DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ. 1) Pojem funkce, graf funkce

Transkript

1 DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ ) Pojem ukce, gra ukce De: Fukcí reálé proměé azýváme pravidlo, které každému reálému číslu D přiřazuje právě jedo reálé číslo y H Toto pravidlo začíme ejčastěji písmeem a píšeme pak y - ezávisle proměá, argumet ukce, y - závisle proměá, ukčí hodota, D) - deiičí obor eí-li uvedeo jiak, je to možia čísel, pro která má daá ukce smysl), H) - obor ukčích hodot Podmíky, které je třeba brát v úvahu při určováí deiičích oborů ukce : Fukce tvaru y je deiovaá pro g, g Fukce tvaru y je deiovaá pro, Fukce tvaru y log je deiovaá pro >, a Fukce tvaru π y tg ) je deiovaá pro k + ), Fukce tvaru y cotg ) je deiovaá pro kπ De: Gra ukce y s deiičím oborem D) je možia všech bodů v roviě o souřadicích [, ], kde D ) Způsoby zadáí ukce : Eplicití rovicí y Implicití rovicí F, y) Tabulkou Graicky

2 ) Vlastosti ukce Sudost a lichost ukce De: Fukce y s deiičím oborem D ) a, a), kde a >, se azývá : a) sudá, když pro každé D ) platí, b) lichá, když pro každé D ) platí Gra sudé ukce je souměrý podle osy y, gra liché ukce je souměrý podle počátku Periodičost ukce De: Fukci y azýváme periodickou s periodou p, jestliže pro každé číslo D ) platí vztah + p) Mootóost ukce De: O ukci y s deiičím oborem D ) říkáme, že je a tomto oboru a) rostoucí, jestliže pro libovolá čísla < D ) platí ) < ), b) klesající, jestliže pro libovolá čísla < D ) platí ) > ), c) eklesající, jestliže pro libovolá čísla < D ) platí ) ), d) erostoucí, jestliže pro libovolá čísla < D ) platí ) ) Má-li ukce pouze jedu z vlastostí a) ebo b), azývá se ryze mootóí Prostá ukce Deiice : Fukce y s deiičím oborem D ) je prostá, když pro libovolá čísla D ), pro která je, platí ) ), Vztah mezi prostou a mootóí ukcí Prostá ukce abývá každé své ukčí hodoty právě jedou Každá ryze mootóí ukce je prostá, protože pro dvě libovolá čísla, pro která, < kde, D ) platí ) < ) ebo ) > ), tedy ) ) Opačé tvrzeí ale eplatí, protože prostá ukce emusí být ryze mootóí Ohraičeá ukce Deiice 9: O ukci y s deiičím oborem D ) říkáme, že je a tomto oboru ohraičeá shora zdola), jestliže eistuje takové číslo H D), že pro všecha čísla D ) platí H D ), ohraičeá, je-li ohraičeá shora i zdola V opačém případě se ukce azývá eohraičeá

3 3) Základí elemetárí ukce Kostatí ukce y c, kde c je kostata Obecá mocia y, kde, ), R Deiičí obor a vlastosti ukce obecá mociy závisí a hodotě epoetu pro liché deiujeme :, tedy apř 3 3 8: 8 ) Goiometrické ukce y si y cos y tg y cotg Epoeciálí ukce Fukce y a, kde a >, a je reálé číslo, se azývá obecá epoeciálí ukce Pokud a e, 7, mluvíme o přirozeé epoeciálí ukci Pro a > je gra epoeciálí ukce rostoucí, pro a,) Logaritmická ukce y e klesající Obecá logaritmická ukce y log a o základu a kde a >, a je reálé číslo) přiřazuje každému kladému číslu takovou hodotu y, pro kterou platí y a Pokud a e, 7, mluvíme o přirozeé logaritmické ukci a začíme ji y l Pro a > je gra logaritmické ukce rostoucí, pro a,) Cyklometrické ukce Jsou to ukce iverzí k ukcím goiometrickým klesající y arcsi y arccos y arctg y arccotg

4 Obecá mocia y Gray elemetárích ukcí 3 y y y y Goiometrické ukce y si y cos y tg y cotg

5 Přirozeá epoeciálí ukce Přirozeá logaritmická ukce y e y l Cyklometrické ukce y arcsi y arccos y arctg y arccotg

6 4) Složeá a iverzí ukce De: Nechť je dáa ukce u ϕ s deiičím oborem D ϕ ) a oborem ukčích hodot H ϕ) a ukce y u), která je deiovaá a možiě D ) H ϕ) Ke každému Dϕ ) yí přiřaďme hodotu y F ϕ ) Tato ukce se azývá složeá ukce, přičemž je její vější složka a ϕ vitří složka De: Nechť y je prostá ukce s deiičím oborem D ) Fukce, která každému číslu y H ) přiřazuje takové číslo D ), pro které platí y, se azývá iverzí ukce k ukci Začíme ji, tedy y ) Provedeme-li záměu proměých, lze psát iverzí ukce ve tvaru y ) tak, aby ezávisle proměá byla ozačea písmeem Obory ukcí a jsou vzájemě zaměěé, tedy ) H ) a H ) D ) D Gray ukcí a jsou souměré podle přímky y De: Polyomem stupě azýváme ukci 5) Polyomy y + a, kde P a + a + + a a, a, a, a R jsou koeiciety polyomu a je celé číslo De: Číslo c se azývá koře polyomu P, jestliže P c) Výraz c) pak azýváme kořeový čiitel Vlastosti polyomů Polyom stupě má právě kořeů mohou být reálé ebo kompleí) Je-li číslo c kořeem polyomu P, můžeme teto polyom apsat ve tvaru P ) c ) Q ), kde Q ) je vhodý polyom stupě ) Má-li polyom P kořey,,,, lze jej rozložit a souči kořeových čiitelů P a ) ) )

7 Jsou-li v rozkladu polyomu ěkteré kořey stejé, mluvíme o víceásobých kořeech Vyskytuje-li se koře v rozkladu pouze jedou, jde o jedoduchý koře Při rozkladu polyomu a kořeové čiitele v reálém oboru epočítáme s kompleími kořey) se v součiu vyskytují tyto typy čiitelů : i ) - jde-li o jedoduchý koře i, k j ) - jde-li o k-ásobý koře j, a + b + c) - jde o polyom stupě, který má kompleí kořey D b 4ac < ) Horerovo schéma Jde o algoritmus, pomocí kterého je možé počítat hodotu polyomu v daém bodě, a který se používá při rozkladu polyomu a souči kořeových čiitelů Je-li zadaý polyom tvar tabulky b a a P + a + a + + a a a a b b a P ),, má Horerovo schéma kde a prvím řádku jsou koeiciety polyomu a čísla a druhém řádku se počítají pomocí rovic b i ai + bi Fukčí hodota P ) je pak rova číslu b 6) Racioálí lomeá ukce Pm Racioálí lomeou ukcí azýváme ukci y, kde Pm a Q jsou polyomy Q Je-li stupeň polyomu P stupeň polyomu Q, jde o eryze lomeou ukci Je-li stupeň polyomu P < stupeň polyomu Q, jde o ryze lomeou ukci Neryze lomeou racioálí ukci je možé děleím vyjádřit jako součet polyomu a ryze lomeé racioálí ukce

8 7) Limita ukce Okolí bodu Jsou daá reálá čísla, δ > Iterval + ) azveme pravýmδ okolím bodu :, δ Iterval δ, azveme levýmδ okolím bodu : Iterval δ, + δ ) azvemeδ okolím bodu : Vyecháme-li z δ okolí bodu samotý bod, dostaeme ryzí δ okolí bodu : Př: Budeme sledovat chováí ukce si y v okolí bodu y 3π π π π π 3π V tomto bodě eí daá ukce deiovaá, ale dosazujeme-li za čísla, která se blíží číslu, si blíží se ukčí hodoty číslu Tuto hodotu azýváme limitou ukce y pro blížící se De: Fukce má v bodě limitu A, jestliže ke každému číslu ε > eistuje takové čísloδ >, že pro všecha, která patří do ryzího δ okolí bodu platí A < ε Píšeme lim A Jestliže v deiici limity ahradíme pojem ryzíδ okolí pojmem levé pravé) ryzího δ okolí, dostaeme deiici limity zleva zprava) Píšeme lim A lim A) + Věta : ) Fukce má v každém bodě ejvýše jedu limitu ) Fukce má v bodě limitu A právě když lim lim+ A

9 Vlastosti limit Pro počítáí s limitami platí : jestliže lim A, lim g B pak lim c ) c A, lim ± g ) A ± B, lim g ) A A B, lim je li B g B Nevlastí limita ukce Pozámka : Rozšířeou možiou reálých čísel rozumíme možiu reálých čísel, rozšířeou o prvky ± Začíme ji Prvky možiy R azýváme vlastí body, zatímco Přitom pro libovolé číslo a R platí: R Tedy R {, + } R ± azýváme evlastí body ) a +, a - -, +, - - -, a a ) - - ), - ) -,, Nejsou deiováy operace : -, ±, děleí ulou, De: Fukce má v bodě evlastí limitu + ), když ke každému číslu K > eistuje takové ryzí δ okolí bodu, že pro všecha z tohoto okolí platí > K < K ) Píšeme lim + lim ) Nevlastí limita vyjadřuje skutečost, že v okolí bodu ukce eomezeě roste ebo klesá K evlastím limitám docházíme apříklad při výpočtu limity podílu ukcí lim, kdy g k po dosazeí dostaeme výraz typu Potom jestliže v levém i pravém okolí bodu platí >, je lim + g g Jestliže v levém i pravém okolí bodu platí <, je lim g g Jestliže v levém i pravém okolí bodu má podíl eeistuje ± ± růzá zaméka, daá limita g

10 Jde-li apříklad o racioálí lomeou ukci, deiovaou v okolí bodu, astává při výpočtu limity v tomto bodě jede z ásledujících 4 případů : L + P L P L + P L P + limita eistuje limita eistuje limita eeistuje limita eeistuje Přímky o rovici Limita v evlastím bodě se azývají asymptoty grau ukce De: Fukce má v evlastím bodě + ) limitu A, když ke každému čísluε > takové K >, že pro všecha > K < K ) platí A < ε eistuje Spojitost ukce De: Fukce se azývá spojitá v bodě je-li v tomto bodě deiovaá a platí lim ) Říkáme, že ukce je spojitá v itervalu, je-li spojitá v každém bodě tohoto itervalu v krajích bodech itervalu případě zprava resp zleva) Bod, ve kterém ukce eí spojitá, azýváme bod espojitosti

11 8) Derivace ukce De: Nechť ukce je deiovaá v okolí bodu Derivací ukce v bodě azýváme koečou limitu lim ) ) Začíme ji ) Říkáme, že ukce má derivaci v itervalu, má-li derivaci v každém bodě tohoto itervalu Geometrický výzam derivace Podíl ) ) vyjadřuje hodotu tg α, tj směrici přímky s ) Jestliže přejde seča s v teču t v bodě P a tgϕ lim ) Tedy derivace ) začí směrici tg ϕ tečy t sestrojeé ke grau ukce v bodě [ )], P Tato teča má rovici : y ) ) ) Př: Vypočítejte derivaci ukce Limitu je možé deiovat rověž vztahem lim h + h h Pro ukci tedy lim lim h h h h + h) h

12 Pravidla pro derivováí Pro ukce u, v a kostatu c platí : u u u ) u + u + + u c c u u v uv v v [ cu ] u c u ) u ) uv ) u v + uv Přehled vzorců pro derivováí elemetárích ukcí I [ c ] II [ ] III [ a ] a l a IV [ e ] e V [ log a ] l a VI [ l ] VII [ si ] cos VIII [ cos ] si IX [ tg ] cos X [ cot g ] si XI [ arcsi ] XII [ arccos ] XIII [ arctg ] + XIV [ arc cot g ] + g XV [ ) ) g ] ) ) ) ) ) ) g l + g, >

13 Derivace složeé ukce Má-li ukce u ϕ derivaci v bodě a ukce y u) v bodě u, pak má derivaci také složeá ukce y F ϕ ) a platí y F ) u ) ϕ ) Derivace složeé ukce je tedy rova součiu derivací jedotlivých složek Derivace vyšších řádů Derivace ukce je opět ukce Má-li tato ukce derivaci, azýváme ji druhou derivací ukce a začíme ji Obecě -tou derivaci ukce ) ) deiujeme vztahem [ ] 4) ) Ozačeí :,,,,, g Derivace ukce [ ] y Daou ukci přepíšeme pomocí vzorce derivujeme jako složeou epoeciálí ukci : A B Bl A g g l ) e a tvar [ ] g [ ) ) ] g ) ) g + g e a pak ji ) l 9) Užití derivace a) L Hospitalovo pravidlo Používá se při výpočtu limit eurčitých výrazů typu ebo Věta : Jestliže limita platí lim A g ) lim g je typu ebo a eistuje-li limita lim g ) A, pak Převodem a limity typu ebo i ěkteré další typy limit eurčitých výrazů apř s ásledým použitím L Hospitalova pravidla lze řešit,, atd- viz skripta)

14 Věta : Jestliže pro všecha a, b) b) Mootóost ukce a lokálí etrémy platí >, je ukce a tomto itervalu rostoucí, <, je ukce a tomto itervalu klesající De: Fukce má v bodě lokálí miimum, když v ějakém okolí tohoto bodu platí > ), lokálí maimum, když v ějakém okolí tohoto bodu platí < ) Lokálí maima a lokálí miima ukce azýváme lokálí etrémy Bod, pro který platí ), azýváme stacioárím bodem Jestliže > v levém okolí stacioárího bodu a < v pravém okolí stacioárího bodu, astává v bodě lokálí maimum, < v levém okolí stacioárího bodu a > v pravém okolí stacioárího bodu, astává v bodě lokálí miimum Lokálí etrém tedy astává ve stacioárích bodech, ve kterých derivace ukce měí zaméko Může však astat také v bodech, ve kterých derivace eeistuje Absolutí etrém Deiice : Fukce má v bodě I D ) absolutí maimum miimum), když pro každý bod I, takový, že, platí < ) > ) ) Absolutí maimum a absolutí miimum azýváme absolutí etrémy

15 c) Koveita, kokávita a ileí bod De: Fukci, která má derivaci v bodě, azveme koveí kokáví) v tomto bodě, jestliže její gra leží v ějakém okolí bodu ad pod) tečou v tomto bodě Fukci azveme koveí kokáví) a itervalu, je-li koveí kokáví) v každém bodě tohoto itervalu Věta : Platí-li pro každé a, b) > je ukce a tomto itervalu koveí, < je ukce a tomto itervalu kokáví Bod, ve kterém gra ukce přechází z koveity do kokávity ebo aopak, se azývá ileí bod Může astat v bodech, ve kterých je druhá derivace rova ule ebo ve kterých druhá derivace eeistuje d) Asymptoty grau ukce Asymptoty jsou přímky, ke kterým se gra ukce přibližuje, vzdalujeme-li se od počátku Rozlišujeme dva typy asymptot : rovoběžá s osou y bez směrice) Nastává v bodech espojitosti ukce ebo v krajích bodech deiičího oboru, ve kterých má ukce evlastí limitu Přímka se azývá asymptotou rovoběžou s osou y grau ukce y, platí-li aspoň jede ze vztahů lim ± ±

16 růzoběžá s osou y se směricí) Přímka o rovici y k + q je asymptotou růzoběžou s osou y, eistují-li koečé limity k lim q lim [ k] ± ± ) Vyšetřováí průběhu ukce Při vyšetřováí průběhu ukce postupujeme podle ásledujících bodů : a) deiičí obor, body espojitost, b) průsečíky s osami, určeí, kde je ukce kladá příp záporá, vlastosti ukce sudost, lichost, periodičost, atd), c) mootóost, lokálí etrémy, d) koveita, kokávita, ileí body, e) tabulka výzačých hodot a ačrtutí grau ukce