Princip metody nejmenších čtverců Metoda nejmenších čtverců U metody nejmenších čtverců požadujeme, aby součet čtverců (druhých mocnin) rozdílů naměřených hodnot y i a funkčních hodnot f(x i ) pro stejnou hodnotu x i byl co nejmenší, tj. (f(x i ) y i ) 2 min, kde funkce y = f(x) je funkce s neznámými koeficienty a její tvar závisí na vztahu mezi x a y. Poznámka Vztah y = f(x) mezi hodnotami x a y většinou známe z teorie nebo tuto závislost můžeme odhadnout podle naměřených hodnot. c Dana Říhová (Mendelu Brno) Metoda nejmenších čtverců 4 / 8

Princip metody nejmenších čtverců Metoda nejmenších čtverců U metody nejmenších čtverců požadujeme, aby součet čtverců (druhých mocnin) rozdílů naměřených hodnot y i a funkčních hodnot f(x i ) pro stejnou hodnotu x i byl co nejmenší, tj. (f(x i ) y i ) 2 min, kde funkce y = f(x) je funkce s neznámými koeficienty a její tvar závisí na vztahu mezi x a y. Poznámka Vztah y = f(x) mezi hodnotami x a y většinou známe z teorie nebo tuto závislost můžeme odhadnout podle naměřených hodnot. Funkce f může být lineární polynom (přímka), kvadratický polynom (parabola), exponenciální funkce, logaritmická funkce apod. c Dana Říhová (Mendelu Brno) Metoda nejmenších čtverců 4 / 8

Lineární aproximace - vyrovnání souboru bodů přímkou Předpokládejme, že mezi hodnotami x a y existuje lineární závislost, funkce f je tedy tvaru y = ax + b. Naměřený bod má souřadnice [x i, y i ], bod na vyrovnávací přímce má souřadnici [x i, ax i + b]. Hledáme koeficienty a, b takové, aby F (a, b) = (ax i + b y i ) 2 min. c Dana Říhová (Mendelu Brno) Metoda nejmenších čtverců 5 / 8

Lineární aproximace - vyrovnání souboru bodů přímkou Předpokládejme, že mezi hodnotami x a y existuje lineární závislost, funkce f je tedy tvaru y = ax + b. Naměřený bod má souřadnice [x i, y i ], bod na vyrovnávací přímce má souřadnici [x i, ax i + b]. Hledáme koeficienty a, b takové, aby F (a, b) = (ax i + b y i ) 2 min. Tato úloha vede na řešení soustavy lineárních rovnic a x i + bn = a x 2 i + b x i = y i, x i y i pro neznámé koeficienty a, b. c Dana Říhová (Mendelu Brno) Metoda nejmenších čtverců 5 / 8

Lineární aproximace - vyrovnání souboru bodů přímkou Předpokládejme, že mezi hodnotami x a y existuje lineární závislost, funkce f je tedy tvaru y = ax + b. Naměřený bod má souřadnice [x i, y i ], bod na vyrovnávací přímce má souřadnici [x i, ax i + b]. Hledáme koeficienty a, b takové, aby F (a, b) = (ax i + b y i ) 2 min. Tato úloha vede na řešení soustavy lineárních rovnic a x i + bn = a x 2 i + b x i = y i, x i y i pro neznámé koeficienty a, b. Při výpočtu je potřeba nejdříve vypočítat součty x i, y i, x 2 i a x i y i. c Dana Říhová (Mendelu Brno) Metoda nejmenších čtverců 5 / 8

Lineární aproximace - vyrovnání souboru bodů přímkou y y n f(x) = ax + b ax i + b y i y = ax + b y 2 y 1 x 1 x 2... x i... x n x c Dana Říhová (Mendelu Brno) Metoda nejmenších čtverců 6 / 8

Příklad (metoda nejmenších čtverců) Metodou nejmenších čtverců proložte přímku souborem bodů: Celkem máme 6 bodů, tj. n = 6. x i -2-1 0 2 3 4 y i 1 1 2 3 3 4 c Dana Říhová (Mendelu Brno) Metoda nejmenších čtverců 7 / 8

Příklad (metoda nejmenších čtverců) Metodou nejmenších čtverců proložte přímku souborem bodů: Celkem máme 6 bodů, tj. n = 6. Výpočty potřebných součtů provedeme v následující tabulce. i x i y i x 2 i x i y i 1 2 1 4 2 2 1 1 1 1 3 0 2 0 0 4 2 3 4 6 5 3 3 9 9 6 4 4 16 16 6 6 14 34 28 x i -2-1 0 2 3 4 y i 1 1 2 3 3 4 c Dana Říhová (Mendelu Brno) Metoda nejmenších čtverců 7 / 8

Příklad (metoda nejmenších čtverců) Metodou nejmenších čtverců proložte přímku souborem bodů: Celkem máme 6 bodů, tj. n = 6. x i -2-1 0 2 3 4 y i 1 1 2 3 3 4 Výpočty potřebných součtů provedeme v následující tabulce. i x i y i x 2 i x i y i 1 2 1 4 2 2 1 1 1 1 3 0 2 0 0 4 2 3 4 6 5 3 3 9 9 6 4 4 16 16 6 6 14 34 28 Koeficienty a, b přímky y = ax + b najdeme řešením soustavy a x i + bn = a x 2 i + b x i = y i, x iy i. c Dana Říhová (Mendelu Brno) Metoda nejmenších čtverců 7 / 8

Příklad (metoda nejmenších čtverců) Metodou nejmenších čtverců proložte přímku souborem bodů: Celkem máme 6 bodů, tj. n = 6. x i -2-1 0 2 3 4 y i 1 1 2 3 3 4 Výpočty potřebných součtů provedeme v následující tabulce. i x i y i x 2 i x i y i 1 2 1 4 2 2 1 1 1 1 3 0 2 0 0 4 2 3 4 6 5 3 3 9 9 6 4 4 16 16 6 6 14 34 28 Koeficienty a, b přímky y = ax + b najdeme řešením soustavy a x i + bn = a x 2 i + b x i = y i, x iy i. Soustava lineárních rovnic má tvar 6a + 6b = 14 34a + 6b = 28 c Dana Říhová (Mendelu Brno) Metoda nejmenších čtverců 7 / 8

Příklad (metoda nejmenších čtverců - pokračování) Řešením soustavy je a = 1 2, b = 11 6. Hledaná přímka má rovnici y = 1 2 x + 11 6. c Dana Říhová (Mendelu Brno) Metoda nejmenších čtverců 8 / 8

Příklad (metoda nejmenších čtverců - pokračování) Řešením soustavy je a = 1 2, b = 11 6. Hledaná přímka má rovnici y = 1 2 x + 11 6. y 4 3 2 y = 1 2 x + 11 6 1 2 1 0 1 2 3 4 x c Dana Říhová (Mendelu Brno) Metoda nejmenších čtverců 8 / 8