Uirzia Karloa Praz Pdagogiká fakla SEMINÁRNÍ PRÁE Z INTEGRÁLNÍHO POČTU NEURČITÝ INTEGRÁL 00/00 IFRIK
Zadáí čás I: Urč primiií fk k daým fkím a sao jjih dfiičí iral(y) ( ) ara ( ) ( ) ar Vypraoáí: Igráí poč Při drioáí ypočíáám k daé fki driai (pokd isj), kdžo při igroáí hldám k daé fki akoo fki, krá drioaá dáá dao fki. J-li fk f dfioáa rčiém ořém iral I a dál, j-li dfioáa fk F() a plaí-li šh bodh ohoo iral F f, říkám, ž fk F j primiií fkí k f. Fk F s azýá rčiým igrálm fk f iral I a oo zapisjm F f d, kdy roosi () a () yjadřjí jdo a oéž. Zápis a praé sraě roosi () čm igrál fk f, igroao fkí j f, proměá j igračí proměo a zak j igračím zamékm. Jlikož [ F ] F 0 F, poom F j aké primiií fkí k fki f, čili isj kočé možsí primiiíh fkí ar F a libooo kosa azýám igračí kosao a píšm f d F. Koroljm-li ýsldk igroáí, prodm o drioáím ýsldk a při spráém ýpoč dosam igroao fki f.
Přímá igra Přímá igra j lasě požíáí ýsldků difriáího poč, kré shrjm do základí ablky zorů základíh rčiýh igrálů. Igračí kosa píšm ihd po ýpoč igrál, al dohodm s, ž am, kd ýsldk jšě dál bdm praoa, zapíšm igračí kosa až za kočý ar ýsldk. Vzor pro rčiý igrál f d F y 0 d ( R) Fk f : y f y y, N d y d y d a y a ( a > 0, a ) a d a y d y 0 ( ; ) d ( ; ) Podmíky plaosi zor ( ; ) ( ( f )) ( ;0) ( 0; ) ( ; ) ( ; ) ( ; ) d ( ; ) π y a a d 0, kπ, k lé y o o d 0, kπ, k lé π π y d a U k ; k kz y d o U( k, ( k ) π ) kz y d ar (, ) y d ar (, ) y d ara ( ) y d aro ( ) af d a f d [ f ± g ] d f d ± g d
Nmůžm-li dýh zorů poží ihd, sažím s igroao fki prai ak, abyhom pak ěkrého zor mohli poží. Njobykljší způsoby pra: a) Sažím s igroao fki prai algbraiký soč (pokd o jd) fkí, jjihž igrály zám, apř.: ( ) d d d d d d d d, ( 0; ) b) J-li igroaá fk zlomk, pozorjm, í-li čial zlomk driaí jmoal, bo j-li jj možo ásobím (případě dělím) číslm růzým od ly a akoý ar prai, apř.: ( ), ( ) d d, ) J-li igroaá fk yjádřiá jako soči do fkí [ f ] f j. prí má ar moiy a drhá j jjí dria, pak j [ ] [ f ] f f d,. d) Změo difriál j možo ěkré igrály přés a jdodhé, apř.: d d d, (, ) Igroáí modo sbsičí Podsaa éo igračí mody j om, ž zadm oo igračí proměo (obyčjě bo z ) za igroao proměo. Noo igračí proměo yjádřím půodí igračí proměo igroaé fki čě difriál d. Tím daý igrál přádím a jdodšší, řším jj oé proměé a ýsldk ahradím oo proměo půodí proměo. Vzah mzi půodí proměo ( ) a oo proměo ( bo z ) j dá sbsičí roií, íž proměá j fkí oé proměé (bo z ): ϕ. Eisj-li iral I spojiá fk f, pak k í isj primiií fk F a pro každé z iral I j F f.
Když hodoy fk ϕ iral I bdo iral I, j dfioáa složá fk iral I F[ ϕ ]; za přdpoklad, ž fk má iral driai, má ji i složá fk F[ ϕ ] a o F [ ϕ () ] F ϕ f ϕ f [ ϕ ] ϕ a fk F [ ϕ () ] j primiií fkí k fki f [ ϕ ] ϕ iral I. Jak ž ím z přímé igra j F f d, a dosadím-li ϕ(), dosáám f d f [ ϕ ] ϕ d. Tao roos yplýá z dria složé fk a požíám ji k řší igrálů, když s igroaá fk dá rozloži da čiil. Jd j složo fkí proměé a drhý driaí éo fk. Igroáí modo pr pars Igračí moda pr pars (j. po čásh) ply z praidla o drioáí soči do fkí. Eisjí-li fk a zkráě psáo a majíí ějakém iral spojié dria, plaí zor ( ). Igraí éo roi dosam ( ) d d d a z oho d d. To zor přdpisj posp při igroáí mo pr pars. Igroao fki rozložím a soči ak, aby s igrál fk dal poměrě sado rči (jlép z základíh igrálů, j-li o možé), dál rčím driai fk. alší posp ž j zřjmý z praé sray zor. T čás fk, kro jsm ozačily igrjm (dosam ), čás kro jsm ozačili drijm (dosáám ). Za zaméko roosi apíšm soči a od ěho odčm igrál d, krý ypočíám. Moda j úspěšá hdy, j-li igrál a praé sraě d jdodšší ž igrál a sraě lé d. Někdy j řba émž příkladě posp opakoa.
Igra ěkrýh fkí iraioáíh Primiií fk k fki iraioáí í ždy fkí lmárí, j lmárí j ěkrýh případh. Výpoč igrálů iraioáíh fkí lz přés a ýpoč igrálů raioáíh fkí j hdy, když s ám podaří hodo sbsií oé proměé dao iraioáí fki raioalizoa. Jak při ýpoč ěkrýh igrálů iraioáíh fkí mám pospoa, kazj přhld ypoýh igrálů.. a b d a,, b jso kosay, řším sbsií a b m m m. a b d, řším sbsií a b. a b d, řším sbsimi Elroými: a b d, sbsi a pro a > 0, sbsi ( ) pro a < 0, kd j řší roi a b 0, sbsi pro 0, sbsi ( ), má-li ýraz pod odmoio ráé kořy a. d d d. a b přádím a bo a a kadraiký rojčl a úpý čr., ím ž dopím M N. d řším roěž dopěím kadraikého rojčl a a b úpý čr a poom hodo sbsií.. Ozačím-li a b Q, plaí yo zor (igračí kosay jso yháy): d Q a b a a b b b a a pro a 0 a b ara a a Q b d Q b Q Q pro a > 0 pro a < 0 pro a > 0, b 0, > 0 a b pro a > 0, b 0, 0 b b ara pro a > 0, b 0, < 0 Q Q Q Q a b d d d Q Q Q
d Q a b Q d a Q Qd a d b d Q Q d a d b d Q Q m p 7. iomiké igrály ( a b ) d Q d Q a d Q d Q, ( m,, p jso raioáí čísla), dají s přés a igrály raioáíh fkí, když aspoň jdo z čísl m m p,, p j číslm lým. a) J-li p číslo lé kladé, pak podl biomiké ěy rozim p m ( a b ) řad, jdolié čly řady yásobím a po člh igrjm; j-li p číslo lé záporé, ajdm jmší spolčý ásobk s s jmoalů zlomků m a a zadm sbsii. m b) J-li lé číslo, požijm sbsi s a b ( s j jmoal zlomk p. Podl oho jaký j po igroaé fk po sbsii, j. kladý, bo záporý, olím další posp, jak j do pod a). m ) J-li p lé číslo, požijm sbsi a b, když jsm přdím ýraz a b praili ykím ; a b a b. Jso jšě další způsoby raioaliza iraioáíh fkí a ýklad o ih ajdm kiz akadmika V. Jaríka, Úod do poč igráího.
Řší příkladů Igračí kosa píšm ihd po ýpoč igrál, al dohodm s, ž am, kd ýsldk jšě dál bdm praoa, zapíšm igračí kosa až za kočý ar ýsldk.. ; d d d d d d d. ; d d d d d d d d. d d d d d d 7
. ; : d d d d d d d. ; d d d d d d d d
. 0; 7 9 9 9 d d d d d d d 7. ; d d d d d d d d d d d d 9
. d d d d ( ) ( ) d d d d ( ; ) 9. d d d d d π π > 0, kπ, kπ, k Ζ 0
0. ; ar ar ar d d d d d d d d d d d d. [ ] ; d d d. ; ar a a ar d d d d d d
. ; ara ara ara ara : ara ara ara d d d d. ; ar ar ar ar ar ar ar d d d d d d d d Nahail owdih z oso, krý přložil čyři díly Laplaoy kihy do agličiy, jdo pozamal: Kdykoli jsm arazil a Laplaů obra ož ám sado yply, byl jsm si jis, ž mám přd sbo hodiy rdé prá, abyh ypil mzry a alzl a dokázal, jak ám o sado yply.
Zadáí čás II: Urč primiií fk k daým fkím a sao jjih dfiičí iral(y) 7 Vypraoáí:. { } 0,, 9 7 7 R d d d d d d f
. { } 0, 9 9 9 R d d d d d d d d f
. {} d d d d d d d d d d d d d R d f ara ara ara 0 0
. ( ( ) ) ara ara ara ara ara ara 7 ; 7 d d d d d d d d d d d d d d d
. ara a a a a a a ara, a ara ara : 0 d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d 7
. ara ara ara ara ara ara 0 0 d d d d d d d d d d d d d d d
Lirara ČUPR, K.: Mamaika I. oáů fod při šoě hi rě, ro 9. HLVÁČEK,.: Sbírka řšýh příkladů z yšší mamaiky. SPN, Praha 9. STRUIK,.J.: ějiy mamaiky.orbis, Praha 9. OSH Zadáí čás I:... Igráí poč... Přímá igra... Igroáí modo sbsičí... Igroáí modo pr pars... Igra ěkrýh fkí iraioáíh... Řší příkladů... 7.... 7.... 7.... 7............ 9 7.... 9.... 0 9.... 0 0............... Zadáí čás II:....................... 7.... Lirara... 9 OSH... 9 9